Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 4. Miara martyngałowa – MIM UW

Zagadnienia

4. Miara martyngałowa dla rynku skończonego

Wyznaczenie ceny arbitrażowej osiągalnej wypłaty X poprzez znalezienie strategii replikującej jest często bardzo trudne, szczególnie gdy mamy długi horyzont czasowy T i dużo scenariuszy.

Przedstawimy teraz alternatywne podejście do tego problemu — metodę martyngałową. Spotkaliśmy się już z nią w rozdz. 2, w którym była przedstawiona jako jedna z możliwych metod wyceny, choć nie było widać jej zalet w porównaniu z metodą replikacji. Do badania rynku skończonego, a więc bardziej skomplikowanego, okaże się ona bardzo przydatna. Metoda ta pozwala na wypisanie jawnych wzorów na \Pi _{{t}}(X) za pomocą wartości oczekiwanych.

4.1. Dyskontowanie

Często przy badaniu rynków finansowych wyróżniamy instrument pierwotny o numerze 0, którego zadaniem jest mierzenie wartości pieniądza w czasie (proces dyskontujący, czynnik dyskontujący, numéraire). My przyjmiemy, że S^{{0}} odpowiada lokacie pieniędzy w banku na znany procent r tzn. S^{{0}}=B. W dalszym ciągu na oznaczenie rynku będziemy stosowali wymiennie {\cal M}=((B,S^{1},\ldots,S^{k}),\Phi) lub {\cal M}=((S^{0},\ldots,S^{k}),\Phi) lub {\cal M}=(S,\Phi). Dysponując procesem dyskontującym wprowadzimy pojęcie zdyskontowanego procesu cen:

Definicja 4.1

Wektor S^{{*}}=(1,S^{{*1}},\dots,S^{{*k}})^{{\prime}}, gdzie S_{{t}}^{{*i}}=\frac{S_{{t}}^{{i}}}{B_{{t}}} dla i={=}1,\dots,k, nazwiemy zdyskontowanym procesem cen.

Okazuje się, że samofinansowalność strategii można sprawdzić badając zachowanie zdyskontowanego procesu bogactwa.

Lemat 4.1

Strategia \varphi jest samofinansująca się wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich t\leq T zachodzi równość:

V_{{t}}^{{*}}(\varphi)=V_{0}^{{*}}(\varphi)+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}\varphi _{{u+1}}(S_{{u+1}}^{{*}}-S_{{u}}^{{*}}). (4.1)

Ustalmy strategię \varphi. Warunek \varphi\in\Phi oznacza z definicji

\varphi _{{u}}S_{{u}}=\varphi _{{u+1}}S_{{u}}\quad{\rm dla}\qquad u=0,1,\dots,T-1,

który jest równoważny warunkowi

\varphi _{{u}}S_{{u}}^{{*}}=\varphi _{{u+1}}S_{{u}}^{{*}}\quad{\rm dla}\qquad u=0,1,\dots,T-1,

co z kolei jest równoważne, jak pokazaliśmy w dowodzie tw. 3.1 (udowodnionego dla dowolnych cen S, a więc możemy wziąć S^{{*}} zamiast S) faktowi:

\forall _{{t}}\quad\varphi _{{t}}S_{{t}}^{{*}}=\varphi _{0}S_{0}^{{*}}+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}\varphi _{{u+1}}(S_{{u+1}}^{{*}}-S_{{u}}^{{*}}),

a jest to warunek (4.1), gdyż \varphi _{{t}}S_{{t}}^{{*}}=\frac{\varphi _{{t}}S_{{t}}}{B_{{t}}}=V_{{t}}^{{*}}(\varphi).

Z lematu 4.1 wynika

Wniosek 4.1

Strategia \varphi jest samofinansująca się wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich t zachodzi:

V_{{t+1}}^{{*}}(\varphi)-V_{{t}}^{{*}}(\varphi)=\varphi _{{t+1}}(S_{{t+1}}^{{*}}-S_{{t}}^{{*}}). (4.2)
Wniosek 4.2

Zmiana czynnika dyskontującego nie zmienia klasy portfeli samofinansujących się.

W lemacie 4.1 rozpatrzone zostało dyskontowanie przez proces B, ale to samo zachodzi, gdy weźmiemy dowolne S^{i}, takie że S^{i}_{t}>0 dla każdego t, gdyż następujące warunki są równoważne:

  • i) \varphi _{{t}}S_{{t}}=\varphi _{{t+1}}S_{{t}} dla każdego t,

  • ii) \displaystyle\sum _{{j=0}}^{k}\varphi^{j}_{{t}}\frac{S^{j}_{t}}{S^{i}_{t}}=\sum _{{j=0}}^{k}\varphi^{j}_{{t+1}}\frac{S^{j}_{t}}{S^{i}_{t}} dla każdego t,

  • iii) \varphi _{{t}}{\overline{S}}_{{t}}=\varphi _{{t+1}}{\overline{S}}_{{t}} dla każdego t, gdzie {\overline{S}}_{t}=S_{t}{(S^{i}_{t})}^{{-1}}.

Ta uwaga jest przydatna, gdyż czasami wygodnie jest zmienić jednostki, w których mierzone są wartości instrumentów podstawowych i pochodnych (bierzemy inny proces dyskontujący).

4.2. Miara martyngałowa, arbitraż

Teraz wprowadzimy podstawowe pojęcie dla rozważań dotyczących wyceny, a mianowicie pojęcie miary martyngałowej.

Definicja 4.2

Miarę probabilistyczną P^{{*}} na (\Omega,{\cal F}_{{T}}) równoważną z P nazywa się miarą martyngałową dla

  • zdyskontowanego procesu cen S^{*}, gdy S^{{*}} jest P^{{*}}-martyngałem względm filtracji ({\cal F}_{{t}})_{{t}},

  • rynku {\cal M}=(S,\Phi), gdy dla każdej strategii \varphi\in\Phi proces V^{{*}}(\varphi) zadany wzorem

    V_{{t}}^{{*}}(\varphi)=\frac{V_{{t}}(\varphi)}{B_{{t}}},

    czyli zdyskontowany proces bogactwa, jest P^{{*}}-martyngałem względm filtracji ({\cal F}_{{t}})_{{t}}.

Symbolem {\cal P}(S^{{*}}) (odpowiednio {\cal P}({\cal M})) będziemy oznaczać klasę miar martyngałowych dla procesu S^{{*}} (odpowiednio dla rynku {\cal M}).

