Zagadnienia

9.1 Analiza porównawcza
9.2 Zastosowanie równania Słuckiego do szerszej klasy zagadnień podejmowania decyzji przez konsumenta
9.3 Od funkcji popytu do preferencji

9. Równania Słuckiego i jego uogólnienia – kupno-sprzedaż, podaż pracy, wybór międzyokresowy

9.1. Analiza porównawcza

Przykład 9.1

Skomentować uwagę pewnego ekonomisty ”w krajach biedniejszych elastyczność popytu na żywność jest mniejsza, ponieważ gospodarstwa domowe przeznaczają większą część swoich dochodów na żywność niż w państwach bogatszych”.

Uwaga!: chodzi o wartość bezwzględną elastyczności (podobnie jak w przypadku np. krańcowej stopy substytucji, jeśli jakaś wielkość jest zawsze ujemna, to w porównaniach ekonomiści często zaniedbują znak, nie mówiąc o tym, bo ”i tak wszyscy wiedzą o co chodzi”).

Jest to wniosek z równania Słuckiego: $\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial p_{{i}}}=\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{i}}}-\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ .

$\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial p_{{i}}}\cdot\frac{p_{{i}}}{x_{{i}}(\mathbf{p},m)}=\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{i}}}\cdot\frac{p_{{i}}}{x_{{i}}(\mathbf{p},m)}-\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}\cdot\frac{p_{{i}}}{x_{{i}}(\mathbf{p},m)}\cdot x_{{i}}(\mathbf{p},m)$

$\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial p_{{i}}}\cdot\frac{p_{{i}}}{x_{{i}}(\mathbf{p},m)}=\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{i}}}\cdot\frac{p_{{i}}}{h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}-\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}\cdot\frac{m}{x_{{i}}(\mathbf{p},m)}\cdot\frac{p_{{i}}}{m}\cdot x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ , czyli

$\varepsilon _{{i}}=\varepsilon _{{i}}^{{H}}-\varepsilon _{{i}}^{{D}}\cdot S_{{i}}$ , gdzie $S_{{i}}$ oznacza część dochodu wydawaną na żywność. żywność jest dobrem normalnym, więc $\varepsilon _{{i}}^{{D}}>0$ , a elastyczność Hicksa $\varepsilon _{{i}}^{{H}}$ jest zawsze ujemna. Jeśli założymy, że elastyczność Hicksa i elastyczność dochodowa nie zmieniają się, to ze wzrostem $S_{{i}}$ będzie wzrastać wartość bezwzględna $\varepsilon _{{i}}$ . Przy tych założeniach dochodzimy więc do zupełnie przeciwnego wniosku.

9.2. Zastosowanie równania Słuckiego do szerszej klasy zagadnień podejmowania decyzji przez konsumenta

W dotychczasowych rozważaniach nie braliśmy pod uwagę, skąd się bierze dochód. O ile nie miało to znaczenia przy podejmowaniu decyzji w konkretnych sytuacjach, o tyle jest to istotne, kiedy badamy efekty zmian cen. Co jeśli nasz dochód zależy od cen? W jakich rzeczywistych sytuacjach to ma miejsce?

Konsument może posiadać pewien koszyk, tzw. zasób początkowy (jako dodatkową współrzędną możemy rozważyć posiadany pieniądz, którego cena stale równa się $1$ , dzięki czemu uzyskujemy rozszerzenie zwykłej optymalizacji konsumenta). Wówczas konsument może wymienić część dóbr na inne, przy czym stosunek wymiany wynika z różnicy cen lub sprzedać część dóbr, by za uzyskane środki zakupić inne dobra. Jak zauważymy później, do tej klasy zagadnień należy wybór długości czasu pracy (zagadnienie podaży pracy), a także wielkość oszczędności w banku (wybór międzyokresowy).

9.2.1. Zasób początkowy: kupowanie i sprzedawanie:

Przyjmujemy, że mój dochód to nie określona z góry suma pieniędzy w gotówce, lecz pewien koszyk produktów $\omega$ – zasób początkowy. Mogę sprzedać część dóbr, by zakupić za uzyskane pieniądze inne dobra, tak by zmaksymalizować użyteczność. W pierwszej chwili to zagadnienie wydaje się zupełnie różne od zagadnienia ”zwykłej” optymalizacji konsumenta.

