Zagadnienia

3.1 Optymalizacja

3. Narzędzia

3.1. Optymalizacja

Aby analizować zagadnienia teorii wyboru, potrzebujemy trochę teorii optymalizacji. Niektóre z poniższych faktów są zapewne państwu znane.

Zaczniemy od warunku koniecznego optymalności (tzw. warunku pierwszego rzędu).

Twierdzenie 3.1

(mnożniki Lagrange'a)

Niech $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{{n}}$ i niech funkcje $f:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ i $g_{{i}}:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ dla $i=1,\ldots,m$ będą różniczkowalne. Jeżeli w punkcie $x^{{*}}\in\mathbb{X}$ , jest przyjmowane maximum (minimum) $f$ na zbiorze $\{ x:g_{{i}}(x)=0$ dla $i=1,\ldots,m\}$ i gradienty funkcji $g_{{i}}$ są liniowo niezależne w $x^{{*}}$ , to istnieje taki wektor $\lambda\in\mathbb{R}^{{m}}$ , że $\nabla f(x^{{*}})-\lambda^{{T}}\nabla g(x^{{*}})=0$ .

Definicja 3.1

Funkcję $\mathcal{L}(\lambda,x)=f(x)-\lambda^{{T}}g(x)$ nazywamy lagrangianem, a wektor $\lambda$ nazywamy mnożnikami Lagrange'a.

Twierdzenie można sformułować następująco: punkt optymalny dla optymalizacji z ograniczeniami równościowymi wraz wektorem mnożników musi być punktem krytycznym lagrangianu (zerowanie pochodnej po $\lambda$ to równości definiujące zbiór dopuszczalny).

Uwaga: Dla uproszczenia zapisu wyników maksymalizacji (minimalizacji) funkcji $f$ po zbiorze $\Gamma$ , wprowadzimy symbole $\mathop{\rm{Argmax}}_{{x\in\Gamma}}f(x)$ ( $\mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in\Gamma}}f(x)$ ) na zbiór tych punktów, w których maksimum (minimum) jest przyjmowane.

Ponadto, jeżeli maksymalizujemy funkcję po pewnym zbiorze i ten zbiór okaże się pusty, wówczas za maksimum przyjmujemy $-\infty$ (analogicznie za minimum $+\infty$ ).

Przykład 3.1

Znajdowanie maksimum ściśle monotonicznej, ściśle wklęsłej i różniczkowalnej funkcji użyteczności $u$ na Walrasowskim zbiorze budżetowym $\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{2}}:\mathbf{p}^{{T}}x\leq m\}$ (gdzie $p_{{i}},m>0$ ) przy pomocy mnożników Lagrange'a.

W niniejszym przykładzie rozwiązujemy zagadnienie, z jakim mamy do czynienia zazwyczaj przy wyborze konsumenta: funkcja użyteczności jest ściśle monotoniczna, i wklęsła, a zbiory budżetowe są walrasowskie. Ponieważ $u$ jest monotoniczna, więc $\max _{{\{ x:p_{{1}}x_{{1}}+p_{{2}}x_{{2}}\leq m\}}}u(x)=\max _{{\{ x:p_{{1}}x_{{1}}+p_{{2}}x_{{2}}=m\}}}u(x)$ . Ponieważ ponadto $u$ jest ściśle monotoniczna, także $\mathop{\rm{Argmax}}_{{\{ x:p_{{1}}x_{{1}}+p_{{2}}x_{{2}}\leq m\}}}u(x)=\mathop{\rm{Argmax}}_{{\{ x:p_{{1}}x_{{1}}+p_{{2}}x_{{2}}=m\}}}u(x)$ , co sprowadza optymalizację z ograniczeniem nierównościowym do optymalizacji z ograniczeniem równościowym.