Uwaga 4.1

a) Warto zauważyć, że klasy {\cal P}(S^{{*}}), {\cal P}({\cal M}) zależą od czynnika dyskontującego. (patrz ćw. 2.12).

b) Dla przestrzeni probabilistycznej \Omega o skończonej liczbie elementów miara probabilistyczna Q jest równoważna z P wtedy i tylko wtedy, gdy Q(\omega)>0 dla kazdego \omega.

Wprost z definicji miary martyngałowej dla rynku mamy

Wniosek 4.3

Jeśli P^{{*}}\in{\cal P}({\cal M}), to dla dowolnego portfela \varphi\in\Phi i dowolnej chwili t

V_{{t}}(\varphi)=B_{{t}}E_{{P^{{*}}}}(V_{{T}}(\varphi)B_{{T}}^{{-1}}|{\cal F}_{{t}}). (4.3)

Okazuje się, że zachodzi równość zbiorów {\cal P}(S^{{*}}), {\cal P}({\cal M}).

Twierdzenie 4.1

Miara P^{{*}} jest miarą martyngałową dla rynku {\cal M} wtedy i tylko wtedy, gdy P^{{*}} jest miarą martyngałową dla zdyskontowanego procesu cen.

Niech P^{{*}} będzie miarą martyngałową dla procesu cen. Weźmy dowolne \varphi\in\Phi. Korzystając z (4.2) i z prognozowalności \varphi\in\Phi mamy

E_{{P^{{*}}}}(V_{{t+1}}^{{*}}(\varphi)-V_{{t}}^{{*}}(\varphi)|{\cal F}_{{t}})=\varphi _{{t+1}}E_{{P^{{*}}}}(S_{{t+1}}^{{*}}-S_{{t}}^{{*}}|{\cal F}_{{t}})=0.

Zatem V_{{t}}^{{*}}(\varphi) jest, dla dowolnego \varphi\in\Phi, P^{{*}}-martyngałem względem filtracji ({\cal F}_{{t}}) tzn. P^{{*}}\in{\cal P}({\cal M}).

Należy jeszcze udowodnić, że jeśli P^{{*}} jest miarą martyngałową dla rynku, to jest miarą martyngałową dla procesu cen. Weźmy strategię \varphi polegającą na kupnie jednostki i-tego instrumentu bazowego na początku i trzymaniu go do końca, tzn. \varphi _{{t}}^{{i}}\equiv 1, \varphi _{{t}}^{{j}}\equiv 0, dla j\not=i. Jest to strategia samofinansująca się. Zatem V_{{t}}^{{*}}(\varphi) jest P^{{*}}-martyngałem i

0=E_{{P^{{*}}}}(V_{{t+1}}^{{*}}(\varphi)-V_{{t}}^{{*}}(\varphi)|{\cal F}_{{t}})=E_{{P^{{*}}}}(\varphi _{{t+1}}(S_{{t+1}}^{{*}}-S_{{t}}^{{*}})|{\cal F}_{{t}}). (4.4)

Ponadto zachodzi

\varphi _{{t+1}}(S_{{t+1}}^{{*}}-S_{{t}}^{{*}})=S_{{t+1}}^{{i*}}-S_{{t}}^{{i*}},

zatem z (4.4) mamy

E_{{P^{{*}}}}(S_{{t+1}}^{{i*}}-S_{{t}}^{{i*}}|{\cal F}_{{t}})=0.

Czyli dla i\in\{ 1,\dots,k\} współrzędna S_{{t}}^{{i*}} jest P^{{*}}-martyngałem, tzn. S_{{t}}^{{*}} jest P^{{*}}-martyngałem, więc P^{{*}}\in{\cal P}(S^{*}).

Twierdzenie to pozwala sprowadzić badanie czy P^{{*}} jest miarą martyngałową dla rynku, a więc czy dla wszystkich \varphi\in\Phi procesy V^{{*}}(\varphi)P^{{*}}-martyngałami, do badania czy proces zdyskontowanych cen, a więc jeden proces, jest P^{{*}}–martyngałem. Od tego momentu będziemy mówić o mierze martyngałowej opuszczając dalsze rozróżnienie, gdyż jest ono nieistotne.

Jak pokazuje następne twierdzenie, badanie możliwości arbitrażu sprowadza się do badania istnienia miar martyngałowych:

Twierdzenie 4.2

(Pierwsze podstawowe twierdzenie matematyki finansowej). Rynek {\cal M} jest rynkiem bez możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy istnieje miara martyngałowa.

Dostateczność. Weźmy P^{{*}}\in{\cal P}({\cal M}) (z założenia takie P^{{*}} istnieje). Korzystając z (4.3) otrzymujemy, że na rynku nie ma możliwości arbitrażu. Istotnie, gdyby istniał arbitraż \varphi, to V_{0}(\varphi)=0 oraz V_{{T}}(\varphi)\geq 0P(V_{{T}}(\varphi)>0)>0. A że B_{{T}}^{{-1}}>0, to

E_{{P^{{*}}}}(V_{{T}}(\varphi)B_{{T}}^{{-1}})>0,

a więc prawa strona wzoru (4.3) dla t=0 byłaby dodatnia, a lewa równałaby się zeru. Sprzeczność.

Zajmiemy się teraz koniecznością. Zbiór \Omega jest skończony, więc każdą zmienną losową X\colon\Omega\to\mathbb{R} można utożsamiać z wektorem (x_{1},\dots,x_{d})\in\mathbb{R}^{{d}}, gdzie x_{i}=X(\omega _{{i}}), 1\leq i\leq d. I na odwrót, wektor (x_{1},\dots,x_{d})\in\mathbb{R}^{{d}} wyznacza zmienną losową X, a  mianowicie przyjmujemy X(\omega _{i})=x_{i} dla każdego i. Niech

V:=\{ x\in\mathbb{R}^{{d}}:{x\geq 0,x\not=0}\}

(przypomnijmy iż x\geq 0 oznacza, że x_{{i}}\geq 0 dla każdego i). Każdy element V wyznacza zmienną losową nieujemną i na odwrót, każdej zmiennej losowej nieujemnej (poza zmienną losową równą stale zeru) odpowiada jeden element ze zbioru V. Niech

\displaystyle W \displaystyle:=\{ x\in\mathbb{R}^{d}\forall _{{i}}\  x_{{i}}=G_{{T}}^{{*}}(\varphi)(\omega _{{i}})\ \mbox{dla\  pewnego}\ \varphi\in\Phi,\ \mbox{takiego że}\  V_{0}(\varphi)=0\}
\displaystyle=\{ x\in\mathbb{R}^{d}:x=V_{{T}}^{{*}}(\varphi)\ \mbox{dla\  pewnego}\ \varphi\in\Phi,\ \  V_{0}(\varphi)=0\}.

