Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 10. Wycena i zabezpieczenie w modelu Blacka-Scholesa – MIM UW

Zagadnienia

10. Wycena i zabezpieczenie w modelu Blacka-Scholesa

Zajmiemy się teraz wyceną i zabezpieczeniem wypłat w klasycznym modelu Blacka-Scholesa {\cal M}=(B,S,\Phi(P^{*})), który jest wolny od arbitrażu (tw. 9.4).

10.1. Wycena ogólnej wypłaty

Wykażemy, że cena \Pi _{t}(X) tzn. cena arbitrażowa w chwili t wypłaty osiągalnej X zdefiniowana jako wartość procesu replikującego X jest dobrze określona i znajdziemy wzór pozwalający liczyć te cenę.

Twierdzenie 10.1

Niech X będzie wypłatą osiągalną w (B,S,\Phi(P^{*})). Wtedy cena arbitrażowa \Pi _{t}(X) wypłaty X jest dobrze określona i jest dana przez formułę wyceny neutralną względem ryzyka:

\Pi _{t}(X)=B_{t}E_{{P^{*}}}(XB_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}),\quad t\in[0,T]. (10.1)

Idea dowodu jest analogiczna do idei dowodu twierdzenia dla czasu dyskretnego. Gdy \varphi\in\Phi(P^{*}) replikuje wypłatę X, to V^{*}(\varphi) jest P^{*}–martyngałem, więc

V_{t}^{*}(\varphi)=E_{{P^{*}}}(V_{T}^{*}(\varphi)|{\cal F}_{t})=E_{{P^{*}}}(XB_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}).

Stąd wynika, że proces wartości portfela replikującego wypłatę X jest wyznaczony jednoznacznie, gdyż dla \varphi,\psi\in\Phi(P^{*}) replikujących X zachodzi

V_{t}^{*}(\varphi)=E_{{P^{*}}}(XB_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t})=V_{t}^{*}(\psi),

czyli V_{t}(\varphi)=V_{t}(\psi). Ponadto

\Pi _{t}(X)=V_{t}(\varphi)=B_{t}E_{{P^{*}}}(XB_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}),

co kończy dowód.

Uwaga 10.1

a) Ponieważ {\cal F}_{0} jest \sigma-ciałem zbiorów P-trywialnych, zatem i P^{*}-trywialnych, B_{0}=1, to cenę wypłaty X liczymy jako wartość oczekiwaną przy mierze martyngałowej zdyskontowanej wypłaty:

\Pi _{0}(X)=E_{{P^{*}}}(XB_{T}^{{-1}}). (10.2)

b) Jeśli X jest wypłatą osiągalną w {\cal M}, to mamy dobrze określoną cenę arbitrażową X w każdej chwili i

\frac{\Pi _{t}(X)}{B_{t}}=E_{{P^{*}}}(XB_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}),\quad t\in[0,T],

więc zdyskontowana cena jest P^{*}-martyngałem. W konsekwencji możemy handlować tym instrumentem na rynku, gdyż dołączenie tego instrumentu do rynku nie wprowadza arbitrażu (P^{*} na rozszerzonym rynku z procesem cen (B,S,\Pi(X)) jest miarą martyngałową).

Następne twierdzenie opisuje klasę wypłat replikowalnych.

Twierdzenie 10.2

W modelu Blacka-Scholesa każda wypłata, która jest całkowalna z kwadratem względem P^{*} jest osiągalna.

Trzeba wykazać, że dla każdego X\in L^{2}(\Omega,{\cal F}_{T},P^{*}) istnieje strategia dopuszczalna \varphi replikująca wypłatę X, czyli trzeba znaleźć \varphi\in\Phi(P^{*}), takie że

\varphi _{t}^{0}B_{T}+\varphi _{t}^{1}S_{T}=X.

Niech

M_{t}:=E_{{P^{*}}}(e^{{-rT}}X|{\cal F}_{t}),\quad t\in[0,T]. (10.3)

Jest to martyngał całkowalny z kwadratem. Ponieważ \mathbb{F} jest filtracją generowaną przez ruch Browna, więc z twierdzenia o reprezentacji istnieje proces adaptowany (K_{t})_{{t\in[0,T]}}, taki że E_{{P^{*}}}(\int _{0}^{T}K_{s}^{2}ds)<\infty\ i

M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}K_{s}d{\widehat{W}}_{s}\quad\hbox{ p.n. } (10.4)

Strategia zdefiniowana wzorami

\varphi _{t}^{0}=M_{t}-\frac{K_{t}}{\sigma},\quad\varphi _{t}^{1}=\frac{K_{t}}{\sigma S_{t}^{*}} (10.5)

ma kapitał początkowy

V_{0}(\varphi)=M_{0}-\frac{K_{0}}{\sigma}+\frac{K_{0}}{\sigma S_{0}}S_{0}=M_{0}.

Jest strategią samofinansującą się, gdyż z (10.5), (10.4), z tego, że M_{0}=V_{0}(\varphi) i z (9.11) mamy

\displaystyle V_{t}^{*}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle\varphi _{t}^{0}+\varphi _{t}^{1}S_{t}^{*}=M_{t}-\frac{K_{t}}{\sigma}+\frac{K_{t}}{\sigma}=M_{t}=
\displaystyle= \displaystyle M_{0}+\int _{0}^{t}K_{u}d{\widehat{W}}_{u}=V_{0}(\varphi)+\int _{0}^{t}\varphi _{u}^{1}\sigma S_{u}^{*}d{\widehat{W}}_{u}=V_{0}(\varphi)+\int _{0}^{t}\varphi _{u}^{1}dS_{u}^{*},

i z lematu 9.2 strategia \varphi jest samofinansującą się. Przy okazji udowodniliśmy, że V_{t}^{*}(\varphi)=M_{t}, więc V_{t}^{*} jest P^{*}-martyngałem, czyli \varphi jest strategią dopuszczalną tzn, \varphi\in\Phi(P^{*}) oraz V_{T}^{*}(\varphi)=M_{T} tzn. V_{T}(\varphi)=X.

Uwaga 10.2

a) W modelu Blacka-Scholesa cena wypłaty całkowalnej z kwadratem względem P^{*} jest równa

\Pi _{t}(X)=E_{{P^{*}}}(e^{{-(T-t)r}}X|{\cal F}_{t}). (10.6)

Postać \Pi _{t}(X) wynika natychmiast ze wzoru (10.1), gdyż B_{t}B_{T}^{{-1}}=e^{{rt}}e^{{-rT}}=e^{{-(T-t)r}}.
b) Gdy uogólnimy definicję zupełności z rynku skończonego (na którym każda wypłata jest ograniczona) przyjmując, że rynek bez możliwości arbitrażu jest zupełny, gdy dla każdej ograniczonej wypłaty X w chwili T istnieje strategia dopuszczalna replikująca wypłatę X, to z Twierdzenia 10.2 wynika, że rynek jest zupełny i ma miejsce sytuacja typowa dla tak zdefiniowanego rynku zupełnego: klasa wypłat replikowalnych jest znacznie szersza niż klasa wypłat ograniczonych.
c) Dowodząc istnienia strategii dopuszczalnej zabezpieczającej wypłatę użyliśmy twierdzenia o reprezentacji. Podkreśla to wagę twierdzeń o reprezentacji do konstrukcji strategii zabezpieczających (patrz też ćw. 4.6).

Twierdzenie 10.2 ma jedną wadę z punktu widzenia zastosowań w praktyce, nie podaje explicite sposobu, w jaki można replikować wypłatę, gdyż jego dowód korzysta z twierdzenia o reprezentacji martyngału, a zwykle nie znamy jawnej postaci procesu K w przedstawieniu (10.4). Gdy uda nam się znaleźć przedstawienie (10.4) dla którego znamy postać K, to wzory (10.5) zadają strategię replikującą.

