Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I – 8. Rynek kontraktów terminowych futures – MIM UW

Zagadnienia

8. Rynek kontraktów terminowych futures

8.1. Opis kontraktów terminowych futures

Kontrakt terminowy futures jest to instrument finansowy zobowiązujący obie strony kontraktu do realizacji w przyszłości transakcji na określonych w nim warunkach. W chwili zawierania kontrakt futures nic nie kosztuje, zatem jest wart 0. Kontraktami terminowymi futures (w przeciwieństwie do forward) handluje się na giełdzie. Obie strony kontraktu nie znają się wzajemnie, gdyż kontrakt zawarły poprzez pośrednika — giełdę. Kontrakty futures odznaczają się następującymi cechami:

  • kontrakty są standaryzowane, czyli są ściśle określone wszystkie warunki kontraktu, w tym nominalna wielkość przedmiotu kontraktu futures i termin dostawy,

  • cena futures jest ustalana na giełdzie,

  • w każdej chwili można kontrakt futures zamknąć wchodząc w pozycję przeciwną,

  • kontrakt jest rozliczany codziennie za pomocą procedury dziennej aktualizacji depozytu (marking-to-market).

Kontrakty tego rodzaju obarczone są ryzykiem związanym ze zmianami cen, ale zostało wyeliminowane ryzyko związane z niewywiązaniem się jednej ze stron z warunków umowy. Na różnych rynkach istnieją różne kontrakty futures, m.in. kontrakty futures na akcje — instrument bazowy stanowią akcje, kontrakty futures walutowe — instrument bazowy stanowi waluta innego kraju, kontrakty futures na indeks giełdowy. Z kontraktem futures związane są ceny:

  • cena futures w dniu zawarcia kontraktu — po takiej cenie zostanie zawarta transakcja w przyszłości,

  • cena kontraktu futures na rynku — cena dzisiejsza tego kontraktu, cena zmieniająca się każdego dnia w okresie notowań,

  • cena bieżąca przedmiotu kontraktu (spot price).

Wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje, ale podmiot chcący uczestniczyć w rynku futures musi wnieść na konto pewien depozyt zabezpieczający — wadium. Codziennie Izba Rozrachunkowa (clearing house) koryguje stan konta o zmianę cen kontraktu futures w ciągu dnia. Gdy cena wzrośnie w ciągu dnia o x, to stan rachunku sprzedającego kontrakt zmaleje o x, a kupującego wzrośnie o x. Obie strony muszą utrzymywać na rachunku pewną ustaloną sumę (maintenance margin level). Gdy wartość rachunku po rozliczeniu spada poniżej tej wielkości Izba Rozrachunkowa wzywa inwestora do natychmiastowej dopłaty pieniędzy na rachunek. Gdy wezwanie zostanie zignorowane następuje zamknięcie kontraktu.

Intuicyjnie można sobie wyobrażać, że kontrakt futures jest zamykany na końcu dnia handlowego (bo jest rozliczany) i otwierany na nowo następnego dnia, czyli kontrakt futures można traktować jako ciąg jednodniowych kontraktów forward. Taka procedura jednocześnie daje inwestorowi możliwość zamknięcia pozycji w każdej chwili. Inwestor zamyka pozycję wchodząc w kontrakt przeciwny, czyli otwiera pozycję przeciwną do tej, którą zajął wchodząc na rynek futures. Może to zrobić w każdej chwili, zarówno gdy chce zrealizować osiągnięte zyski, jak i wycofać się by zminimalizować straty. Przy okazji warto zaznaczyć, że bardzo mało kontraktów (niektóre źródła podają, że mniej niż 2%) jest w istocie rozliczanych w momencie wygaśnięcia, czyli dla większości uczestników dostawa przedmiotu kontraktu futures jest jedynie potencjalna.

8.2. Model rynku

Wykorzystując idee poznane wcześniej skonstruujemy teraz model rynku kontraktów terminowych futures. W związku ze specyfiką kontraktów futures model ten różni się trochę od modelu rynku skończonego, opisywanego do tej pory.

