Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Mikroekonomia – 6. Teoria wyboru konsumenta – minimalizacja wydatków, dualność – MIM UW

Zagadnienia

6. Teoria wyboru konsumenta – minimalizacja wydatków, dualność

6.1. Minimalizacja wydatków

Na optymalizację konsumenta możemy też spojrzeć z drugiej strony: zamiast maksymalizować użyteczność przy zadanym dochodzie, jaki możemy przeznaczyć na konsumpcję, dążyć do osiągnięcia przynajmniej takiej użyteczności jak najmniejszym kosztem.

Maksymalizacja użyteczności a minimalizacja wydatków
Rys. 6.1. Maksymalizacja użyteczności a minimalizacja wydatków.
Definicja 6.1

Funkcję e:\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{{+}} zdefiniowaną wzorem e(\mathbf{p},\bar{u})=\inf _{{u(x)\geq\bar{u}}}\mathbf{p}^{{T}}x (gdzie przez \inf _{{x\in\emptyset}}f(x) rozumiemy +\infty) nazywamy funkcją wydatków (expenditure function), a odwzorowanie h:\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{X} zdefiniowane wzorem h(\mathbf{p},\bar{u})=\mathop{\rm{Argmin}}_{{u(x)\geq\bar{u}}}\mathbf{p}^{{T}}x odwzorowaniem popytu Hicksa (czasem także odwzorowaniem popytu skompensowanego dochodu).

Funkcja wydatków określa, ile minimalnie muszę wydać, aby przy cenach p móc zapewnić sobie konsumpcję o użyteczności \bar{u}.

Stwierdzenie 6.1

Jeżeli u jest ciągła, to odwzorowanie popytu Hicksa ma niepuste wartości, a funkcja wydatków jest skończona dla dowolnego \bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x).

Zbiór A=\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:u(x)\geq\bar{u}\} jest w tej sytuacji niepusty, domknięty. Niech pewien \bar{x} nalezy do tego zbioru. Wówczas zbiór A\cap\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:x\leq\bar{x}\} jest niepusty, zwarty, a ponieważ wszystkie p_{{i}}>0, \mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in A}}\mathbf{p}^{{T}}x=\mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in A\cap\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:x\leq\bar{x}\}}}\mathbf{p}^{{T}}x. Mamy więc problem minimalizacji funkcji ciągłej na zbiorze zwartym.

Stwierdzenie 6.2

Własności popytu Hicksa.

a) Jeśli funkcja użyteczności jest quasi-wklęsła to odwzorowanie popytu Hicksa h ma wartości wypukłe, a jeżeli jest ściśle quasi-wklęsła, to h jest co najwyżej jednowartościowe;

b) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone a u jest ciągła, to nie ma nadmiarowej użyteczności, tzn. dla \bar{u}\geq\inf u(\mathbb{X}) jeśli x\in h(\mathbf{p},\bar{u}), to u(x)=\bar{u};

c) Dla ustalonego \bar{u} odwzorowanie h(\cdot,\bar{u}) jest jednorodne stopnia 0 jako odwzorowanie \mathbf{p};

d) Odwzorowanie popytu Hicksa przy ustalonym \bar{u} h(\cdot,\bar{u}) jest ciągłe jako odwzorowanie \mathbf{p}, a jeśli funkcja u jest ciągła, lokalnie nienasycona, to h obcięte do zbioru \{(\mathbf{p},\bar{u}):\bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)\} jest górnie półciągłe łącznie ze względu na wszystkie zmienne.

Stwierdzenie 6.3

Własności funkcji wydatków.

a) Funkcja e jest niemalejącą funkcją p i \bar{u}, a jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone i u jest ciągła, to ściśle rosnącą \bar{u} dla \bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x);

b) Funkcja e jest jednorodna stopnia 1 ze względu na \mathbf{p};

c) Funkcja e jest wklęsła ze względu na \mathbf{p};

d) Funkcja e przy ustalonym \bar{u} e(\cdot,\bar{u}) jest ciągła ze względu na \mathbf{p}, a jeśli funkcja u jest ciągła, lokalnie nienasycona, to e obcięta do zbioru \{(\mathbf{p},\bar{u}):\bar{u}<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)\} jest ciągła łącznie ze względu na wszystkie zmienne.

e) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, a u jest, ciągła, to \lim _{{\bar{u}\rightarrow\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)}}e(\mathbf{p},\bar{u})=+\infty.

(obu stwierdzeń:) Punkty 6.2 a) i c) oraz 6.3 a) i b) są natychmiastowe. Pozostaje więc udowodnić pozostałe pięć.

