Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 7. Opcje amerykańskie – MIM UW

Zagadnienia

7. Opcje amerykańskie

Dotąd rozpatrywane wypłaty (opcje typu europejskiego) były typu statycznego, czyli wypłata z opcji następuje w ustalonej chwili T. Teraz rozszerzymy pojęcie instrumentu pochodnego na opcje amerykańskie, czyli na instrument dający posiadaczowi prawo realizacji w dowolnej chwili 0,1,\dots,T.

7.1. Opcje amerykańskie, wycena, zabezpieczenie

Definicja 7.1

Opcją amerykańską o terminie wygaśnięcia T nazywamy ciąg adaptowanych nieujemnych zmiennych losowych Z_{t},
t\in{\cal T}=\{ 0,1,\dots,T\}.

Zmienną losową Z_{t} interpretujemy jako wypłatę otrzymaną z realizacji opcji amerykańskiej w chwili t, a ponieważ Z_{t} jest {\cal F}_{t}-mierzalne, to wypłata zależy od wiedzy w chwili t.

Przykład 7.1

Amerykańska opcja kupna na akcję o cenie S z ceną wykonania K (dodatnia stała) zadana jest przez Z_{t}=(S_{t}-K)^{+}, t\in{\cal T}. Kupujący otrzymuje prawo do zakupu akcji po cenie K w dowolnej chwili 0,1,\dots,T. Analogicznie ciąg Z_{t}=(K-S_{t})^{+}, t\in{\cal T}, zadaje amerykańską opcję sprzedaży na akcje o cenie S z ceną wykonania K.

Posiadacz opcji amerykańskiej ma prawo wykonać ją w dowolnej chwili. Ponieważ posiadacz opcji decyduje czy chwila jej wykonania właśnie nastąpiła i decyduje na podstawie wiedzy zebranej do tego momentu, więc \{\tau=t\}\in{\cal F}_{t}, a więc moment wykonania opcji \tau jest momentem stopu. Sprzedawca opcji dostając za nią zapłatę U_{0} musi postępować w taki sposób, aby w każdej chwili wartość jego portfela \varphi o kapitale początkowym U_{0} przewyższała jego zobowiązania wobec kupca opcji, czyli strategia \varphi musi być taka, by dla wszystkich t zachodziło:

V_{t}(\varphi)\geq Z_{t}. (7.1)

Strategię \varphi spełniająca (7.1) nazywamy strategią zabezpieczającą opcję amerykańską (Z_{t})_{{t\in{\cal T}}}. Zbiór wszystkich takich strategii będziemy oznaczali przez \Gamma((Z_{t})_{{t\in{\cal T}}}). Z warunku (7.1) wynika, że

V_{{\tau}}(\varphi)\geq Z_{\tau}

dla dowolnego momentu stopu \tau o wartościach w zbiorze {\cal T}. Korzystając z analogicznych argumentów jak przy definiowaniu ceny sprzedającego przyjmujemy:

Definicja 7.2

Wielkość

\Pi _{0}^{{a}}((Z_{t})_{{t\in{\cal T}}})=\inf\{ V_{0}(\varphi):\varphi\in\Gamma((Z_{t})_{{t\in{\cal T}}})\} (7.2)

nazywamy ceną arbitrażową w chwili 0 opcji amerykańskiej zadanej przez ciąg wypłat (Z_{t})_{{t\in{\cal T}}}.

Naszym celem będzie teraz znalezienie ceny \Pi _{0}^{a}((Z_{t})_{{t\in{\cal T}}}). Załóżmy, że rozpatrywany rynek jest skończony, bez możliwości arbitrażu i zupeły z jednym instrumentem ryzykownym, czyli {\cal M}=(B,S,\Phi). Przez U_{t} będziemy oznaczać cenę opcji amerykańskiej w chwili t. Zatem naszym zadaniem jest znalezienie U_{0}=\Pi _{0}^{{a}}((Z_{t})_{{t\in{\cal T}}}). W tym celu skorzystamy z tego, że w chwili T zachodzi U_{T}=Z_{T} i wykorzystamy indukcję wsteczną. W chwili T-1 wystawca opcji musi mieć taki kapitał, by zabezpieczyć jedną z wypłat: wypłatę Z_{{T-1}} w chwili T-1 albo wypłatę Z_{T} w chwili T, gdyż każdą z nich może wybrać nabywca opcji. Ponieważ rynek jest zupełny, więc wypłata Z_{T} w chwili T jest osiągalna i w chwili T-1 jej cena jest równa B_{{T-1}}E_{{P^{*}}}(\frac{Z_{T}}{B_{{T}}}|{\cal F}_{{T-1}}) — tyle trzeba mieć w chwili T-1, by zabezpieczyć wypłatę Z_{T} w chwili T. Stąd cena opcji amerykańskiej w chwili T-1 wynosi:

U_{{T-1}}=\max(Z_{{T-1}},B_{{T-1}}E_{{P^{*}}}(Z_{T}^{*}|{\cal F}_{{T-1}})).

Analogiczne rozumowanie daje cenę opcji amerykańskiej w chwili t:

U_{{t-1}}=\max\Big(Z_{{t-1}},B_{{t-1}}E_{{P^{*}}}\Big(\frac{U_{{t}}}{B_{t}}\Big|{\cal F}_{{t-1}}\Big)\Big) (7.3)

dla t=1,2,\dots,T, gdyż wystawca musi zabezpieczyć jedną z wypłat: natychmiastową w chwili t-1, tj. wypłatę Z_{{t-1}} lub wypłatę w chwili późniejszej, a ona w chwili t jest warta U_{t}. Dzieląc obie strony przez B_{{t-1}} i oznaczając U_{t}^{*}=\frac{U_{t}}{B_{t}} mamy

U_{{t-1}}^{*}=\max(Z_{{t-1}}^{*},E_{{P^{*}}}(U_{t}^{*}|{\cal F}_{{t-1}})). (7.4)

Zatem otrzymaliśmy

Twierdzenie 7.1

Zdyskontowana cena U^{*}_{T} opcji amerykańskiej zadanej przez ciąg wypłat (Z_{t})_{{t\in{\cal T}}} jest P^{*}-nadmartyngałem zadanym wzorem (7.4).

Ze wzoru (7.4) wynika, że ciąg (U_{t}^{*})_{{t\in{\cal T}}} jest obwiednią Snella ciągu (Z_{t}^{*})_{{t\in{\cal T}}}, czyli że U_{t}^{*} jest najmniejszym P^{*}-nadmartyngałem dominującym ciąg Z_{t}^{*}. Stąd wykorzystując elementy teorii optymalnego stopowania mamy

Twierdzenie 7.2
  • a) U_{0} — cena w chwili 0 opcji amerykańskiej spełnia

    U_{0}=\sup _{{\tau\leq T}}E_{{P^{*}}}Z_{{\tau}}^{*}, (7.5)

    gdzie \sup bierzemy po momentach stopu \tau o wartościach mniejszych lub równych T.

  • b) Istnieje strategia samofinansująca się \varphi o kapitale początkowym U_{0} zabezpieczająca wypłatę z opcji amerykańskiej (Z_{t})_{{t\in{\cal T}}}.

  • c) Moment stopu

    \upsilon=\inf\{ t:Z_{t}=U_{t}\} (7.6)

    jest momentem realizacji opcji.

Punkt a).  Zdyskontowany proces ceny opcji amerykańskiej U^{*} jest obwiednią Snella ciągu zdyskontowanych wypłat Z^{*}, a stąd korzystając z teorii optymalnego stopowania wynika (7.5).

Punkt b). Jak wiemy, U_{t}^{*} jest P^{*}–nadmartyngałem, więc z tw. Dooba-Meyera o rozkładzie nadmartyngału

U_{t}^{*}=M_{t}-A_{t}, (7.7)

gdzie M jest martyngałem, A — procesem rosnącym prognozowalnym, A_{0}=0. Rynek jest zupełny, więc istnieje strategia \varphi taka, że V_{{T}}^{*}(\varphi)=M_{T}. Ponieważ (V_{t}^{*}(\varphi))_{t} jest martyngałem, więc

V_{t}^{*}(\varphi)=E_{{P^{*}}}(V_{{T}}^{*}(\varphi)|{\cal F}_{t})=E_{{P^{*}}}(M_{T}|{\cal F}_{t})=M_{t}.

