Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 5. Model dwumianowy (Coxa-Rossa-Rubinsteina) – MIM UW

Zagadnienia

5. Model dwumianowy (Coxa-Rossa-Rubinsteina)

Rozważymy teraz prosty, ale bardzo ważny model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Nazywa go się także modelem dwumianowym. Powstał później niż model Blacka-Scholesa. Ma zastosowanie przy konstrukcji metod numerycznych dla obliczania cen różnych skomplikowanych wypłat.

5.1. Model CRR

Na rynku są dwa podstawowe instrumenty, rachunek bankowy z procesem cen:

B_{{t}}=(1+r)^{{t}},\quad t=0,\dots,T

i instrument ryzykowny (np. akcja) z procesem cen zadanym wzorem:

S_{0}=s>0,\quad S_{{t+1}}=S_{{t}}U_{{t+1}},\quad t=0,1,\dots,T-1, (5.1)

gdzie U_{{t}} są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

P(U_{{t}}=1+b)=p,\quad P(U_{{t}}=1+a)=1-p,\quad p\in(0,1),

przy czym -1<a<b. Wielkości ab są stopami zwrotu z akcji, gdy cena zmienia się odpowiednio na S_{{t}}(1+a)S_{{t}}(1+b), gdyż

\frac{S_{{t+1}}-S_{{t}}}{S_{{t}}}=U_{{t+1}}-1.

Z tej definicji widać, że na model CRR można patrzeć jako na niezależne jednookresowe dwustanowe modele o tej samej stopie zwrotu, gdyż można ten model zrealizować na przestrzeni probabilistycznej (\Omega,{\cal F},P), gdzie \Omega=\{ 1+a,1+b\}^{{T}}, {\cal F}=2^{{\Omega}}, zaś P jest prawdopodobieństwem produktowym jednoznacznie wyznaczonym przez p. Wtedy

U_{{t}}((\omega _{{1}},\dots,\omega _{{T}}))=\omega _{{t}}\quad\hbox{i}\quad{\cal F}_{t}=\sigma(S_{0},S_{{1}},\dots,S_{{t}})=\sigma(U_{{1}},\dots,U_{{t}}).

Zbadamy własności tak zdefiniowanego modelu rynku. Rozpatrzymy model ogólniejszy. Niech \Omega,{\cal F},U_{{t}},S_{{t}} będą określone jak wyżej, natomiast P jest pewnym prawdopodobieństwem na {\cal F}. Zauważmy, że

P(\{(\omega _{{1}},\dots,\omega _{{T}})\})=P(U_{{1}}=\omega _{{1}},\dots,U_{{T}}=\omega _{{T}}), (5.2)

zatem znajomość prawdopodobieństwa P jest równoważna znajomości rozkładu łącznego wektora (U_{{1}},\dots,U_{{T}}).

Do badania własności użyjemy aparatu miar martyngałowych. Dlatego zaczynamy od nastepującego lematu:

Lemat 5.1

(S_{{t}}^{{*}})_{{t\in{\cal T}}} jest martyngałem względem rozkładu prawdopodobieństwa P^{*} wtedy i tylko wtedy, gdy

\forall _{{t\leq T-1}}\quad E_{{P^{*}}}(U_{{t+1}}|{\cal F}_{{t}})=1+r.
E_{{P^{*}}}(S_{{t+1}}^{{*}}|{\cal F}_{{t}})=S_{{t}}^{{*}}\quad\Leftrightarrow\quad E_{{P^{*}}}(\frac{S_{{t+1}}^{{*}}}{S_{{t}}^{{*}}}|{\cal F}_{{t}})=1\quad\Leftrightarrow\quad E_{{P^{*}}}(\frac{U_{{t+1}}}{1+r}|{\cal F}_{{t}})=1.
Wniosek 5.1

Jeśli rynek jest wolny od arbitrażu, to r\in(a,b).

Gdy rynek jest wolny od arbitrażu, to istnieje miara martyngałowa P^{*} dla S_{{t}}^{{*}}, więc z lematu 5.1 mamy E_{{P^{{*}}}}(U_{{t+1}}|{\cal F}_{{t}})=1+r, czyli E_{{P^{{*}}}}(U_{{t+1}})={=}1+r. Ale U_{{t+1}} przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem wartości 1+a oraz 1+b, więc średnia należy do wnętrza przedziału, tj. (1+r)\in(1+a,1+b).

Z lematu 5.1 otrzymujemy natychmiast istnienie miary martyngałowej, będącej miarą produktową, dla rynku CRR, gdy r\in(a,b).