Aby sprowadzić nasze zagadnienie do tejże postaci, sformułujemy je nieco inaczej: mogę sprzedać zasób początkowy po cenach rynkowych, wówczas uzyskam dochód $m=\mathbf{p}^{{T}}\omega$ . Za ten dochód mogę zakupić nowy koszyk produktów $x$ (w szczególności nic nie stoi na przeszkodzie, by był to ten sam koszyk, czyli abym netto nie był sprzedawcą ani nabywcą żadnego z dóbr), tak by zmaksymalizować użyteczność. Jeśli $x_{{i}}>\omega _{{i}}$ , to jestem nabywcą netto dobra $i$ : w rzeczywistości zakupiłem $x_{{i}}-\omega _{{i}}$ , jeśli natomiast $x_{{i}}<\omega _{{i}}$ , to jestem sprzedawcą netto dobra $i$ : w rzeczywistości sprzedałem $\omega _{{i}}-$ $x_{{i}}$ . Ograniczenie budżetowe ma postać $\mathbf{p}^{{T}}x=\mathbf{p}^{{T}}\omega$ , a zbiór budżetowy $\{ x\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}:\mathbf{p}^{{T}}x\leq\mathbf{p}^{{T}}\omega\}$ . Zauważmy, że, ponieważ nie ma żadnych kosztów transakcji, takie podejście jest równoważne wyjściowemu problemowi

Nasz popyt to $x(\mathbf{p},\mathbf{p}^{{T}}\omega)$ . Jeżeli chcemy badać efekt zmiany ceny dóbr, musimy pamiętać, że występuje ona w obu argumentach $x$ .

Całkowita zmiana popytu na dobro $i$ spowodowana zmianą ceny dobra $j$ jest więc równa: $\frac{dx_{{i}}(\mathbf{p},\mathbf{p}^{{T}}\omega)}{dp_{{j}}}=\left.\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial p_{{j}}}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}+\left.\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}\frac{\partial\mathbf{p}^{{T}}\omega}{\partial p_{{j}}}=\left.\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial p_{{j}}}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}+\left.\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}\omega _{{j}}$ .

Korzystając ze ”zwykłego” ciągłego równania Słuckiego, otrzymujemy więc

$\frac{dx_{{i}}(\mathbf{p},\mathbf{p}^{{T}}\omega)}{dp_{{j}}}=\left.\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{j}}}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}+\left.\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}(\omega _{{j}}-x_{{j}}(\mathbf{p},m))$ – równanie Słuckiego dla naszego zagadnienia.

Efekt substytucyjny nie zmienia się, natomiast drugi z efektów to efekt majątkowy. Jego znak, oprócz tego, czy dobro jest normalne, czy podrzędne, zależy też od tego, czy jestem sprzedawcą czy nabywcą netto dobra, którego cena uległa zmianie.

Warto zwrócić uwagę na jeszcze jedną rzecz: równoczesne przemnożenie cen wszystkich produktów przez tę samą liczbę dodatnią nie zmienia zagadnienia. Stąd jeśli rozważamy model z dwoma dobrami, łatwo nam badać wpływ na popyt na dobro zmiany ceny drugiego dobra: podwyżka ceny drugiego dobra jest równoważna obniżce ceny pierwszego, a więc nie musimy korzystać z ”krzyżowych” efektów substytucyjnych $\frac{\partial h_{{i}}}{\partial p_{{j}}}$ , których znak jest trudny do określenia.

Zobaczmy, korzystając z równania Słuckiego, jak zmieni się popyt na dobro $i$ , jeśli zmianie uległa tylko cena $p_{{i}}$ – wzrosła:

Jeśli $i$ jest dobrem normalnym, to nabywca netto dobra $i$ zmniejszy jego konsumpcję (będzie kupował mniej, a nawet stanie się sprzedawcą netto), natomiast nic nie można powiedzieć o sprzedawcy netto; a jeśli $i$ jest dobrem podrzędnym, to na odwrót.

