Zagadnienia

7. Całka Stieltjesa

Podstawowy problem jakim się zajmiemy podczas najbliższych wykładów polega na ścisłym zdefiniowaniu całek 0tfsdWs, 0tXsdWs lub ogólniej 0tXsdYs, gdzie fs jest ,,porządną” funkcją, a Xs, Ys są ,,porządnymi” procesami stochastycznymi.

Najprostsze podejście polega na zdefiniowaniu osobno całki dla każdej trajektorii, tzn. określeniu dla ustalonego ωΩ, 0sYsωdXsω. Sposób takiej konstrukcji daje całka Stieltjesa, uogólniająca całkę Riemanna.

7.1. Całka Riemanna-Stieltjesa

W tej części podamy tylko podstawowe fakty i definicje, bez dowodów. Więcej informacji oraz kompletne dowody można znaleźć w [2, 9] i [7].

Definicja 7.1

Podziałem przedziałua,b nazywamy niemalejący ciąg liczb Π=t0,t1,,tk taki, że a=t0t1tk=b. Średnicę podziału Π definiujemy wzorem diam(Π):=maxi|ti+1-ti|.
Mówimy, że podział Π jest podpodziałem Π (ozn. ΠΠ) jeśli wszystkie punkty Π są punktami Π.
Ciąg Πn=t0n,,tknn nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeśli diamΠnn0 oraz Πn+1Πn.

Definicja 7.2

Niech f,g:a,bR. Powiemy że abgdf istnieje oraz, że g jest całkowalna względem f, jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów Πn=t0n,,tknn oraz punktów s0n,,skn-1n takich, że tjksjktj+1k istnieje skończona granica

limnj=1kngsj-1kftjk-ftj-1k,

która nie zależy od wybranego ciągu punktów i podziałów. Granicę tą oznaczamy abgtdft i nazywamy całką Riemanna-Stjeltjesa.

Uwaga 7.1

Można udowodnić, że całka abgdf istnieje oraz jest równa S, jeśli dla dowolnego ε>0 istnieje δ>0 taka, że dla dowolnego podziału Πn=t0n,,tknn o średnicy nie większej niż δ oraz punktów s0n,,skn-1n takich, że tjksjktj+1k,

S-j=1kngsj-1kftjk-ftj-1kε.
Uwaga 7.2

i) W przypadku ft=t całka Riemanna-Stieltjesa jest całką Riemanna.
ii) Jeśli fC1a,b, to ftj+1n-ftjn=fΘjn dla pewnego tjn+1Θjntjn, stąd można prosto udowodnić, że w tym przypadku abgtdft=abgtftdt.

Wprost z definicji natychmiast wynika.

Stwierdzenie 7.1

i) Jeśli g1 i g2 są całkowalne względem f, to dla dowolnych liczb c1 i c2 funkcja c1g1+c2g2 jest całkowalna względem f oraz

abc1g1+c2g2df=c1abg1df+c2abg2df.

ii) Jeśli g jest całkowalna względem f1 i f2, to dla dowolnych liczb c1 i c2, g jest całkowalna względem c1f1+c2f2 oraz

abgdc1f1+c2f2=c1abgdf1+c2abgdf2.
Uwaga 7.3

Może się zdarzyć, że dla a<b<c całki abgdf i bcgdf istnieją, a całka acgdf nie istnieje. Jeśli jednak wszystkie trzy całki istnieją, to acgdf=abgdf+bcgdf.

Oczywiście naturalnie jest zapytać dla jakich funkcji f i g istnieje całka gdf. By odpowiedzieć na to pytanie musimy zdefiniować funkcje o wahaniu skończonym.

Definicja 7.3

Jeśli f:a,bR, to liczbę

Waha,b(f):=supnNsupa=t0<<tn=bi=1n|f(ti)-f(ti-1)|

nazywamy wahaniem funkcji f w przedziale a,b. Mówimy, że f ma wahanie skończone na a,b, jeśli Waha,bf<.

Oczywiście 0Waha,bf Wahanie jest addytywną funkcją przedziału, tzn. Waha,cf=Waha,bf+Wahb,cf dla a<b<c.

Przykład 7.1

Funkcje lipschitzowskie, funkcje monotoniczne mają wahanie skończone na ograniczonych przedziałach. Kombinacja liniowa funkcji o wahaniu skończonym ma wahanie skończone.

Przykład 7.2

Funkcja fx=xsin1x oraz f0=0 jest ciągła, ale nie ma wahania skończonego na 0,1.

Twierdzenie 7.1

Jeżeli f,g:a,bR, przy czym g jest ciągła, a f ma wahanie skończone, to abgdf istnieje.

Twierdzenie to można odwrócić.