Twierdzenie 5.1

Niech r\in(a,b). Jeśli P jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez p=\frac{r-a}{b-a}, to zdyskontowany proces cen S_{{t}}^{{*}} jest P-martyngałem.

Z definicji prawdopodobieństwa P i definicji U_{t} wynika niezależność zmiennych U_{1},\ldots,U_{T}. Stąd i z postaci rozkładu U_{{t+1}} otrzymujemy

E_{P}(U_{{t+1}}|{\cal F}_{{t}})=E_{P}U_{{t+1}}=p(1+b)+(1-p)(1+a)=1+r

i lemat 5.1 kończy dowód.

Jedyność miary martyngałowej wynika z kolejnego twierdzenia.

Twierdzenie 5.2

Jeśli rynek CRR jest wolny od arbitrażu, to jest zupełny.

Należy udowodnić, że jeśli zdyskontowany proces cen S_{{t}}^{{*}} jest P-martyngałem, to P jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez p=\frac{r-a}{b-a}. Jest to równoważne faktowi, że U_{{1}},\dots,U_{{T}} są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:

P(U_{{1}}=1+b)=\frac{r-a}{b-a}=1-P(U_{{1}}=1+a).

Dla dowolnego t z lematu 5.1 otrzymujemy E_{P}(U_{{t+1}}|{\cal F}_{{t}})=1+r, a ponieważ zmienna losowa U_{{t+1}} przyjmuje dwie wartości, więc

(1+a)E_{P}({\bf 1}_{{\{ U_{{t+1}}=1+a\}}}|{\cal F}_{{t}})+(1+b)E_{P}({\bf 1}_{{\{ U_{{t+1}}=1+b\}}}|{\cal F}_{{t}})=1+r. (5.3)

Ponadto

E_{P}({\bf 1}_{{\{ U_{{t+1}}=1+a\}}}|{\cal F}_{{t}})+E_{P}({\bf 1}_{{\{ U_{{t+1}}=1+b\}}}|{\cal F}_{{t}})=1.

Stąd oznaczając

Z_{t}=E_{P}({\bf 1}_{{\{ U_{{t+1}}=1+b\}}}|{\cal F}_{{t}}) (5.4)

mamy z (5.3):

(1+a)(1-Z_{t})+(1+b)Z_{t}=1+r.

Rozwiązując to równanie otrzymujemy

Z_{t}=\frac{r-a}{b-a},

a więc Z_{t}=Z jest zmienną losową stałą i jest taka sama dla każdego t. Stąd dla dowolnego t

P(U_{{t+1}}=1+b)=E_{P}Z=\frac{r-a}{b-a}, (5.5)

czyli zmienne losowe U_{{t}} mają jednakowy rozkład. Aby wykazać niezależność zmiennych losowych U_{{t}} względem miary P wystarczy udowodnić, że dla t=T i dla dowolnych x_{{i}}\in\{ 1+a,1+b\} zachodzi:

P(U_{{1}}=x_{{1}},\dots,U_{{t}}=x_{{t}})=\prod _{{i=1}}^{{t}}P(U_{{i}}=x_{{i}}). (5.6)

Dowodzimy (5.6) używając indukcji matematycznej (ćwiczenie 5.1).

Zatem rozkład (U_{{1}},\dots,U_{{T}}) jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez p=\frac{r-a}{b-a}; teraz z (5.2) otrzymujemy, że prawdopodobieństwo martyngałowe P jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez p=\frac{r-a}{b-a}.

Ćwiczenie 5.1

Udowodnić (5.6).

Rozwiązanie: 

Do dowodu (5.6) dla t=T użyjemy indukcji matematycznej i wykażemy, że (5.6) zachodzi dla dowolnego t\in{\cal T}, a więc i dla t=T. Z (5.5) wynika, że (5.6) zachodzi dla t=1. Zakładając, że równość (5.6) jest prawdziwa dla t wykażemy, że jest również prawdziwa dla t+1.

\displaystyle P(U_{{1}} \displaystyle= \displaystyle x_{{1}},\dots,U_{{t+1}}=x_{{t+1}})=
\displaystyle= \displaystyle P(U_{{t+1}}=x_{{t+1}}|U_{{1}}=x_{{t+1}},\dots,U_{{t}}=x_{{t}})P(U_{{1}}=x_{{1}},\dots,U_{{t}}=x_{{t}})=
\displaystyle= \displaystyle P(U_{{t+1}}=x_{{t+1}})\prod _{{i=1}}^{{t}}P(U_{{i}}=x_{{i}}),

gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z (5.4), (5.5) i z założenia indukcyjnego.

Z dowodu twierdzenia mamy natychmiast.