Zatem elementem W jest, przy zastosowaniu utożsamienia opisanego powyżej, zdyskontowany zysk w chwili T, gdy stosujemy strategię \varphi, dla której kapitał początkowy jest równy zeru, czyli elementami W są zdyskontowane zyski (w chwili T) strategii \varphi, których kapitał początkowy jest równy zeru.

Jak łatwo zauważyć, fakt nieistnienia arbitrażu można zapisać w terminach VW, a mianowicie

\mbox{ nie istnieje arbitraż wtedy i~tylko wtedy, gdy}\  V\cap W~=\emptyset.

Zatem z założeń twierdzenia wynika, że V\cap W~=\emptyset. Ponadto W jest liniową podprzestrzenią \mathbb{R}^{{d}}, a

K:=\{ x\in V:\sum _{{i=1}}^{{d}}x_{{i}}=1\}

jest zbiorem zwartym i wypukłym. Oczywiście K\subset V, więc K\cap W~=\emptyset. Korzystając z twierdzenia o oddzielaniu można ściśle oddzielić zbiór zwarty i wypukły od podprzestrzeni liniowej. Zatem istnieje y\in W^{{\bot}} (tj. element y ortogonalny do W, czyli taki że y\cdot w~=0, \forall w~\in W), taki że:

\forall x\in K\quad y\cdot x>0. (4.5)

Wektor e_{{i}} mający 1 na i-tym miejscu i zero na pozostałych należy do K, więc z (4.5) mamy 0<y\cdot e_{{i}}=y_{{i}}. Zdefiniujmy miarę probabilistyczną

P^{{*}}(\{\omega _{{i}}\})=ay_{{i}},

gdzie a=(\sum _{{j=1}}^{{d}}y_{{j}})^{{-1}}. Jest ona równoważna z P (bo P^{{*}}(\{\omega _{{i}}\})>0 dla każdego i). Teraz wykażemy, że P^{{*}} jest miarą martyngałową. Dla dowolnego procesu prognozowalnego (\varphi^{{1}},\dots,\varphi^{{k}}), korzystając z tw. 3.2 dobieramy proces prognozowalny \varphi^{{0}}, taki że \varphi=(\varphi^{{0}},\dots,\varphi^{{k}}) jest portfelem samofinansującym się o kapitale początkowym równym zeru. Wtedy oczywiście

(G_{{T}}^{{*}}(\varphi)(\omega _{{1}}),\dots,G_{{T}}^{{*}}(\varphi)(\omega _{{d}}))\in W,

a ponieważ ay\in W^{{\bot}}, więc

\displaystyle 0 \displaystyle= \displaystyle\sum _{{j=1}}^{{d}}ay_{{j}}G_{{T}}^{{*}}(\varphi)(\omega _{{j}})=\sum _{{j=1}}^{{d}}P^{{*}}(\{\omega _{{j}}\})G_{{T}}^{{*}}(\varphi)(\omega _{{j}})=E_{{P^{{*}}}}(G_{{T}}^{{*}}(\varphi))=
\displaystyle= \displaystyle E_{{P^{{*}}}}\Big(\sum _{{j=1}}^{{T}}\varphi _{{j}}(S_{{j}}^{{*}}-S_{{j-1}}^{{*}})\Big),

przy czym w ostatniej równości skorzystaliśmy z lematu 4.1. Stąd wynika, że dla każdego i\in\{ 1,2,\dots,k\} i dla dowolnego procesu prognozowalnego ograniczonego \psi mamy

E_{{P^{{*}}}}(\sum _{{j=1}}^{{T}}\psi _{{j}}(S_{{j}}^{{i^{{*}}}}-S_{{j-1}}^{{i^{{*}}}}))=0,

a więc (S^{{i*}}), i=1,\dots,k, jest P^{*}-martyngałem. Czyli P^{{*}} jest miarą martyngałową.

4.3. Wycena, zupełność rynku, kontrakty forward

Twierdzenie 4.3

Niech {\cal M} będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy cena arbitrażowa w chwili t osiągalnej na rynku {\cal M} wypłaty X jest dana wzorem

\Pi _{{t}}(X)=B_{{t}}E_{{P^{{*}}}}\Big(\frac{X}{B_{{T}}}\Big|{\cal F}_{{t}}\Big), (4.6)

dla dowolnej miary martyngałowej P^{{*}}.

Aby udowodnić (4.6), weźmy strategię \varphi replikującą wypłatę X. Wtedy z definicji ceny arbitrażowej, z (4.3) i z tego, że X=V_{{T}}(\varphi) otrzymujemy:

\Pi _{{t}}(X)=V_{{t}}(\varphi)=B_{{t}}E_{{P^{{*}}}}(V_{{T}}(\varphi)B_{{T}}^{{-1}}|{\cal F}_{{t}})=B_{{t}}E_{{P^{{*}}}}(XB_{{T}}^{{-1}}|{\cal F}_{{t}}).

Ponieważ proces replikujący V_{{t}}(\varphi) jest wyznaczony jednoznacznie i równość (4.3) jest prawdziwa dla każdej miary P^{{*}}\in{\cal P}({\cal M}), więc wzór (4.6) nie zależy od wyboru miary martyngałowej dla rynku.

Wzór (4.6) nazywamy wzorem martyngałowym na cenę lub formułą wyceny w warunkach powszechnej obojętności względem ryzyka. W szczególności z (4.6) i liniowości wartości oczekiwanej wynika

Uwaga 4.2

Na rynku bez możliwości arbitrażu cena arbitrażowa jest operatorem liniowym na przestrzeni liniowej wypłat osiągalnych, czyli gdy XY są wypłatami osiągalnymi, to

\Pi _{t}(X+Y)=\Pi _{t}(X)+\Pi _{t}(Y). (4.7)

Wniosek 4.2 można też otrzymać korzystając z definicji ceny arbitrażowej i własności iloczynu skalarnego.