Ćwiczenie 9.1

Właściel browaru konsumuje jabłka i piwo. Ma funkcję użyteczności o krańcowej stopie substytucji $\mathop{\rm{MRS}}(j,p)=\frac{p}{2j}$ . Obecnie cena zarówno cena jabłek jak i cena piwa wynosi $3$ , a nasz browarnik ma kilogram jabłek i 1000 butelek piwa.

Jaki będzie efekt

a) podwyżki cen jabłek;

b) podwyżki cen piwa?

Jaką cześć tych zmian przypiszemy efektowi substytucyjnemu, a jaką majątkowemu (z ciągłego równania Słuckiego)?

9.2.1.1. Podaż pracy

Choć na pierwszy rzut oka nie widać związku, wybór, ile godzin będę pracował (a co za tym idzie – ile zarobię), a ile godzin odpoczywał, jest przykładem zagadnienia wyboru przy dochodzie w postaci zasobu początkowego.

Najpierw zauważmy, że praca raczej nie jest ”dobrem” w rozumieniu ekonomicznych. Co najwyżej pieniądze, które za nią otrzymujemy, albo status społeczny, poczucie bezpieczeństwa… Na pewno większa liczba przepracowanych godzin nie zwiększa naszej użyteczności, przeciwnie: zmniejsza ją. Jeżeli weźmiemy pod uwagę przeciwieństwo pracy – odpoczynek – będzie to już dobro. Przyjmujemy, że odpoczynek jest dobrem normalnym.

W okresie, na jaki podejmujemy decyzję (doba, tydzień, miesiąc…) istnieje maksymalna liczba godzin, którą możemy podzielić na pracę i odpoczynek. Nie musi to być $24$ godziny na dobę, może to być liczba mniejsza określająca, ile jesteśmy w stanie pracować. Oznaczmy tę liczbę przez $\bar{L}$ . Jeżeli pracę oznaczamy przez $L$ , to odpoczynek będzie wynosił $R=\bar{L}-L$ . Stawka płacy wynosi $w$ , będzie to zatem cena odpoczynku. W modelu mamy jeszcze drugie dobro: konsumpcję $C$ , liczoną w pieniądzu, o cenie $1.$

W najprostszym przykładzie nie dysponujemy żadnym dochodem pozapłacowym, czyli $\omega _{{2}}=0$ , a $\omega _{{1}}=\bar{L}$ . Dysponujemy jedynie odpoczynkiem w ilości $\bar{L}$ , który sprzedajemy, by za uzyskany dochód kupić konsumpcję i odpoczynek, co daje ograniczenie budżetowe $C+wR=w\bar{L}$ – jest to przekształcone wyliczenie wypłaty za pracę.

Ćwiczenie 9.2

Ryszard pracuje na budowie i zarabia na rękę $5$ zł za godzinę. Tygodniowo dysponuje $60$ godzinami, ktore może podzielić między pracę a odpoczynek. Jego funkcja użyteczności dotycząca wyboru pieniędzy na konsumpcję i czasu wolnego to $u(R,c)=R\cdot\frac{c}{10}$ .

a) Obliczyć, ile Ryszard będzie pracował i ile odpoczywał i zilustrowac jego zagadnienie podaży pracy na wykresie.

b) Rząd podniósł podatki, aby mieć pieniądze na sfinansowanie planowanych wydatków wskutek czego teraz Ryszard dostaje na rękę 4zł za godzinę. Równocześnie rząd chce wprowadzić program pomocy dla najniżej zarabiających w ramach którego postanowił wypłacić zarabiającym mniej niż 6zł za godzinę różnicę pomiędzy ich zarobkami sprzed wprowadzenia podatków a obecnymi zarobkami.

Ile w tej sytuacji Ryszard by pracował i ile miał na konsumpcję? Czy oceniłby obecną sytuację jako lepszą, czy jako gorszą niż z punktu a)? Czy jest tu jakaś niejasność?

c) Rząd jednak skonsultował się z ekonomistą, który uznał, że aby uniknąć niekorzystnych efektów na rynku pracy, lepiej zwrócić jedynie różnicę pomiędzy zarobkami po zmianie a poprzednimi przy liczbie godzin pracy sprzed wprowadzenia podatku.

