Zagadnienia

6.1 Minimalizacja wydatków
6.2 Związki pomiędzy zagadnieniami maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków

6. Teoria wyboru konsumenta – minimalizacja wydatków, dualność

6.1. Minimalizacja wydatków

Na optymalizację konsumenta możemy też spojrzeć z drugiej strony: zamiast maksymalizować użyteczność przy zadanym dochodzie, jaki możemy przeznaczyć na konsumpcję, dążyć do osiągnięcia przynajmniej takiej użyteczności jak najmniejszym kosztem.

Rys. 6.1. Maksymalizacja użyteczności a minimalizacja wydatków.

Definicja 6.1

Funkcję $e:\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{{+}}$ zdefiniowaną wzorem $e(\mathbf{p},\bar{u})=\inf _{{u(x)\geq\bar{u}}}\mathbf{p}^{{T}}x$ (gdzie przez $\inf _{{x\in\emptyset}}f(x)$ rozumiemy $+\infty$ ) nazywamy funkcją wydatków (expenditure function), a odwzorowanie $h:\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{X}$ zdefiniowane wzorem $h(\mathbf{p},\bar{u})=\mathop{\rm{Argmin}}_{{u(x)\geq\bar{u}}}\mathbf{p}^{{T}}x$ odwzorowaniem popytu Hicksa (czasem także odwzorowaniem popytu skompensowanego dochodu).

Funkcja wydatków określa, ile minimalnie muszę wydać, aby przy cenach $p$ móc zapewnić sobie konsumpcję o użyteczności $\bar{u}$ .

Stwierdzenie 6.1

Jeżeli $u$ jest ciągła, to odwzorowanie popytu Hicksa ma niepuste wartości, a funkcja wydatków jest skończona dla dowolnego $\bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)$ .

Zbiór $A=\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:u(x)\geq\bar{u}\}$ jest w tej sytuacji niepusty, domknięty. Niech pewien $\bar{x}$ nalezy do tego zbioru. Wówczas zbiór $A\cap\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:x\leq\bar{x}\}$ jest niepusty, zwarty, a ponieważ wszystkie $p_{{i}}>0$ , $\mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in A}}\mathbf{p}^{{T}}x=\mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in A\cap\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:x\leq\bar{x}\}}}\mathbf{p}^{{T}}x$ . Mamy więc problem minimalizacji funkcji ciągłej na zbiorze zwartym.

∎

Stwierdzenie 6.2

Własności popytu Hicksa.

a) Jeśli funkcja użyteczności jest quasi-wklęsła to odwzorowanie popytu Hicksa $h$ ma wartości wypukłe, a jeżeli jest ściśle quasi-wklęsła, to $h$ jest co najwyżej jednowartościowe;

b) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone a $u$ jest ciągła, to nie ma nadmiarowej użyteczności, tzn. dla $\bar{u}\geq\inf u(\mathbb{X})$ jeśli $x\in h(\mathbf{p},\bar{u})$ , to $u(x)=\bar{u}$ ;

c) Dla ustalonego $\bar{u}$ odwzorowanie $h(\cdot,\bar{u})$ jest jednorodne stopnia $0$ jako odwzorowanie $\mathbf{p}$ ;

d) Odwzorowanie popytu Hicksa przy ustalonym $\bar{u}$ $h(\cdot,\bar{u})$ jest ciągłe jako odwzorowanie $\mathbf{p}$ , a jeśli funkcja $u$ jest ciągła, lokalnie nienasycona, to $h$ obcięte do zbioru $\{(\mathbf{p},\bar{u}):\bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)\}$ jest górnie półciągłe łącznie ze względu na wszystkie zmienne.

Stwierdzenie 6.3

Własności funkcji wydatków.

a) Funkcja $e$ jest niemalejącą funkcją $p$ i $\bar{u}$ , a jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone i $u$ jest ciągła, to ściśle rosnącą $\bar{u}$ dla $\bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)$ ;

b) Funkcja $e$ jest jednorodna stopnia $1$ ze względu na $\mathbf{p}$ ;

c) Funkcja $e$ jest wklęsła ze względu na $\mathbf{p}$ ;

d) Funkcja $e$ przy ustalonym $\bar{u}$ $e(\cdot,\bar{u})$ jest ciągła ze względu na $\mathbf{p}$ , a jeśli funkcja $u$ jest ciągła, lokalnie nienasycona, to $e$ obcięta do zbioru $\{(\mathbf{p},\bar{u}):\bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)\}$ jest ciągła łącznie ze względu na wszystkie zmienne.

e) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, a $u$ jest, ciągła, to $\lim _{{\bar{u}\rightarrow\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)}}e(\mathbf{p},\bar{u})=+\infty$ .

(obu stwierdzeń:) Punkty 6.2 a) i c) oraz 6.3 a) i b) są natychmiastowe. Pozostaje więc udowodnić pozostałe pięć.