Wniosek 4.4

(Parytet kupna-sprzedaży). Na rynku bez możliwości arbitrażu, gdy europejskie opcje kupna i sprzedaży (dla tej samej akcji) z tą samą ceną wykonania K są osiągalne, to ich ceny są związane wzorem:

C_{0}(K)-P_{0}(K)=S_{0}-\frac{K}{B_{T}}, (4.8)

gdzie C_{0}(K) (odp. P_{0}(K)) oznacza cenę w chwili 0 europejskiej opcji kupna (odp. sprzedaży) z ceną wykonania K.

Wzór (4.8) wynika z równości (1.4) i wzoru (4.7) na cenę.

Z tw. 4.2 łatwo wynika

Wniosek 4.5

na rynku bez możliwości arbitrażu wycena wypłaty osiągalnej za pomocą ceny arbitrażowej (wzoru (4.6)) tworzy zgodny system cen, w tym sensie, że rynek rozszerzony o instrument bazowy o cenie S^{{k+1}}=\Pi(X) jest dalej rynkiem bez możliwości arbitrażu.

Ćwiczenie 4.1

Udowodnić wniosek 4.5.

Z własności (4.7) często korzysta się, gdy wypłatę potrafimy przedstawić jako kombinację lub jako granicę kombinacji wypłat, które potrafimy wycenić.

Przykład 4.1

Znajdziemy na rynku bez możliwości arbitrażu ceny wypłat w chwili T związanych z instrumentem podstawowym o cenie S (tj. S=S^{i} dla pewnego i\geq 1) w następujący sposób:

  • a) X=\min(\max(K_{{1}},S_{{T}}),K_{{2}}) (jest to tzw. opcja collar),

  • b) Y=\max(S_{{T}}-K_{{1}},0)-(K_{{2}}-K_{{1}}), (jest to tzw. opcja bostońska),

gdzie K_{1} i K_{2} są stałymi, przy założeniu, że wypłaty X i Y są osiągalne.

Szukamy profilu wypłat badając własności X (odp. Y), tj. analizując postać wypłaty w zależności od ceny instrumentu bazowego, na poszczególnych przedziałach (warto zrobić rysunek). Znajdujemy, że dla K_{1}<K_{2}:

X=(K_{1}-S_{T})^{+}-(K_{2}-S_{T})^{+}+K_{2}, (4.9)

a gdy K_{1}\geq K_{2}, to X=K_{2}. Wypłata Y nie zależy od relacji pomiędzy K_{1}K_{2}:

Y=(S_{T}-K_{1})^{+}-(K_{2}-K_{1}).

Stąd i z liniowości ceny otrzymujemy:

\displaystyle\Pi _{0}(X) \displaystyle= \displaystyle\begin{cases}P_{0}(K_{1})-P_{0}(K_{2})+K_{2}B_{T}^{{-1}},&\text{ gdy }K_{1}<K_{2},\cr K_{2}B_{T}^{{-1}},&\text{ gdy }K_{1}\geq K_{2}.\end{cases}
\displaystyle\Pi _{0}(Y) \displaystyle= \displaystyle C_{0}(K_{1})-(K_{2}-K_{1})B_{T}^{{-1}}.

Oczywiście profil wypłat może mieć różne przedstawienia, np. X można dla K_{1}<K_{2} przedstawić w postaci

X=(S_{T}-K_{1})^{+}-(S_{T}-K_{2})^{+}+K_{1}, (4.10)

ale (4.9) i (4.10) prowadzą do tej samej ceny (co widać z parytetu).

Przykład 4.2

a) Rozpatrzmy rynek jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi. Inwestor uważa, że są one jednakowo prawdopodobne. Na rynku stopa procentowa bez ryzyka wynosi 20% i jest jedna akcja mająca proces cen postaci:

S^{1}_{0}=30,\  S^{1}_{1}(\omega _{1})=20,\  S^{1}_{1}(\omega _{2})=40,\  S^{1}_{1}(\omega _{3})=35.

Zbadajmy, czy na tym rynku istnieje arbitraż.

Oczywiście przy badaniu własności tego rynku nie jest istotna opinia inwestora o szansach scenariuszy. W celu zbadania, czy na tym rynku istnieje arbitraż, zbadamy, czy istnieje miara martyngałowa. Rynek jest jednookresowy, więc szukamy rozwiązania układu:

\begin{cases}20p_{1}+40p_{2}+35p_{3}=30\cdot 1{,}2,\cr p_{1}+p_{2}+p_{3}=1,\cr p_{i}>0,\  i=1,2,3.\end{cases}

Rozwiązanie ma postać

p_{1}=\frac{1}{5}-\frac{p}{4},\quad p_{2}=\frac{4}{5}-\frac{3p}{4},\quad p_{3}=p,

przy czym p\in(0,\frac{4}{5}). Zatem istnieje nieskończenie wiele miar martyngałowych, czyli nie istnieje arbitraż.

b) Co będzie, gdy na rynku pojawi się jeszcze jedna akcja:

S^{2}_{0}=30,\  S^{2}_{1}(\omega _{1})=25,\  S^{2}_{1}(\omega _{2})=50,\  S^{2}_{1}(\omega _{3})=35.

Teraz trzeba szukać rozwiązania układu:

\begin{cases}20p_{1}+40p_{2}+35p_{3}=30\cdot 1{,}2,\cr 25p_{1}+50p_{2}+35p_{3}=30\cdot 1{,}2,\cr p_{1}+p_{2}+p_{3}=1,\cr p_{i}>0,\  i=1,2,3.\end{cases}

Ponieważ z pierwszych trzech równań otrzymujemy, że p_{1}=-2p_{2}p_{3}=36/35, więc nie istnieje rozwiązanie spełniające p_{i}>0, i=1,2,3. Zatem na rynku istnieje arbitraż. Znajdziemy teraz postać portfela arbitrażowego. Szukamy portfela (\alpha,\beta,\gamma) takiego, że

\begin{cases}\alpha+30\beta+30\gamma=0,\cr 1{,}2\alpha+20\beta+25\gamma\geq 0,\cr 1{,}2\alpha+40\beta+50\gamma\geq 0,\cr 1{,}2\alpha+35\beta+35\gamma\geq 0,\cr\end{cases}

przy czym choć jedna nierówność jest ostra. Stąd otrzymujemy, że

(-30\alpha-30\beta,\beta,\gamma),\ {\mbox{g}dy}\quad\gamma>0,\beta\in[-7/2\gamma,-\gamma]

jest portfelem arbitrażowym np. portfel \varphi=(0,-1,1) jest arbitrażem.