Ile Ryszard przy tym programie by pracował i ile miał na konsumpcję? Czy oceniłby obecną sytuację jako lepszą, czy jako gorszą niż z punktu a)?

Uwaga 9.1

Jeśli rozważamy inną płacę za nadgodziny niż za normowany czas pracy, podatki od pewnego poziomu dochodu i tym podobne, wówczas ograniczenie budżetowe będzie łamaną, a cena odpoczynku będzie się zmieniać.

Ćwiczenie 9.3

Marek ma 60 godzin tygodniowo do podziału pomiędzy pracę a odpoczynek. Pracuje jako goniec i otrzymuje 10 zł za godzinę czasu normowanego, czyli do 40 godzin, a 15 zł za nadgodziny. Jego funkcja użyteczności zagadnienia podaży pracy to $u(R,c)=R\cdot c$ .

Jak wygląda ograniczenie budżetowe Marka?

Ile będzie pracował, a ile odpoczywał? Czy/ile będzie pracował w nadgodzinach?

Ćwiczenie 9.4

Joanna projektuje biżuterię artystyczną i otrzymuje 20zł za godzinę. Do podziału na pracę i odpoczynek ma 90 godzin tygodniowo. Jej funkcja użyteczności to $u(R,c)=R\cdot c^{2}$ .

a) Ile będzie pracować i ile konsumować w tym przypadku?

b) Wybory wygrali populiści pod hasłem ”zabierać bogatym, rozdawać biednym”.

Planują, żeby na wszystkich zarabiających powyżej 800zł tygodniowo nałożyć podatek w wysokości $50\%$ . Narysować nowe ograniczenie budżetowe Joanny i naszkicować istotne dla zagadnienia krzywe obojętności. Jak zmieni się jej wybór?

c) Po miesiącu populiści wycofali się z tego projektu i teraz $50\%$ podatek naliczany jest jedynie od kwoty powyżej 800zł.

Spróbowac uzasadnić, dlaczego się wycofali (chodziło o względy czysto ekonomiczne).

Narysować ograniczenie budżetowe Joanny w tej sytuacji i naszkicować istotne dla zagadnienia krzywe obojętności. Jak zmieni się jej wybór?

Równanie Słuckiego dla czasu wolnego będzie miało postać:

$\frac{dx_{{1}}([w,1]^{{T}},w\bar{L})}{dw}=$ $\frac{\partial h_{{1}}([w,1]^{{T}},v([w,1]^{{T}},w\bar{L}))}{\partial w}+\frac{\partial x_{{1}}([w,1]^{{T}},w\bar{L})}{\partial m}(\bar{L}-x_{{1}}([w,1]^{{T}},w\bar{L}))$ .

Mamy do czynienia z dwoma przeciwstawnymi efektami: ujemnym substytucyjnym i dodatnim majątkowym, więc nie można powiedzieć, który z nich przeważy. Możliwe jest zarówno, że ze wzrostem stawki płacy będziemy więcej pracować (mniej odpoczywać) ze względu na to że odpoczynek stanie się relatywnie droższy, jak i że będziemy mniej pracować (więcej odpoczywać), bo będziemy mogli sobie na to pozwolić. Zazwyczaj ekonomiści uważają, że przy wysokich stawkach mamy do czynienia z tą drugą sytuacją. Dlatego, by motywować pracowników do dłuższej pracy, wprowadza się wyższą stawkę za nadgodziny.

Ćwiczenie 9.5

Uogólnić równanie Słuckiego podaży pracy na sytuację, kiedy pracownik posiada pewien dochód pozapłacowy.

Ćwiczenie 9.6

Janka utrzymuje się z pracy w kuchni i z pieniędzy stanowiących jej honorarium autorskie od wydanej uprzednio książki. Zawsze kiedy jej honorarium autorkie jest niższe, Janka pracuje w kuchni dłużej.

Co się będzie działo z liczbą godzin przepracowanych przez Jankę w następujących sytuacjach:

a) na dochód płacowy rząd nakłada proporcjonalny podatek dochodowy;

b) taki sam proporcjonalny podatek nakłada zarówno na dochód płacowy, jak i pozapłacowy;

c) na dochód płacowy rząd nakłada proporcjonalny podatek dochodowy i równocześnie funduje stypendium w wysokości równej podatkowi naliczonemu od uprzednich zarobków.