Wniosek 5.2

Jeśli rynek CRR jest wolny od arbitrażu, to U_{{1}},\dots,U_{{T}} są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:

P(U_{{1}}=1+b)=\frac{r-a}{b-a}=1-P(U_{{1}}=1+a).

Założyliśmy, że stopa procentowa r\geq 0, więc od tego momentu mówiąc o modelu CRR będziemy zawsze zakładać, że

r\in(a,b)\quad\hbox{oraz}\quad r\geq 0.
Twierdzenie 5.3

Cena arbitrażowa wypłaty X w modelu CRR jest dana wzorem

\Pi _{{t}}(X)=B_{{t}}E_{{P^{*}}}(XB_{{T}}^{{-1}}|{\cal F}_{{t}})\qquad{\rm dla}\  t\in{\cal T},

gdzie miara martyngałowa P^{{*}} jest wyznaczona przez p=\frac{r-a}{b-a}.

Ponieważ model rynku CRR jest wolny od arbitrażu i zupełny, więc teza wynika natychmiast z tw. 4.3.

Wniosek 5.3

Cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna z terminem wykonania T i ceną wykonania K na akcję o cenie zadanej przez proces S jest równa:

C_{{T-t}}=(1+r)^{{-t}}\sum _{{j=0}}^{{t}}{t\choose j}p^{{j}}(1-p)^{{t-j}}(S_{{T-t}}u^{{j}}d^{{t-j}}-K)^{{+}}, (5.7)

gdzie u=1+b, d=1+a.

Ponieważ S_{{u}}=s\prod _{{j=1}}^{{u}}U_{{j}} dla u\in{\cal T}, więc

\displaystyle C_{{T-t}} \displaystyle= \displaystyle(1+r)^{{-t}}E_{{P^{{*}}}}((S_{{T}}-K)^{{+}}|{\cal F}_{{T-t}})=
\displaystyle= \displaystyle(1+r)^{{-t}}E_{{P^{{*}}}}\Big(\Big(S_{{T-t}}\cdot\prod _{{j=T-t+1}}^{{T}}U_{{j}}-K\Big)^{{+}}\Big|{\cal F}_{{T-t}}\Big).

Korzystając z niezależności \prod _{{j=T-t+1}}^{T}U_{{j}} od {\cal F}_{{T-t}} i mierzalności S_{{T-t}} względem {\cal F}_{{T-t}} i znanego twierdzenia o obliczaniu takich wartości oczekiwanych mamy tezę.

Cenę C_{t} europejskiej opcji kupna z terminem wykonania T i ceną wykonania K w chwili t otrzymujemy ze wzoru (5.7) i obserwacji C_{t}=C_{{T-(T-t)}}.

Przykład 5.1

Niech w modelu CRR S_{0}=100; S_{1}^{d}=80; S_{1}^{u}=130; T=2; r=0{,}1. Wycenić europejskie opcje kupna i sprzedaży z ceną wykonania 90.
Miara martyngałowa jest zadana przez p=3/5. Z (5.7) lub wzoru ogólnego znajdujemy cenę opcji kupna C_{0}=29{,}06, a z parytetu cenę opcji sprzedaży P_{0}=3{,}44.

Problem replikacji. Zajmiemy się teraz problemem replikacji wypłaty postaci X=h(S_{T}), dla pewnego h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} (taką postać wypłaty mają np. opcje). Gdy \varphi replikuje X, to

X=V_{T}(\varphi)=V_{{T-1}}(\varphi)+\varphi^{1}_{T}(S_{T}-S_{{T-1}})+\varphi _{T}^{0}(B_{T}-B_{{T-1}}),

zatem

h(S_{{T-1}}U_{T})=V_{{T-1}}(\varphi)+\varphi _{T}^{1}S_{{T-1}}(U_{T}-1)+\varphi _{T}^{0}rB_{{T-1}}.

Ponieważ U_{T} przyjmuje dwie wartości: (1+a)(1+b), więc na zbiorze U_{T}=1+a, mamy

h(S_{{T-1}}(1+a))=V_{{T-1}}(\varphi)+\varphi _{T}^{1}S_{{T-1}}a+\varphi _{T}^{0}rB_{{T-1}},

a na zbiorze U_{T}=1+b, to mamy

h(S_{{T-1}}(1+b))=V_{{T-1}}(\varphi)+\varphi _{T}^{1}S_{{T-1}}b+\varphi _{T}^{0}rB_{{T-1}}.