Jak poprzednio, zakładamy, że mamy ustaloną przestrzeń probabilistyczną (\Omega,{\cal F},P), gdzie \Omega jest zbiorem skończonym, {\cal F}=2^{{\Omega}}, a prawdopodobieństwo P jest takie, że P(\{\omega _{{i}}\})>0 dla każdego i. Transakcje na rynku odbywają się w chwilach 0,1,2,\dots,T, T<\infty i mamy daną filtrację {\cal F}_{t}, t\in\{ 0,1,\dots,T\} opisującą wiedzę o rynku (\sigma-ciało {\cal F}_{{t}} opisuje wiedzę do chwili t), taką że {\cal F}_{{T}}={\cal F}. Niech f_{{S}}(t,T) oznacza proces cen futures na instrument bazowy o cenie S z momentem wykonania T. Wielkość f_{S}(0,T) jest to cena zapłaty w chwili T na którą się umawiamy dziś, tj. w chwili 0. Wprowadzimy oznaczenie skracające napisy: f_{{t}}=f_{S}(t,T).

Na rynku futures inwestor może inwestować w rachunek bankowy i k różnych kontraktów futures z tą samą datą realizacji i adaptowanym procesem cen f=(f_{t})_{t}, f_{t}=(f_{t}^{1},f_{t}^{2},\dots,f_{t}^{k}), gdzie f^{i} jest ceną (kursem rozliczeniowym) i-tego kontraktu futures, i=1,2,\dots,k. Jak zawsze, proces B jest wartością jednostki bankowej. Zakładamy, że kapitalizacja jest okresowa, oprocentowanie jest stałe i równe w skali jednego okresu r, r\geq 0.

Na tym rynku strategią jest proces

(\varphi^{0},\varphi^{1},\dots,\varphi^{k})\stackrel{\rm df}{=}(\varphi^{0},\varphi^{f}),

gdzie \varphi^{0} jest wielkością kapitału w banku (tj. zmienną losową adaptowaną), a \varphi^{f}=(\varphi^{1},\dots,\varphi^{k}) jest procesem prognozowalnym mówiącym jakie pozycje zajął inwestor w kontraktach futures. \varphi^{f} jest procesem prognozowalnym, gdyż inwestor określa w chwili t-1 liczbę pozycji zajętych na rynku futures, które będą w jego portfelu w chwili t. \varphi^{0} jest procesem adaptowanym, gdyż inwestor dopiero po dokonaniu rozliczenia kontraktów futures zawartych w chwili t-1 wie, ile ma pieniędzy w chwili t. Ze względu na specyfikę kontraktu futures bogactwo portfela odzwierciedla wielkość kapitału posiadanego przez inwestora, gdyż wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje. Zatem definiujemy:

V_{t}^{f}(\varphi)=\varphi _{t}^{0}B_{t}. (8.1)

Strategię \varphi nazywamy samofinansującą się, gdy

V_{{t+1}}^{f}(\varphi)=\varphi _{t}^{0}B_{{t+1}}+\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t}), (8.2)

tj. wartość portfela w chwili t+1 jest równa wartości w chwili t+1 inwestycji w rachunek bankowy w chwili t zwiększonej o rozliczenie pozycji futures (skutek procedury ,,równaj do rynku”). Przez \Phi^{f} oznaczać będziemy przestrzeń liniową strategii samofinansujących się na rynku futures. Proces zysku jest zadany wzorem:

G_{t}^{f}(\varphi)=\sum _{{u=0}}^{{t-1}}\varphi _{{u+1}}^{f}(f_{{u+1}}-f_{u})+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}\varphi _{u}^{0}(B_{{u+1}}-B_{u}).

Z następnego twierdzenia widać, że definicja portfela samofinansującego się na rynku futures jest naturalna.

Twierdzenie 8.1

Strategia \varphi jest strategią samofinansującą się na rynku futures wtedy i tylko wtedy, gdy

V_{t}^{f}(\varphi)=V_{0}^{f}(\varphi)+G_{t}^{f}(\varphi)\quad{\rm dla}\ \hbox{każdego}\  t.