9.2.2. Wybór międzyokresowy

W najprostszym ujęciu mamy dwa okresy (chociaż może być ich więcej), dla uproszczenia będziemy nazywać je ”dziś” i ”jutro”; i oznaczać przez $0$ i $1$ .

W okresie $i$ mam dochód deterministyczny $Y_{{i}}$ i wybieram poziom konsumpcji $C_{{i}}$ . Konsumpcje w obu okresach są dobrami normalnymi. Swój dochód pomiędzy okresami mogę przenosić korzystając z banku przy stopie procentowej $r$ : mogę oszczędzać – konsumować mniej niż zarabiam w dziś, bądź zadłużać się – wziąć pożyczkę pod zastaw przyszłego dochodu, czyli konsumować dziś więcej niż zarabiam. W zagadnieniu wyboru międzyokresowego zakładamy, że nie można wziąć pożyczki, której się nie spłaci oraz, dla uproszczenia, że stopa procentowa jest jednakowa dla kredytów i lokat tzn. nie ma marży.

Ogranicznie budżetowe, jak we wszystkich zagadnieniach dochodu w postaci zasobu początkowego, może mieć nieskończenie wiele równoważnych postaci, jednak w przypadku zagadnienia wyboru międzyokresowego dwie z nich mają interpretację:

$(1+r)C_{{0}}+C_{{1}}=(1+r)Y_{{0}}+Y_{{1}}$ – w terminach wartości przyszłej: wartość przyszła strumienia konsumpcji jest równa wartości przyszłej strumienia dochodów – tyle byśmy mieli jutro, gdybyśmy odłożyli do banku;

$C_{{0}}+\frac{1}{1+r}C_{{1}}=Y_{{0}}+\frac{1}{1+r}Y_{{1}}$ – w terminach wartości obecnej: wartość obecna strumienia konsumpcji jest równa wartości obecnej strumienia dochodów – tyle pieniędzy moglibyśmy uzyskać dziś pod zastaw naszych dochodów.

Zasób początkowy to $Y_{{0}}$ i $Y_{{1}}$ .

Ćwiczenie 9.7

Janek dysponuje dochodem w wysokości 10000zł w tym roku i 10000zł w przyszłym. Stopa procentowa wynosi $10\%$ .

a) Jaka jest wartość obecna jego dochodu (przy założeniu, że otrzymuje pieniądze zawsze na początku roku).

b) Narysować jego ograniczenie budżetowe, przy założeniu, że jednostka konsumpcji w każdym z okresów kosztuje 1zł.

c) Funkcja użyteczności konsumpcji w czasie to $u(C_{1},C_{2})=C_{1}^{2}\cdot C_{2}$ .

Ile Janek skonsumuje w tym, a ile w przyszłym roku? Czy będzie pożyczkodawcą, czy pożyczkobiorcą?

d) Jak zmieni się odpowiedź, jeśli mamy inflację, na skutek której cena jednostki konsumpcji w przyszłym roku wzrośnie do 2zł?

Ćwiczenie 9.8

Mieszkańcy pewnej odległej wyspy żyją jedynie z uprawy ryżu. W tym roku zebrali 100 worków ryżu, który mogą albo skonsumować natychmiast, albo zmagazynować na zimę.

Plagą wyspy są szczury, które zjadają połowę plonów z magazynu.

a) Ile mieszkańcy będą konsumować natychmiast, a ile w zimie, jeśli mają funkcję użyteczności konsumcji w czasie, której moduł z krańcowej stopy substytucji $C_{1}$ przez $C_{2}$ wynosi $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ ?

b) Na wyspę przybył okręt kupiecki i widząc zapotrzebowanie, zaproponował sprzedaż okrętowego szczurołapa – bardzo łownego kota, którego zakup spowoduje, że szczury zjedzą nie więcej niż $10\%$ zmagazynowanych zbiorów. Ile maksymalnie mieszkańcy wsi zapłaciliby za kota (licząc w workach ryżu)?