W sytuacji gdy wypłata zależy tylko od ceny końcowej S_{T}, to można podać portfel replikujący i jego wartość w jawnej postaci.

Twierdzenie 10.3

Jeśli wypłata X=f(S_{T}) jest całkowalna z kwadratem względem miary martyngałowej, to \Pi _{t}(X)=F(t,S_{t}) dla t\in[0,T] z funkcją F daną w jawnej postaci:

F(t,x)=e^{{-r(T-t)}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{R}f(xe^{{(r-\frac{\sigma^{2}}{2})(T-t)+\sigma y\sqrt{T-t}}})e^{{-\frac{y^{2}}{2}}}dy. (10.7)

Gdy ponadto F dane wzorem (10.7) należy do klasy C^{{1,2}}((0,T)\times R), to portfel \varphi zadany wzorem

\displaystyle\varphi _{t}^{1} \displaystyle=\frac{\partial F}{\partial x}(t,S_{t}), (10.8)
\displaystyle\varphi _{t}^{0} \displaystyle=e^{{-rt}}[F(t,S_{t})-\varphi _{t}^{1}S_{t}]

jest dopuszczalny i replikuje X.

Gdy X=f(S_{T}) to ze wzorów (9.16) i (10.6) mamy

\displaystyle\Pi _{t}(X)=E_{{P^{*}}}[f(S_{T})e^{{-r(T-t)}}|{\cal F}_{t}]=
\displaystyle E_{{P^{*}}}[e^{{-r(T-t)}}f(S_{t}e^{{r(T-t)}}e^{{\sigma({\widehat{W}_{T}}-{\widehat{W}}_{t})-\frac{\sigma^{2}}{2}(T-t)}})|{\cal F}_{t}]=F(t,S_{t}), (10.9)

gdzie F jest dane wzorem (10.7), gdyż S_{t} jest {\cal F}_{t}-mierzalne, a przyrost {\widehat{W}}_{T}-{\widehat{W}}_{t} jest niezależny od {\cal F}_{t} i ma rozkład normalny {\cal N}(0,T-t).

Niech \varphi replikuje wypłatę X i niech

G(t,x)=e^{{-rt}}F(t,xe^{{rt}}).

Wtedy G\in C^{{1,2}}((0,T)\times\mathbb{R}), G(0,x)=F(0,x) i

V^{*}_{t}(\varphi)=e^{{-rt}}\Pi _{t}(X)=e^{{-rt}}F(t,S_{t})=G(t,S_{t}^{*}), (10.10)

a zatem X=V_{T}(\varphi)=e^{{rT}}G(T,S_{T}^{*}). Stąd, by zakończyć dowód wystarczy znaleźć strategię replikującą \varphi\in\Phi mającą przedstawienie

G(t,S_{t}^{*})=V_{0}^{*}(\varphi)+\int _{0}^{t}\varphi^{1}_{u}dS_{u}^{*}

z procesem \varphi^{1} zadanym w jawnej postaci.

Ze wzoru Itô dla procesu G(t,S_{t}^{*}) oraz (9.11) mamy

\displaystyle G(t,S_{t}^{*}) \displaystyle= \displaystyle G(0,S_{0})+\int _{0}^{t}\frac{\partial G}{\partial u}(u,S_{u}^{*})du+\int _{0}^{t}\frac{\partial G}{\partial x}(u,S_{u}^{*})dS_{u}^{*}\,+ (10.11)
\displaystyle+\,\frac{1}{2}\int _{0}^{t}\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}(u,S_{u}^{*})\sigma^{2}(S_{u}^{*})^{2}du=
\displaystyle= \displaystyle G(0,S_{0})+\int _{0}^{t}\frac{\partial G}{\partial x}(u,S_{u}^{*})dS_{u}^{*}+\int _{0}^{t}L_{u}du,

gdzie

L_{u}=\frac{\partial G}{\partial u}(u,S_{u}^{*})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}(u,S_{u}^{*})\sigma^{2}(S_{u}^{*})^{2}.

Ponieważ G(t,S_{t}^{*}) jest martyngałem (wzór (10.10)), to z (10.11) i z tego, że martyngał ciągły o wahaniu ograniczonym jest stały otrzymujemy L_{t}\equiv 0, a stąd

G(t,S_{t}^{*})=V_{0}^{*}(\varphi)+\int _{0}^{t}\frac{\partial G}{\partial x}(u,S_{u}^{*})dS_{u}^{*}. (10.12)

Mając tę reprezentację definiujemy strategię:

\varphi _{t}^{1}=\frac{\partial G}{\partial x}(t,S_{t}^{*}),\quad\varphi _{t}^{0}=G(t,S_{t}^{*})-\varphi _{t}^{1}S_{t}^{*}.

Tak zdefiniowane \varphi spełnia V^{*}_{t}(\varphi)=G(t,S_{t}^{*}). Stąd, z (10.1) i z lematu 9.2 wynika, że \varphi jest strategią dopuszczalną. Strategia \varphi replikuje wypłatę X, gdyż

V_{T}(\varphi)=G(T,S^{*}_{T})B_{T}=X.

Z (10.10) widać natychmiast, że strategię \varphi można zapisać za pomocą funkcji F:

\displaystyle\varphi _{t}^{1}=\frac{\partial F}{\partial x}(t,S_{t}),\quad\varphi _{t}^{0}=e^{{-rt}}[F(t,S_{t})-\varphi _{t}^{1}S_{t}].
Uwaga 10.3

Mając taką postać bogactwa strategii V_{t}(\varphi) można się spodziewać, że będziemy potrafili znaleźć jawną postać strategii dopuszczalnej \varphi replikującej wypłatę X=f(S_{T}) dla dużej klasy funkcji f takich, że F dane wzorem (10.7) należy do klasy C^{{1,2}}((0,T)\times R). W szczególności do tej klasy funkcji należą funkcje definiujące opcję kupna i opcję sprzedaży.

Kontrakt forward na kupno akcji. Zajmiemy się teraz kontraktem forward na kupno akcji na rynku Blacka-Scholesa (B,S,\Phi(P^{*})). Jak wiemy, wypłata z takiego kontraktu jest zadana wzorem X=S_{T}-K, gdzie K jest ceną kontraktu forward w chwili 0. Wypłata jest osiągalna, gdyż jest to kombinacja liniowa wypłat osiągalnych. Wiemy też, że

\Pi _{t}(X)=B_{t}E_{{P^{*}}}\Big(\frac{S_{T}-K}{B_{T}}|{\cal F}_{t}\Big). (10.13)

Stąd, ponieważ S^{*} jest P^{*}-martyngałem, mamy

\Pi _{0}(X)=E_{{P^{*}}}\Big(\frac{S_{T}-K}{B_{T}}\Big)=S_{0}-\frac{K}{B_{T}}.

Cena forward to taka wielkość K, że cena kontraktu w chwili 0 jest równa 0, wejście w kontrakt nic nie kosztuje, czyli \Pi _{0}(X)=0, tzn.

K=B_{T}S_{0}=e^{{rT}}S_{0}.

Znając K znajdujemy wartość kontraktu w chwili t korzystając z (10.13):

\Pi _{t}(X)=B_{t}[S_{t}^{*}-KB_{T}^{{-1}}]=S_{t}-B_{{t}}S_{0}=S_{t}-e^{{rt}}S_{0}. (10.14)

A jak wygląda portfel replikujący? Z (10.14) wiemy, że (\varphi^{0},\varphi^{1}) replikuje X gdy \varphi^{0}_{t}B_{t}+\varphi _{t}^{1}S_{t}=S_{t}-e^{{rt}}S_{0}, czyli na przykład gdy \varphi _{t}^{0}=-S_{0}, \varphi _{t}^{1}=1. Ten portfel jest kombinacją portfeli ,,kup i trzymaj” (więc jest samofinansujący się); należy kupić jedną akcję pożyczając z banku kwotę na jej zakup i trzymać ten portfel bez zmian do momentu realizacji kontraktu. W powyższych rozważaniach nie wykorzystywaliśmy własności rynku specyficznych dla rynku Blacka-Scholesa, więc to rozumowanie jest prawdziwe dla dowolnego rynku z czasem ciągłym bez możliwości arbitrażu.

