Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 12. Rynek Blacka-Scholesa kontraktów futures – MIM UW

Zagadnienia

12. Rynek Blacka-Scholesa kontraktów futures

Celem tego paragrafu będzie przedstawienie metody wyceny opcji na kontrakty futures. Gdy rozważamy instrument o cenie S, to na rynku bez możliwości arbitrażu cena (kurs rozliczeniowy) f_{S}(t,T) kontraktu futures z datą wykonania T w chwili t na instrument o cenie S_{t} jest równa

f_{S}(t,T)=e^{{r(T-t)}}S_{t} (12.1)

(co wynika z rozumowania arbitrażowego). Gdybyśmy zatem wyceniali opcje kupna na kontrakt futures z datą realizacji T na akcje na rynku Blacka-Scholesa, to f_{S}(T,T)=S_{T} i wypłata wynosi

C_{T}^{f}:=(f_{S}(T,T)-K)^{+}=(S_{T}-K)^{+}, (12.2)

czyli możemy skorzystać ze wzoru Blacka-Scholesa dla ceny opcji kupna. Problem zaczyna się gdy data realizacji opcji T na kontrakt futures jest różna od daty zamknięcia tego kontraktu futures U, gdyż wtedy wypłata nie spełnia warunku (12.2) (istotnie, f_{S}(T,U)\neq S_{T}C_{T}^{f}=(f_{S}(T,U)-K)^{+}\not=(S_{T}-K)^{+}\ ) i powyższe rozumowanie zawodzi. Jest to sytuacja typowa na rynku. Spróbujmy na to spojrzeć inaczej, tak by ominąć tę trudności. Ponieważ na rynku Blacka-Scholesa cena S_{t} jest dana wzorem (9.2), więc z (12.1) dla kontraktu futures o terminie wykonania U=T mamy

\displaystyle f_{S}(t,U)=e^{{r(U-t)}}S_{0}e^{{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^{2})t+\sigma W_{t}}}=f_{S}(0,U)e^{{(\mu-r-\frac{1}{2}\sigma^{2})t+\sigma W_{t}}}.

Oznaczając f_{t}=f_{S}(t,U) otrzymujemy stąd, że f_{t} jest jedynym rozwiązaniem równania:

\begin{cases}df_{t}=(\mu-r)f_{t}dt+\sigma f_{t}dW_{t},\quad t\in[0,U],\cr f_{0}=S_{0}e^{{rU}}.\end{cases}

Ponieważ kontrakt futures nie musi być związany z konkretnym istniejącym aktywem, więc zapominamy o akcji i na kontrakt patrzymy jako na instrument finansowy, którego cena spełnia równanie:

\begin{cases}df_{t}=f_{t}\mu _{f}dt+\sigma _{f}f_{t}dW_{t},&t\leq U,\\
f_{0}=\gamma,\end{cases} (12.3)

gdzie \gamma, \mu _{f}, \sigma _{f}>0 są stałymi. Instrument ten w dalszym ciągu jednak odzwierciedla sytuację, że w chwili t umawiamy się, iż w przyszłości w chwili T zapłacimy ustaloną cenę za ustalone w umowie dobro. Mając równanie opisujące ceny instrumentu finansowego, konstruujemy rynek kontraktów futures postępując analogicznie jak przy konstrukcji modelu rynku Blacka-Scholesa. Na rynku futures mamy dwa aktywa: bezryzykowne o cenie B i kontraktu futures o cenie f. Strategia to, jak zawsze, para procesów adaptowanych \varphi=(\varphi^{0},\varphi^{1}), ale proces bogactwa jest zadany wzorem

V_{t}^{f}(\varphi)=\varphi _{t}^{0}B_{t},\quad t\in[0,T], (12.4)

gdyż wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje. Mówimy, że \varphi jest strategią samofinansującą się, gdy

V_{t}^{f}(\varphi)=V_{0}^{f}(\varphi)+\int _{0}^{t}\varphi^{0}_{u}dB_{u}+\int _{0}^{t}\varphi _{u}^{1}df_{u}. (12.5)
Definicja 12.1

Miarę probabilistyczną \bar{P} nazywamy miarą martyngałową futures, gdy \bar{P}\sim P i proces cen f jest \bar{P}-lokalnym martyngałem.

Twierdzenie 12.1

Dla procesu f zadanego równaniem (12.3) miara martyngałowa futures \bar{P} jest dana wzorem

\frac{d\bar{P}}{dP}=\exp\Big(-\frac{\mu _{f}}{\sigma _{f}}W_{T}-\frac{1}{2}\frac{\mu _{f}^{2}}{\sigma _{f}^{2}}T\Big). (12.6)

Dynamika cen f przy mierze \bar{P} ma postać:

df_{t}=\sigma _{f}f_{t}d{\overline{W}}_{t}, (12.7)

gdzie {\overline{W}}_{t}=W_{t}+\Big(\frac{\mu _{f}}{\sigma _{f}}\Big)t jest \bar{P}-procesem Wienera.

Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako ćwiczenie. Warto zauważyć, że {\cal F}_{t}={\cal F}_{t}^{W}={\cal F}_{t}^{f}.

Od tego momentu dla wygody będziemy pisać \mu, \sigma zamiast \mu _{f},\sigma _{f}, czyli będziemy opuszczali wskaźnik dolny f we wzorach związanych z f_{t}. Z warunku (12.7) wynika, że

f_{t}=f_{0}\ \exp\Big(\sigma{\overline{W}}_{t}-\frac{\sigma^{2}t}{2}\Big), (12.8)

a więc f_{t} jest martyngałem dodatnim. Mówimy, że strategia \varphi jest dopuszczalna, gdy jest strategią samofinansującą się i B_{t}^{{-1}}V_{t}(\varphi) jest \bar{P}-martyngałem. Zbiór takich strategii będziemy oznaczać przez \Phi^{f}. Modelem Blacka rynku futures nazywamy trójkę {\cal M}^{f}=(B,f,\Phi^{f}). Jest to rynek wolny od arbitrażu (ćw. 12.3).

Tak samo, jak dla rynku Blacka-Scholesa, wprowadzamy pojęcie ceny arbitrażowej. Wycenę opcji kupna przedstawia

Twierdzenie 12.2

(Black) Cena arbitrażowa C^{f} opcji kupna na rynku futures {\cal M}^{f} z terminem wykonania T i ceną wykonania K jest w chwili t równa

C_{t}^{f}=C^{f}(f_{t},T-t), (12.9)

gdzie

\displaystyle C^{f}(x,t) \displaystyle= \displaystyle e^{{-rt}}(xN(\bar{d_{1}}(x,t))-KN(\bar{d_{2}}(x,t))),
\displaystyle\bar{d}_{1}(x,t) \displaystyle= \displaystyle\frac{\ln\frac{x}{K}+\frac{1}{2}\sigma^{2}t}{\sigma\sqrt{t}},
\displaystyle\bar{d}_{2}(x,t) \displaystyle= \displaystyle\bar{d}_{1}(x,t)-\sigma\sqrt{t}.

Ponieważ C_{t}^{f}=B_{t}E_{{\bar{P}}}((f_{T}-K)^{+}B_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}), więc dowód przebiega analogicznie do dowodu formuły Blacka-Scholesa, choć z oczywistymi zmianami.

Wzór (12.9) jest nazywany wzorem Blacka. Dla cen opcji kupna i sprzedaży na kontrakty futures zachodzi związek, nazywany jak zawsze formułą zgodności (parytetem)

C_{t}^{f}-P_{t}^{f}=e^{{-r(T-t)}}(f_{t}-K). (12.10)

Stąd otrzymujemy wzór na cenę opcji sprzedaży

P_{t}^{f}=e^{{-r(T-t)}}(KN(-\bar{d_{2}}(f_{t},T-t))-f_{t}N(-\bar{d_{1}}(f_{t},T-t))). (12.11)
Przykład 12.1

Rozpatrzmy opcję sprzedaży na kontrakty futures na ropę naftową. Czas do wygaśnięcia to 4 miesiące. Obecna cena futures wynosi 30, cena wykonania 32, stopa procentowa bez ryzyka 5\% p.a., a współczynnik zmienności 20\% p.a. Cenę tej opcji obliczamy ze wzoru (12.11). Ponieważ T-t=\frac{1}{3}, f_{t}=30, K=32, r=0{,}05, \sigma=0{,}2, więc P_{t}^{f}=2{,}60; C_{t}^{f}=0{,}63.

12.1. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 12.1

Udowodnić tw. 12.1.

Ćwiczenie 12.2

Udowodnić, że jeśli kontrakt futures dotyczy instrumentu o cenie S, to f_{t}=E_{{\bar{P}}}(S_{T}|{\cal F}_{t}).

Rozwiązanie: 

Wiemy z (12.8), że f_{t} jest martyngałem, a więc f_{t}=E_{{\bar{P}}}(f_{T}|{\cal F}_{t}), a ponadto zachodzi f_{T}=S_{T}.

Ćwiczenie 12.3

Udowodnić, że rynek {\cal M}^{f} jest wolny od arbitrażu.

Ćwiczenie 12.4

Znaleźć strategię replikującą opcję:

a) kupna na rynku futures,

b) sprzedaży na rynku futures.

Wskazówka: 

a) \varphi _{t}^{0}=e^{{-rt}}C^{f}(f_{t},T-t),\quad\varphi _{t}^{1}=\frac{\partial C^{f}}{\partial x}(f_{t},T-t) .

Ćwiczenie 12.5

Udowodnić parytet dla cen opcji na kontrakty futures, tj. wzór (12.10).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.