Gdy się przyjrzeć dokładniej cenom, to widać, że S^{1}_{0}=S^{2}_{0} i w chwili 1 ceny drugiej akcji są nie mniejsze od cen pierwszej, skąd wynika natychmiast, że portfel \varphi=(0,-1,1) jest arbitrażem.

Uwaga 4.3

Powyższy przykład ilustruje fakt, że przy połączeniu dwóch rynków bez możliwości arbitrażu (w jeden) może się zdarzyć, że otrzymany rynek stanie się rynkiem z arbitrażem.

Gdy mamy rynek bez możliwości arbitrażu, to następnym pojawiającym się pytaniem jest pytanie o wypłaty osiągalne, gdyż takie wypłaty umiemy wyceniać. Okazuje się, że patrząc na zbiór miar martyngałowych potrafimy określić kiedy wszystkie wypłaty są osiągalne.

Definicja 4.3

Rynek {\cal M} nazywamy zupełnym, gdy każda wypłata jest osiągalna na tym rynku.

Twierdzenie 4.4

(Drugie podstawowe twierdzenie matematyki finansowej). Rynek bez możliwości arbitrażu jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.

Konieczność. Niech X będzie dowolną zmienną losową, a więc dowolną wypłatą. Wypłata Y=XB_{{T}} jest osiągalna (bo rynek jest zupełny). Także P({\cal M})\not=\emptyset (co wynika z braku możliwości arbitrażu i tw. 4.2). Zatem dla P^{{*}}\in{\cal P}(M) mamy

\Pi _{0}(Y)=B_{0}E_{{P^{{*}}}}(YB_{{T}}^{{-1}})=E_{{P^{{*}}}}(X).

Gdy miary P_{{1}}^{{*}},P_{{2}}^{{*}}\in{\cal P}(M), to

E_{{P_{{1}}^{{*}}}}(X)=\Pi _{0}(Y)=E_{{P_{{2}}^{{*}}}}(X).

Stąd, biorąc X={\bf 1}_{{A}}, dla A\in{\cal F}_{{T}}, mamy

P_{{1}}^{{*}}(A)=P_{{2}}^{{*}}(A).

Wobec dowolności X, a więc i A mamy P_{{1}}^{{*}}=P_{{2}}^{{*}}.

Dostateczność. Dowód nie wprost. Załóżmy, że rynek jest niezupełny. Wtedy istnieje nieosiągalna wypłata X. Niech {\cal A} będzie klasą zmiennych losowych zdefiniowaną następująco

{\cal A}=\{ V_{0}(\varphi)+G_{{T}}^{{*}}(\varphi):\varphi\in\Phi\}.

Zatem {\cal A} jest zbiorem zdyskontowanych wypłat otrzymanych za pomocą strategii samofinansujących się przy dopuszczeniu dowolnego kapitału początkowego. {\cal A} jest podzbiorem właściwym zbioru wszystkich zmiennych losowych L^{0}, gdyż Y=\frac{X}{B_{{T}}} nie należy do {\cal A}. Istotnie, gdyby Y należało do {\cal A}, to

Y=V_{0}(\varphi)+G_{{T}}^{{*}}(\varphi)

dla pewnego \varphi\in\Phi, a więc z lematu 4.1 zachodziłoby Y=V_{{T}}^{{*}}(\varphi), czyli X=Y{B_{{T}}}=V_{{T}}(\varphi), zatem X byłoby osiągalne.

Niech P^{{*}} będzie miarą martyngałową. Wszystkie zmienne losowe są P^{{*}}–całkowalne z kwadratem (bo \Omega jest zbiorem skończonym) i możemy zdefiniować iloczyn skalarny wzorem

(X,Y):=E_{{P^{{*}}}}(XY).

Ponieważ {\cal A} jest podprzestrzenią liniową L^{2}(P^{{*}}) oraz {\cal A}\not=L^{{2}}(P^{{*}}), więc istnieje zmienna losowa Z różna od 0, ortogonalna do {\cal A}. Ponieważ 1\in{\cal A} (bierzemy kapitał początkowy 1 i nic nie robimy, czyli \varphi^{{0}}\equiv 1, \varphi^{{i}}\equiv 0\hbox{ dla }i=1,2,\dots,k), więc zmienna losowa Z, jako ortogonalna do {\cal A}, ma średnią zero

E_{{P^{{*}}}}Z=0. (4.11)

Zdefiniujmy miarę probabilistyczną Q na podzbiorach \Omega wzorem

Q(\{\omega\})=\left(1+\frac{Z(\omega)}{2\| Z\| _{{\infty}}}\right)P^{{*}}(\{\omega\}), (4.12)

gdzie \| Z\| _{{\infty}}=\max _{i}|Z(\omega _{{i}})|. Q jest miarą probabilistyczną równoważną z P, bo Q(\{\omega\})>0 dla każdej \omega i z (4.11) otrzymujemy

Q(\Omega)=E_{{Q}}1=E_{{P^{{*}}}}\left(1+\frac{Z}{2\| Z\| _{{\infty}}}\right)=1.

Oczywiście Q\not=P^{{*}}, bo Z jest zmienną losową niezerową. Udowodnimy teraz, że Q jest miarą martyngałową.
W tym celu weźmy dowolny proces prognozowalny (\psi^{{1}},\dots,\psi^{{k}}). Korzystając z tw. 3.2 dobieramy proces prognozowalny \psi^{{0}}, taki że \psi=(\psi^{{0}},\dots,\psi^{{k}}) jest portfelem samofinansującym się o zerowym kapitale początkowym. Z definicji Q otrzymujemy

\displaystyle E_{{Q}}(\sum _{{j=1}}^{{T}}\psi _{{j}}(S_{{j}}^{{*}}-S_{{j-1}}^{{*}})) \displaystyle= \displaystyle E_{{P^{{*}}}}(\sum _{{j=1}}^{{T}}\psi _{{j}}(S_{{j}}^{{*}}-S_{{j-1}}^{{*}}))+ (4.13)
\displaystyle+ \displaystyle\frac{1}{2\| Z\| _{{\infty}}}E_{{P^{{*}}}}(Z(\sum _{{j=1}}^{{T}}\psi _{{j}}(S_{{j}}^{{*}}-S_{{j-1}}^{{*}})).