10.2. Wycena opcji europejskich

Zajmiemy się teraz szczególnym przypadkiem funkcji wypłaty, a mianowicie opcjami kupna. Wyprowadzimy sławne wzory Blacka-Scholesa.

Twierdzenie 10.4

Cena arbitrażowa C_{t}=C(S_{t},t,T,K) w chwili t\leq T europejskiej opcji kupna z ceną wykonania K i momentem wykonania T na rynku Blacka-Scholesa jest równa:

C_{t}=c(S_{t},T-t), (10.15)

dla t\in[0,T], przy czym funkcja c\colon\mathbb{R}_{+}\times[0,T]\to\mathbb{R} jest postaci

\displaystyle c(x,t) \displaystyle= \displaystyle xN(d_{1}(x,t))-Ke^{{-rt}}N(d_{2}(x,t)),

gdzie

\displaystyle d_{1}(x,t) \displaystyle= \displaystyle\frac{\ln\frac{x}{K}+(r+\frac{1}{2}\sigma^{2})t}{\sigma\sqrt{t}}, (10.16)
\displaystyle d_{2}(x,t) \displaystyle= \displaystyle d_{1}(x,t)-\sigma\sqrt{t}=\frac{\ln\frac{x}{K}+(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})t}{\sigma\sqrt{t}}, (10.17)

N(\cdot) jest dystrybuantą rozkładu {\cal N}(0,1). Ponadto, dopuszczalna strategia replikująca ma postać

\varphi _{t}^{0}=-Ke^{{-rt}}N(d_{2}(S_{t},T-t)),\quad\varphi _{t}^{1}=N(d_{1}(S_{t},T-t)). (10.18)

Obliczymy F zadane wzorem (10.7) dla funkcji f(x)=(x-K)^{+}. Mamy

\displaystyle F(t,x) \displaystyle= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{\infty}e^{{-r(T-t)}}\Big(xe^{{(r-\frac{\sigma^{2}}{2})(T-t)+\sigma y\sqrt{T-t}}}-K\Big)^{+}e^{{-\frac{y^{2}}{2}}}dy=
\displaystyle= \displaystyle\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{{d_{2}}}e^{{-\sigma y\sqrt{T-t}-\frac{\sigma^{2}}{2}(T-t)}}e^{{-\frac{y^{2}}{2}}}dy-\frac{K}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{{d_{2}}}e^{{-r(T-t)}}e^{{-\frac{y^{2}}{2}}}dy=
\displaystyle= \displaystyle xN(d_{1})-Ke^{{-r(T-t)}}N(d_{2}),

gdzie

\displaystyle d_{1}=d_{1}(x,T-t) \displaystyle= \displaystyle\frac{\ln\frac{x}{K}+(r+\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},
\displaystyle d_{2}=d_{2}(x,T-t) \displaystyle= \displaystyle d_{1}(x,t)-\sigma\sqrt{T-t}=\frac{\ln\frac{x}{K}+(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}.

Korzystając z (10.1) otrzymujemy wzór (10.15). Postać (10.18) strategii dopuszczalnej replikującej wypłatę z opcji kupna otrzymujemy ze wzoru (10.1).

Uwaga 10.4

a) Z tego twierdzenia wynika, że

\displaystyle C_{0}=S_{0}N(d_{1}(S_{0},T))-Ke^{{-rT}}N(d_{2}(S_{0},T)).

b) Portfel replikujący zawiera \frac{\partial C}{\partial S} akcji, jest więc delta zabezpieczeniem (por. wzór (5.8) dla modelu CRR), a ponieważ \varphi _{t}^{1}=N(d_{1}(S_{t},T-t))>0, to portfel replikujący nie korzysta z krótkiej sprzedaży.

Rozważymy teraz opcję sprzedaży. Ponieważ

(S_{T}-K)^{+}-(K-S_{T})^{+}=S_{T}-K,

więc

\Pi _{t}((S_{t}-K)^{+})-\Pi _{t}((K-S_{T})^{+})=\Pi _{t}(S_{T}-K).

Stąd otrzymujemy formułę zgodności ceny opcji kupna i ceny opcji sprzedaży (parytet kupna-sprzedaży):

C(S_{t},t,T,K)-P(S_{t},t,T,K)=S_{t}-Ke^{{-r(T-t)}},\quad t\in[0,T], (10.19)

gdzie C(S_{t},t,T,K)P(S_{t},t,T,K) oznaczają cenę w chwili t odpowiednio opcji kupna i opcji sprzedaży o cenie wykonania K i terminie wykonania T.

Z (10.19) i tw. 10.4 otrzymujemy cenę europejskiej opcji sprzedaży. Przyjmując

p(x,t):=Ke^{{-rt}}N(-d_{2}(x,t))-xN(-d_{1}(x,t)) (10.20)

mamy

Wniosek 10.1

Cena arbitrażowa P_{t}=P(S_{t},t,T,K) w chwili t\in[0,T] europejskiej opcji sprzedaży z ceną wykonania K i momentem wykonania T równa się

P_{t}=p(S_{t},T-t), (10.21)

gdzie p jest zadane wzorem (10.20), a d_{1},d_{2} wzorami (10.16) i (10.17).

Portfel replikujący ma postać

\varphi _{t}^{0}=Ke^{{-rt}}N(-d_{2}(S_{t},T-t)),\quad\varphi _{t}^{1}=-N(-d_{1}(S_{t},T-t)).

Dowód wniosku pozostawimy jako zadanie (ćw. 10.4).

Przykład 10.1

Rozważmy europejską opcję kupna. Termin wygaśnięcia tej opcji upływa za trzy miesiące. Bieżąca cena akcji wynosi 80, cena wykonania 100. Stopa wolna od ryzyka 10\%, \sigma=1{,}5. Obliczymy cenę opcji kupna i wartość opcji sprzedaży z tą samą ceną wykonania.

Skorzystamy ze wzoru (10.15) i parytetu kupna-sprzedaży. Wstawiamy dane: t=0, T=\frac{1}{4}=0{,}25, S_{0}=80, K=100, r=10\%, \sigma=1{,}5 i otrzymujemy C_{0}=18{,}04 oraz P_{0}=18{,}04-80+100e^{{-0{,}1\cdot 0{,}25}}=35{,}57. Cenę P_{0} można też otrzymać nie korzystając z parytetu, wyliczamy ją ze wzoru (10.21).

Uwaga 10.5

Można udowodnić, że w modelu Blacka-Scholesa funkcja F zadająca proces ceny arbitrażowej wypłaty X=f(S_{T}) jest rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego (równania Blacka-Scholesa).

\frac{\partial C}{\partial t}(x,t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}x^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}(x,t)+rx\frac{\partial C}{\partial x}(x,t)-rC(x,t)=0, (10.22)

x>0, t\in(0,T) z warunkiem końcowym F(x,T)=f(x) dla x\geq 0.

To wskazuje, że można się spodziewać, że wzory Blacka-Scholesa można otrzymać korzystając z równań różniczkowych cząstkowych. I tak rzeczywiście jest (patrz ćw. 10.11).