\Rightarrow Z warunków (8.1) i (8.2) otrzymujemy

\displaystyle V_{t}^{f}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle V_{0}^{f}(\varphi)+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}[V_{{u+1}}^{f}(\varphi)-V_{u}^{f}(\varphi)]=
\displaystyle= \displaystyle V_{0}^{f}(\varphi)+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}[\varphi _{{u+1}}^{f}(f_{{u+1}}-f_{u})+\varphi _{u}^{0}(B_{{u+1}}-B_{u})]=V_{0}^{f}(\varphi)+G_{t}^{f}(\varphi).

\Leftarrow Korzystając z założeń, definicji wartości portfela (8.1) i definicji procesu zysku otrzymujemy

\displaystyle V_{{t}}^{f}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle V_{0}^{f}(\varphi)+G_{t}^{f}(\varphi)=
\displaystyle= \displaystyle V_{0}^{f}(\varphi)+G_{{t-1}}^{f}(\varphi)+\varphi _{t}^{f}(f_{t}-f_{{t-1}})+\varphi _{{t-1}}^{0}(B_{t}-B_{{t-1}})=
\displaystyle= \displaystyle V_{{t-1}}^{f}(\varphi)+\varphi _{t}^{f}(f_{t}-f_{{t-1}})+\varphi _{{t-1}}^{0}B_{t}-V_{{t-1}}^{f}(\varphi)=
\displaystyle= \displaystyle\varphi _{t}^{f}(f_{t}-f_{{t-1}})+\varphi _{{t-1}}^{0}B_{t}

otrzymujemy zatem warunek (8.2), czyli \varphi jest strategią samofinansującą się.

Rynek {\cal M}^{f}=((B,f),\Phi^{f}) nazywamy rynkiem bez możliwości arbitrażu gdy klasa strategii samofinansujących się \Phi^{f} nie zawiera strategii arbitrażowej tzn. nie istnieje \varphi\in\Phi^{f}, takie że

V_{0}^{f}(\varphi)=0,\quad V_{{T}}^{f}(\varphi)\geq 0,\quad V_{{T}}^{f}(\varphi)(\omega _{i})>0\ {\rm dla}\ {\rm pewnego}\  i.\

Wypłatą europejską X w chwili T nazywamy dowolną {\cal F}_{T}–mierzalną zmienną losową. Strategię \varphi\in\Phi nazywamy strategią replikującą wypłatę X gdy V^{f}_{{T}}(\varphi)=X. Wypłatę X nazywamy osiągalną, gdy istnieje strategia ją replikująca. Jak poprzednio, wypłatę nazwiemy jednoznacznie replikowalną, gdy dla dowolnych strategii \varphi,\psi replikujących X mamy V_{{t}}(\varphi)=V_{{t}}(\psi) dla wszystkich t. Wtedy proces V_{{t}}(\varphi) nazywamy procesem bogactwa X. Zachodzi twierdzenie o jednoznaczności procesu bogactwa portfela replikującego.

Twierdzenie 8.2

Gdy {\cal M}^{f} jest rynkiem bez możliwości arbitrażu, to każda wypłata osiągalna jest jednoznacznie replikowalna.

Dowód przebiega analogicznie do dowodu tw. 3.4 i pozostawiamy go jako ćwiczenie dla Czytelnika. Korzystając z tego twierdzenia definiujemy proces ceny arbitrażowej \Pi^{f}(X) wypłaty osiągalnej X na rynku {\cal M}^{f} bez możliwości arbitrażu jako wartość procesu bogactwa, tzn.

\Pi _{t}^{f}(X)=V_{t}^{f}(\varphi),

gdzie \varphi jest strategią replikującą X.

