Zagadnienia

6.1 Uwagi wstępne
6.2 Definicje
6.3 Przykłady

6. Gry Bayesa

6.1. Uwagi wstępne

W dotychczas rozpatrywanym modelu gry strategicznej gracze którzy podejmowali decyzje mieli pełną informację dotyczącą gry, w szczególności znali macierze wypłat wszystkich graczy. W wielu rzeczywistych sytuacjach w ekonomii, w polityce, w konfliktach militarnych, w relacjach społecznych gracze mają zróznicowaną informację o pewnych aspektach gry, istotnych dla podjęcia decyzji o wyborze akcji. Gry w których przynajmniej jeden gracz posiada taka informację, tzn. nieznana conajmniej jednemu innemu graczowi, będziemy nazywać grami Bayesa (Bayesian games), albo grami z niepełną informacją. Używa się też terminu: gry z asymetryczną informacją.

W dotychczasowych rozważaniach dla GS gracze znali w szczególności akcje i wypłaty swoje i przeciwników. W rzeczywistych konfliktach często tak nie jest, walczący nie znaja siły przeciwników, firmy nie znaja kosztów produkcji konkurentów, uczestnicy aukcji nie znają waluacji obiektu aukcji przez innych uczestników aukcji. W grach opisujących takie sytuacje dochodzi więc element ryzyka związany z niepełną informacją.

W grach Bayesa definicja równowagi Nasha musi zostać zmieniona tak aby uwzględnić zróżnicowaną informację graczy o grze. Odpowiednie uogólnienie pojęcia równowagi będziemy nazywali równowagą Nasha–Bayesa, lub po prostu równowagą Bayesa. W takiej równowadze akcje graczy będa optymalne (będą najlepszymi odpowiedziami) przy ich określonych przekonaniach (beliefs) dotyczących innych graczy.

W formalnym modelu gry strategicznej uwzględniającym niepełną informację dojda dodatkowe obiekty–stany świata, i subiektywne, zależne od gracza prawdopodobieństwa wystąpienia różnych stanów świata. Odpowiednim modyfikacjom ulegną wypłaty, które będą wartościami oczekiwanymi odpowiednich zmiennych losowych, i w konsekwencji pojęcia najlepszej odpowiedzi.

Uwaga 6.1

Innym rodzajem niepełnej informacji o grze może być brak informacji gracza co inni gracze wiedzą o tym co wie dany gracz na temat gry. W grach ekstensywnych, będących tematem kolejnych rozdziałów, rozważa się jeszcze inny rodzaj niepewności w grze: brak pewności jaka akcję grał ostatnio przeciwnik (przeciwnicy). Gry tego typu nazwiemy grami z niedoskonałą informacją (imperfect information).

W poniższych przykładach (por. [19]) rozważymy gry dwuosobowe w których przynajmniej jeden gracz nie będzie miał pewności na temat wypłat swojego przeciwnika czy też partnera gry.

Przykład 6.2 (Duopol Cournota z asymetryczną informacją)

Niech C1⁢q1=c⁢q1 jest funkcja kosztów 1-ej firmy. Funkcja kosztów 2-ej jest równa C2⁢q2=cL⁢q2 z prawdopodobieństwem p, C2⁢q2=cH⁢q2 z prawdopodobieństwem 1-p. Informacja graczy o grze jest asymetryczna w nastepującym sensie: 2 zna C2 and C1, 1 zna C1 i wie że koszt koszt wyprodukowania jednostki towaru przez firmę 2 wynosi cL z prawdopodobieństwem p, cH z prawdopodobieństwem 1-p. Przykładowo, firma 2 może dopiero wchodzić na rynek lub wprowadzać nową technologię produkcji rozważanego towaru. Zakładamy ”common knowledge”: 1 wie co 2 wie o grze, 2 wie że 1 wie co 2 wie o grze itd.