10.3. Analiza wrażliwości cen opcji

. Warto zauważyć, że żadna z wielkości występujących w formułach Blacka-Scholesa nie zależy od oczekiwanej stopy zwrotu inwestora \mu (zatem od jego oceny ryzyka i od jego preferencji). Zależą one natomiast od:
– bieżącej ceny akcji S_{t},
– ceny wykonania K,
– czasu T-t pozostałego do realizacji opcji,
– współczynnika zmienności \sigma,
– stopy procentowej bez ryzyka r.
Osoby zarządzające ryzykiem w instytucjach finansowych są zainteresowane tym, jak bardzo mogą zmienić się ceny opcji w ich portfelach inwestycyjnych, gdy zmienia się dokładnie jeden z powyższych parametrów, gdyż takie zmiany mają wpływ na wartość całego portfela. Zbadamy teraz pod tym kątem własności ceny opcji kupna. Dla prostoty rozważymy cenę opcji w chwili zero, tj.

C=C_{0}=C(S_{0},0,T,K)=C(s,0,T,K,\sigma,r),

gdzie s=S_{0}. Zbadamy, jak zmienia się cena opcji, gdy zmieniamy jeden parametr, a pozostałe są zamrożone. Będziemy korzystali z jawnej postaci wzoru na cenę opcji kupna (10.15) lub z przedstawienia

C=E_{{P^{*}}}(se^{Y}-Ke^{{-rT}})^{+},\quad\hbox{ gdzie }\  Y\sim{\cal N}(-\frac{\sigma^{2}T}{2},\sigma^{2}T). (10.23)

Teraz przeanalizujemy zależność funkcji C od czynników wymienionych powyżej. Okazuje się, że

  • a) Funkcja C jest funkcją rosnącą jako funkcja zmiennej s — bieżącej ceny akcji.

  • b) Funkcja C jest malejąca jako funkcja zmiennej K — ceny wykonania.

  • c) Funkcja C jest funkcją rosnącą jako funkcja czasu pozostałego do realizacji opcji.

  • d) Funkcja C jest rosnąca jako funkcja zmiennej \sigma — współczynnika zmienności.

  • e) Funkcja C jest rosnąca jako funkcja zmiennej r — stopy procentowej bez ryzyka.

Ćwiczenie 10.1

Udowodnić powyższe stwierdzenia

Rozwiązanie: 
  • a) Y nie zależy od s, więc prawa strona (10.23) rośnie wtedy, gdy s rośnie. Własność ta oznacza, że cena opcji rośnie gdy wartość początkowa akcji rośnie.

  • b) Własność ta wynika z faktu, że prawa strona (10.23) maleje względem K. Jest to intuicyjnie oczywiste, bo wartość wypłaty z opcji (S_{T}-K)^{+} jest większa, gdy K zmniejszymy.

  • c) Zaczniemy od uzasadnienia intuicyjnego. Jak wiemy na rynku dyskretnym cena europejskiej opcji kupna równa jest cenie amerykańskiej opcji kupna. Tego samego możemy oczekiwać dla modelu z czasem ciągłym, a dla opcji amerykańskiej wydłużenie czasu opcji zwiększa jej wartość (nabywca opcji ma więcej praw). Rachunek formalny — obliczamy pochodną:

    \frac{\partial C}{\partial T}=se^{{-\frac{d_{1}^{2}}{2}}}\frac{\sigma}{2\sqrt{2\pi T}}+rKe^{{-rT}}N(d_{2})>0.
  • d) Nabywca opcji zyskuje, gdy cena opcji bardzo wzrośnie w momencie wykonania, natomiast nie ma znaczenia spadek ceny poniżej ceny wykonania K, bowiem i tak nabywca opcji nic wtedy nie dostaje. Formalnie:

    \frac{\partial C}{\partial\sigma}=se^{{-\frac{d_{1}^{2}}{2}}}\frac{\sqrt{T}}{2\sqrt{2\pi}}>0. (10.24)
  • e) Istotnie, wyrażenie pod znakiem całki w (10.23) rośnie, gdy r rośnie, bo odjemna nie zależy od r, a odjemnik maleje. Inne uzasadnienie tego faktu wynika z dodatniości pochodnej

    \frac{\partial C}{\partial r}=TKe^{{-rT}}N(d_{2})>0.

10.4. Szukanie współczynnika zmienności ceny akcji.

W praktyce, by obliczyć cenę opcji musimy znać współczynnik zmienności \sigma. Jest to wielkość rynkowa i trzeba ją znaleźć patrząc na zachowanie rynku. W tym celu powszechnie stosowane są dwie metody:

a) metoda zmienności historycznej (historic volatility) — estymacja \sigma z danych z przeszłości,

b) metoda zmienności implikowanej (implied volatility).

Omówimy je kolejno.

Ad a). Metoda ta opiera się na danych z rynku — danych historycznych. Aby estymować \sigma obserwujemy ceny w ustalonych okresach czasu o równej długości (np. codziennie, co tydzień itp.). Oznaczmy:

n — liczba obserwacji; obserwacji dokonujemy w chwilach t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}, takich, że odstępy czasu pomiędzy obserwacjami są równe,

\tau — długość przedziału czasu pomiędzy obserwacjami (liczona w latach),

s_{i} — zaobserwowana cena akcji na końcu i-tego przedziału czasu (i=1,\dots,n).

Niech \bar{S}_{i} będzie teoretyczną ceną akcji na końcu i-tego przedziału, tj. \bar{S}_{i}=S_{{t_{i}}} i niech

U_{i}=\ln\frac{\bar{S}_{i}}{\bar{S}_{{i-1}}}

— są to tzw. logarytmiczne zwroty cen. Wtedy \bar{S}_{i}=\bar{S}_{{i-1}}e^{{U_{i}}}, czyli U_{i} jest ciągłą stopą zwrotu w i-tym przedziale (ale nie w skali roku). Ponieważ założyliśmy, że rynek opisuje model Blacka-Scholesa, więc ze wzoru (9.5) wynika, że U_{i} są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym z wariancją \sigma^{2}\tau i wartością średnią (\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}) zależną od preferencji inwestora (rynku).

Z rynku mamy obserwacje cen, czyli wielkości s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}, a stąd możemy wyznaczyć wielkości u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}. Odchylenie standardowe zmiennej losowej U_{i} jest równe \sigma\sqrt{\tau}, a estymatorem odchylenia standardowego U_{i} niezależnym od wartości średniej jest statystyka

\widehat{\sigma}_{U}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{{i=1}}^{n}(u_{i}-\bar{u})^{2}},

gdzie \bar{u}=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}u_{i}. Podkreślmy, że ten estymator nie zależy od wartości średniej. Zatem \widehat{\sigma}_{U} estymuje \sigma\sqrt{\tau}. Stąd współczynnik zmienności \sigma jest estymowany przez \widehat{\sigma}=\frac{\widehat{\sigma _{U}}}{\sqrt{\tau}}. Błąd standardowy tej estymacji wynosi w przybliżeniu \frac{\widehat{\sigma}}{\sqrt{2n}}.

Wybranie właściwego n nie jest łatwe. Im większe n, tym lepszy estymator, ale używamy starszych danych, a jak powszechnie wiadomo, model Blacka-Scholesa w miarę poprawnie opisuje rynek dla krótkich okresów czasu. Z badań empirycznych wynika, że dla długich okresów czasu \sigma zmienia się w czasie (nie jest stacjonarne). Zawsze szacowanie przyszłej wartości \sigma na podstawie przeszłości obarczone jest błędem. Należy wybrać taki okres czasu, by estymator miał dobre własności i jednocześnie na tyle krótki, że założenie, iż rynek jest opisany przez model Blacka-Scholesa można zaakceptować. Na ogół przyjęcie długości okresu czasu używanego do estymacji jest dyktowane doświadczeniem osoby wykonującej takie szacowania. Podkreślmy jeszcze raz, że stosując metodę historyczną zakładamy, że parametr \sigma nie zmieni się w czasie, a więc metoda ta nie uwzględnia możliwych zmian wielkości parametru \sigma (czyli tego, że po pewnym czasie rynek opisuje model Blacka-Scholesa z inną zmiennością).