Przykład 8.1

Niech na rynku futures jednookresowym dwustanowym ceny pewnego aktywa wynoszą

f_{0}=320,\quad f_{1}=\begin{cases}f^{u}=360,&\text{ gdy }\quad\omega=\omega _{1},\\
f^{d}=310,&\text{ gdy }\quad\omega=\omega _{2}.\end{cases}

Znajdziemy cenę arbitrażową europejskiej opcji kupna wystawionej na to aktywo na rynku futures, gdy T=3 miesiące, K=320 i stopa procentowa dla tego okresu wynosi r=5\%. Wtedy wypłata z tej opcji wynosi

C_{1}^{f}(\omega)=(f_{1}-K)^{+}=\begin{cases}C^{{fu}}=40,&\text{ gdy }\quad\omega=\omega _{1},\\
C^{{fd}}=0,&\text{ gdy }\quad\omega=\omega _{2}.\end{cases}

Wielkość V_{1}^{f}(\omega) — wartość portfela replikującego (\alpha _{0},\beta _{0}) musi spełniać

\begin{cases}\alpha _{0}(f^{u}-f_{0})+(1+r)\beta _{0}=C^{{fu}},&\text{ odpowiada przypadkowi }\quad\omega=\omega _{1},\\
\alpha _{0}(f^{d}-f_{0})+(1+r)\beta _{0}=C^{{fd}},&\text{ odpowiada przypadkowi }\quad\omega=\omega _{2},\end{cases}

zatem

\begin{cases}40\alpha _{0}+1,05\beta _{0}=0,&\text{}\\
-10\alpha _{0}+1,05\beta _{0}=10.&\text{}\end{cases}

Stąd \alpha _{0}=\frac{4}{5}, \beta _{0}=\frac{8}{1{,}05}=7{,}62, zatem cena jest równa

C_{0}^{f}=V_{0}^{f}(\varphi)=\beta _{0}=7{,}62.

Znajdujmy teraz cenę arbitrażową opcji sprzedaży na rynku futures przy tych samych parametrach. Portfel replikujący spełnia:

\displaystyle 40\alpha _{0}+1{,}05\beta _{0} \displaystyle= \displaystyle 0,
\displaystyle-10\alpha _{0}+1{,}05\beta _{0} \displaystyle= \displaystyle 10.

Stąd mamy \alpha _{0}=-\frac{10}{50}=-\frac{1}{5}, \beta _{0}=\frac{8}{1{,}05}=7{,}62. Cena opcji sprzedaży wynosi \beta _{0}=7{,}62, jest zatem taka sama jak cena opcji kupna, co na rynku futures — jak się dalej przekonamy — nie jest przypadkiem.

Znajdowanie ceny, gdy korzystamy z samej definicji jest, poza prostymi przykładami jak wyżej, kłopotliwe. Stąd, jak poprzednio, w celu badania rynku i znajdowania procesów cen wypłat wprowadzamy aparat miar martyngałowych.

Definicja 8.1

Miarę probabilistyczną \bar{P} równoważną z P nazywamy miarą martyngałową dla rynku futures, gdy proces cen futures (f_{t})_{t} jest \bar{P}-martyngałem.

Warto podkreślić, że w tej definicji wykorzystujemy proces cen futures, a nie proces cen futures zdyskontowanych, jak przyjęliśmy w def. 2.6.

Przez {\cal P}(f) będziemy oznaczać zbiór miar martyngałowych dla procesu cen futures. Jak poprzednio, wygodnie jest posługiwać się zdyskontowanym procesem bogactwa portfela \varphi:

\bar{V}_{t}^{f}(\varphi)=V_{t}^{f}(\varphi)B_{t}^{{-1}}.
Lemat 8.1

Strategia \varphi jest strategią samofinansującą się na rynku futures (tzn.\varphi\in\Phi^{f}) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t

\bar{V}_{t}^{f}(\varphi)=\bar{V}_{0}^{f}(\varphi)+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}\varphi _{{u+1}}^{f}(f_{{u+1}}-f_{u})B_{{u+1}}^{{-1}}. (8.3)

Dowód lematu zostawimy jako zadanie (zad 8.4).

Wniosek 8.1

Jeżeli \bar{P}\in{\cal P}(f), to dla każdego \varphi\in\Phi^{f} proces \bar{V}_{t}^{f}(\varphi) jest \bar{P}–martyngałem.