Przykład 6.3

Walka Płci (przy niepełnej informacji)

Rozważmy symetryczną GS: N=1,2,A1=A2=B,S. 1-y gracz to Mężczyzna, 2-i gracz to Kobieta. B oznacza Boks, S–Siatkówkę. 1 and 2 muszą zdecydować jednocześnie: wybrać B czy S.

Gracz 1 ma macierz wypłat

	B	S
B	2	0
S	0	1

Gracz 2 może być jednym z dwóch typów: l i h (od ang.: love, hate). Gdy jest typu l to jego macierz wypłat ma postać

	B	S
B	1	0
S	0	2

a gdy typu h, to

	B	S
B	0	2
S	1	0

W tym przykładzie gracz 1 ma tylko jeden typ. Zakładamy że przy realizacji gry każdy gracz wie jakiego jest typu.

Gracz 1 nie wie z jakim typem gracza 2 będzie grał. Zakładając prawdopodobieństwo każdego typu równe (w naszym przykładzie) 0.5 i wiedząc jaką akcję wybierze (z prawdopodobieństwem 1) gracz 2 gdy jest każdego z typów, gracz 1 może obliczyć wypłaty ze swoich strategii czystych jako wartości oczekiwane zmiennej losowej ”typ gracza 2”.

Niech para (A,B) oznacza: gracz 2 gra A gdy jest typu l, B gdy jest typu h. Otrzymujemy macierz wartości oczekiwanych wypłat gracza 1 przy danych założeniach o graczu 2:

	(B,B)	(B,S)	(S,B)	(S,S)
B	2	1	1	0
S	0	1/2	1/2	1

Zauważmy że macierz tę można traktować jako macierz wypłat pewnej gry trzyosobowej.

Za profil strategii czystych gry przyjmiemy trójkę

X,A,B≡X,A,B,⁢X,A,B∈B,S.

Za profil rówowagowy (strategii czystych) przyjmiemy taki profil X,A,B dla którego:

1. Przy ustalonych akcjach (A,B) 2-ego gracza gdy jest typu odpowiednio l,h (i przy znanym graczowi 1 prawdopodobieństwie każdego typu gracza 2 (w maszym przykładzie 0.5) akcja X daje graczowi 1 maksymalna wypłatę

2. Przy ustalonej akcji X 1-ego: gdy 2-i jest typu l (typu h) to akcja A (akcja B) daje 2-emu maksymalna wypłatę.

Jak łatwo sprawdzić, w naszym przykładzie warunki te spełnia trójka B,B,S.

6.2. Definicje

Definicja 6.3

Przekonanie (belief) μi gracza i (o akcjach pozostałych graczy) jest to rozkład prawdopodobieństwa na A-i.

Gracz i jest racjonalny jeżeli wybiera strategię ai taką że

ai∈a⁢r⁢g⁢m⁢a⁢xa~i⁢Eμi⁢a-i⁢ui⁢a~i,a-i,

czyli taką która maksymalizuje wyrażenie

∑a~iui⁢a~i,a-i⁢μi⁢a-i.

Przykładowo C,0.6,D,0.4 jest przekonaniem gracza 1 w grze koordynacyjnej

	C	D
C	1	0
D	0	1

Gracz 1 jest racjonalny jeżeli wybiera C.

Definicja 6.4

Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Elementy Ω bedziemy nazywać stanami świata. Przekonanie μi gracza i o stanach świata jest to rozkład prawdopodobieństwa na Ω.

Definicja 6.5

Gra Bayesowska

G⁢B=N,Ω,Ai,Ti,τi,pi,uii∈N,

składa się z następujących elementów:

N=1,…⁢n – skończony zbiór graczy.

Ω – skończony zbiór stanów świata.

Dla każdego gracza i∈N określamy

Ai – zbiór akcji gracza i.
Ti=ti1,…,tiki – skończony zbiór ki typów gracza i (sygnałów które może otrzymać). W dalszym ciągu dla uproszczenia górny wskaźnik numerujący typ będziemy pomijać.
τi:Ω→Ti – funkcja sygnału gracza i. Przyporządkowuje ona stanom świata typ gracza i.