Ad b). Metoda zmienności implikowanej opiera się na przekonaniu, że zmienność jest zdeterminowana przez rynek.

Z (10.24) wynika, że cena opcji jest rosnącą funkcją parametru \sigma, gdy pozostałe czynniki są stałe. Zatem znając z rynku wielkości: S_{t} (cena akcji), K, T-t, rC_{{obs}}=C_{{obs}}(S_{t},t,T,K,r) (cena opcji obserwowana na rynku) możemy znaleźć tę wartość \sigma, przy której cena teoretyczna opcji jest równa cenie rynkowej, czyli tę wartość \sigma dla której C_{{obs}}=C_{t}. Dokładniej, zakładamy, że r,t,T,K,S_{t} są ustalone i znane. Jak wiemy

C_{t}=C(S_{t},t,T,K,\sigma,r)=S_{t}N(d_{1}(S_{t},T-t))-Ke^{{-r(T-t)}}N(d_{2}(S_{t},T-t)).
Definicja 10.1

Zmiennością implikowaną \sigma _{{imp}}=\sigma _{{imp}}(K,T) nazywa się tę dodatnią wielkość I, dla której

C_{{obs}}(t,T,K)=C(S_{t},t,T,K,I,r). (10.25)

Inaczej mówiąc, \sigma _{{imp}} jest tą wielkością odchylenia standardowego stopy zwrotu z akcji, która przy zastosowaniu wzoru Blacka-Scholesa daje cenę teoretyczną opcji równą cenie opcji na rynku. Gdy C_{{obs}}(S_{t},t,T,K,r)>\lim _{{\sigma\rightarrow 0^{+}}}C(S_{t},t,T,K,\sigma,r), to istnieje dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie (10.25), co wynika z (10.24). Zmienność implikowana \sigma _{{imp}} jest rozwiązaniem tego nieliniowego równania (10.25). Rozważamy to w obecnej chwili t, znamy S_{t}, więc bez straty ogólności możemy założyć, że t=0.

Gdy ustalimy czas do wygaśnięcia opcji T i gdy rynek jest opisany przez model Blacka-Scholesa to \sigma _{{imp}} powinno być stałe i równe \sigma z modelu. W rzeczywistości, gdy używa się opcji o różnych cenach wykonania dla tej samej akcji, czyli rozpatrujemy funkcję K\to\sigma _{{imp}}(K) (implikowana krzywa zmienności), to \sigma _{{imp}} jako funkcja K nie jest stałą, ma miejsce tzw. efekt uśmiechu zmienności (implikowana krzywa zmienności jest wypukła i ma minimum). W praktyce otrzymuje się różne kształty wykresu funkcji. Stąd jedną z metod znajdowania zmienności implikowanej dla rynku jest branie odpowiednio ważonej średniej ze współczynników zmienności implikowanej obliczanych dla różnych opcji, przy czym najlepiej brać te opcje, których cena jest bardziej czuła na zmiany parametru \sigma. Inną metodą jest wybór \sigma _{{imp}}, w taki sposób by ceny teoretyczne n wybranych opcji były jak najbliższe cen rynkowych tych opcji, tj. by

C_{{obs}}(t,T_{i},K_{i})\approx C(S_{t},t,T_{i},K_{i},\sigma _{{imp}},r)

dla i=1,\ldots,n. Zwykle wybiera się kryterium metody najmniejszych kwadratów, by ocenić, co to znaczy najbliższe, tj. rozwiązuje się problem minimalizacji

\min _{\sigma}\sum _{{i=1}}^{n}(C_{{obs}}^{i}-C^{i})^{2},

gdzie C_{{obs}}^{i}=C_{{obs}}(t,T_{i},K_{i}), C^{i}=C(S_{t},t,T_{i},K_{i},\sigma,r) i jako \sigma _{{imp}} przyjmuje się \sigma rozwiązujące ten problem. Jeszcze innym wyjściem jest taka modyfikacja modelu, w której parametr \sigma przestaje być stały (są to modele stochastycznej zmienności).

Uwaga 10.6

Z parytetu (który także wynika z argumentów arbitrażowych, a nie z konkretnego modelu) można oczekiwać, że zmienność implikowana wyznaczona za pomocą opcji sprzedaży (odpowiednik wzoru (10.25) zastosowany do P_{{obs}}(S_{0},T,K,r)P(S_{0},T,K,\sigma,r)) będzie równa zmienności implikowanej wyznaczonej za pomocą opcji kupna z tymi samymi K,T (patrz ćw. 10.12).

Uwaga 10.7

Z (10.19) wynika, że jeżeli rynek wycenia aktywa zgodnie z modelem Blacka-Scholesa i cena opcji kupna na rynku rośnie, to i cena opcji sprzedaży (oczywiście dla tych samych S_{0},T,K) rośnie.

Z punktu widzenia praktyka można zapytać: po co szukać \sigma, przecież na rynku mamy ceny opcji kupna i sprzedaży zadane przez prawo popytu i podaży na rynku. Do handlowania tymi opcjami nie trzeba znać \sigma. To prawda, ale mając \sigma mamy dobrze opisany model cen i model rynku. Wtedy potrafimy wyceniać opcje egzotyczne i opcje tworzone na żądanie, których ceny nie są dostępne na rynku w każdej chwili, gdyż nie są to instrumenty płynne (dokładniej, możemy wtedy zastosować procedury, najczęściej przybliżone, konstruowane w celu wyceny opcji egzotycznych, patrz 11.2). Ponadto znajomość współczynnika zmienności \sigma jest niezbędna do konstruowania portfeli zabezpieczających.

Warto podkreślić, że procedura znajdowania wielkości implikowanych była możliwa, gdyż znaliśmy jawny wzór na ceny opcji i mogliśmy go odwrócić. Stąd widać jak ważne są w tym modelu rynku który konstruujemy jawne wzory na ceny instrumentów którymi handlujemy.

10.5. Opcje na instrument bazowy płacący dywidendy. Opcje walutowe

Rozważymy teraz opcje na akcje płacące dywidendy (wzór Mertona z roku 1973). Zaczniemy od rozumowania nieformalnego.

Niech akcja o cenie równej S_{t} płaci dywidendę z ciągłą stopą q w skali roku, proporcjonalną do poziomu ceny (sensowność takiego spojrzenia uzasadnili Samuelson [Sam] oraz Samuelson i Merton [Sam-M], q jest stałą. Wypłata dywidendy powoduje spadek ceny akcji (część wartości idzie na dywidendę). Zatem jeśli cena akcji wzrośnie z S_{t} do S_{T}, to gdyby nie było dywidendy, cena akcji wzrosłaby w okresie od t do T do wielkości S_{T}e^{{q(T-t)}}. Stąd cena opcji europejskiej na akcję o wartości S_{t} w chwili t płacącą dywidendę q jest równa cenie opcji na akcję nie płacącą dywidendy o cenie w chwili t równej S_{t}e^{{-q(T-t)}}, gdyż obie opcje wypłacają tyle samo w momencie T (korzystamy z prawa jednej ceny). Możemy zatem użyć wzorów Blacka-Scholesa zmniejszając cenę akcji do S_{t}e^{{-q(T-t)}} i otrzymane w ten sposób wzory będą dawały ceny opcji na akcje płacące dywidendy.