Pierwszy składnik z prawej strony wzoru (4.13) jest równy zero, gdyż S^{*} jest P^{{*}} martyngałem. Drugi składnik sumy z prawej strony (4.13) jest także równy zeru, gdyż

\sum _{{j=1}}^{{T}}\psi _{{j}}(S_{{j}}^{{*}}-S_{{j-1}}^{{*}})\in{\cal A},

Z jest zmienną losową ortogonalną do {\cal A}L^{2}(P^{{*}}). Zatem S^{{*}} jest Q-martyngałem, a więc Q jest miarą martyngałową różną od P^{{*}}. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.

Podkreślmy jeszcze raz, że zupełność jest bardzo ważną cechą rynku, gdyż na takim rynku potrafimy wycenić w sposób jednoznaczny każdą wypłatę, a ponadto korzystając z faktu, że twierdzenie o reprezentacji martyngałów (zachodzące, gdy \Omega i czas są skończone) jest równoważne zupełności (patrz zad.4.6) można, korzystając z lematu 4.1 i twierdzenia o reprezentacji martyngałów, znaleźć strategię replikującą dla każdej wypłaty na rynku zupełnym.

Teraz podamy przykłady zastosowań udowodnionych przed chwilą twierdzeń.

Przykład 4.3

Rozważmy rynek z przykł. 4.2a. Jak widzieliśmy na tym rynku istnieje wiele miar martyngałowych, czyli rynek jest wolny od możliwości arbitrażu i nie wszystkie wypłaty są osiągalne.

Wypłata X=(x_{1},x_{2},x_{3}) jest osiągalna, gdy istnieje portfel replikujący \varphi={=}(\beta,\alpha), tj. V_{T}(\varphi)=X, czyli musi zachodzić:

\begin{cases}1{,}2\alpha+20\beta=x_{1},\cr 1{,}2\alpha+40\beta=x_{2},\cr 1{,}2\alpha+35\beta=x_{3}.\cr\end{cases}

Stąd otrzymujemy, że wypłaty osiągalne spełniają warunek:

x_{1}+3x_{2}-4x_{3}=0. (4.14)

Wycenimy teraz wypłatę osiągalną. Korzystając z (4.6) i (4.14) mamy:

\displaystyle\Pi _{0}(X) \displaystyle= \displaystyle(1+r)^{{-1}}E_{{P^{*}}}(X)=\frac{1}{1{,}2}(x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+x_{3}p_{3})= (4.15)
\displaystyle= \displaystyle\frac{5}{6}\Big(\frac{-p(x_{1}+3x_{2}-4x_{3})}{4}+\frac{x_{1}}{5}+\frac{4x_{2}}{5}\Big)=\frac{x_{1}+4x_{2}}{6}, (4.16)

a więc widzimy, że cena nie zależy od wyboru miary martyngałowej (co i tak było udowodnione w tw. 4.3). Wzór (4.15) sugeruje, że można w inny sposób znajdować wypłaty osiągalne. Mianowicie, cena zadana wzorem (4.15) nie może zależeć od parametru p (tw. 4.3), więc współczynnik przy p w (4.16) powinien się zerować. Jest to sugestia, którą udowodnimy w tw 4.5. I w ten sposób znowu dochodzimy do warunku (4.14).

Przykł. 4.3 sugeruje, że można udowodnić bardzo przydatną charakteryzację wypłat osiągalnych:

Twierdzenie 4.5

Gdy rynek jest wolny od arbitrażu, to wypłata X jest osiągalna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f\colon{\cal P}({\cal M})\to\mathbb{R} zadana wzorem

f(P)=E_{P}(XB_{T}^{{-1}})

jest stała.

Konieczność została udowodniona w tw. 4.3, a dostateczność pozostawiamy jako zadanie.

Ćwiczenie 4.2

Na rynku dwuokresowym o czterech możliwych scenariuszach stopa procentowa bez ryzyka wynosi 10%. Na tym rynku jest jedna akcja, której ceny są opisane przez proces S:

\displaystyle S_{0}=100,\quad S_{1}(\omega _{1})=S_{1}(\omega _{2})=120,\  S_{1}(\omega _{3})=S_{1}(\omega _{4})=80,
\displaystyle S_{2}(\omega _{1})=140,\  S_{2}(\omega _{2})=100,\  S_{2}(\omega _{3})=100,\  S_{2}(\omega _{4})=60.

Znaleźć ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży z ceną wykonania K=105.

Rozwiązanie: 

Zaczniemy od sprawdzenia, czy rynek jest wolny od arbitrażu. Znajdujemy miarę martyngałową P^{*} na \Omega=\{\omega _{1},\dots,\omega _{4}\}, a mianowicie

P^{*}(\{\omega _{1}\})=0{,}6,\quad P^{*}(\{\omega _{2}\})=0{,}15,\quad P^{*}(\{\omega _{3}\})=0{,}175,\quad P^{*}(\{\omega _{4}\})=0{,}075.

Miara martyngałowa jest jedyna, więc każda wypłata jest osiągalna. Ze wzoru (4.6) otrzymujemy

C_{0}=\frac{1}{1{,}21}E_{{P^{*}}}(S_{2}-105)^{+}=\frac{1}{1{,}21}35\cdot 0{,}6=17{,}36

oraz

P_{0}=\frac{1}{1{,}21}E_{{P^{*}}}\ (105-S_{2})^{+}=4{,}13.

Oczywiście obliczając wartość P_{0} można było skorzystać z parytetu.

Wycena kontraktu terminowego forward.  Zajmiemy się teraz na rynku bez możliwości arbitrażu wyceną kontraktu terminowego forward na i-ty instrument o cenie S^{i}. Wartość tego kontraktu forward w chwili t będziemy oznaczać przez F^{i}_{t}. Kontrakt terminowy forward jest zadany przez wypłatę X=S^{i}_{T}-K, gdzie K jest ceną forward. Wypłata X jest osiągalna, zatem ze wzoru (4.6) znajdujemy cenę w chwili t wypłaty X

\Pi _{{t}}(X)=B_{{t}}E_{{P^{{*}}}}\Big(\frac{S^{i}_{T}-K}{B_{{T}}}\Big|{\cal F}_{{t}}\Big)=S^{i}_{t}-K(1+r)^{{-(T-t)}}. (4.17)

Jak wiemy, cena forward K jest taką liczbą, że wartość kontraktu forward w chwili zero jest równa zeru, tj. \Pi _{0}(X)=0, zatem ze wzoru (4.17) otrzymujemy, że cena forward wynosi

K=S^{i}_{0}B_{{T}}=S^{i}_{0}(1+r)^{T}.