Stąd i z (7.7) mamy U_{0}=M_{0}=V_{0}(\varphi), czyli U_{0} jest kapitałem początkowym strategii \varphi. Ponadto U_{t}^{*}=V_{t}^{*}(\varphi)-A_{t}, czyli

U_{t}=V_{t}(\varphi)-B_{t}A_{t}, (7.8)

a ponieważ B_{t}A_{t}\geq 0, proces U dominuje Z, więc

V_{t}(\varphi)\geq U_{t}\geq Z_{t},

czyli \varphi zabezpiecza opcję amerykańską.

Punkt c).  Mając opcję nie ma sensu realizować jej w chwili t takiej, że U_{t}>Z_{t}, bo sprzedajemy walor wart U_{t} za cenę Z_{t} (lepiej opcję sprzedać za U_{t} niż ją zrealizować i otrzymać Z_{t}). Stąd moment realizacji opcji (moment stopu) \tau spełnia

U_{\tau}=Z_{\tau}

gdyż wiemy, że U_{t}\geq Z_{t}. Nie ma sensu realizować opcji po chwili

\nu _{{max}}=\inf\{ j:A_{{j+1}}\not=0\}\wedge T=\inf\{ j:A_{{j+1}}^{*}\not=0\}\wedge T,

gdyż sprzedając opcję w chwili \nu _{{max}} i kupując strategię zabezpieczającą \varphi otrzymamy

U_{{\nu _{{max}}}}=V_{{\nu _{{max}}}}(\varphi)

i od tego momentu postępując zgodnie ze strategią \varphi mamy portfel, którego bogactwo jest większe niż wartość opcji w chwili \nu _{{max}}+1,\dots,T. Istotnie, ponieważ (7.8) implikuje

V_{t}(\varphi)=U_{t}+B_{t}A_{t}

oraz A_{t}B_{t}>0 dla t>\nu _{{max}}, więc V_{t}(\varphi)>U_{t} dla t=\nu _{{max}}+1,\dots,T. Zatem \tau\leq\nu _{{max}}. Pozwala to stwierdzić, że U^{{*\tau}} jest martyngałem, gdyż wtedy A_{{\tau\wedge t}}=0 (bo \tau\wedge t\leq\nu _{{max}}) i korzystamy z przedstawienia (7.7). Stąd wynika, że dla nabywcy opcji najlepszym momentem realizacji opcji jest optymalny moment stopu dla ciągu (Z_{t}^{*}) przy rozkładzie prawdopodobieństwa P^{*} (korzystamy z tw. charakteryzującego moment optymalny). A jak wiadomo moment stopu zdefiniowany wzorem (7.6) ma taką własność.

Uwaga 7.1

a) Z tw. 7.2 mamy, że

\Pi _{0}^{{a}}((Z_{t})_{{t\in{\cal T}}})=\sup _{{\tau}}E_{{P^{*}}}Z_{{\tau}}^{*},

czyli cena zdefiniowana wzorem (7.2) satysfakcjonuje także kupującego. Kupujący chce najlepiej wykorzystać swoje prawa i uzyskać jak największą wypłatę. Gdy kupujący realizuje opcję w momencie stopu \tau i otrzymuje wypłatę Z_{\tau}, to jest skłonny zapłacić za tę wypłatę E_{{P^{*}}}Z_{{\tau}}^{*}. A ponieważ kupujący może zrealizować opcję w każdym momencie, więc za uczciwą cenę uważa \sup _{{\tau}}E_{{P^{*}}}Z_{{\tau}}^{*}, gdzie supremum bierzemy po momentach stopu \tau o wartościach mniejszych lub równych T.

b) Punkt c) twierdzenia odpowiada na zasadnicze pytanie z punktu widzenia nabywcy: kiedy należy zrealizować opcję. Z dowodu tego punktu wynika, że moment wykonania opcji należy wybrać jako optymalny moment stopu dla problemu optymalnego stopowania ciągu Z_{t}^{*}. Taki moment nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jednym z takich momentów jest moment zdefiniowany wzorem (7.6). Wybieramy go, gdyż (7.6), daje jego jawną postać. Mamy regułę jak ten moment wyznacznaczyć praktycznie.