Wyprowadzimy teraz te wzory formalnie. Rozpatrzmy rynek, na którym jest rachunek bankowy i akcja płacąca dywidendy o cenie zadanej, jak zawsze w modelu Blacka-Scholesa, wzorem

dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},\quad\sigma>0,\quad\mu\in\mathbb{R}. (10.26)

Z założenia, proces wartości dywidendy D_{t} jest określony przez

dD_{t}=qS_{t}dt,

ale proces D_{t} nie jest aktywem, którym handlujemy, zatem trzeba dywidendę zainwestować w rynek: kupić akcje lub umieścić ją na rachunku bankowym. Biorąc pod uwagę dywidendę mówimy, że strategia (\varphi^{0},\varphi^{1}) jest samofinansującą się, gdy proces bogactwa

V_{t}(\varphi)=\varphi _{t}^{1}S_{t}+\varphi _{t}^{0}B_{t}

spełnia równanie:

dV_{t}(\varphi)=\varphi _{t}^{1}dS_{t}+\varphi _{t}^{1}dD_{t}+\varphi _{t}^{0}dB_{t}, (10.27)

a więc (z postaci S_{t}D_{t}) otrzymujemy

dV_{t}(\varphi)=\varphi _{t}^{1}(\mu+q)S_{t}dt+\sigma\varphi^{1}_{t}S_{t}dW_{t}+\varphi _{t}^{0}dB_{t}. (10.28)

Rozpatrzmy proces \bar{S_{t}}=e^{{qt}}S_{t} (intuicyjnie \bar{S_{t}} jest procesem ceny akcji zwiększonym o stratę wynikającą z wypłaty dywidendy z ciągłą stopą q). Ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy, że \bar{S_{t}} spełnia

d\bar{S_{t}}=(\mu+q)\bar{S_{t}}dt+\sigma\bar{S_{t}}dW_{t}. (10.29)

Stąd \bar{S_{t}^{*}}=\frac{\bar{S_{t}}}{B_{t}}, czyli zdyskontowany proces \bar{S_{t}} spełnia

d\bar{S^{*}_{t}}=(\mu+q-r)\bar{S^{*}_{t}}dt+\sigma\bar{S_{t}^{*}}dW_{t}. (10.30)

Zmieniając miarę na równoważną miarę probabilistyczną Q o gęstości

\frac{dQ}{dP}=\exp\Big(\frac{r-\mu-q}{\sigma}W_{T}-\frac{1}{2}\Big(\frac{r-\mu-q}{\sigma}\Big)^{2}T\Big) (10.31)

i korzystając z tego, że

\overline{W}_{t}=W_{t}-\frac{r-\mu-q}{\sigma}t

jest procesem Wienera na (\Omega,{\cal F},Q) względem ({\cal F}_{t})_{t} otrzymujemy z (10.30):

d\bar{S_{t}^{*}}=\sigma\bar{S_{t}^{*}}d\overline{W}_{t}. (10.32)

Zbadajmy teraz dynamikę procesu wartości portfela \varphi spełniającego (10.28). Ze wzoru Itô i z (10.29) mamy

dV_{t}(\varphi)=\varphi _{t}^{1}e^{{-qt}}d\bar{S_{t}}+\varphi _{t}^{0}dB_{t}. (10.33)

Dalej ze wzoru na całkowanie przez części, z (10.33) i (10.32) mamy

dV_{t}^{*}(\varphi)=\varphi _{t}^{1}e^{{-qt}}d\bar{S_{t}^{*}}=\varphi _{t}^{1}\sigma S_{t}^{*}d\overline{W}_{t}, (10.34)

więc proces V_{t}^{*}(\varphi) jest Q-lokalnym martyngałem. Dlatego na rynku, na którym handlujemy akcją płacącą dywidendy oraz istnieje rachunek bankowy można w standardowy sposób zdefiniować zbiór strategii dopuszczalnych \Phi^{d}(Q), arbitraż i model rynku bez możliwości arbitrażu (B,S,\Phi^{d}(Q)). Powtarzając poprzednie rozumowania otrzymujemy wzory na ceny opcji kupna na tym rynku:

C_{t}^{q}=B_{t}E_{Q}\Big(\frac{(S_{T}-K)^{+}}{B_{T}}\Big|{\cal F}_{t}\Big)=e^{{-qT}}e^{{-r(T-t)}}E_{Q}((\bar{S_{T}}-e^{{qT}}K)^{+}|{\cal F}_{t}).

A ponieważ \bar{S}^{*} jest Q-martyngałem, więc możemy powtórzyć rozumowanie przeprowadzone dla rynku Blacka-Scholesa albo starannie przyglądając się tamtym rachunkom zobaczyć, że

C_{t}^{q}=e^{{-qT}}C(\bar{S_{t}},t,T,Ke^{{qT}}),

gdzie C jest wzorem dającym wycenę opcji kupna w modelu Blacka-Scholesa. W ten sposób otrzymujemy wzory Mertona:

Twierdzenie 10.5

Cena arbitrażowa C^{q}_{t} w chwili t\leq T europejskiej opcji kupna na akcję płacącą dywidendę z ciągłą stopą q w skali roku proporcjonalną do poziomu ceny jest równa:

\displaystyle C_{t}^{q} \displaystyle= \displaystyle S_{t}e^{{-q(T-t)}}N(\bar{d_{1}})-Ke^{{-r(T-t)}}N(\bar{d_{2}}), (10.35)
\displaystyle P_{t}^{q} \displaystyle= \displaystyle Ke^{{-r(T-t)}}N(-\bar{d_{2}})-S_{t}e^{{-q(T-t)}}N(-\bar{d_{1}}), (10.36)

gdzie K jest ceną wykonania, T momentem wykonania opcji,

\displaystyle\bar{d_{1}} \displaystyle= \displaystyle\bar{d_{1}}(S_{t},T-t)= (10.37)
\displaystyle= \displaystyle d_{1}(\bar{S}_{t},T-t)=\frac{\ln\frac{S_{t}e^{{qt}}}{Ke^{{qT}}}+(r+\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=
\displaystyle= \displaystyle\frac{\ln\frac{S_{t}}{K}+(r-q+\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},
\displaystyle\bar{d_{2}} \displaystyle= \displaystyle\bar{d_{2}}(S_{t},T-t)=\bar{d_{1}}-\sigma\sqrt{T-t}. (10.38)

Podkreślmy jeszcze raz, że wzory wyprowadziliśmy przy założeniu, że wypłacana dywidenda jest stała. Gdy q zmienia się, to jako przybliżenie q należy wziąć średnią z rocznych stóp. Stopa dywidendy q, którą można otrzymać z danych historycznych, zmienia się nieznacznie w ciągu kwartału, zatem dla opcji o krótkim terminie zapadalności można zakładać, że stopa q jest stała. W rzeczywistości założenie, że pojedyncza spółka płaci dywidendę zgodnie z modelem Samuelsona jest nierealistyczne. Ale okazuje się, że ten model można stosować z powodzeniem do indeksów giełdowych. W tym celu zakładamy, że indeks jest opisywany przez geometryczny proces Wienera. Teoretycznie tak nie musi być, bo jest to średnia ważona procesów cen, które są geometrycznymi procesami Wienera. Ale dla zastosowań praktycznych taki model jest sensowny i dobrze przybliża rzeczywistość.

Przykład 10.2

Europejska opcja sprzedaży i kupna na indeks S&P500 ma termin zapadalności 1 miesiąc. Obecna wartość indeksu wynosi 200, cena wykonania 210, stopa procentowa bez ryzyka jest równa 5% p.a., a zmienność indeksu 10% p.a. średnia dywidenda wynosi 3% p.a. Ceny opcji C^{q},P^{q} obliczamy korzystając ze wzorów: (10.35) i (10.35) dla danych: t=0,T=1 miesiąc =1/12,S_{0}=200,K=210,r=5\%,\sigma=10\%,q=3\% i otrzymujemy: C^{q}_{0}=17{,}29, P^{q}_{0}=4{,}85.