6.3 c) Weźmy dowolne wektory cen \mathbf{p} i \mathbf{p}^{{\prime}} i t\in(0,1). Niech \mathbf{p}^{{\prime\prime}}=t\mathbf{p}+(1-t)\mathbf{p}^{{\prime}}. e(\mathbf{p}^{{\prime\prime}},\bar{u})=\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}(\mathbf{p}^{{\prime\prime}})^{{T}}x=\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}(t\mathbf{p}+(1-t)\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x\geq \geq t\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}\mathbf{p}^{{T}}x+(1-t)\min _{{\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}}}(\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x=te(\mathbf{p},\bar{u})+(1-t)e(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u}).

6.2 b) Minimum funkcji liniowej na zbiorze może być przyjmowane jedynie na jego brzegu. Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, więc poza \bar{u}\leq\min u(\mathbb{X}) nie będzie to \mathbf{0}. Niech więc punkt \bar{x}, w którym jest przymowane minimum będzie punktem z brzegu zbioru \{ x:u(x)\geq\bar{u}\} i niech u(\bar{x})>\bar{u}. Wówczas dla pewnego małego \varepsilon, z ciągłości u w pewnym otoczeniu \bar{x} istnieje taki x\leq\bar{x} z przynajmniej jedną nierównością ostrą, dla którego u(x)>u(\bar{x})-\varepsilon>\bar{u}. Z nierówności na współrzędnych \mathbf{p}^{{T}}x<\mathbf{p}^{{T}}\bar{x} – sprzeczność.

6.3 e) Weźmy ciągi x_{{k}}^{{T}}=(\frac{k}{p_{{1}}},\ldots,\frac{k}{p_{{n}}}) i u_{{k}}=u(x_{{k}}). Niech y_{{k}}\in h(\mathbf{p},u_{{k}}). Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, przynajmniej jedna współrzędna y_{{k}} musi być co namniej równa analogicznej współrzędnej x_{{k}}, co daje \mathbf{p}^{{T}}y_{{k}}\geq k, czyli e(\mathbf{p},u_{{k}})\geq k. Stąd i z tego, że e jest ściśle rosnąca po \bar{u} dostajemy \lim _{{\bar{u}\rightarrow\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x)}}e(\mathbf{p},\bar{u})\geq\lim _{{k\rightarrow\infty}}e(\mathbf{p},u_{{k}})=+\infty.

6.2 d) i 6.3 d) dowodzimy łącznie z twierdzenia o maksimum 4.1.

Najpierw dla ustalonego \bar{u}. Odwzorowanie \Gamma, które przyporządkowuje \mathbf{p} zbiór \{ x:u(x)\geq\bar{u}\} jest niezależne od p, a więc jest ciągłe (przeciwobrazem dowolnego rodzaju dowolnego zbioru otwartego jest albo \emptyset albo całe \mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}} – otwarte). W twierdzeniu o maksimum potrzebujemy jednak dodatkowo zwartych wartości. Aby to uzyskać, musimy ograniczyć się – przynajmniej lokalnie do szukania minimum na zbiorze zwartym. Weźmy zatem dowolne \bar{x} dla którego u(\bar{x})\geq\bar{u}. Jeśli ograniczymy się do zbioru A=\{ x:u(x)\geq\bar{u}\}\cap\{ x:\mathbf{p}^{{T}}x\leq M\} dla M>\sum _{{i=1}}^{{n}}(p_{{i}}+\delta)\bar{x}_{{i}}, to dla \mathbf{p}^{{\prime}} bliskich \mathbf{p}: takich, że dla każdego i \left|p_{{i}}-p_{{i}}^{{\prime}}\right|<\delta zachodzi \mathop{\rm{Argmin}}_{{u(x)\geq\bar{u}}}(\mathbf{p}^{{\prime}}\mathbf{)}^{{T}}x=\mathop{\rm{Argmin}}_{{x\in A}}(\mathbf{p}^{{\prime}}\mathbf{)}^{{T}}x, a więc sprowadziliśmy nasze zagadnienie do zagadnienia maksymalizacji po zbiorach zwartych, niezależnych od \mathbf{p}, tak więc mamy tezę z twierdzenia o maksimum.

Teraz zajmiemy się globalną ciągłością. Aby to uzyskać, musimy pokazać ciągłość odwzorowania, oznaczmy je przez \Gamma, które przyporządkowuje (\mathbf{p},\bar{u}) zbiór \{ x:u(x)\geq\bar{u}\}. Dodatkowo podobnie będziemy musieli uzwarcić wartości – podobnie jak poprzednio. Dalszy schemat dowodu podobny do dowodu stwierdzeń 5.1 d) i 5.2 d).