Lagrangian zagadnienia ma postać $\mathcal{L}(\lambda,x)=u(x)-\lambda(p_{{1}}x_{{1}}+p_{{2}}x_{{2}}-m)$ , a więc warunki konieczne na to, aby w punkcie $x$ o obu współrzędnych dodatnich było przyjmowane maksimum to: $\frac{\partial u(x)}{\partial x_{{1}}}-\lambda p_{{1}}=0$ , $\frac{\partial u(x)}{\partial x_{{2}}}-\lambda p_{{2}}=0$ , $p_{{1}}x_{{1}}+p_{{2}}x_{{2}}=m$ .

Przeanalizujmy dwa pierwsze równania: $\frac{\partial u(x)}{\partial x_{1}}=\lambda p_{1}$ , $\frac{\partial u(x)}{\partial x_{2}}=\lambda p_{2}$ .

Ponieważ $u$ jest ściśle monotoniczna, w $x$ nie może być przyjmowane maksimum globalne $u$ , a ponieważ funkcja jest ściśle wklęsła, pochodna może się zerować tylko w maksimum globalnym, stąd wiemy, że $\lambda\neq 0$ . Możemy więc podzielić równania przez siebie stronami. Otrzymamy $\dfrac{\frac{\partial u(x)}{\partial x_{{1}}}}{\frac{\partial u(x)}{\partial x_{{2}}}}=\dfrac{\lambda p_{{1}}}{\lambda p_{{2}}}=\dfrac{p_{{1}}}{p_{{2}}}$ .

Jest to warunek konieczny maksymalizacji w naszym przypadku. Ma on interpretacje zarówno ekonomiczną jak i graficzną. Obie będą bardziej oczywiste, jeżeli powyższe równanie pomnożymy przez $-1$ :

$-\dfrac{\frac{\partial u(x)}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial u(x)}{\partial x_{2}}}=-\dfrac{p_{1}}{p_{2}}$ .

Prawa strona to oczywiście nachylenie ograniczenia budżetowego, natomiast lewa to nachylenie krzywej obojętności przechodzącej przez punkt $x$ (co łatwo wynika z twierdzenia o funkcji uwikłanej), a więc to, co otrzymaliśmy, to warunek konieczny styczności: równość nachyleń w punkcie styczności.

Rys. 3.1. Warunek konieczny maksymalizacji – interpretacja graficzna.

Interpretacja ekonomiczna brzmi: krańcowa stopa substytucji równa się, co do modułu, stosunkowi cen.

Definicja 3.2

Krańcową stopą substytucji pomiędzy dobrami $1$ i $2$ w punkcie $x$ nazywamy współczynnik kierunkowy krzywej obojętności w punkcie $x$ . Oznaczamy ją skrótem $MRS(x_{{1,}}x_{{2}})$ (od angielskiego marginal rate of substitution).

Z twierdzenia o funkcji uwikłanej mamy więc $MRS(x_{{1,}}x_{{2}})=-\dfrac{\frac{\partial u(x)}{\partial x_{{1}}}}{\frac{\partial u(x)}{\partial x_{{2}}}}$ .

Uwaga 3.1

W niektórych podręcznikach krańcowa stopa substytucji jest definiowana bez minusa, a czasem nawet zdarzają się niekonsekwencje: jest definiowana jako nachylenie, a więc z minusem, a potem minus ginie w stwierdzeniu ”krańcowa stopa substytucji równa się stosunkowi cen” i tym podobnych.

Uwaga 3.2

Interpetacja łopatologiczna słowa ”krańcowy”, czyli pochodnych w ekonomii, jako skutku zmiany o jednostkę. W przypadku teorii wyboru konsumenta ma to niewielki sens, natomiast w przypadku wyboru producenta, przy bardzo dużych nakładach produkcji może być w miarę przyzwoitym przybliżeniem.

A więc ekonomista może zdefiniować krańcową stopę substytucji słowami: ”o ile musi zmienić się konsumpcja dobra $2$ jesłi konsumpcja dobra $1$ zwiększyła się o jednostkę, abyśmy pozostali na tej samej krzywej obojętności”.