Opcje walutowe. Wzory Mertona (10.35) i (10.36) można zastosować do wyceny opcji walutowych, czyli opcji wystawianych na walutę zagraniczną a wycenianych w walucie krajowej. Cena waluty zagranicznej S jest po prostu kursem wymiany i jest zadana wzorem (9.2) z odpowiednio dobranymi \mu, \sigma. Posiadacz waluty zagranicznej otrzymuje dywidendę q, która jest stopą procentową bez ryzyka r_{f} dla tej waluty. Zatem można zastosować wzory (10.35) i (10.36) dla q=r_{f}. Jak łatwo zauważyć (patrz ćw. 10.13), cena kontraktu forward w chwili t na dostawę jednostki waluty zagranicznej w momencie T przy kursie wymiany S_{t} wynosi:

F_{t}=F_{S}(t,T)=e^{{(r-r_{f})(T-t)}}S_{t}. (10.39)

Korzystając z tego otrzymujemy wzory Garmana-Kohlhagena, niezależnie otrzymane przez Bigera i Hulla (1983), na ceny (w walucie krajowej) opcji kupna i sprzedaży wystawianych na walutę obcą:

\displaystyle C_{t}^{{r_{f}}} \displaystyle= \displaystyle S_{t}e^{{-r_{f}(T-t)}}N(\bar{d_{1}})-Ke^{{-r(T-t)}}N(\bar{d_{2}})=e^{{-r(T-t)}}[F_{t}N(\bar{d_{1}})-KN(\bar{d_{2}})],
\displaystyle P_{t}^{{r_{f}}} \displaystyle= \displaystyle Ke^{{-r(T-t)}}N(-\bar{d_{2}})-S_{t}e^{{-r_{f}(T-t)}}N(-\bar{d_{1}})=
\displaystyle= \displaystyle e^{{-r(T-t)}}[KN(-\bar{d_{2}})-F_{t}N(-\bar{d_{1}})],

gdzie

\displaystyle\bar{d_{1}} \displaystyle= \displaystyle\bar{d_{1}}(F_{t},T-t)=\frac{\ln\frac{F_{t}}{K}+\frac{\sigma^{2}}{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},
\displaystyle\bar{d_{2}} \displaystyle= \displaystyle\bar{d_{2}}(F_{t},T-t)=\frac{\ln\frac{F_{t}}{K}-\frac{\sigma^{2}}{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}.

W standardowy sposób można otrzymać cenę w walucie krajowej dowolnej wypłaty X na rynku zagranicznym. Oczywiście jest ona równa cenie tej wypłaty w walucie zagranicznej (patrz ćw. 10.14).

Jak wiemy ze wzoru (10.39) cena forward w chwili 0 na dostawę jednostki waluty zagranicznej w momencie T przy kursie wymiany S wynosi:

F_{0}=e^{{(r-r_{f})T}}S_{0}=E_{Q}S_{T},

gdzie Q jest miarą martyngałową dla S^{*}. Gdy wymieniamy walutę zagraniczną na krajową, to kurs wymiany jest procesem \frac{1}{S} i jego dynamika przy jego mierze martyngałowej \overline{Q} (czyli przy mierze martyngałowej na rynku zagranicznym) jest równa

d\Big(\frac{1}{S_{t}}\Big)=(r-r_{f})\frac{1}{S_{t}}dt+\sigma\frac{1}{S_{t}}d\overline{W}_{t}, (10.40)

gdzie \overline{W} jest procesem Wienera przy mierze martyngałowej \overline{Q}. Zatem cena forward jednostki waluty krajowej (w jednostkach waluty zagranicznej) jest równa

\overline{F}_{0}=e^{{(r-r_{f})(T-t)}}\frac{1}{S_{0}}=E_{{\overline{Q}}}\Big(\frac{1}{S_{T}}\Big),

a stąd wynika, że ceny forward są, jak należało oczekiwać na rynku bez możliwości arbitrażu, zgodne.

\overline{F}_{0}=\frac{1}{F_{0}}. (10.41)

Ale cena forward na dostawę jednej jednostki waluty zagranicznej w chwili T nie jest na ogół nieobciążonym estymatorem wartości kursu wymiany w chwili T. Jest to tzw. paradoks Siegela (patrz ćw. 10.15).

10.6. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 10.2

Czy na klasycznym rynku Blacka-Scholesa cena opcji kupna równa 40 i opcji sprzedaży równa 30 o terminie zapadalności 1 rok z ceną wykonania 38 przy obecnej cenie waloru 45 i współczynniku zmienności równym 20% stwarzają możliwość arbitrażu? Stopa procentowa bez ryzyka wynosi 10% dla wszystkich terminów do jednego roku. W przypadku istnienia arbitrażu, opisać go.

Rozwiązanie: 

Ponieważ C_{0}-P_{0}<S_{0}-Ke^{{-rT}}, więc nie zachodzi parytet, zatem istnieje arbitraż, np. sprzedajemy krótko akcję, sprzedajemy opcję sprzedaży i kupujemy opcję kupna.

Ćwiczenie 10.3

Zbadać zachowanie ceny opcji europejskiej gdy \sigma\to 0.

Rozwiązanie: 

Gdy S_{0}>Ke^{{-rT}}, to d_{1}\to\infty, d_{2}\to\infty gdy \sigma\to 0 oraz

\lim _{{\sigma\to 0}}C(S_{0},T,K,\sigma,r)=S_{0}-Ke^{{-rT}} (10.42)

Gdy S_{0}=Ke^{{-rT}}, to \lim _{{\sigma\to 0}}d_{1}=0,\lim _{{\sigma\to 0}}d_{2}=0 i zachodzi (10.42).

Gdy S_{0}<Ke^{{-rT}}, to d_{1}\to-\infty, d_{2}\to-\infty\lim _{{\sigma\to 0}}C(S_{0},T,K,\sigma,r)=0.

Warto zauważyć, że gdy S_{t}=S_{0}e^{{rt}} (\sigma=0 i cena rośnie zgodnie ze stopą bez ryzyka), to cena europejskiej opcji kupna jest równa

e^{{-rT}}\max(S_{0}e^{{rT}}-K,0)=\max(S_{0}-Ke^{{-rT}},0),

i jest jednocześnie równa wielkości otrzymanej z przejścia granicznego (\sigma\to 0) we wzorach Blacka-Scholesa.

Ćwiczenie 10.4

Udowodnić wniosek 10.1, dający cenę europejskiej opcji sprzedaży.

Ćwiczenie 10.5

Znaleźć strategię dopuszczalną replikującą wypłatę z europejskiej opcji sprzedaży.

Ćwiczenie 10.6

Udowodnić, że cena europejskiej opcji:

a) kupna,

b) sprzedaży

jest funkcją wypukłą i spełnia warunek Lipschitza jako funkcja ceny wykonania.

Ćwiczenie 10.7

Udowodnić, że cena europejskiej opcji:

a) kupna,

b) sprzedaży

jest funkcją wypukłą i spełnia warunek Lipschitza jako funkcja bieżącej ceny akcji.

Ćwiczenie 10.8

Znaleźć cenę wypłaty

X=\max(\min(K_{{1}},S_{{T}}),K_{{2}})-K_{3}.

gdzie K_{1}, K_{2}K_{3} są stałymi.

Wskazówka: 

Patrz przykł. 4.1.

Ćwiczenie 10.9

Powiemy, że V_{t} reprezentuje wartość instrumentu, którym handluje się na rynku Blacka-Scholesa, gdy V_{t}^{*}=\frac{V_{t}}{B_{t}} jest P^{*}-martyngałem (gdzie P^{*} jest miarą martyngałową dla S^{*}).

a) Wykazać, że X_{t}=S_{t}^{\beta} dla \beta>1 nie reprezentuje instrumentu, którym się handluje.

b) Dla jakiego \alpha proces Z_{t}=S_{t}^{\alpha} reprezentuje wartość instrumentu, którym się handluje?