Twierdzenie 7.2

Jeśli całka Riemanna-Stieltjesa abgdf istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej g, to funkcja f ma wahanie skończone na a,b.

7.2. Całka Lebesgue'a-Stieltjesa

Stwierdzenie 7.2

Jeśli f ma wahanie skończone na a,b, to istnieją funkcje niemalejące f1,f2 takie, że f1a=f2a=0 oraz ft=fa+f1t-f2t. Co więcej f ma w każdym punkcie granice jednostrone. Ponadto jeśli f jest ciągła (odp. prawostronnie ciągła), to f1 i f2 można wybrać ciągłe (odp. prawostronnie ciągłe).

Szkic dowodu

Określamy f1t=12Waha,tf+ft-fa oraz f2t=12Waha,tf-ft+fa.

Definicja 7.4

Załóżmy, że f jest prawostronnie ciągłą funkcją na a,b o wahaniu skończonym. Niech f1 i f2 będą prawostronnie ciągłymi funkcjami niemalejącymi takimi, że f1a=f2a=0 oraz ft=fa+f1t-f2t. Istnieją wtedy skończone miary borelowskie μ1 i μ2 na a,b takie, że μia,t=fit dla i=1,2. Dla ograniczonych funkcji mierzalnych g na a,b określamy całkę Lebesgue'a-Stieltjesa g względem f wzorem

a,bgdf=gdμ1-gdμ2.
Uwaga 7.4

Można wykazać, że dla funkcji ciągłych g całki Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue'a-Stieltjesa g względem f są sobie równe.

7.3. Nieskończone wahanie ciągłych martyngałów

Niestety proces Wienera ma z prawdopodobieństwem jeden nieskończone wahanie na każdym przedziale. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy fakt.

Twierdzenie 7.3

Załóżmy, że Mtta,b jest ciągłym martyngałem oraz

A=ω:Mtω ma wahanie skończone na [a,b].

Wówczas Mt ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie stałe na A, tzn.

Pta,bMtIA=MaIA=1.

Załóżmy najpierw, że istnieje stała C< taka, że dla wszystkich ωΩ, Waha,bMtωC oraz supta,bMtωC. Ustalmy 0ub-a i rozpatrzmy zmienne losowe

Xn=k=0n-1Ma+k+1u/n-Ma+ku/n2.

Dla s<t mamy

EMsMt=EE(MsMt|Fs)=E(MsE(Mt|Fs))=EMs2,

stąd

EXn=k=0n-1EMa+k+1u/n2-Ma+ku/n2=EMa+u2-EMa2.

Szacujemy

Xnsup0kn-1Ma+k+1u/n-Ma+ku/nk=0n-1Ma+k+1u/n-Ma+ku/n
sups-tu/nMt-MsWaha,bMt,

stąd Xn2C2 oraz, z ciągłości M, limnXn=0. Zatem z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej limnEXn=0, czyli EMa+u2=EMa2. Zauważmy jednak, że

EMa+u2=EE((Ma+(Ma+u-Ma))2|Fa)
=EMa2+E(Ma+u-Ma)2+2E[MaE((Ma+u-Ma)|Fa)
=EMa2+EMa+u-Ma2.

Stąd Ma+u=Ma p.n., czyli Mt=Ma p.n. dla dowolnego ta,b. Z ciągłości M wynika, że PtMt=Ma=1.

W przypadku ogólnym zdefiniujmy ciąg czasów zatrzymania

τn=infta:supastMsninfta:Wah0,tn,

wówczas martyngał Mτn spełnia założenia pierwszej części dowodu (z C=n), więc Mτn ma stałe trajektorie p.n.. Wystarczy zauważyć, że dla ωA, τnω= dla dostatecznie dużych n.

7.4. Zadania

Ćwiczenie 7.1

Załóżmy, że h jest niemalejącą funkcją ciągłą na przedziale a,b. Udowodnij, że
a) Jeśli g ma wahanie skończone, to gh też ma wahanie skończone.
b) Jeśli hahbfdg istnieje, to

abfhtdght=hahbfsdgs.
Ćwiczenie 7.2

Załóżmy, że f,g,h:a,bR, przy czym f i g są ciągłe, a h ma wahanie skończone. Udowodnij, że
a) Hx=axgtdht ma wahanie skończone na a,b,
b) abfdH=abfgdh.

Ćwiczenie 7.3

Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na a,b zachodzi abfsdfs=12f2b-f2a.

Ćwiczenie 7.4

Oblicz granice w L2Ω przy n,
a) k=0n-1Wtk/nWtk+1/n-Wtk/n,
b) k=0n-1Wtk+1/nWtk+1/n-Wtk/n.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.