Warunek dostateczny optymalności uogólnia warunek dostateczny dla przypadku optymalizacji bez ograniczeń: jeśli w dopuszczalnym $x^{{*}}$ spełniony jest warunek pierwszego rzędu i macierz drugiej pochodnej jest dodatnio określona w dowolnym kierunku dopuszczalnym (tzn. $h^{T}\cdot D^{2}f(x^{{*}})\cdot h\geq 0$ dla $h$ takich, że $\nabla g(x^{{*}})\cdot h=0$ ), to w punkcie $x^{{*}}$ jest przyjmowane minimum, jeśli natomiast ujemnie określona – maksimum. Ponieważ jednak badanie określoności macierzy dla wektorów z pewnej podprzestrzeni nie jest trywialne, sformułujemy ten warunek równoważnie.

Twierdzenie 3.2

Niech $m=1$ . Jeśli w dopuszczalnym punkcie $x^{{*}}$ spełnione są warunki pierwszego rzędu dla pewnego mnożnika $\lambda^{{*}}$ i jeśli dla $k\geq 3$ minory główne $\Delta _{{k}}$ macierzy $D^{{2}}\mathcal{L}(\lambda^{{*}},x^{{*}})$ spełniają warunek $\mathop{\rm{sign}}\Delta _{{k}}=-1$ , to w $x^{{*}}$ jest przyjmowane minimum, jeśli natomiast $\mathop{\rm{sign}}\Delta _{{k}}=\left(-1\right)^{{k+1}}$ , to maksimum.

Twierdzenie 3.3

Jeśli funkcja $f$ jest wklęsła, $g$ liniowa i $x^{{*}}$ dopuszczalny spełnia warunek pierwszego rzędu, to w $x^{{*}}$ jest przyjmowane maksimum, a jeśli $f$ jest wypukła, to minimum.

W przypadku ograniczeń nierównościowych mamy podobne warunki pierwszego rzędu.

Twierdzenie 3.4

(warunki konieczne Kuhna-Tuckera albo Karusha-Kuhna-Tuckera)

Niech $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{{n}}$ i niech funkcje $f:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ i $g_{{i}},h_{{i}}:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ będą różniczkowalne. Jeżeli w punkcie $x^{{*}}\in\mathbb{X}$ , jest przyjmowane maximum $f$ na zbiorze $\{ x:g_{{i}}(x)\leq 0$ dla $i=1,\ldots,m$ ; $h_{{i}}(x)=0$ dla $i=1,\ldots,k\}$ i gradienty w $x^{{*}}$ funkcji $h_{{i}}$ oraz tych z funkcji $g_{{i}}$ , dla których $g_{{i}}(x^{{*}})=0$ , są liniowo niezależne, to istnieją takie wektory $\lambda\in\mathbb{R}_{{+}}^{{m}}$ , $\mu\in\mathbb{R}^{{k}}$ że $\nabla f(x^{{*}})-\lambda^{{T}}\nabla g(x^{{*}})-\mu^{{T}}\nabla h(x^{{*}})=0$ . Ponadto jeśli $g_{{i}}(x^{{*}})\neq 0$ , to $\lambda _{{i}}=0$ .

Ćwiczenie 3.1

Powtórzyć analizę przykładu 3.1 bez założenia ścisłej dodatniości współrzędnych przy użyciu warunków koniecznych Kuhna-Tuckera.

Warunków koniecznych Kuhna-Tuckera można użyć nawet do rozwiązania zagadnień maksymalizacjnych, do których zazwyczaj nie przyszłoby nam do głowy liczenie pochodnej – maksymalizacji funkcji liniowej przy ograniczeniach liniowych.

Ćwiczenie 3.2

Rozwiązać zagadnienie maksymalizacji $u(x)=a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}$ (doskonałe substytuty) na Walrasowskim zbiorze budżetowym w $\mathbb{R}^{2}_{+}$ .

W przypadku ograniczeń nierównościowych wektor mnożników (tzw. mnożników Kuhna-Tuckera) jest nieujemny, istotny jest więc kierunek nierówności. Dlatego, aby uzyskać nieujemny wektor mnożników w przypadku zagadnienia minimalizacji, musimy zapisać ograniczenia w postaci $g_{{i}}(x)\geq 0$ . Musimy na to też zwrócić uwagę przy warunkach drugiego rzędu.