Warto podkreślić, że cena forward nie ulega zmianie w czasie trwania kontraktu, natomiast wartość kontraktu (równa zeru w chwili zawierania) zmienia się w czasie, w szczególności zwykle jest niezerowa w chwili dostawy (rozliczania). Wstawiając do wzoru (4.17) cenę forward K mamy

Twierdzenie 4.6

Wartość kontraktu terminowego forward na i-ty instrument bazowy wynosi w chwili t

F_{t}^{i}=S_{t}^{i}-S^{i}_{0}B_{{t}}=S_{t}^{i}-S^{i}_{0}(1+r)^{t}.

4.4. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 4.3

Zanalizować rynek, czyli znaleźć wszystkie miary martyngałowe i wypłaty osiągalne ew. strategie arbitrażowe, gdy rynek jest jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi i z aktywami opisanymi w następujący sposób:

a) Na rynku jest 1 akcja, a oprocentowanie wynosi 10%. Ceny akcji są opisane przez

S_{0}=20,\quad S_{1}(\omega _{1})=25,\quad S_{1}(\omega _{2})=40,\quad S_{1}(\omega _{3})=22.

b) Stopa procentowa bez ryzyka wynosi 10% i na rynku są 2 akcje przyjmujące wartości:

\displaystyle S^{1}_{0} \displaystyle= \displaystyle 2,\ \quad S^{1}_{1}(\omega _{1})=1,\  S^{1}_{1}(\omega _{2})=3,\  S^{1}_{1}(\omega _{3})=2.
\displaystyle S^{2}_{0} \displaystyle= \displaystyle 5,\ \quad S^{2}_{1}(\omega _{1})=3,\  S^{2}_{1}(\omega _{2})=6,\  S^{2}_{1}(\omega _{3})=8.
Rozwiązanie: 

a) Nie warto sprawdzać, czy istnieje miara martyngałowa, wystarczy zauważyć, że zawsze S_{0}(1+r)\leq S_{1}(\omega). Portfele postaci \alpha>0 akcji i -\alpha S_{0} jednostek w banku są portfelami arbitrażowymi.

b) Istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa: p_{1}=0{,}3, p_{2}=0{,}5, p_{3}=0{,}2. Zatem rynek jest zupełny i wszystkie wypłaty są osiągalne.

Ćwiczenie 4.4

Załóżmy, że rynek jednookresowy jest bezarbitrażowy. Udowodnić, że rynek jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy liczba stanów w \Omega (czyli scenariuszy) jest równa liczbie liniowo niezależnych wektorów wśród wektorów B_{1},S_{1}^{1},\dots,S_{1}^{k}.

Rozwiązanie: 

Rozpatrzmy macierz

A=\left[\begin{array}[]{cccc}B_{1}(\omega _{1})&S_{1}^{1}(\omega _{1})&\cdots&S_{1}^{k}(\omega _{1})\\
B_{1}(\omega _{2})&\cdots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
B_{1}(\omega _{d})&S_{1}^{1}(\omega _{d})&\cdots&S_{1}^{k}(\omega _{d})\\
\end{array}\right]

Rynek jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy równanie A\varphi=x ma rozwiązanie dla każdego x, co jest równoznaczne z warunkiem rank(A)=d, tj. z istnieniem d liniowo niezależnych kolumn macierzy A.

Ćwiczenie 4.5

Niech rynek będzie wolny od arbitrażu. Udowodnić, że jeśli funkcja P\to E_{P}(XB_{T}^{{-1}}) dla P\in{\cal P}({\cal M}) jest stała, to wypłata X jest osiągalna.

Wskazówka: 

Skorzystać z idei drugiego podstawowego twierdzenia matematyki finansowej (tw. 4.4).

Ćwiczenie 4.6

Udowodnić, że rynek bez możliwości arbitrażu jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy proces M, który jest P^{*}-martyngałem dla pewnego P^{*}\in{\cal P}({\cal M}) można przedstawić w postaci

M_{t}=M_{0}+\sum _{{k=0}}^{{t-1}}\varphi _{{u+1}}(S_{{u+1}}^{*}-S_{u}^{*}) (4.18)

dla t=1,\dots,T, gdzie (\varphi _{u})_{u} jest procesem prognozowalnym.

Rozwiązanie: 

Z zupełności rynku wynika, że wypłata X=M_{T}B_{T} jest replikowalna, więc istnieje strategia \varphi\in\Phi, taka że

M_{T}=V_{T}^{*}(\varphi)=V_{0}^{*}+\sum _{{k=0}}^{{T-1}}\varphi _{{u+1}}(S_{{u+1}}^{*}-S_{u}^{*}),

a stąd i z tego, że M jest martyngałem wynika (4.18).

\Leftarrow\quad Niech X będzie dowolną wypłatą. Zdefiniujmy martyngał

M_{t}=E_{{P^{*}}}(\frac{X}{B_{T}}|{\cal F}_{t}).

Z przedstawienia (4.18) i z lematu 4.1 wynika, że \varphi\in\Phi\varphi replikuje X.

W następnym zadaniu podajemy przykład ilustrujący fakt, że na rynku jednookresowym o przeliczalnej liczbie scenariuszy i aktywów może nie istnieć ani arbitraż, ani miara martyngałowa.

Ćwiczenie 4.7

Niech \Omega=\{ 1,2,\dots,\}, {\cal F}=2^{\Omega}, a prawdopodobieństwo P będzie takie że P(\{\omega\})>0. Rozważmy rynek jednookresowy, na którym stopa procentowa bez ryzyka r=0. Ponadto na tym rynku jest przeliczalnie wiele aktywów, których ceny w chwili 0 są równe 1, tj. ceny spełniają S_{0}^{i}=1 dla i=0,1,2,\dots, a w chwili końcowej T:

S_{T}^{0}\equiv 1,\qquad S_{T}^{i}(\omega)=\begin{cases}0&\omega=i,\cr 2&\omega=i+1,\cr 1&w~p.p.,\end{cases}

dla i=1,2,\dots. Ceny są elementami l^{{\infty}}, więc portfele na tym rynku są elementami l^{1}. Udowodnić, że przy powyższych założeniach nie istnieje ani arbitraż, ani miara martyngałowa.