Moc zbioru stanów które generują ryp ti opisuje stopień pewności gracza i o stanie świata. Na przykład jeżeli τi⁢ω1≠τi⁢ω2⁢⁢⁢∀ω1,ω2∈Ω to gracz i wie, po otrzymaniu sygnału, jaki jest stan świata (jaki stan ”zaszedł”), a zatem zna typy wszystkich graczy.

Jeżeli natomiast τi⁢ω1=τi⁢ω2⁢⁢⁢∀ω1,ω2∈Ω to sygnął który otrzymuje gracz (a zatem jego typ) nie daje mu żadnej informacji o stanie świata.

W pozostałych przypadkach informacja ma charakter częściowy. Niech np. świat ma trzy stany: Ω=ω1,ω2,ω3, ⁢⁢τi⁢ω1≠τi⁢ω2=τi⁢ω3. Jeżeli świat jest w stanie ω1, to gracz i wie że świat jest w stanie ω1, jesli ω2 lub ω3 to gracz i nie wie w którym z tych stanów.
Dla każdego typu ti⁢ Pi=Pr(ω|ti) jest prawdopodobieństwem apriori (prior belief) jakie typ ti assigns stanowi ω.

Funkcja sygnału τi wraz ze zbiorem prawdopodobieństw apriori opisują wiedzę i o stanie świata.
ui:A×Ω→ℜ,A=×Ai,i∈N – funkcja wypłat gracza i.

Gra odbywa się w następstwie realizacji pewnego stanu świata ω∈Ω.

Gracz i otrzymuje sygnał (dla uproszczenia oznaczeń pomijamy numer sygnału) ti=τi⁢ω, czyli jest typu ti. Typ ti definiuje podzbiór stanów świata τi-1⁢ti (które implikują typ ti). Dla każdego takiego stanu ω∈τi-1⁢ti otrzymujemy Pr(ω|ti) - aprioryczne prawdobodobieństwa gracza i w stanie ti że stan świata jest ω. Mając te prawdopodobieństwa obliczamy wypłaty gracza i.

Przykład 6.4

W rozpatrywanej grze Walka Płci (przy niepełnej informacji):

N=1,2

Ω=r⁢a⁢z⁢e⁢m,o⁢s⁢o⁢b⁢n⁢o

Ai=B,S,⁢⁢i=1,2

Funkcje sygnału: gracza 1: τ1⁢r⁢a⁢z⁢e⁢m=τ1⁢o⁢s⁢o⁢b⁢n⁢o=t11,⁢T1=t11 – gracz 1 może otrzymać tylko jeden sygnał, jest tylko jednego typu.

gracza 2: τ2⁢r⁢a⁢z⁢e⁢m=l=t21,⁢τ2⁢o⁢s⁢o⁢b⁢n⁢o=h=t22,⁢T=l,h – gracz 2 może być typu l lub typu h.

Prawdopodobieństwa aprioryczne gracza 1:

Pr(razem|t11)=Pr(osobno|t11)=1/2.

Mówimy że gracz 1 przypisuje każdemu stanowi świata prawdopodobieństwo 1/2 po otrzymaniu sygnału t11.

Prawdopodobieństwa aprioryczne gracza 2:

P(razem|t21)=1=P(osobno|t22),P(osobno|(t21)=P(razem|t22)=0.

Gracz 2 przypisuje prawdopodobieństwo 1 stanowi r⁢a⁢z⁢e⁢m po otrzymaniu synału t21 i stanowi o⁢s⁢o⁢b⁢n⁢o po otrzymaniu sygnału t22.

Wypłaty: dla a=a1,a2,⁢ai∈B,S:

Liczby ui⁢a,r⁢a⁢z⁢e⁢m są elementami macierzy wypłat gdy 2 jest typu l,

Liczby ui⁢a,o⁢s⁢o⁢b⁢n⁢o są elementami macierzy wypłat gdy 2 jest typu h.