Wykorzystując dowód punktu c) twierdzenia możemy zanalizować sytuacje wystawcy opcji. Wystawca opcji stosuje strategię \varphi i czeka na to, co zrobi nabywca. Jeżeli nabywca zrealizuje opcję w chwili optymalnej \tau, to U_{\tau}=Z_{\tau}=V_{\tau}(\varphi). Wtedy sprzedawca stosując strategię \varphi otrzymuje całą kwotę, którą musi wypłacić nabywcy opcji. Sprzedawca zabezpieczył swoje zobowiązanie wobec nabywcy. Jeśli natomiast nabywca zrealizuje opcję w innej chwili \sigma niż optymalna \tau, to wystawca ma dodatni zysk. Istotnie, gdy moment realizacji \sigma nie jest optymalny, to U_{{\sigma}}>Z_{{\sigma}} lub A_{{\sigma}}>0 i korzystając z (7.8) otrzymujemy zysk wystawcy:

V_{{\sigma}}(\varphi)-Z_{{\sigma}}=A_{{\sigma}}B_{{\sigma}}+U_{{\sigma}}-Z_{{\sigma}}>0.

7.2. Porównanie opcji amerykańskich i europejskich

Zajmiemy się teraz porównaniem opcji amerykańskich i europejskich. Opcje amerykańskie dają posiadaczowi więcej praw niż europejskie, więc powinny kosztować więcej.

Twierdzenie 7.3

Niech U_{t} będzie wartością w chwili t opcji amerykańskiej zadanej przez ciąg (Z_{t})_{t}, a C_{t} wartością w chwili t opcji europejskiej o wypłacie X=Z_{T}. Wtedy

U_{t}\geq C_{t}. (7.9)

Ponadto, gdy dla każdego t\leq T mamy

C_{t}\geq Z_{t}, (7.10)

to dla każdego t\leq T mamy

U_{t}=C_{t}. (7.11)

Ponieważ U_{t}^{*} jest P^{*}-nadmartyngałem oraz U_{T}=Z_{T}=X=C_{T}, więc

U_{t}^{*}\geq E_{{P^{*}}}({U_{T}^{*}}|{{\cal F}_{t}})=E_{{P^{*}}}({C_{T}^{*}}|{{\cal F}_{t}})=C_{t}^{*}.

Stąd U_{t}\geq C_{t}, czyli zachodzi warunek (7.9). Z warunku (7.10) wynika, że C_{t}^{*}\geq Z_{t}^{*}, a ponieważ C_{t}^{*} jest P^{*}-martyngałem, w szczególności P^{*}-nadmartyngałem, więc

C_{t}^{*}\geq U_{t}^{*}, (7.12)

bowiem U_{t}^{*} jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym (Z_{t}^{*})_{t}. Teraz (7.9) i (7.12) dają (7.11).

Z tw. 7.3 wynika, że amerykańska opcja kupna jest warta tyle samo, co europejska..

Wniosek 7.1

Ceny amerykańskiej i europejskiej opcji kupna z tym samym terminem wygaśnięcia i tę samą cena wykonania są równe.

Wypłaty to Z_{t}=(S_{t}-K)^{+} i X=C_{T}=Z_{T}. Ponieważ x^{+}\geq xr\geq 0, więc

\displaystyle C_{t} \displaystyle= \displaystyle B_{t}E_{{P^{*}}}(B_{T}^{{-1}}(S_{T}-K)^{+}|{\cal F}_{t})\geq B_{t}E_{{P^{*}}}(B_{T}^{{-1}}S_{T}-B_{T}^{{-1}}K|{\cal F}_{t})=
\displaystyle= \displaystyle S_{t}-KB_{t}B_{T}^{{-1}}\geq S_{t}-K.

Stąd

C_{t}\geq(S_{t}-K)^{+}=Z_{t},

gdyż C_{t}\geq 0. Otrzymaliśmy (7.10) i twierdzenie 7.3 daje tezę.