Ponieważ proces \varphi _{t}^{1} jest prognozowalny, więc \varphi _{T}^{1} nie zależy od wartości U_{T}. Zatem z powyższych równości otrzymujemy liczbę akcji w chwili T:

\varphi^{1}_{T}=\frac{h(S_{{T-1}}(1+b))-h(S_{{T-1}}(1+a))}{S_{{T-1}}(b-a)}=\Delta(S_{{T-1}}),

gdzie

\Delta(x)=\frac{h(x(1+b))-h(x(1+a))}{x(b-a)}

oraz liczbę jednostek bankowych w chwili T

\varphi _{T}^{0}=\frac{1}{rB_{{T-1}}}\Big[h(S_{{T-1}}(1+b))-V_{{T-1}}(\varphi)-b\frac{h(S_{{T-1}}(1+b))-h(S_{{T-1}}(1+a))}{b-a}\Big].

W ten sposób, cofając się, znajdujemy postać portfela replikującego.

Ćwiczenie 5.2

Udowodnić, że portfel replikujący w chwili t ma postać

\displaystyle\varphi _{t}^{1} \displaystyle= \displaystyle\frac{f(t,S_{{t-1}}(1+b))-f(t,S_{{t-1}}(1+a))}{S_{{t-1}}(b-a)}, (5.8)
\displaystyle\varphi _{t}^{0} \displaystyle= \displaystyle\frac{(1+b)f(t,S_{{t-1}}(1+a))-(1+a)f(t,S_{{t-1}}(1+b))}{(b-a)(1+r)^{t}}. (5.9)
Rozwiązanie: 

Ogólnie, w chwili t musi zachodzić

(1+r)^{{t-T}}E(h(S_{T})|{\cal F}_{t})=V_{t}(\varphi)=\varphi _{t}^{0}(1+r)^{t}+\varphi _{t}^{1}S_{t}. (5.10)

Jak wiemy, S_{T}=S_{t}Z_{t}, gdzie Z_{t}=\Pi _{{j=t+1}}^{T}U_{j}, a więc

\displaystyle V_{t}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle(1+r)^{{t-T}}E(h(S_{T})|{\cal F}_{t})=(1+r)^{{t-T}}E(h(xZ_{t}))\Big|_{{x=S_{t}}}= (5.11)
\displaystyle= \displaystyle f(t,S_{t}).

Z tego wynika, że wartość w chwili t portfela replikującego wypłatę h(S_{T}) zależy tylko od obecnej wartości ceny, czyli od S_{t}. Z (5.10) i (5.11) otrzymujemy

\varphi _{t}^{1}S_{{t-1}}U_{t}=f(t,S_{{t-1}}U_{t})-(1+r)^{t}\varphi _{t}^{0},

czyli

\varphi _{t}^{1}S_{{t-1}}(1+a)=f(t,S_{{t-1}}(1+a))-(1+r)^{t}\varphi^{0}_{t}

i

\varphi _{t}^{1}S_{{t-1}}(1+b)=f(t,S_{{t-1}}(1+b))-(1+r)^{t}\varphi^{0}_{t}.

Zatem zachodzi (5.8) i proces \varphi _{t}^{1} jest prognozowalny. Ponadto

\displaystyle\varphi _{t}^{0} \displaystyle= \displaystyle\frac{f(t,S_{{t-1}}(1+b))+f(t,S_{{t-1}}(1+a))-\varphi _{t}^{1}S_{{t-1}}(2+a+b)}{2(1+r)^{t}}
\displaystyle= \displaystyle\frac{(1+b)f(t,S_{{t-1}}(1+a))-(1+a)f(t,S_{{t-1}}(1+b))}{(b-a)(1+r)^{t}}.

Na wzór (5.8) można spojrzeć jako na dyskretny analog pochodnej wartości portfela względem możliwej zmiany ceny instrumentu podstawowego. W języku finansów takie strategie nazywa się delta zabezpieczeniem.

Z (5.8) otrzymujemy też

Wniosek 5.4

Gdy h jest funkcją rosnącą, to \varphi _{t}^{1}\geq 0. Zatem można replikować wypłatę h(S_{T}) bez korzystania z krótkiej sprzedaży.

W szczególności wynika stąd, że można tak replikować wypłatę z europejskiej opcji kupna.

5.2. Problemu maksymalizacji oczekiwanej użyteczności

Rozważymy teraz na przykładzie modelu CRR problem maksymalizacji oczekiwanej użyteczności. Inwestor ma swoją miarę użyteczności osiągniętego bogactwa, jest to funkcja użyteczności U\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}. Wartość U(x) opisuje satysfakcję inwestora posiadającego kapitał x. Wartość inwestycji mierzy się przez oczekiwaną użyteczność (przy mierze subiektywnej P) kapitału osiągniętego na końcu inwestycji, czyli przez E_{P}U(V_{T}(\varphi)).