Definicja 6.6

Równowaga Nasha Gry Bayesowskiej GB jest to RN następującej GS:

Gracze: pary i,ti, gdzie i∈N,⁢⁢ti∈Ti

Zbiór akcji gracza i,ti jest to zbiór akcji Ai gracza i w GS

Wypłaty gracza i,ti definiujemy następująco:

Oznaczmy: ai(j,ti)=:a⌃i(ω) –akcja typu ti gracza i,⁢i∈N.

Wypłata gracza i,ti wybierającego akcję ai jest równa

uiti(ai,⋅)=∑ω∈Ωui(ai,a⌃-i(ω)),ω)Pr(ω|ti).

ai,a⌃-i⁢ω jest profilem GS w której gracz i typu ti gra ai, a pozostali grają a⌃j⁢ω,⁢j=1,…,i-1,i+1,…⁢n, a⌃j⁢ω jest wprowadzonym wyżej oznaczeniem akcji gracz j typu τj⁢ω gdy stan świata jest ω.

Zauważmy że uiti(ai,⋅) zależy od akcji wszystkich typów wszystkich pozostałych graczy, a nie zależy od akcji żadnego z typów gracza i.

6.3. Przykłady

Przykład 6.5

W rozważanym wyżej Przykładzie 6.4 policzymy oczekiwaną wypłatę (jedynego) typu t11 gracza 1 z akcji a1=B, gdy a⌃2⁢ω1=B,⁢a⌃2⁢ω2=S:

u1t1(B,⋅)=u1((B,B),ω1)Pr(ω1|t11)+u1((B,S),ω2)Pr(ω2|t11)=2⋅1/2+0⋅1/2=1.

Przykład 6.6 (Battle of the Sexes (with incomplete information))

Niech obaj gracze mogą być jednego z dwóch typów: l,⁢h, i że nie wiedzą jakiego typu jest przeciwnik: 1 przypisuje typowi 2-go prawdopodobieństwo 1/2, 2-i przypisuje 1-mu typ l z prawdopodobieństwem 2/3, h z prawdopodobieństwem 1/3. Gracze znają swoje typy.

Tę sytuację modelujemy jako następującą GB:

Ω=y⁢y,y⁢n,n⁢y,n⁢n

Ai=B,S,⁢⁢i=1,2

Funkcja sygnału gracza 1: τ1(yy)=τ1(yn)=:y1,τ1(ny)=τ1(nn)=:n1,T1={y1,n1}

Funkcja sygnału gracza 2: τ2(yy)=τ2(ny)=y2,τ2(yn)=τ2(nn)=:n2,T2={y2,n2}

Prawdopodobieństwa aprioryczne (beliefs) gracza 1:

Pr(yy|y1)=Pr(yn|y1)=1/2=Pr(ny|n1)=Pr(nn|n1)=1/2

Prawdopodobieństwa aprioryczne (beliefs) gracza 2:

Pr(yy|y2)=Pr(yn|n2)=2/3,Pr(ny|y2)=Pr(nn|n2)=1/3

Wypłaty: dla a=a1,a2,⁢ai∈B,S: liczby ui⁢a,ω,⁢ω∈y⁢y,y⁢n,n⁢y,n⁢n są elementami macierzy M1,…⁢M4.

M1:

	B	S
B	2,1	0,0
S	0,0	1,2

M2:

	B	S
B	2,0	0,2
S	0,1	1,0

M3:

	B	S
B	0,1	2,0
S	1,0	0,2

M4:

	B	S
B	0,0	2,2
S	1,1	0,1

Przykład 6.7 (Duopol Cournota z asymetryczną informacją)

W Przykładzie 6.2 gra Bayesa ma postać:

N=1,2, ⁢Ω=L,H, ⁢Ai=ℜ+,⁢i=1,2.

Funkcje sygnału: τ1⁢H=τ1⁢L,⁢⁢τ2⁢L≠τ2⁢H.

Prawdopodobieństwa aprioryczne: jedyny typ gracza 1 przypisuje prwadopodobieństwo p stanowi L, 1-p stanowi H. Każdy typ gracza 2 przypisuje prawdopodobieństwo 1 każdemu stanowi konsystentnemu ze swoim sygnałem Pr2(L.,t21)=1=Pr2(H,t22), natomiast prawdopodobieństwo 0 w przeciwnym przypadku.

