Przykład 1.1

Polowanie na Jelenia (Stag Hunt)

2 myśliwych może polować na jelenia lub na zające. Ich decyzje zapadają jednocześnie i niezależnie, tzn. bez wiedzy o decyzji drugiego. Jeleń ma wartość 4, zające po 1. Każdy ma 2 akcje do wyboru: J, Z. Jesli obaj zapolują na jelenia (akcje J) to upoluja go, otrzymujac po 2. Jeśli jeden wybierze J, drugi Z, to pierwszy nic nie upoluje (otrzymuje 0), drugi upoluje zająca (otrzymuje 1). Jeśli obaj wybiora Z, to otrzymuja po 1. Przedstawimy możliwe rezultaty polowania w postaci macierzy wypłat graczy:

i=1:	J	Z
J	2	0
Z	1	1

i=2:	J	Z
J	2	1
Z	0	1

gdzie pierwsza macierz reprezentuje wypłaty gracza nazwanego graczem wierszowym, druga - gracza kolumnowego. Przykładowo: zero w pierwszej macierzy oznacza wypłatę gracza (wierszowego) grającego J, gdy przeciwnik (gracz kolumnowy) gra Z. Jedynka w pierwszym wierszu drugiej macierzy w oznacza wypłate gracza kolumnowego grającego Z gdy przeciwnik (gracz wierszowy) gra J. Nierozróżnialność myśliwych implikuje że jedna macierz jest transponowana do drugiej. Zapis w postaci jednej macierzy:

	J	Z
J	2,2	0,1
Z	1,0	1,1

Zauważmy że gdyby gracze podjęli decyzje (J,J) lub (Z,Z) to żadnemu z nich nie opłaca się JEDNOSTRONNIE (tj. gdy drugi nie zmienia decyzji) zmienić swojej decyzji. Mówimy, na razie nieformalnie, że takie pary akcji, decyzji, strategii czystych ”są w równowadze”, ”tworzą równowagę” (równowagę Nasha w strategiach czystych, patrz następny wykład).

Przykład 1.2

Gra Dylemat Więźnia (Prisoner's Dilemma)

2 podejrzanych o dokonanie przestępstwa siedzi w areszcie, nie komunikując się między sobą. Śledczy nie ma dostatecznych dowodów by skazać obu, Proponuje każdemu by obciążył drugiego, uzyskując w zamian zwolnienie. Podejrzani mają do wyboru dwie akcje (strategie): C: milczeć, czyli nie obciążać drugiego (kooperacja, Cooperation), i D: obciążyć drugiego (defekcja, Defection), i wybierają jedną z nich jednocześnie i bez komunikacji między sobą. Wybierajac:

(C,C) ⇒ każdy dostaje rok więzienia: wynik akcji to po -1 dla każdego

(C,D) i (D, C) ⇒ C dostaje 5 lat (wynik -5), D jest zwolniony (wynik 0)

(D,D) ⇒ każdy dostaje 3 lata: wynik akcji to po -1 dla każdego

Macierz gry:

	C	D
C	-1,-1	-5,0
D	0,-5	-3,-3

Uwaga: nawet gdyby więżniowie mogli się kontaktować, a nawet uzgodnić przedtem swoje akcje, a nawet gdyby decydowali sekwencyjnie, wynik (D,D) jest jedynym ”racjonalnym” z punktu widzenia indywidualnych interesów każdego z podejrzanych!

Jeżeli za wynik gry (wypłatę) przyjmiemy liczbę lat spędzonych na wolności w czasie 5 lat po zapadnięciu wyroku, to macierz gry ma postać

	C	D
C	4,4	0,5
D	5,0	2,2

Dylemat Więźnia w postaci ogólnej:

	C	D
C	R,R	S,T
D	T,S	P, P

T>R>P>S. T: Temptation, R: Reward, P: Punishment, S: Sucker. Para (D, D) jest (jedyną) równowagą Nasha.

Przykład 1.3

Gra Zamieć Śnieżna (Snowdrift)

2 kierowców stoi przed drogą zasypaną przez lawinę. c>0 - całkowity nakład energii potrzebny do odśnieżenia drogi , b>c - korzyść każdego gracza z dojechania do domu, a - energia (wypłata) każdego gracza gdy nic nie robią, b-c>a by opłacało sie wracać.