Funkcję U\colon(0,\infty)\to\mathbb{R} nazywamy funkcją użyteczności, gdy jest niemalejąca, wklęsła, różniczkowalna i ma ciągłą pochodną. Często o U zakłada się, że spełnia tzw. warunki Inady:

\lim _{{x\to 0}}U^{{\prime}}(x)=\infty,\qquad\lim _{{x\to\infty}}U^{{\prime}}(x)=0.

Najczęściej używane są: logarytmiczna funkcja użyteczności U(x)=\ln x, potęgowa U(x)=\frac{x^{\alpha}}{\alpha}, \alpha\in(-\infty,0)\cup(0,1) oraz wykładnicza funkcja użyteczności U(x)=1-\exp(-bx), b>0.

Naszym celem jest znalezienie, przy danym kapitale początkowym x, strategii samofinansującej się \varphi^{*} maksymalizującej oczekiwaną użyteczność kapitału osiągniętego na końcu inwestycji, czyli strategii \varphi^{*} takiej że V_{0}(\varphi^{*})=x i

E_{P}\ \Big(U(V_{T}(\varphi^{*}))\ \Big)=\max _{{\varphi\in\Phi,\  V_{0}(\varphi)=x}}E_{P}\ \Big(U(V_{T}(\varphi))\ \Big). (5.12)

Rozwiążemy ten problem w przypadku funkcji logarytmicznej U(x)=\ln x, rozszerzając ją na (-\infty,0] wzorem U(x)=-\infty. Ponieważ

\ln V_{T}(\varphi)=\ln V^{*}_{T}(\varphi)+\ln B_{T},

więc problem optymalizacji sprowadza się do znalezienia maksimum

\max _{{\varphi\in\Phi,\  V_{0}(\varphi)=x}}E_{P}(\ln V_{T}^{*}(\varphi)).

Skorzystamy z faktu, że V_{T}^{*}(\varphi) jest P^{*}-martyngałem, gdy P^{*} jest miarą martyngałową, z czego wynika, że E_{{P^{*}}}V_{T}^{*}(\varphi)=V_{0}(\varphi). Niech

\displaystyle dP^{*} \displaystyle= \displaystyle Z_{T}dP,
\displaystyle Y_{t} \displaystyle= \displaystyle E_{{P^{*}}}(xZ_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}).

Wtedy Y_{t} jest P^{*}-martyngałem i Y_{T}=xZ_{T}^{{-1}} oraz Y_{0}=x. Udowodnimy, że

  • a) Dla dowolnej strategii samofinansującej się \varphi, takiej że V_{0}(\varphi)=x

    E_{P}(\ln V_{T}^{*}(\varphi))\leq E_{P}(\ln Y_{T}). (5.13)
  • b) Istnieje strategia samofinansująca się \varphi^{*}, taka że

    Y_{t}=V^{*}_{t}(\varphi^{*}). (5.14)

Dla każdego \varphi\in\Phi takiego, że V_{0}(\varphi)=x zachodzi

\displaystyle E_{P}(\ln V_{T}^{*}(\varphi)) \displaystyle= \displaystyle E_{P}\Big(\ln\frac{x}{Z_{T}}+\ln V_{T}^{*}(\varphi)-\ln\frac{x}{Z_{T}}\Big)\leq
\displaystyle\leq \displaystyle E_{P}\Big(\ln\frac{x}{Z_{T}}\Big)+E_{P}\Big(\frac{Z_{T}}{x}V_{T}^{*}(\varphi)-1\Big)=
\displaystyle= \displaystyle E_{P}\Big(\ln\frac{x}{Z_{T}}\Big)+\frac{1}{x}E_{{P^{*}}}\Big(V_{T}^{*}(\varphi))-1=E_{P}(\ln Y_{T}),

co daje (5.13).
Z zupełności rynku istnieje strategia samofinansująca się \varphi^{*} spełniająca V_{T}^{*}(\varphi)=Y_{T}, a ponieważ Y jest P^{*}-martyngałem, to (5.14) zachodzi.
Okazuje się, że jak na rynku skończonym potrafimy znaleźć \varphi^{*} spełniające (5.12), to na rynku skończonym nie ma arbitrażu.

Ćwiczenie 5.3

Niech U będzie funkcją ściśle monotoniczną. Jeśli istnieje rozwiązanie zagadnienia (5.12), to na rynku nie ma arbitrażu.

Wskazówka: 

Przeprowadzić rozumowanie niewprost.