Twierdzenie 3.5

Jeśli $x^{{*}}$ dopuszczalny spełnia warunek pierwszego rzędu, a funkcja $f$ jest wklęsła, funkcje $g_{{i}}$ wypukłe, $h_{{i}}$ liniowe, to w $x^{{*}}$ jest przyjmowane maksimum $f$ na zbiorze $\{ x:g_{{i}}(x)\leq 0$ dla $i=1,\ldots,m$ ; $h_{{i}}(x)=0$ dla $i=1,\ldots,k\}$ , a jeśli $f$ jest wypukła a funkcje $g_{{i}}$ wklęsłe, $h_{{i}}$ liniowe, to minimum $f$ na zbiorze $\{ x:g_{{i}}(x)\geq 0$ dla $i=1,\ldots,m$ , ; $h_{{i}}(x)=0$ dla $i=1,\ldots,k\}$ .

Definicja 3.3

Funkcję $f:\mathbb{R}^{{n}}\rightarrow\mathbb{R}$ nazywamy górnie (dolnie) półciągła, jeśli dla każdego $x\in\mathbb{R}^{{n}}$ i $\epsilon>0$ istnieje $\delta>0$ , taka że dla $y$ dla których $\left\| x-y\right\|<\delta$ zachodzi własność $f(x)-f(y)>-\epsilon$ (dla dolnej półciągłości $f(x)-f(y)<\epsilon$ ).

Definicja 3.4

a) Funkcję $f:\mathbb{R}^{{n}}\rightarrow\mathbb{R}$ nazywamy quasi-wklęsłą, jeśli dla każdego $x,y$ i dla każdego $0<t<1$ zachodzi warunek $f(tx+(1-t)y)\geq\min(f(x),f(y))$ .

b) Funkcja $f$ jest ściśle quasi-wklęsła, jeśli dla każdego $x\neq y$ i dla każdego $0<t<1$ zachodzi warunek $f(tx+(1-t)y)>\min(f(x),f(y))$ .

c) Funkcja $f$ jest quasi-wypukła (ściśle), jeśli funkcja $-f$ jest quasi wklęsła (ściśle).

Każda funkcja wklęsła jest quasi wklęsła, natomiast nie na odwrót. W szczególności funkcja quasi wklęsła nie musi być ciągła, a funkcja wklęsła określona na zbiorze otwartym jest ciągła. Funkcją quasi-wklęsłą może być nawet funkcja ściśle wypukła określona na odcinku, o ile nie ma minimum w jego wnętrzu: na przykład $x^{{2}}:\mathbb{R}_{{+}}\rightarrow\mathbb{R}_{{+}}$ .

Stwierdzenie 3.1

a) Funkcja $f$ jest quasi wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall r$ $\{ y:u(y)\geq r\}$ jest wypukły;

b) Funkcja $f$ jest ściśle quasi wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall r$ $\{ y:u(y)\geq r\}$ jest wypukły i $\forall r\in\mathbb{R},x\neq y\in\mathbb{X}$ jeśli $u(x)=u(y)=r$ , to $\forall t\in(0,1)$ $u(tx+(1-t)y)>r$ .

Na mocy tego stwierdzenia możemy coś powiedzieć na temat funkcji użyteczności odzwierciedlającej wypukłe preferencje.

Stwierdzenie 3.2

Każda funkcja użyteczności odzwierciedlająca wypukłe preferencje jest quasi wklęsła, a ściśle wypukłe – ściśle quasi wklęsła.