Ćwiczenie 9.9

Staszek dysponuje dochodem w wysokości 10000zł w tym roku i 20000zł w przyszłym. System bankowy oferuje dwie różne stopy procentowe: dla kretytów $15\%$ i dla lokat $5\%$ .

a) Jaka jest wartość obecna jego dochodu (przy założeniu, że otrzymuje pieniądze zawsze na początku roku). Jaka jest wartość przyszła jego dochodu?

b) Narysować jego ograniczenie budżetowe, przy założeniu, że jednostka konsumpcji w każdym z okresów kosztuje 1zł.

c) Funkcja użyteczności konsumpcji w czasie to $u(C_{1},C_{2})=C_{1}\cdot C_{2}$ .

Ile skonsumuje w tym, a ile w przyszłym roku? Czy będzie pożyczkodawcą, czy pożyczkobiorcą?

Jeżeli badamy wpływ wzrostu stopy procentowej na konsumpcję dziś i jutro, wygodnie jest użyć ograniczenia budżetowego w terminach wartości przyszłej dla $C_{{0}}$ (wówczas cena $p_{{0}}=1+r$ , $p_{{1}}=1$ ) i wartości obecnej dla $C_{{1}}$ ( $p_{{0}}=1$ , $p_{{1}}=\frac{1}{1+r}$ ) i skorzystać z równania Słuckiego dla zmiany ceny tego samego dobra: $\frac{dx_{{i}}(\mathbf{p},\mathbf{p}^{{T}}\omega)}{dp_{{i}}}=\left.\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{i}}}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}+\left.\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}\right|_{{m=\mathbf{p}^{{T}}\omega}}(\omega _{{i}}-x_{{i}}(\mathbf{p},m))$ .

Ponieważ $\mathop{\rm{sign}}\left(\frac{dC_{{0}}(r)}{dr}\right)=\mathop{\rm{sign}}\left(\frac{dx_{{0}}(\mathbf{p},\mathbf{p}^{{T}}\omega)}{dp_{{0}}}\right)$ i $\mathop{\rm{sign}}\left(\frac{dC_{{1}}(r)}{dr}\right)=-\mathop{\rm{sign}}\left(\frac{dx_{{1}}(\mathbf{p},\mathbf{p}^{{T}}\omega)}{dp_{{1}}}\right)$ , a konsumpcje w obu okresach są normalne, to pożyczkodawca (ten, kto oszczędza) będzie konsumował jutro więcej, natomiast nie wiadomo, jak będzie z jego konsumpcję dziś; pożyczkobiorca będzie konsumował dziś mniej, natomiast nie wiadomo, co będzie z jego konsumpcją jutro – może zacząć oszczędzać, przez co ją zwiększy, a może zmniejszyć, jeśli pożycza więcej, aby za bardzo nie zmniejszyć konsumpcji dziś.

9.2.3. Statyka porównawcza – przykłady

Przykład 9.2

Podniesiono cenę żywności z $p$ do $p+\Delta p$ . Emeryci i renciści przeznaczają około $40\%$ swoich dochodów na żywność. O ile powinniśmy podnieść ich dochody, aby mieć pewność, że ich sytuacja nie pogorszy się. Czy należy się spodziewać, że ich sytuacja poprawi się?

Jeśli nie wiemy nic o użyteczności, musimy zwiększyć dochód o tyle, aby uprzednio wybierany koszyk był na nowym ograniczeniu budżetowym, czyli o $\Delta m=0.4\cdot m\cdot\Delta p$ . Wówczas użyteczność na pewno nie zmniejszy się, a jeśli konsumenci wybiorą inny koszyk, wówczas się zwiększy. Z tą drugą sytuacją będziemy mieć zawsze do czynienia, jeśli funkcja użyteczności jest różniczkowalna.

Rys. 9.1. Indeksacja dochodów emerytów.

Przykład 9.3

W ramach akcji marketingowej PKP postanowiły wprowadzić roczne karty podróżne dla studentów, które upoważniają do zniżki przy zakupie wszystkich biletów. Czy jeśli student kupi taką kartę, to będzie więcej korzystał z usług PKP? Czy student, któremu wszystko jedno, czy kupić kartę czy nie, będzie więcej wydawał na kolej, jeśli ją wykupi?