Stwierdzenie 6.4

(Lemat Shepharda)

Jeżeli funkcja użyteczności jest różniczkowalna, monotoniczna, lokalnie nienasycona, a odwzorowanie popytu Hicksa h jest funkcją różniczkowalną po \mathbf{p}; u<\sup\limits _{{x\in\mathbb{X}}}u(x) , p_{{i}}>0 dla każdego i oraz mnożnik Lagrange'a \lambda(\mathbf{p},\bar{u}) jest jednoznacznie wyznaczony, to jeśli dla każdego i h_{{i}}(\mathbf{p},u)>0, to

a) h_{{i}}(\mathbf{p},\bar{u})=\frac{\partial e(\mathbf{p},u)}{\partial p_{{i}}},

b) jeżeli ponadto funkcja h jest różniczkowalna jako funkcja \mathbf{p}, macierz \left[\frac{\partial h_{{i}}}{\partial p_{{j}}}\right] jest symetryczna, niedodatnio określona, w szczególności \frac{\partial h_{{i}}}{\partial p_{{i}}}\leq 0 (tzw. ujemny efekt cenowy Hicksa).

a) Wynika natychmiast z zastosowania twierdzenia o obwiedni.

b) Uzyskujemy, różniczkując e po \mathbf{p} dwukrotnie – z a) i wklęsłości e po \mathbf{p}.

Ćwiczenie 6.1

Obliczyć funkcję wydatków i odwzorowanie popytu Hicksa dla u(x_{1},x_{2}) równej

a) a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2} przy a_{i}>0 (doskonałe substytuty);

b) min\{ a_{1}\cdot x_{1},a_{2}\cdot x_{2}\} przy a_{i}>0 (dobra doskonale komplementarne);

c) x_{1}^{{a_{1}}}\cdot x_{2}^{{a_{2}}} przy a_{i}>0 (użyteczność Cobba-Douglasa).

Odwzorowania popytu Hicksa, nawet jeśli nie są funkcjami różniczkowalnymi mają ponadto tę interesującą własność, że popyt zmienia się ”w kierunku przeciwnym do zmiany ceny”. Formalnie zachodzi następujący fakt:

Stwierdzenie 6.5

Jeśli h(\mathbf{p},\bar{u})\cap h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u})=\emptyset, to dla każdego x\in h(\mathbf{p},\bar{u}), x^{{\prime}}\in h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u}) zachodzi nierówność \left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right){}^{{T}}\left(x^{{\prime}}-x\right)<0.

Rozłóżmy \left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right)^{{T}}\left(x^{{\prime}}-x\right)=((\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x^{{\prime}}-(\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x)+(\mathbf{p}^{{T}}x-\mathbf{p}^{{T}}x^{{\prime}}).

Pierwszy nawias jest ujemny, ponieważ minimum (\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x na zbiorze \{ x:u(x)\geq\bar{u}\} jest przyjmowane na h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u}), a x^{{\prime}} nie należy do h(\mathbf{p}^{{\prime}},\bar{u}), drugi analogicznie.

6.2. Związki pomiędzy zagadnieniami maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków

Zagadnienia maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków są względem siebie dualne.

Dualność
Rys. 6.2. Dualność.

Aby zachodził poniższy fakt, nie potrzeba pełnych założeń modelu konsumenta

Stwierdzenie 6.6

Jeżeli preferencje są lokalnie nienasycone, ciągłe i \bar{u}\in u(\mathbb{X}), to:

a) v(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))=\bar{u};

b) x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))=h_{{i}}(\mathbf{p},\bar{u}) dla i=1,\ldots,n;

c) e(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))=m;

d) h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))=x_{{i}}(\mathbf{p},m) dla i=1,\ldots,n.

Oczywiste.

Ćwiczenie 6.2

O ileż prościej byłoby rozwiązać zadanie 6.1 korzystając z dualności!

Ćwiczenie 6.3

Mamy daną funkcję v(p_{1},p_{2},m)=\frac{m^{2}}{(p_{1}+p_{2})^{2}}.

Czy może być ona niejawną funkcją użyteczności przy standartowych założeniach modelu konsumenta?

Obliczyć (zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne), oba odzworowania popytu i funkcję wydatków.

Jaka jest wyjściowa funkcja u?

Ćwiczenie 6.4

Mamy daną funkcję e(p_{1},p_{2},\bar{u})=\sqrt{p_{1}\cdot p_{2}}\cdot\bar{u}.

Czy może być ona funkcją wydatków przy standartowych założeniach modelu konsumenta?

Obliczyć niejawną funkcję użyteczności oraz, zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne, oba odzworowania popytu.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.