6.3 c) Weźmy dowolne wektory cen $\mathbf{p}$ i $\mathbf{p}^{{\prime}}$ i $t\in(0,1)$ . Niech $\mathbf{p}^{{\prime\prime}}=t\mathbf{p}+(1-t)\mathbf{p}^{{\prime}}$ . $e(\mathbf{p}^{{\prime\prime}},\bar{u})=\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}(\mathbf{p}^{{\prime\prime}})^{{T}}x=\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}(t\mathbf{p}+(1-t)\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x\geq$ $\geq t\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}\mathbf{p}^{{T}}x+(1-t)\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}(\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x=te(\mathbf{p},\bar{u})+(1-t)e(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u})$ .

6.2 b) Minimum funkcji liniowej na zbiorze może być przyjmowane jedynie na jego brzegu. Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, więc poza $\bar{u}\leq\min u(\mathbb{X})$ nie będzie to $\mathbf{0}$ . Niech więc punkt $\bar{x}$ , w którym jest przymowane minimum będzie punktem z brzegu zbioru $\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}$ i niech $u(\bar{x})>\bar{u}$ . Wówczas dla pewnego małego $\varepsilon$ , z ciągłości $u$ w pewnym otoczeniu $\bar{x}$ istnieje taki $x\leq\bar{x}$ z przynajmniej jedną nierównością ostrą, dla którego $u(x)>u(\bar{x})-\varepsilon>\bar{u}$ . Z nierówności na współrzędnych $\mathbf{p}^{{T}}x<\mathbf{p}^{{T}}\bar{x}$ – sprzeczność.

6.3 e) Weźmy ciągi $x_{{k}}^{{T}}=(\frac{k}{p_{{1}}},\ldots,\frac{k}{p_{{n}}})$ i $u_{{k}}=u(x_{{k}})$ . Niech $y_{{k}}\in h(\mathbf{p},u_{{k}})$ . Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, przynajmniej jedna współrzędna $y_{{k}}$ musi być co namniej równa analogicznej współrzędnej $x_{{k}}$ , co daje $\mathbf{p}^{{T}}y_{{k}}\geq k$ , czyli $e(\mathbf{p},u_{{k}})\geq k$ . Stąd i z tego, że $e$ jest ściśle rosnąca po $\bar{u}$ dostajemy $\lim _{{\bar{u}\rightarrow\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)}}e(\mathbf{p},\bar{u})\geq\lim _{{k\rightarrow\infty}}e(\mathbf{p},u_{{k}})=+\infty$ .

6.2 d) i 6.3 d) dowodzimy łącznie z twierdzenia o maksimum 4.1.

Najpierw dla ustalonego $\bar{u}$ . Odwzorowanie $\Gamma$ , które przyporządkowuje $\mathbf{p}$ zbiór $\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}$ jest niezależne od $p$ , a więc jest ciągłe (przeciwobrazem dowolnego rodzaju dowolnego zbioru otwartego jest albo $\emptyset$ albo całe $\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}$ – otwarte). W twierdzeniu o maksimum potrzebujemy jednak dodatkowo zwartych wartości. Aby to uzyskać, musimy ograniczyć się – przynajmniej lokalnie do szukania minimum na zbiorze zwartym. Weźmy zatem dowolne $\bar{x}$ dla którego $u(\bar{x})\geq\bar{u}$ . Jeśli ograniczymy się do zbioru $A=\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}\cap\{ x:\mathbf{p}^{{T}}x\leq M\}$ dla $M>\sum _{{i=1}}^{{n}}(p_{{i}}+\delta)\bar{x}_{{i}}$ , to dla $\mathbf{p}^{{\prime}}$ bliskich $\mathbf{p}$ : takich, że dla każdego $i$ $\left|p_{{i}}-p_{{i}}^{{\prime}}\right|<\delta$ zachodzi $\mathop{\rm{Argmin}}_{{u(x)\geq\bar{u}}}(\mathbf{p}^{{\prime}}\mathbf{)}^{{T}}x=\mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in A}}(\mathbf{p}^{{\prime}}\mathbf{)}^{{T}}x$ , a więc sprowadziliśmy nasze zagadnienie do zagadnienia maksymalizacji po zbiorach zwartych, niezależnych od $\mathbf{p}$ , tak więc mamy tezę z twierdzenia o maksimum.

Teraz zajmiemy się globalną ciągłością. Aby to uzyskać, musimy pokazać ciągłość odwzorowania, oznaczmy je przez $\Gamma$ , które przyporządkowuje $(\mathbf{p},\bar{u})$ zbiór $\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}$ . Dodatkowo podobnie będziemy musieli uzwarcić wartości – podobnie jak poprzednio. Dalszy schemat dowodu podobny do dowodu stwierdzeń 5.1 d) i 5.2 d).