Ogólniejszą wersję wniosku można znaleźć w ćw. 7.5.

Przykład 7.2

Na rynku zupełnym opisanym w przykł. 4.2 chcemy znaleźć ceny amerykańskiej opcji kupna i amerykańskiej opcji sprzedaży z ceną wykonania K=105, a także znaleźć optymalny momentem wykonania opcji sprzedaży przez nabywcę opcji.

Jak wiemy, cena amerykańskiej opcji kupna jest równa cenie opcji europejskiej (tw. 7.3), więc korzystając z przykł. 4.2 otrzymujemy C^{a}_{0}=17{,}36. Obliczymy cenę amerykańskiej opcji sprzedaży. Korzystamy ze wzoru (7.3) kolejno dla t=2t=1, otrzymując:

\displaystyle U_{2} \displaystyle= \displaystyle(105-S_{2})^{+},
\displaystyle U_{{1}} \displaystyle= \displaystyle\max\left(Z_{{1}},E_{{P^{*}}}\Big(\frac{U_{{2}}}{1{,}1}\Big|{\cal F}_{{1}}\Big)\right)=\begin{cases}\frac{1{,}8}{1{,}1}&\text{ gdy }S_{1}(\omega)=120,\cr 25&\text{  gdy }S_{1}(\omega)=80.\end{cases}
\displaystyle U_{0} \displaystyle= \displaystyle\max(5,E_{{P^{*}}}(\frac{U_{{1}}}{1{,}1}\Big|{\cal F}_{0}))=\max(5;6{,}30)=6{,}30.

Moment stopu zdefiniowany wzorem

\tau(\omega)=\begin{cases}2&\text{ gdy }S_{1}(\omega)=120,\cr 1&\text{ gdy }S_{1}(\omega)=80\end{cases}

jest optymalnym momentem wykonania opcji sprzedaży przez jej posiadacza.

7.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 7.1

Bank ma amerykańską opcję sprzedaży akcji z ceną realizacji 60 i datą wygaśnięcia za 3/4 roku. Walor (akcja) wart jest teraz 6, a stopa procentowa bez ryzyka (kapitalizacja ciągła) wynosi 18\% p.a.1skrót łac. per annum, w skali roku. Czy warto opcję zrealizować teraz, czy w chwili wygaśnięcia?

Rozwiązanie: 

Teraz mamy 60-6=54, wkładamy do banku i za 3/4 roku mamy 54\cdot e^{{0{,}18\cdot\frac{3}{4}}}=61{,}81. W chwili wygaśnięcia opcja jest warta co najwyżej 60 (gdy S_{T}=0). Zatem warto opcję zrealizować teraz. Wynika to z faktu, że cena waloru jest niska w porównaniu z ceną wykonania opcji. W takim przypadku wykonujemy opcję i inwestujemy otrzymane pieniądze.

Ćwiczenie 7.2

Mówimy, że opcja amerykańska (Z_{t})_{{t\in{\cal T}}} jest zawsze realizowalna, gdy dla dowolnego momentu stopu \tau o wartościach mniejszych lub równych T istnieje strategia \varphi\in\Phi taka, że

V_{{\tau}}(\varphi)=Z_{{\tau}}.

Udowodnić, że na rynku zupełnym każda opcja amerykańska jest zawsze realizowalna.

Rozwiązanie: 

Ustalmy dowolny moment stopu \tau. Na mocy zupełności rynku wypłata

X=\frac{Z_{{\tau}}}{B_{{\tau}}}B_{{T}}

jest osiągalna, więc istnieje \varphi\in\Phi takie, że V_{T}(\varphi)=X. Stąd

V_{t}^{*}(\varphi)=E_{{P^{*}}}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big|{\cal F}_{t}\Big)=E_{{P^{*}}}\Big(\frac{Z_{{\tau}}}{B_{{\tau}}}\Big|{\cal F}_{t}),

a więc

V_{{\tau}}^{*}(\varphi)=E_{{P^{*}}}\Big(\frac{Z_{{\tau}}}{B_{{\tau}}}\Big|{\cal F}_{{\tau}}\Big)=\frac{Z_{{\tau}}}{B_{{\tau}}},

czyli V_{{\tau}}(\varphi)=Z_{{\tau}}.