5.3. Aproksymacje za pomocą modeli dwumianowych

Gdy obserwujemy rynek z czasem ciągłym, czyli gdy czas jest odcinkiem [0,T], to ceny należy opisywać modelem, w którym występują procesy z czasem ciągłym. Ale jak wiadomo, przy opisie rozmaitych zjawisk można modele z czasem ciągłym z powodzeniem aproksymować modelami dyskretnymi. Teraz opiszemy, jak wykorzystuje się model CRR do aproksymacji modelu z czasem ciągłym.

Konstruuje się ciąg przybliżeń, w którym jako n-te przybliżenie bierze się model CRR skonstruowany następująco:

W tym (czyli n-tym) kroku dzielimy odcinek [0,T] na n części o długości \delta _{{n}}={=}\frac{T}{n} każda. Zakładamy, że handel odbywa się w chwilach czasu t_{{j}}=t_{{j}}^{{(n)}}=j\delta _{{n}}, j=0,1,\dots,n. W czasie ciągłym rachunek oszczędnościowy jest opisywany przez równanie B_{{t}}=e^{{rt}} (r>0 jest stałą). Chcemy dopasować stopę procentową r_{{n}} tak, żeby otrzymać równość cen rachunków oszczędnościowych w modelu ciągłym i dyskretnym we wszystkich punktach t_{{j}}. W tym celu bierzemy r_{{n}} takie, że

1+r_{{n}}=e^{{r\delta _{{n}}}}.

Wtedy

B_{{t_{{j}}}}=e^{{rj\delta _{{n}}}}=(e^{{r\delta _{{n}}}})^{{j}}=(1+r_{{n}})^{{j}}.

Teraz dobieramy stałe a_{{n}}b_{{n}} spełniające

-1<a_{{n}}<r_{{n}}<b_{{n}} (5.15)

(wtedy model CRR jest bez możliwości arbitrażu i zupełny). Warunek (5.15) musi być spełniony, poza tym wyboru a_{{n}}b_{{n}} dokonujemy tak, by model graniczny opisywał model z czasem ciągłym. Zrobimy to w taki sposób, by

u_{n}d_{n}=(1+b_{{n}})(1+a_{{n}})=1.

Taki wybór zakłada pewien rodzaj symetrii ruchu cen. Niech

1+a_{{n}}=e^{{-\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}},\qquad 1+b_{{n}}=e^{{\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}},

gdzie \sigma>0 jest ustalona z góry. Łatwo sprawdzić, że nierówność (5.15) zachodzi dla dostatecznie dużych n. Wtedy miara martyngałowa jest zadana przez podanie prawdopodobieństwa wzrostu ceny akcji

p_{{n}}=\frac{e^{{r\delta _{{n}}}}-e^{{-\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}}}{e^{{\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}}-e^{{-\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}}}.

Zachodzi

Ćwiczenie 5.4

Udowodnić, że p_{{n}}\to 1/2, gdy n\to\infty .

W ten sposób skonstruowaliśmy n-ty model CRR dla ciągu przybliżeń. Parametry a_{n},b_{n},p_{n} są ustalone i zależą od parametrów r,\sigma i liczby kroków n, a więc długości podziału \delta _{n}. Pozostaje pytanie, jak dobrać parametry n-tego przybliżenia. Stopę procentową bez ryzyka r znamy. Parametr \sigma wybieramy tak, by wariancja stopy zwrotu z akcji na jednostkę czasu była równa wariancji na jednostkę czasu z modelu ciągłego (modelu Blacka-Scholesa opisanego w §9.1). Liczbę n dobieramy według naszych potrzeb (ten parametr możemy zmieniać), byle n było dostatecznie duże (zad. 5.11).

Możemy też bez straty ogólności założyć, że wszystkie modele (a więc i procesy z nimi związane) są skonstruowane na wspólnej przestrzeni probabilistycznej (\Omega,{\cal F},P). Zakładamy też, że cena początkowa aktywa w każdym przybliżeniu jest taka sama. Jak wiemy, cena S^{{(n)}} aktywa ryzykownego w n-tym modelu spełnia

S_{{t}}^{{(n)}}=s\prod _{{j=1}}^{{t}}U^{{(n)}}_{{j}},

gdzie P(U^{{(n)}}_{{j}}=1+b_{{n}})=p_{{n}}, P(U^{{(n)}}_{{j}}=1+a_{{n}})=1-p_{{n}}, S_{0}^{{(n)}}=s i zmienne losowe U^{{(n)}}_{1}, …, U^{{(n)}}_{n} są niezależne, o tym samym rozkładzie. Zapiszmy to dla t=T inaczej:

S_{{T}}^{{(n)}}=se^{{\sigma\sqrt{\delta _{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}V^{{(n)}}_{{j}}}},

gdzie V^{{(n)}}_{{j}}=\frac{\ln U^{{(n)}}_{j}}{\sigma\sqrt{\delta _{n}}}, zatem V^{{(n)}}_{{j}} są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

P(V^{{(n)}}_{{j}}=1)=p_{{n}}=1-P(V^{{(n)}}_{{j}}=-1).