Rozwiązanie: 

Zaczniemy od wykazania, że nie istnieje arbitraż. Rozpatrzmy portfel \varphi=(\varphi^{0},\varphi^{1},\varphi^{2},\ldots)\in l^{1} taki, że

V_{0}(\varphi)=\sum _{{i=0}}^{\infty}\varphi^{i}=0\quad\hbox{oraz}\quad\forall\omega\quad V_{T}(\varphi)(\omega)=\varphi S_{T}(\omega)\geq 0. (4.19)

Wtedy z (4.19) biorąc \omega=1 otrzymujemy

0\leq\varphi S_{T}(1)=\varphi^{0}+\sum _{{k=2}}^{{\infty}}\varphi^{i}=-\varphi^{1},

a gdy \omega=i>1, to

0\leq\varphi S_{T}(i)=\varphi^{0}+2\varphi^{{i-1}}+\sum _{{k=1,k\not=i,k\not=i-1}}\varphi^{k}=\varphi^{{i-1}}-\varphi^{i}.

Stąd \varphi^{1}\leq 0 oraz dla każdego i\geq 2 mamy \varphi^{i}\leq\varphi^{{i-1}}, tj.

0\geq\varphi^{1}\geq\varphi^{2}\geq\dots

Stąd z kolei \varphi^{i}\equiv 0, ponieważ \varphi\in l^{1}, a więc \sum _{{i=1}}^{{\infty}}|\varphi^{i}|<\infty. Zatem nie istnieje arbitraż.

Nie istnieje także miara martyngałowa: nie istnieje P^{*} takie, że P^{*}\sim P i

\forall _{{i}}\quad E_{{P^{*}}}(S_{T}^{i})=S_{0}^{i}=1. (4.20)

Istotnie, równość (4.20) oznacza, że dla ustalonego i mamy

1=E_{{P^{*}}}(S^{i}_{T})=2P^{*}(\{ i+1\})+\sum _{{k\not=i,i+1}}P^{*}(\{ k\})=1+P^{*}(\{ i+1\})-P^{*}(\{ i\}).

Stąd z kolei otrzymujemy, że (4.20) pociąga za sobą

\forall _{{i}}\quad P^{*}(\{ i\})=P^{*}(\{ i+1\}). (4.21)

Doszliśmy do sprzeczności, gdyż nie istnieje miara probabilistyczna określona na całej \Omega spełniająca (4.21).

Ćwiczenie 4.8

Udowodnić, że na rynku bez możliwości arbitrażu wycena wypłaty osiągalnej za pomocą ceny arbitrażowej (wzoru (4.6)) tworzy zgodny system cen, w tym sensie, że rynek rozszerzony o instrument bazowy o cenie S^{{k+1}}=\Pi(X) jest dalej rynkiem bez możliwości arbitrażu.

Rozwiązanie: 

Gdy P^{{*}}\in{\cal P}({\cal M})), to S^{{*i}}P^{{*}}-martyngałami. Ponadto, z (4.6)

\frac{\Pi _{{t}}(X)}{B_{{t}}}=E_{{P^{{*}}}}\Big(\frac{X}{B_{{T}}}\ \Big|\ {\cal F}_{{t}}\Big),

więc \Pi^{*}_{{t}}(X) jest też P^{{*}}-martyngałem, czyli P^{{*}} jest miarą martyngałowa dla rynku rozszerzonego.

Ćwiczenie 4.9

Na rynku dwuokresowym opisanym w ćwiczeniu 4.2 znaleźć strategię replikującą europejską opcję kupna z ceną wykonania K=105.

Rozwiązanie: 

Należy zabezpieczyć wypłatę X przyjmującą wartości: X(\omega _{1})=35, X(\omega _{i})=0 dla i=2,3,4. Trzeba znaleźć strategię samofinansującą się \varphi replikującą wypłatę X. Czyli szukamy \varphi _{1}=(\varphi _{1}^{0},\varphi _{1}^{1}), gdzie \varphi _{1}^{0},\varphi _{1}^{1}\in\mathbb{R} oraz \varphi _{2}=(\varphi _{2}^{0},\varphi _{2}^{1}), gdzie \varphi _{2}^{0}(\omega _{1})=\varphi _{2}^{0}(\omega _{2}), \varphi _{2}^{0}(\omega _{3})=\varphi _{2}^{0}(\omega _{4})\varphi _{2}^{1}(\omega _{1})=\varphi _{2}^{1}(\omega _{2}), \varphi _{2}^{1}(\omega _{3})=\varphi _{2}^{1}(\omega _{4}), takich że V_{2}(\varphi)=X, tj.

\begin{cases}140\ \varphi _{2}^{1}(\omega _{1})+(1{,}1)^{2}\ \varphi _{2}^{0}(\omega _{1})=35,\cr S_{2}\ (\omega _{i})\varphi _{2}^{1}(\omega _{i})+(1{,}1)^{2}\ \varphi _{2}^{0}(\omega _{i})=0,&\text{ gdy
}i=2,3,4\end{cases}

oraz

\begin{cases}120\ \varphi _{1}^{1}+1{,}1\ \varphi _{1}^{0}=120\ \varphi _{2}^{1}(\omega _{1})+1{,}1\ \varphi _{2}^{0}(\omega _{1}),\cr 80\ \varphi _{1}^{1}+1{,}1\ \varphi _{1}^{0}=0\end{cases}

(warunek samofinansowania się strategii). Rozwiązując te układy otrzymujemy: \varphi _{2}^{0}(\omega _{1})=\varphi _{2}^{0}(\omega _{2})=-\frac{87{,}5}{1{,}21}, \varphi _{2}^{0}(\omega _{3})=\varphi _{2}^{0}(\omega _{4})=0, \varphi _{2}^{1}(\omega _{1})=\varphi _{2}^{1}(\omega _{2})=\frac{7}{8}, \varphi _{2}^{1}(\omega _{3})=\varphi _{2}^{1}(\omega _{4})=0, \varphi _{1}^{0}=-\frac{56}{1{,}21}, \varphi _{1}^{1}=\frac{7}{11}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.