Twierdzenie 3.6

(istnienie i jednoznaczność maximum)

a) Jeżeli funkcja $f:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ jest górnie półciągła a zbiór $G$ niepusty, zwarty, to istnieje punkt realizujący maksimum $f$ na $G$ .

b) Jeżeli funkcja $f:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ jest ściśle quasi-wklęsła a zbiór $G$ wypukły, to istnieje co najwyżej jeden punkt realizujący maksimum $f$ na $G$ .

c) Jeżeli funkcja $f:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ jest quasi-wklęsła a zbiór $G$ wypukły, to zbiór punktów realizujących maksimum $f$ na $G$ jest wypukły.

Twierdzenie 3.7

(twierdzenie o obwiedni dla maksymalizacji z ograniczeniami)

a) Niech $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{{n}}$ i niech funkcje $f:\mathbb{X}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ i $g:\mathbb{X\times R}\rightarrow\mathbb{R}$ będą różniczkowalne i takie, że dla każdego $a$ , $\quad$ $\max _{{g(x,a)=0}}f(x,a)$ jest przyjmowane w dokładnie jednym punkcie $x(a)$ dla jednoznacznego wektora mnożników $\lambda$ i tak zdefiniowana funkcja $x$ jest różniczkowalna. Definiujemy $M(a)=\max _{{g(x,a)=0}}f(x,a)$ . Dla funkcji $M$ zachodzi następująca własność:

$\frac{dM}{da}=\left.\frac{\partial\mathcal{L}(\lambda,x,a)}{\partial a}\right|_{{x=x(a),\lambda=\lambda(a)}}$ .

b) Niech $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{{n}}$ i niech funkcje $f:\mathbb{X}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ i $g:\mathbb{X\times R}\rightarrow\mathbb{R}$ będą różniczkowalne i takie, że dla każdego $a$ , $\quad$ $\max _{{g(x,a)\leq 0}}f(x,a)$ jest przyjmowane w dokładnie jednym punkcie $x(a)$ dla jednoznacznego wektora mnożników $\lambda$ i tak zdefiniowane funkcje $x$ i $\lambda$ są różniczkowalne. Definiujemy $M(a)=\max _{{g(x,a)\leq 0}}f(x,a)$ . Dla funkcji $M$ zachodzi następująca własność:

$\frac{dM}{da}=\left.\frac{\partial\mathcal{L}(\lambda,x,a)}{\partial a}\right|_{{x=x(a),\lambda=\lambda(a)}}$ .

Wniosek 3.1

(twierdzenie o obwiedni dla maksymalizacji bez ograniczeń)

Niech $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{{n}}$ i niech funkcja $f:\mathbb{X}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ będzie różniczkowalna i taka, że dla każdego $a$ , $\quad$ $\max _{{x\in\mathbb{X}}}f(x,a)$ jest przyjmowane w dokładnie jednym punkcie $x(a)$ i tak zdefiniowana funkcja $x$ jest różniczkowalna. Definiujemy $M(a)=\max _{{x\in\mathbb{X}}}f(x,a)$ . Dla funkcji $M$ zachodzi następująca własność: $\frac{dM}{da}=\left.\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\right|_{{x=x(a)}}$ .

Ćwiczenie 3.3

Udowodnić twierdzenia o obwiedni.

Definicja 3.5

Niech $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{{n}}$ i funkcja $f:\mathbb{X}\rightarrow\mathbb{R}$ . Funkcję $f$ nazywamy (dodatnio) jednorodną stopnia $r$ , jeżeli dla każdego $x\in\mathbb{X}$ , $t>0$ mamy $f(tx)=t^{{r}}f(x)$ .

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010

Zagadnienia

3. Narzędzia

3.1. Optymalizacja

Twierdzenie 3.1

Definicja 3.1

Przykład 3.1

Definicja 3.2

Uwaga 3.1

Uwaga 3.2

Twierdzenie 3.2

Twierdzenie 3.3

Twierdzenie 3.4

Ćwiczenie 3.1

Ćwiczenie 3.2

Twierdzenie 3.5

Definicja 3.3

Definicja 3.4

Stwierdzenie 3.1

Stwierdzenie 3.2

Twierdzenie 3.6

Twierdzenie 3.7

Wniosek 3.1

Ćwiczenie 3.3

Definicja 3.5