Z centralnego twierdzenia granicznego otrzymujemy po przekształceniach

\frac{\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}V_{{j}}^{{(n)}}\mathop{\longrightarrow}\limits _{{n\to\infty}}^{d}\ {\cal N}\Big(\Big(r-\frac{\sigma^{{2}}}{2}\Big)T,\sigma^{{2}}T\Big). (5.16)

Stąd, gdy n\to\infty, to

\ln S_{{T}}^{{(n)}}\mathop{\longrightarrow}\limits _{{n\to\infty}}^{d}\ \ln s+(r-\frac{\sigma^{{2}}}{2})T+\sigma\sqrt{T}Z, (5.17)

gdzie Z\sim{\cal N}(0,1), czyli

S_{{T}}=S_{0}\exp\Big((r-\frac{\sigma^{{2}}}{2})T+\sigma\sqrt{T}Z\Big).

Zatem cena w chwili T otrzymana w granicy ma rozkład lognormalny (ten sam rezultat otrzymujemy dla dowolnego t).

Każdy z modeli CRR użyty w tej aproksymacji był bez możliwości arbitrażu i zupełny, więc wiemy, że cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna C_{{T}}^{{(n)}} jest zadana wzorem (5.7) z p=p_{{n}}. W granicy otrzymujemy

Twierdzenie 5.4
\lim _{{n\to\infty}}C_{{T}}^{{(n)}}=sN(d_{{1}}(s,T))-Ke^{{-rT}}N(d_{2}(s,T)), (5.18)

gdzie N oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu gaussowskiego oraz

\displaystyle d_{{1}}(x,t) \displaystyle= \displaystyle\frac{\ln(\frac{x}{K})+(r+\frac{\sigma^{{2}}}{2})t}{\sigma\sqrt{t}}, (5.19)
\displaystyle d_{{2}}(x,t) \displaystyle= \displaystyle d_{{1}}(x,t)-\sigma\sqrt{t}=\frac{\ln(\frac{x}{K})+(r-\frac{\sigma^{{2}}}{2})t}{\sigma\sqrt{t}}. (5.20)

Dowód tego faktu pozostawiamy jako zadanie.

Podsumowując, powyższe rozważania o aproksymacji sugerują, że w ,,rozsądnym” modelu rynku cena aktywa powinna mieć rozkład lognormalny, a cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna powinna być zadana wzorem BlackaS̄cholesa (5.18). Wzór (5.17) dowodzi że S^{{(n)}}_{T} zbiega do S_{T} według rozkładu, a więc gdy wypłata jest funkcją wartości końcowej ceny, tj. X_{n}=f(S^{{(n)}}_{T}), to przy odpowiednich założeniach o funkcji f otrzymujemy

\Pi _{0}(f(S_{T}))=\lim _{{n\to\infty}}\Pi _{0}(f(S^{{(n)}}_{T})). (5.21)

Gdy f jest ograniczona, to (5.21) zachodzi i w szczególności otrzymujemy formułę wyceny dla opcji sprzedaży (a stąd korzystając z parytetu można w inny sposób otrzymać (5.18)).

Okazuje się, że można udowodnić znacznie więcej o zbieżności aproksymacji. Rozpatrzmy proces \hat{S}_{{t}}^{{(n)}} z czasem ciągłym otrzymany z procesu S_{{t}}^{{(n)}} przez interpolację liniową, tj. \hat{S}_{{t_{j}}}^{{(n)}}=S_{{t_{j}}}^{{(n)}} dla t_{j}=\frac{jT}{n}\hat{S}_{{t}}^{{(n)}} jest liniowy pomiędzy punktami postaci t_{j}. Korzystając z tw. Donskera można udowodnić, że proces \hat{S}^{{(n)}} zbiega słabo w C[0,T] do procesu S, takiego że

S_{{t}}=S_{0}\exp\Big((r-\frac{\sigma^{{2}}}{2})t+\sigma W_{t}\Big),

gdzie W_{t} jest procesem Wienera. Stąd otrzymujemy, że ceny pewnych wypłat, które zależą od całej trajektorii procesu cen można otrzymać jako granicę odpowiednich wyrażeń obliczanych dla modelu CRR. Ten fakt wykorzystujemy w modelu z czasem ciągłym do liczenia cen wypłat dla których nie istnieją jawne wzory. Model CRR jest modelem opisującym rynek w sposób rekurencyjny, więc w tym modelu znacznie łatwiej liczyć całki numerycznie niż w modelu z czasem ciągłym.