Odpowiedź na pierwsze pytanie brzmi ”nie”, a na drugie ”tak”.

Załóżmy, że podróże koleją są dla studenta dobrem normalnym (przy jego poziomie dochodu samolot czy taksówka na długą trasę raczej rzadko wchodzi w grę). Efekt substytucyjny jest dodatni, efekt dochodowy też, ale dochód się zmniejsza przez to, że student musi wykupić kartę, więc teoretycznie może się zdarzyć, że będzie jeździł mniej.

Odpowiedź na drugie pytanie brzmi ”tak”, ponieważ ”jest mu wszystko jedno” oznacza, że ta sama krzywa obojętności jest styczna do obu ograniczeń budżetowych, więc może być styczna do ograniczenia budżetowego odpowiadającego wykupowi karty tylko w jego fragmencie, który dotychczas nie był dostępny, co oznacza zwiększenie przejazdów koleją.

Rys. 9.2. Ilustracja graficzna problemu studenta.

Przykład 9.4

W pewnym zakładzie stawki płac wynoszą $5$ zł za godzinę, tydzień roboczy ma pięć dni po osiem godzin. Każdy pracownik może brać nadgodziny, płatne $7.5$ zł za godzinę, jednak nie więcej niż $20$ tygodniowo. Przeciętny pracownik bierze $10$ nadgodzin tygodniowo. Zakład pracy płaci składki ZUS w wysokości $10$ zł tygodniowo na pracownika. Związek zawodowy proponuje zrównać stawki płacy zasadniczej i za nadgodziny na poziomie $5.5$ zł. Przeanalizować tę propozycję.

Zakładamy, że zakład pracy chce utrzymać podaż pracy pracowników na tym samym poziomie co przed zmianą. Chociaż przy tym samym poziomie nadgodzin co poprzednio, przeciętny pracownik otrzymywałby taką samą wypłatę, należy oczekiwać, że jego podaż pracy zmniejszy się (zwiększy się popyt na odpoczynek), gdyż mamy tu do czynienia jedynie z efektem substytucyjnym, dodatnim w przypadku odpoczynku, którego cena relatywnie obniży się (jeśli pracujemy powyżej $40$ godzin).

Aby utrzymać ten sam poziom podaży pracy, trzeba byłoby zatrudnić nowych pracowników, którzy wypracowaliby brakujące godziny. To jednak zwiększy koszty – za każdego nowego pracownika trzeba dodatkowo zapłacić ZUS.

Rys. 9.3. Ilustracja graficzna problemu pracodawcy.

9.3. Od funkcji popytu do preferencji

Jak odtworzyć relację preferencji, jeżeli mamy dane mamy jedynie to, co można uzyskać z badań rynku: funkcję popytu.

Można to robić ”na raty” albo bezpośrednio.

Wiemy, że przy założeniach o regularności, jeżeli mamy jedną z funkcji $v$ lub $e$ , to można z nich odtworzyć pozostałe funkcje modelu konsumenta. Mając funkcję $v$ lub $e$ , przy pewnych założeniach o regularności łatwo uzyskamy również funkcję użyteczności odzwierciedlającą wyjściowe preferencje.

Stwierdzenie 9.1

Przy standartowych założeniach modelu konsumenta i jeżeli funkcja $u$ jest wklęsła:

a) jeżeli $v$ jest niejawną funkcją użyteczności, to dla każdego $x$ zachodzi równość $u(x)=\min _{{\mathbf{p}:\mathbf{p}^{{T}}x=1}}v(\mathbf{p},1)$ ;

b) Zbiory niegorsze niż $u$ spełniają $\left\{ x:u(x)\geq u\right\}=\bigcap\limits _{{\mathbf{p}\gg 0}}\left\{ x:\mathbf{p}^{{T}}x\geq e(\mathbf{p},u)\right\}$ a krzywe obojętności $u$ $\left\{ x:u(x)=u\right\}=\bigcap\limits _{{\mathbf{p}\gg 0}}\left\{ x:\mathbf{p}^{{T}}x\geq e(\mathbf{p},u)\right\}\backslash\bigcap\limits _{{v>u}}\bigcap\limits _{{\mathbf{p}\gg 0}}\left\{ x:\mathbf{p}^{{T}}x\geq e(\mathbf{p},v)\right\}$

Tak więc wystarczy wystarczy znaleźć pewną funkcję $v$ lub $e$ , aby znaleźć funkcję użyteczności. Jak jednak uzyskać jedną z tych funkcji, mając daną jedynie funkcję $x$ ?