Ćwiczenie 10.10

Udowodnić, że w modelu Blacka-Scholesa cena wypłaty postaci X=g(S_{T}), gdzie g\in C^{2}, g(0)=0 jest równa

\Pi _{0}(X)=S_{0}g^{{\prime}}(0)+\int _{0}^{\infty}C_{T}(y)g^{{\prime\prime}}(y)dy, (10.43)

gdzie C_{T}(y) jest ceną arbitrażową europejskiej opcji kupna akcji o cenie S z terminem wykonania T i ceną wykonania y.

Ćwiczenie 10.11

Udowodnić, że w modelu Blacka-Scholesa funkcja C zadająca proces ceny opcji kupna C_{t}=C(S_{t},t) jest rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego (równania Blacka-Scholesa).

\frac{\partial C}{\partial t}(x,t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}x^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}(x,t)+rx\frac{\partial C}{\partial x}(x,t)-rC(x,t)=0, (10.44)

x>0, t\in(0,T) z warunkiem końcowym C(x,T)=(x-K)^{+} dla x\geq 0 oraz warunkiem brzegowym C(0,t)=0 dla t\in[0,T] (bo wypłata zerowa nic nie kosztuje).

Rozwiązanie: 

Z tw. 10.4 wiemy, że C_{t}=C(S_{t},t), C\in C^{{1,2}}((0,T)\times\mathbb{R}). Ze wzoru Itô dla C_{t}^{*}=\frac{C(S_{t},t)}{B_{t}} mamy

\displaystyle dC_{t}^{*} \displaystyle= \displaystyle B_{t}^{{-1}}dC(S_{t},t)+C(S_{t},t)dB_{t}^{{-1}}=
\displaystyle= \displaystyle B_{t}^{{-1}}\Big[\frac{\partial C}{\partial t}(S_{t},t)dt+\frac{\partial C}{\partial x}(S_{t},t)(rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}(S_{t},t)\sigma^{2}S_{t}^{2}dt\Big]\,+
\displaystyle-\, C(S_{t},t)rB_{t}^{{-1}}dt=
\displaystyle= \displaystyle B_{t}^{{-1}}\Big[\frac{\partial C}{\partial t}(S_{t},t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}S_{t}^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}(S_{t},t)+\frac{\partial C}{\partial x}(S_{t},t)rS_{t}-C(S_{t},t)r\Big]dt+
\displaystyle+\, B_{t}^{{-1}}\sigma S_{t}\frac{\partial C}{\partial x}(S_{t},t)dW_{t}.

Ponieważ C_{t}^{*} jest P^{*}-martyngałem, więc całka Lebesgue'a musi znikać i cena C spełnia (10.44). Warunki końcowy i brzegowy są oczywiste. Warto zauważyć, że w tym dowodzie nie wykorzystywaliśmy postaci funkcji C, a tylko wiedzę że C\in C^{{1,2}}((0,T)\times R).

Ćwiczenie 10.12

Udowodnić, że {\sigma}_{{imp}} wyznaczona za pomocą wzoru (10.25) spełnia

P_{{obs}}=P(S_{t},t,T,K,\sigma _{{imp}},r).
Rozwiązanie: 

Z parytetu wynika, że

C_{{obs}}-P_{{obs}}=S_{t}-Ke^{{-(T-t)}}

(w przeciwnym przypadku istnieje arbitraż) oraz C_{t}-P_{t}=S_{t}-Ke^{{-(T-t)}}. Stąd

C_{{obs}}-C_{t}=P_{{obs}}-P_{t}. (10.45)

Dla \sigma={\sigma}_{{imp}} lewa strona (10.45) jest równa zeru, więc i prawa.

Ćwiczenie 10.13

Znaleźć cenę forward dla kursu walutowego.

Rozwiązanie: 

Rozważmy portfel składający się w chwili zero z \frac{1}{S_{0}} jednostek waluty zagranicznej, -1 jednostek waluty krajowej i -\frac{1}{S_{0}}\exp{r_{f}T} kontraktów forward na otrzymanie jednej jednostki waluty zagranicznej z ceną forward w chwili 0 równą K. Nie zmieniamy tego portfela do chwili T. Wartość tego portfela w walucie krajowej w chwili 0 i T wynosi:

\displaystyle V_{0}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle\frac{1}{S_{0}}{S_{0}}-1=0,
\displaystyle V_{T}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle\frac{1}{S_{0}}e^{{r_{f}T}}{S_{T}}-e^{{rT}}-(S_{T}-K)\frac{1}{S_{0}}\exp{r_{f}T}=
\displaystyle= \displaystyle-e^{{rT}}+K\frac{1}{S_{0}}\exp{r_{f}T}={\rm const}.

Ponieważ na rynku nie ma możliwości arbitrażu, więc musi być V_{T}(\varphi)=0, a stąd

F_{0}=K=e^{{(r-r_{f})T}}S_{0}.
Ćwiczenie 10.14

Udowodnić, że w chwili 0 cena opcji walutowej o wypłacie X jest identyczna w walucie krajowej i zagranicznej.

Rozwiązanie: 

(szkic). Jak wiemy, cena obcej waluty S jest kursem wymiany i przy mierze martyngałowej Q jest zadana równaniem

dS_{t}=(r-r_{f})S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},

W jest Q-procesem Wienera i cena opcji w chwili 0 wynosi E_{Q}(Xe^{{-rT}}). Z punktu widzenia posiadacza waluty zagranicznej kurs wymiany jest procesem Z={=}1/S_{t}, instrument bez ryzyka spełnia równanie dD_{t}=r_{f}D_{t}dt, a wypłata z opcji wynosi XS_{T}^{{-1}}. Naśladując postępowanie przeprowadzone dla akcji z dywidendą, otrzymujemy, że miara martyngałowa \overline{Q} dla procesu cen Z spełnia

dQ=\exp\Big(-\sigma\overline{W}_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}T\Big)d\overline{Q},

gdzie \overline{W}_{t}=W_{t}-\sigma t jest \overline{Q}-procesem Wienera. Cena wypłaty w walucie zagranicznej wynosi E_{{\overline{Q}}}(XS_{T}^{{-1}}e^{{-r_{f}T}}) i sprawdzamy, że

S_{0}e^{{-r_{f}T}}E_{{\overline{Q}}}(XS_{T}^{{-1}})=e^{{-rT}}E_{Q}X,

korzystając z tego, że potrafimy znaleźć postać Z:

Z_{T}=Z_{0}e^{{(q-r-\frac{1}{2}\sigma^{2})T-\sigma{\bar{W}}_{T})}}.
Ćwiczenie 10.15

a) Udowodnić wzór (10.40).

b) Wyjaśnić paradoks Siegela.

Rozwiązanie: 

a) Proces 1/S jest procesem Z z ćw. 10.14.

b) Nie wprost. Załóżmy, że jest to estymator nieobciążony. Wtedy dla prawdopodobieństwa rzeczywistego P otrzymalibyśmy F(0)=E_{P}(S_{T}) dla waluty krajowej i 1/F(0)=E_{P}(S_{T}) dla waluty zagranicznej. Zatem

\frac{1}{E_{P}S_{T}}=E_{P}\Big(\frac{1}{S_{T}}\Big), (10.46)

sprzeczność z nierównością Jensena (funkcja \frac{1}{x} jest wypukła). Zatem estymator nieobciążony dla waluty krajowej nie może być estymatorem nieobciążonym dla waluty zagranicznej i na odwrót. Równość (10.46) zachodzi tylko w świecie deterministycznym, czyli gdy \sigma=0.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.