Ćwiczenie 7.3

Udowodnić, że gdy na rynku zupełnym opcja amerykańska jest wyceniana wzorem (7.5), to

a) nie istnieje arbitraż związany z pozycją krótką (tj. wystawcy opcji),

b) nie istnieje arbitraż związany z pozycją długą (tj. nabywcy opcji).

Rozwiązanie: 

a) Nie wprost. Gdyby istniał arbitraż związany z pozycją krótką, to sprzedawca posługiwałby się portfelem \varphi zabezpieczającym opcję amerykańską takim, że dla każdego momentu wykonania opcji przez kupującego, tj. momentu stopu \tau, ma on zysk bez ryzyka:

V_{\tau}(\varphi)\geq Z_{\tau},\quad P(V_{\tau}(\varphi)>Z_{\tau})>0.

Wtedy

V_{0}(\varphi)=E_{{P^{*}}}V^{*}_{\tau}(\varphi)>E_{{P^{*}}}Z^{*}_{\tau}

dla każdego momentu stopu \tau, co na mocy skończoności \Omega implikuje

V_{0}(\varphi)>\sup _{\tau}E_{{P^{*}}}Z^{*}_{\tau}=U_{0},

sprzeczność.

Ćwiczenie 7.4

Niech w modelu CRR: S_{0}=100;S_{1}^{d}=80; S_{1}^{u}=130;T=3; r=0{,}1. Znaleźć cenę w chwili 0 opcji amerykańskiej o wypłacie Z_{t}=\max _{{\{ 0\leq u~\leq t\}}}S_{u} (jest tzw. opcja rosyjska. Znaleźć moment wykonania opcji. Znaleźć dla niej strategię zabezpieczającą.

Rozwiązanie: 

Z danych wynika, że rynek jest wolny od arbitrażu. Miara martyngałowa P^{*} jest wyznaczona przez p=0{,}6.
Znajdujemy wartość wypłaty X=f(S_{0},S_{1},S_{2},S_{3}) dla każdej ścieżki, a następnie obliczamy cenę: \Pi _{0}(X)=104{,}58. \Pi^{a}_{0}((Z_{t})_{t})=116{,}09. Moment

\tau(\omega)=\begin{cases}3&\text{ gdy }S_{2}(\omega)=169,\cr 2&\text{ gdy }S_{1}(\omega)=130,S_{2}(\omega)=104,\cr 1&\text{ gdy }S_{1}(\omega)=80\end{cases}

jest optymalnym momentem wykonania opcji przez posiadacza. Strategię zabezpieczającą znajdujemy korzystając np. z tw. 7.2 i postaci martyngału w rozkładzie Dooba

Ćwiczenie 7.5

Niech ciąg \big(g(S_{t})\big)_{t}, gdzie g jest funkcją wypukłą, nieujemną, g(0)=0, zadaje opcję amerykańską na rynku zupełnym. Udowodnić, że cena tej opcji amerykańskiej jest równa cenie opcji europejskiej o wypłacie X=g(S_{T}).

Rozwiązanie: 

Ponieważ g(0)=0, więc z wypukłości funkcji g otrzymujemy

g(ax)\leq ag(x),\quad x\geq 0,a\in[0,1].

Stąd i z nierówności Jensena

g(S_{t})\leq E_{{P^{*}}}\Big(g\Big(\frac{S_{{t+1}}}{1+r}\Big)\Big|{\cal F}_{t}\Big)\leq E_{{P^{*}}}\Big(\frac{g(S_{{t+1}})}{1+r})\Big|{\cal F}_{t}\Big).

Zatem \frac{g(S_{{t}})}{(1+r)^{t}} jest podmartyngałem i

Z_{t}=g(S_{t})\leq(1+r)^{{t-T}}E_{{P^{*}}}(g(S_{T})|{\cal F}_{t})=\Pi _{t}(X).

Otrzymaliśmy (7.10) i tw. 7.3 daje tezę.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.