Korzystając z (8.3) i prognozowalności \varphi^{f} otrzymujemy

E_{{\bar{P}}}(\ \bar{V}_{{t+1}}^{f}(\varphi)-\bar{V}_{t}^{f}(\varphi)|{\cal F}_{t})=B_{{t+1}}^{{-1}}\varphi _{{t+1}}^{f}E_{{\bar{P}}}(f_{{t+1}}-f_{t}|{\cal F}_{t})=0,

bowiem f jest \bar{P} martyngałem.

Stąd wprowadzając {\cal P}({\cal M}^{f}) — klasę miar martyngałowych dla rynku {\cal M}^{f} jako zbiór tych miar probabilistycznych \bar{P}\sim P, dla których (\bar{V}_{t}^{f}(\varphi))_{t} jest \bar{P}-martyngałem dla każdego \varphi\in\Phi^{f}, otrzymujemy, że

{\cal P}({\cal M}^{f})={\cal P}(f). (8.4)

Następnie dla rynku futures dowodzi się podstawowe twierdzenia matematyki finansowej. Są one odpowiednikami podstawowych twierdzeń dla rynku akcji, a ich dowody przebiegają w podobny sposób.

Twierdzenie 8.3

Rynek {\cal M}^{f} jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy {\cal P}({\cal M}^{f})\not=\emptyset. Wówczas cena arbitrażowa wypłaty osiągalnej X wynosi

\Pi _{t}^{f}(X)=B_{t}E_{{\bar{P}}}(XB_{T}^{{-1}}|{\cal F}_{t}) (8.5)

dla \bar{P}\in{\cal P}({\cal M}^{f}).

Twierdzenie 8.4

Rynek {\cal M}^{f} bez możliwości arbitrażu jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.

Znajdziemy teraz postać parytetu na rynku futures. Ponieważ

(f_{T}-K)^{+}-(K-f_{T})^{+}=f_{T}-K,

więc ze wzoru (8.5) na cenę futures mamy

C_{0}^{f}-P_{0}^{f}=\frac{f_{0}-K}{1+r}. (8.6)

Jest to wzór dający parytet kupna-sprzedaży dla opcji na rynku futures. Stąd jako wniosek otrzymujemy

C_{0}^{f}=P_{0}^{f}\Leftrightarrow f_{0}=K,

więc na rynku futures cena opcji sprzedaży jest równa cenie opcji kupna o tej samej cenie wykonania, gdy cena wykonania jest równa obecnej cenie futures (tak było w przykł. 8.1).

8.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1

Udowodnić, że rynek futures jednookresowy dwustanowy jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy

f^{{d}}<f_{0}<f^{{u}} (8.7)

(oznaczenia f^{u},f^{d} jak w przykł. 8.1).

Rozwiązanie: 

\Rightarrow Nie wprost. Gdy f_{0}\geq f^{u}, to portfel \varphi=(-1,0) jest arbitrażem, gdyż

V_{0}^{f}(\varphi)=0,\quad V_{1}^{f}(\varphi)=(-1)(f_{1}-f_{0})+(1+r)\cdot 0\geq 0,

(ponieważ f_{1}\leq f_{0}) i

V_{1}^{f}(\varphi)(\omega _{2})>0.

Gdy f_{0}\leq f^{d}, to portfel \varphi=(1,0) jest arbitrażem.

\Leftarrow Niech \varphi=(\alpha,\beta) będzie portfelem takim, że V_{0}^{f}(\varphi)=0. Wtedy \beta=0. Gdy \alpha=0, to \varphi=(0,0)V_{1}^{f}(\varphi)=0. Gdy \alpha\neq 0, to V_{1}^{f}(\varphi)=\alpha(f_{1}-f_{0}). Stąd korzystając z warunku (8.7) otrzymujemy, że istnieje \omega taka, że V_{1}^{f}(\varphi)(\omega)<0, czyli nie istnieje arbitraż.