Funkcje wypłaty: u1⁢q1,q2=q1⁢P⁢Q-c⁢q1,⁢⁢u2⁢q1,q2=q2⁢P⁢Q-cI⁢q2, gdzie Q=q1+q2,⁢⁢I∈Ω, a P⁢Q jest rynkową ceną jednostki towaru którego całkowita produkcja wynosi Q.

Ćwiczenie 6.1

W duopolu Cournota z Przykładu 9.7 dla cL,cH dostatecznie bliskich by istniała RN z dodatnimi produkcjami znaleźć tę RN i porównać z RN gier w których 1 zna cL i cH.

Niech P⁢Q=α-Q dla Q≤α, P⁢Q=0 dla Q>α. Niech q1*,q*⁢L,qH* – RN. Wtedy

q1*=B1(qL*,qH*)=maxq1[pP(q1+qL*)-c)q1+(1-p)(P(q1+qH*)-c)q1],

qL*=BL⁢q1*=m⁢a⁢xqL⁢P⁢q1*+qL-cL⁢qL

qH*=BH⁢q1*=m⁢a⁢xqH⁢P⁢q1*+qH-cH⁢qH.

Obliczając pierwsze pochodne otrzymujemy 3 równania algebraiczne na q1*,q*⁢L,qH*. Ich rozwiązanie:

q1*=α-2⁢c+p⁢cL+1-p⁢cH3

qL*=α-2⁢cL+c/3-1-p⁢cH-cL/6

qH*=α-2⁢cH+c/3+p⁢cH-cL/6

Przypomnijmy że dla duopolu Cournota z pełną informacją gdy koszt produkcji firmy i wynosi ci,⁢i=1,2, to zakładając dodatniość odpowiednich wielkości produkcji, w RN wielkości te wynoszą

q1*=α-2⁢ci+cj/3.

W szczególoności otrzymujemy więc

qH*>α-2⁢cH+c/3,⁢qL*<α-2⁢cL+c/3.

Przykład 6.9 (Nadmiar informacji może obniżyć wypłatę)

I. Rozważmy wpierw 2-osobową GB z dwoma stanami: ω1,ω2, w której żaden z graczy nie zna stanu świata i każdy przypisuje prawdopodobieńtwo 1/2 każdemu z 2 stanów. Macierze wypłat odpowiadające obu stanom mają postać: M1:

	L	M	R
T	1,2a	1,0	1,3a
B	2,2	0,0	0,3

M2:

	L	M	R
T	1,2a	1,3a	1,0
B	2,2	0,3	0,0

gdzie a∈0,1/2.

Najlepsza odpowiedź gracza 2 na każdą akcję 1-go to L:

jeśli 1 wybierze T, to L da 2a, M i R dadzą po 3a/2 każda.

jeśli 1 wybierze B, to L da 2, M i R dadzą po 3/2 każda.

Co więcej, najlepsza odpowiedź 1 na L to B. Ponieważ jest to jedyna najlepsza odpowiedż, więc para (par) (B,B),(L,L)) jest jedyną RN (także w strategiach mieszanych). W Rn każdy gracz otrzymuje 2.

II. Rozważmy teraz nastepującą modyfikację tej gry. Gracz 2 zna stan świata: τ2(ω1)≠τ2(ω2. Mamy sytuację taką jak w pierwszej wersji gry Wojna Płci z niepełną informacja. Gracz 2 ma więc więcej informacji. Zakładamy że gracz 1 jest o tym poinformowany.

W tej grze T,R,M jest jedyną RN: każdy typ gracza 2 ma strategię ścisle dominującą, wprzy której jedyną najlepszą odpowiedzią gracza 1 jest T. W tej RN gracz 2 otrzymuje 3⁢a w każdym ze stanów, a więc wypłatę niższą niż w przypadku I!

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wstęp do Teorii Gier