	C	D
C	b-c/2,b-c/2	b-c,b
D	b, b-c	a,a

Na ogół przyjmuje się a=0. Przykład ogólniejszy: b=5,c=2,a=1. W tej grze żaden gracz nie ma tzw. strategii dominującej. Są dwie (”asymetryczne”) równowagi Nasha w strategiach czystych: C,D,D,C.

Oto inny przykłady ”tego typu” gry:

* Dylemat Współpracy II

2 mocarstwa: A, B mają do wyboru akcje: C: włożyć (zainwestować), D - nie inwestować. A musi ”na początku” włożyć c by wyjść z kryzysu (niezależnie od tego co będzie grał B; ”finalna” wypłata B zależy od akcji B!) B: analogicznie (symetrycznie). Jeśli A i B włożą po c>0 to dostaną zwrot c/2 + zysk b. Jeśli A włoży c a B włoży 0, to A otrzymuje b-c>0, B b. Analogicznie B. Jeśli A i B włożą 0, będą miały po kryzysie a, b-c>a. Macierz gry:

	C	D
C	b-c/2,b-c/2	b-c,b
D	b,b-c	a,a

Przykład 1.4

Gra W Monety (Gra Orzeł-Reszka, Matching Pennies)

Dwaj gracze pokazują jednocześnie stronę monety (O lub R). Macierz wypłat:

	O	R
O	1,-1	-1,1
R	-1,1	1,-1

Gry nie mają RN w strategiach czystych (”brak koordynacji”). Są to gry o sumie stałej (w pierwszym przypadku - o sumie zerowej). Intuicyjnie: w przypadku wielokrotnego powtarzania gry, średnia wypłata każdego gracza ze strategii mieszanej polegającej na odkrywaniu każdej ze stron monety z prawdopodobieństwem 1/2 wynosi 0 dla pierwszej, 0.5 dla drugiej macierzy.

Przykład 1.5

(Gra W Kota i Myszkę)

Kot goni Myszkę. Każde zwierze ma 2 opcje: skręcić w lewo (L) lub w prawo (P). Macierz wypłat:

	L	P
L	0,2	1,0
P	1,0	0,2

gdzie M jest graczem wierszowym, K - kolumnowym: pierwszy element każdej pary wypłat daje wypłatę M, drugi - K. Gra nie ma RN w strategiach czystych. W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku gracze są ”rozróżnialni”.

Przykład 1.6

Gra Walka Płci (Battle of the Sexes)

Kobieta (gracz wierszowy, K) woli boks (Bo), mężczyzna (gracz kolumnowy, M) balet (Ba). Z drugiej strony chcą oglądać wybrane widowisko razem. Macierz wypłat:

	Bo	Ba
Bo	3,2	0,0
Ba	1,1	2,3

Przykład 1.7

Gra Walka Płci - wersja ekstensywna:

Załóżmy że K wybrała Bo i nie może już zmienić decyzji, i dzwoni do M z tymi informacjami. Racjonalny M wybierze Bo. Można narysować postać rozwiniętą tej gry. Uwzględniamy wszystkie scenariusze, np. wybór Ba przez K (np. gdy nie jest pewna pełnej racjonalności M lub gdy jest szansa że M się pomyli).

Przykład 1.8

Gra Kamień-Papier-Nożyczki (Rock-Paper-Scissors)

2 graczy, każdy ma 3 strategie: K, P, N. Macierz wypłat:

	K	P	N
K	0,0	-1,1	1,-1
P	1,-1	0,0	-1,1
N	-1,1	1,-1	0,0

Przykład 1.9

Gra Dobra Publiczne (Public Goods Game, PG)

N graczy. Każdy dostaje po c=1 do dyspozycji i wkłada tę kwotę (akcja C) lub nie (akcja D) do wspólnej puli. Jeśli zagra D to zatrzymuje c. Gracze nie znają decyzji innych graczy. Pula zostaje zwielokrotniona r razy. Niech n oznacza liczbę graczy którzy zagrali C. KAŻDY z N graczy dostaje r⁢n/N z puli. Niech PC⁢n,⁢PD⁢n - finalne stany posiadanie gracza grającego odpowiednio C,D: PC⁢n=n⁢r⁢c/N,⁢PD⁢n=n⁢r⁢c/N+c. Zauważmy że r<N⇔PC⁢n<PD⁢n-1; dla r<N zawsze lepiej grać D. PG to gra opisana powyższym scenariuszem, dla której r<N i dodatkowo PC⁢N>PD⁢0, czyli dla której 1<r<N.