5.4. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 5.5

Znaleźć cenę arbitrażową europejskiej opcji sprzedaży w modelu CRR.

Rozwiązanie: 

Powtórzyć rozumowanie prowadzące do wzoru (5.7) lub skorzystać z parytetu kupno-sprzedaż.

P_{{T-t}}=(1+r)^{{-t}}\sum _{{j=0}}^{{t}}{t\choose j}p^{{j}}(1-p)^{{t-j}}(K-S_{{T-t}}u^{{j}}d^{{t-j}})^{{+}}.
Ćwiczenie 5.6

Niech w modelu CRR S_{0}=100;S_{1}^{u}=120;S_{1}^{d}=90;T=3;r=0{,}05. Wycenić opcję europejską o wypłacie X=100(R_{T}-0{,}10)^{+}, gdzie R_{T}=\frac{S_{T}-S_{0}}{S_{0}} jest stopą zwrotu z akcji w czasie od 0 do T.

Ćwiczenie 5.7

Rozpatrzmy model CRR, dla którego S_{0}=100; u=1+b=1{,}2;d=1+a=0{,}7;T=2.

a) Dla jakich wartości stopy procentowej r model jest wolny od arbitrażu? Wyznaczyć dla tych wartości miarę martyngałową.

b) Niech r=10\%. Znaleźć cenę arbitrażową europejskich wypłat:

\displaystyle X \displaystyle= \displaystyle(\min(S_{1},S_{2})-90)^{+},
\displaystyle Y \displaystyle= \displaystyle(S_{2}-S_{1}-10)^{+}.
Rozwiązanie: 

a) r\in(0;0{,}2). Miara martyngałowa P^{*} jest zadana przez p=2r+0{,}6.

b) p=0{,}8; \Pi _{0}(X)=15{,}87; \Pi _{0}(Y)=7{,}93.

Ćwiczenie 5.8

Niech w modelu CRR S_{0}=80;u=1,3;T=2;r=0{,}2.

a) Dla jakich d model jest wolny od arbitrażu?

b) Dla d=1{,}1 wycenić opcję europejską o wypłacie X=(\frac{S_{0}+S_{1}+S_{2}}{3}-85)^{+}. Znaleźć strategię replikującą.

Rozwiązanie: 

a) 0<d<1{,}2; b) Miara martyngałowa P^{*} jest zadana przez p=0{,}5, \Pi _{0}(X)=8{,}38.

Ćwiczenie 5.9

Udowodnić, że w modelu CRR cena wypłaty postaci X=g(S_{T}), gdzie g\in C^{2}, g(0)=0 jest równa

\Pi _{0}(X)=S_{0}g^{{\prime}}(0)+\int _{0}^{\infty}C_{0}(y)g^{{\prime\prime}}(y)dy, (5.22)

gdzie C_{0}(y) jest ceną arbitrażową w chwili 0 europejskiej opcji kupna akcji o cenie S z terminem wykonania T i z ceną wykonania y.

Rozwiązanie: 

Wzór Taylora z resztą w postaci całkowej ma postać

g(x)=g(0)+g^{{\prime}}(0)x+\int _{0}^{\infty}(x-y)^{+}g^{{\prime\prime}}(y)dy,

a stąd wynika wzór (5.22).

Ćwiczenie 5.10

a) Znaleźć wariancję stopy zwrotu w n-tym modelu CRR.

b) Znaleźć \sigma znając wariancję stopy zwrotu (tj. przyjmując D^{2}(U_{t})=A, gdzie A jest wariancją teoretyczną z modelu ciągłego Blacka-Scholesa lub A jest wariancją wyestymowaną z rynku.

c) Znaleźć \sigma, gdy wybierzemy inny (ogólniejszy) n-ty model CRR, czyli taki, że u_{n}d_{n}=\gamma, gdzie \gamma jest stałą dodatnią (dla \gamma=1 rozwiązanie otrzymaliśmy w punkcie b)).

Rozwiązanie: 

a) D^{2}(U_{t})=e^{{r\delta _{{n}}}}\Big(e^{{\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}}+e^{{-\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}}\Big)-1-e^{{2r\delta _{{n}}}}.

b) Przyjmując y=e^{{\sigma\sqrt{\delta _{{n}}}}}, B=e^{{r\delta _{{n}}}} otrzymujemy równanie kwadratowe

y^{2}-2Cy+1=0.

Stąd wyliczamy y, a następnie \sigma.

Ćwiczenie 5.11

Udowodnić, że nierówność (5.15) zachodzi dla n>\frac{r^{2}T}{\sigma^{2}}

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.