∎

Stwierdzenie 6.4

(Lemat Shepharda)

Jeżeli funkcja użyteczności jest różniczkowalna, monotoniczna, lokalnie nienasycona, a odwzorowanie popytu Hicksa $h$ jest funkcją różniczkowalną po $\mathbf{p}$ ; $u<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)$ , $p_{{i}}>0$ dla każdego $i$ oraz mnożnik Lagrange'a $\lambda(\mathbf{p},\bar{u})$ jest jednoznacznie wyznaczony, to jeśli dla każdego $i$ $h_{{i}}(\mathbf{p},u)>0$ , to

a) $h_{{i}}(\mathbf{p},\bar{u})=\frac{\partial e(\mathbf{p},u)}{\partial p_{{i}}}$ ,

b) jeżeli ponadto funkcja $h$ jest różniczkowalna jako funkcja $\mathbf{p}$ , macierz $\left[\frac{\partial h_{{i}}}{\partial p_{{j}}}\right]$ jest symetryczna, niedodatnio określona, w szczególności $\frac{\partial h_{{i}}}{\partial p_{{i}}}\leq 0$ (tzw. ujemny efekt cenowy Hicksa).

a) Wynika natychmiast z zastosowania twierdzenia o obwiedni.

b) Uzyskujemy, różniczkując $e$ po $\mathbf{p}$ dwukrotnie – z a) i wklęsłości $e$ po $\mathbf{p}$ .

∎

Ćwiczenie 6.1

Obliczyć funkcję wydatków i odwzorowanie popytu Hicksa dla $u(x_{1},x_{2})$ równej

a) $a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}$ przy $a_{i}>0$ (doskonałe substytuty);

b) $min\{ a_{1}\cdot x_{1},a_{2}\cdot x_{2}\}$ przy $a_{i}>0$ (dobra doskonale komplementarne);

c) $x_{1}^{{a_{1}}}\cdot x_{2}^{{a_{2}}}$ przy $a_{i}>0$ (użyteczność Cobba-Douglasa).

Odwzorowania popytu Hicksa, nawet jeśli nie są funkcjami różniczkowalnymi mają ponadto tę interesującą własność, że popyt zmienia się ”w kierunku przeciwnym do zmiany ceny”. Formalnie zachodzi następujący fakt:

Stwierdzenie 6.5

Jeśli $h(\mathbf{p},\bar{u})\cap h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u})=\emptyset$ , to dla każdego $x\in h(\mathbf{p},\bar{u})$ , $x^{{\prime}}\in h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u})$ zachodzi nierówność $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right){}^{{T}}\left(x^{{\prime}}-x\right)<0$ .

Rozłóżmy $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right)^{{T}}\left(x^{{\prime}}-x\right)=((\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x^{{\prime}}-(\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x)+(\mathbf{p}^{{T}}x-\mathbf{p}^{{T}}x^{{\prime}})$ .

Pierwszy nawias jest ujemny, ponieważ minimum $(\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x$ na zbiorze $\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}$ jest przyjmowane na $h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u})$ , a $x^{{\prime}}$ nie należy do $h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u})$ , drugi analogicznie.

∎

6.2. Związki pomiędzy zagadnieniami maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków

Zagadnienia maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków są względem siebie dualne.

Rys. 6.2. Dualność.

Aby zachodził poniższy fakt, nie potrzeba pełnych założeń modelu konsumenta

Stwierdzenie 6.6

Jeżeli preferencje są lokalnie nienasycone, ciągłe i $\bar{u}\in u(\mathbb{X})$ , to:

a) $v(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))=\bar{u}$ ;

b) $x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))=h_{{i}}(\mathbf{p},\bar{u})$ dla $i=1,\ldots,n$ ;

c) $e(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))=m$ ;

d) $h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))=x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ dla $i=1,\ldots,n$ .

Oczywiste.

∎

Ćwiczenie 6.2

O ileż prościej byłoby rozwiązać zadanie 6.1 korzystając z dualności!

Ćwiczenie 6.3

Mamy daną funkcję $v(p_{1},p_{2},m)=\frac{m^{2}}{(p_{1}+p_{2})^{2}}$ .

Czy może być ona niejawną funkcją użyteczności przy standartowych założeniach modelu konsumenta?

Obliczyć (zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne), oba odzworowania popytu i funkcję wydatków.

Jaka jest wyjściowa funkcja $u$ ?

Ćwiczenie 6.4

Mamy daną funkcję $e(p_{1},p_{2},\bar{u})=\sqrt{p_{1}\cdot p_{2}}\cdot\bar{u}$ .

Czy może być ona funkcją wydatków przy standartowych założeniach modelu konsumenta?

Obliczyć niejawną funkcję użyteczności oraz, zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne, oba odzworowania popytu.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010