Ćwiczenie 8.2

Udowodnić, że
a) Jeśli na rynku futures jednookresowym dwustanowym miara martyngałowa \hat{P} istnieje, to jest określona przez równość:

f_{0}=E_{{\hat{P}}}(f_{{1}})={\hat{p}}f^{u}+(1-{\hat{p}})f^{d}, (8.8)

gdzie {\hat{p}}={\hat{P}}(\{\omega _{1}\}). Zatem

{\hat{p}}=\frac{f_{0}-f^{d}}{f^{u}-f^{d}} (8.9)

b) Miara martyngałowa {\hat{P}} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy {\hat{p}}\in(0,1).

Ćwiczenie 8.3

Udowodnić, że gdy (f,S,B,\Psi) jest rynkiem bez możliwości arbitrażu, to

f_{0}=(1+r)S_{0}. (8.10)
Rozwiązanie: 

Kontrakt futures wypłaca w chwili T wielkość

X=f_{T}-f_{0}=S_{T}-f_{0}.

W chwili 0 ten kontrakt nic nie kosztuje, więc

0=\Pi _{0}(X)=\Pi _{0}(S_{T}-f_{0})=\Pi _{0}(S_{T})-\Pi _{0}(f_{0})=S_{0}-\frac{f_{0}}{1+r},

co daje (8.10).

Ćwiczenie 8.4

Udowodnić lemat 8.1.

Ćwiczenie 8.5

Udowodnić, że \Phi^{f} jest przestrzenią liniową.

Ćwiczenie 8.6

Udowodnić tw. 8.2.

Wskazówka: 

Naśladować dowód dla rynku akcji.

Ćwiczenie 8.7

Udowodnić tw. 8.3.

Ćwiczenie 8.8

Udowodnić tw. 8.4.

Ćwiczenie 8.9

Udowodnić, że \varphi\in\Phi^{f} wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego momentu t

\bar{V}_{t}^{f}(\varphi)=\bar{V}_{0}^{f}(\varphi)+\sum _{{u=0}}^{{t-1}}\varphi _{{u+1}}^{f}(f_{{u+1}}-f_{u})B_{{u+1}}^{{-1}}.
Rozwiązanie: 

Wystarczy udowodnić, że \varphi\in\Phi^{f} wtedy i tylko wtedy, gdy

\bar{V}_{{t+1}}^{f}(\varphi)-\bar{V}_{t}^{f}(\varphi)=\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t})(1+r)^{{-(t+1)}}. (8.11)

Gdy \varphi jest strategią samofinansującą się, to

\displaystyle\bar{V}_{{t+1}}^{f}(\varphi)-\bar{V}_{t}^{f}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle B_{{t+1}}^{{-1}}(\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t})+\varphi _{t}^{0}B_{{t+1}})-B_{t}^{{-1}}(B_{t}\varphi _{t}^{0})=
\displaystyle= \displaystyle\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t})(1+r)^{{-(t+1)}},

a więc (8.11) zachodzi. Na odwrót, gdy zachodzi (8.11), to

\displaystyle\bar{V}_{{t+1}}^{f}(\varphi)-\bar{V}_{t}^{f}(\varphi) \displaystyle= \displaystyle\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t})B_{{t+1}}^{{-1}}.

Mnożąc obie strony przez B_{{t+1}} otrzymujemy

V_{{t+1}}^{f}(\varphi)-V_{t}^{f}(\varphi)(1+r)=\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t}),

czyli

V_{{t+1}}^{f}(\varphi)-\varphi^{0}_{t}B_{{t+1}}=\varphi _{{t+1}}^{f}(f_{{t+1}}-f_{t}),

tj. (8.2), a więc \varphi jest strategią samofinansującą się.

Ćwiczenie 8.10

Niech {\cal N} będzie rynkiem, na którym handlujemy instrumentami bazowymi i kontraktami futures oraz możemy inwestować w lokaty bankowe. Udowodnić, że {\cal N} jest rynkiem bez możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy ceny kontraktów futures i forward są równe.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.