W szczególności, im większa liczba graczy N tym mniej każdy gracz musi dostać z puli by opisany scenariusz definiował PG.

Przykład 1.11

Gra ”Dylemat Wspólnych Zasobów” (Tragedy of Commons)

N graczy. Jeżeli jest nie więcej niż M<N defektorów to każdy gracz dostaje bonus B. Wypłata defektorów jest zawsze wyższa niż kooperatorów: T>R. Każdy gracz ma lepiej jeśli wszyscy kooperują niż gdy wszyscy zdradzają: R+B>T

	<M innych gra D	M innych gra D	>M innych gra D
C	R+B	R + B	R
D	T + B	T	T

W tej grze jest wiele RN w strategiach czystych: totalna defekcja i takie profile gry w których jest dokładnie M defektorów (minimalna efektywna kooperacja). Minimalna efektywna kooperacja jest jedynym profilem Pareto - optymalnym, patr Wykład 3.

Przykład 1.17

Gra Ultimatum (Ultimatum Game)

Jest do podziału 100 PLN między graczy A i B. A proponuje B podział: x dla B, 100-x dla A, gdzie x∈1,2,…⁢100 są akcjami gracza A. Dla gracza A jego strategie utożsamiamy z akcjami. Gracz B ma dwie akcje : TAK, NIE. Wypłaty: (100 - x, x) lub (0,0). Strategie B (czyli plany jaką akcję podjąć w każdej możliwej sytuacji): wektory 100 elementowe o wyrazach TAK, NIE. Równowaga Nasha: Para strategii: (1, (TAK, TAK, …,TAK)).

Przykład 1.19

Gra Wejście–Odstraszanie (Entry - Deterrence Game)

Posiadasz warsztat o dochodach 2. Obok jest sklep spożywczy o dochodach 5. Jeśli przekształcisz warsztat w drugi sklep to:

a. jeśli pierwszy sklep zareaguje agresywnie (wojna cen) to dochody obu będa po 1.

b. jeśli pokojowo (podział rynku) to dochody obu będa po 3.

Jeśli nie przekształcisz warsztatu w sklep to wasze dochody nie ulegną zmianie.

Przykład 1.20

Gra Stonoga (Centipede Game)

2 graczy A i B, mają na kontach po 0 PLN. A otrzymuje ofertę przyjęcia 1 PLN. Jeśli przyjmie (akcja T), to gra się kończy i A ma 1, B 0, użyjemy notacji (1,0) na oznaczenie wyniku.

Jeśli nie (akcja N), to B otrzymuje ofertę 101 PLN. Jeśli B zagra T to gra się kończy z wynikiem (0,10).

Jeśli N to A otrzymuje oferte 102 PLN. Jeśli A zagra T to gra się kończy z wynikiem 102,0.

Jeśli N to B otrzymuje oferte 103 PLN. Jeśli B zagra T to gra się kończy z wynikiem 0,103.

Jeśli N to A otrzymuje oferte 104 PLN. Jeśli A zagra T to gra się kończy z wynikiem 104,0.

Jeśli N to B otrzymuje oferte 105 PLN. Jeśli B zagra T to gra się kończy z wynikiem 0,105.

Jeśli N to gra się kończy i nikt nic nie dostaje.

Przykład 1.21

Gra Podział Dolara.

Do podziału jest 1 $. N=3 gracze moga tworzyć koalicje (niepuste podzbiory zbioru graczy) proponując partnerom koalicji pewien podział 1 $. Podział następuje (gra się kończy) gdy conajmniej 2 graczy go zaakceptuje i żaden z 3 graczy nie zaproponuje innego podziału, który by zmienił decyzję conajmniej jednego z tych 2 graczy, którzy zaakceptowali podział. Każdy chce dostać jak największą część z 1 $ i nie jest związany w żaden sposób z pozostałymi graczy.