Wykażemy, że

∀T⊂N:⁢i∉T⇒wS⁢T=wS⁢T∪i.

(12.2)

Na mocy aksjomatu a3, napisanego dla S→T i v→wS będzie to oznaczało że ϕi⁢wS=0.

Wzór (12.2) zachodzi gdyż:

Jeśli T⊃S, to wS⁢T=1, a więc tym bardziej wS⁢T∪i=1.

Jeśli T⊅S, to są możliwe 3 przypadki:

S∩T=T,⁢⁢⁢S∩T=∅,⁢⁢⁢T≠S∩T≠∅.

W każdym z nich wS⁢T=0=wS⁢T∪i, co dowodzi (12.2).

∎

Weźmy dowolną koalicję T dla której i∉T,⁢j∉T. Dla tych i,j stosujemy wzór (12.2): wS⁢T=wS⁢T∪i=wS⁢T∪j. Z aksjomatu symetrii a2 otrzymujemy ϕi⁢wS=ϕj⁢wS.

∎

Pierwsza równość to aksjomat a1, druga wynika z definicji wS.

∎

∑i∈Nϕi⁢wS=1=∑i∈Sϕi⁢wS+∑i∉Sϕi⁢wS=S⁢ϕi⁢wS+0. Pierwsza równość to Fakt 3, trzecia to Fakt 2 i Fakt 1. Dzieląc otrzymujemy tezę.

∎

Definiujemy c∅:=0, a dalsze stałe indukcyjnie (wpierw dla koalicji singlowych etc.):

cS:=v⁢S-∑T⊂S,T≠ScT

(12.6)

Dla każdej koalicji S⊂N zachodzi

∑T⊂NcT⁢wT⁢S=∑T⊂ScT⋅wT⁢S+∑T⊄ScT⋅wT⁢S=∑T⊂ScT⋅1=∑T⊂S,T≠ScT+cS=v⁢S,

gdzie druga równość wynika z definicji wT (wT=0 dla T⊄S, wT=1 dla T⊂S), czwarta to definicja cT.

∎

ϕi⁢v=ϕi⁢∑ScS⁢wS=∑Sϕi⁢cS⁢wS=∑S:i∈Sϕi⁢cS⁢wS+∑S:i∉Sϕi⁢cS⁢wS=∑S:i∈ScSS.

Pierwsza równość wynika z Faktu 5, druga z aksjomatu a4, czwarta z Wniosku 12.2. Kończy to dowód Faktu 6, a więc i Lematu 12.1.

∎

Sprawdzimy że ϕ⁢v=ϕ1⁢v,…,ϕn⁢v jest wartością Shapley'a, tzn. spełnia aksjomaty a1-a4.

a4:

ϕi⁢u+v=∑⋯⁢u+v⁢S-u+v⁢S\i=

=∑⋯[u(S)-u(S\{i})]+∑⋯[v(S)-v(S\{i})]=ϕi(u)+ϕi(v).

a3: Mamy wykazać:

∀S⊂N:i∉S⁢⁢zachodzi implikacja⁢⁢⁢v⁢S=v⁢S∪i⇒ϕi⁢v=0.

Zdefiniujmy T:=S∪i. Mamy z założenia v⁢S=v⁢S∪i, czyli v⁢T\i=v⁢T⁢⁢∀T:i∈T. Tak więc dla każdej koalicji T:i∈T⁢ i–ty składnik sumy we wzorze (12.7) jest równy 0.

a2: Mamy wykazać: Jeżeli v⁢T∪i=v⁢T∪j dla każdej koalicji T nie zawierającej i,j, to ϕi⁢v=ϕj⁢v.

Ustalmy gracza i. We wzorze (12.7) sumowanie jest po wszystkich koalicjach S dla których i∈S. Dla takich S zdefiniujmy T:=S\i. Mamy i∉T, S=T+1, oraz

ϕi⁢v=∑S:i∈ST!⁢n-T-1!⁢v⁢T∪i-v⁢T=

=∑T:i∉T|T|!(n-|T|-1)![v(T∪{i})-v(T)]=

=∑T⊂NT!⁢n-T-1!⁢v⁢T∪i-v⁢T.

Analogiczny wzór otrzymujemy dla ϕj⁢v i korzystamy z założenia v⁢T∪i=v⁢T∪j.

a1: Wynika z nastepującej interpretacji wzoru na v⁢N. Niech gracze dochodzą do wielkiej koalicji jeden po drugim. Rozważmy wszystkie możliwe sposoby czyli wszystkie permutacje n graczy i załóżmy że każda zachodzi z jednakowym prawdopodobieństwem 1/n!. Wkład gracza i do koalicji S:i∈S wynosi v⁢S-v⁢S\i Przy każdej realizacji i1,…,in kolejności wchodzenia do wielkiej koalicji mamy [utożsamiamy v⁢i≡v⁢i itp.]:

v⁢N=v⁢i1+v⁢i1∪i2-v⁢i1+⋯+v⁢N-v⁢i1∪…∪in-1.

(12.9)

Niech Zk są zmiennymi losowymi (bo koalicje są tworzone losowo) których wartości

Zk:=v⁢i1∪…∪ik-v⁢i1∪…∪ik-1,⁢⁢k=2,…⁢n,⁢⁢Z1:=v⁢i1

dają wkład gracza wchodzącego do koalicji i1,…,ik-1 graczy.

Piszemy n! razy wyrażenie na v⁢N, dla wszystkich permutacji graczy, czyli wszystkich sposobów formowania się wielkiej koalicji, sumujemy i dzielimy przez n!. Lewa strona otrzymanego wyrażenia to v⁢N. Prawa strona jest równa ∑i∈Nϕi⁢v. Tak więc v⁢N=∑i∈Nϕi⁢v, co kończy dowód Lematu (12.2).

Przykładowo: dla N=1,2,3:

v⁢N=v⁢i1+v⁢i1∪i2-v⁢i1+v⁢N-v⁢i1∪i2.

Piszemy odpowiednie wzory dla wszystkich permutacji 1,2,3:

v⁢N=v⁢1+v⁢12-v⁢1+v⁢N-v⁢12,

v⁢N=v⁢1+v⁢13-v⁢1+v⁢N-v⁢13,

v⁢N=v⁢2+v⁢21-v⁢2+v⁢N-v⁢21,

v⁢N=v⁢2+v⁢23-v⁢2+v⁢N-v⁢23,

v⁢N=v⁢3+v⁢31-v⁢3+v⁢N-v⁢31,

v⁢N=v⁢3+v⁢32-v⁢3+v⁢N-v⁢32,

i dodajemy, otrzymujemy tezę.

∎