Z lematu Shepharda $\frac{\partial e(\mathbf{p},u)}{\partial p_{{i}}}=h_{{i}}(\mathbf{p},u)=x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},u))$ .

Stąd funkcja wydatków jako funkcja cen przy ustalonym poziomie użyteczności $u_{{0}}$ opisana jest układem równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu: $\frac{\partial e(\mathbf{p},u_{{0}})}{\partial p_{{i}}}=x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},u_{{0}}))$ dla $i=1,\ldots,n$ z warunkiem początkowym $e(\mathbf{p}_{{0}},u_{{0}})=m_{{0}}$ (czyli $m_{{0}}$ takie, że $u(x(\mathbf{p},m_{{0}}))=u_{{0}}$ – musimy przypisać jakiś poziom użyteczności wyjściowemu popytowi).

W przypadku dwóch dóbr, korzystając z jednorodności stopnia $1$ funkcji $e$ układ można zredukować do jednego równania zwyczajnego: $\frac{\partial e(\left[p_{{1}},1\right]^{{T}},u_{{0}})}{\partial p_{{1}}}=x_{{1}}(\left[p_{{1}},1\right]^{{T}},e(\left[p_{{1}},1\right]^{{T}},u_{{0}}))$ , czyli, w uproszczonej postaci: $\frac{d\widetilde{e}(p_{{1}})}{dp_{{1}}}=x_{{1}}(\left[p_{{1}},1\right]^{{T}},\widetilde{e}(p_{{1}}))$ z warunkiem początkowym $\widetilde{e}(p_{{1}}^{{0}})=m_{{0}}$ .

Rozwiązanie będzie miało wszystkie wymagane własności funkcji wydatków i istnieje przy dość słabych założeniach regularności funkcji $x$ .

Jeżeli dóbr jest więcej niż $2$ , to problemu nie da się zredukować do równania różniczkowego zwyczajnego. Warunek konieczny istnienia funkcji $e$ dwukrotnie różniczkowalnej jako funkcja cen jest oczywisty: macierz substytucji musi być symetryczna: $\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial pj}+\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{j}}(\mathbf{p},m)=\frac{\partial x_{{j}}(\mathbf{p},m)}{\partial p_{{i}}}+\frac{\partial x_{{j}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ dla każdego $i,j$ . Jest to równocześnie warunek dostateczny (warunki całkowalności). Rozwiązanie ma własności $e$ i macierz drugiej pochodnej jest równa macierzy substytucji.

To kończy procedurę postępowania w przypadku gdy mamy regularną funkcję popytu. Nie będziemy jednak dokładniej analizaować tego zagadnienia.

Jeżeli $x$ nie jest różniczkowalna, pozostaje nam metoda bezpośrednia – konstrukcja relacji preferencji przy użyciu ujawnionych preferencji. Ponieważ wiemy, że relacja preferencji jest racjonalna, musimy rozszerzyć definicję ujawnionej preferencji o informacje, które możemy wyciągnąć z przechodniości. Wówczas uzyskamy relację pośredniej ujawnionej preferencji.

Definicja 9.1

Mówimy, że koszyk $x$ jest pośrednio jawnie ściśle preferowany przed $y$ , jeśli istnieje liczba naturalna $N$ i ciąg par $\left(\mathbf{p}^{{i}},m^{{i}}\right)$ , taki że $x\left(\mathbf{p}^{{i}},m^{{i}}\right)\neq x\left(\mathbf{p}^{{i+1}},m^{{i+1}}\right)$ $\left(\mathbf{p}^{{i}}\right)^{{T}}x\left(\mathbf{p}^{{i+1}},m^{{i+1}}\right)\leq m^{{i}}$ dla $i=1,\ldots,N-1$ , $x=x\left(\mathbf{p}^{{1}},m^{{1}}\right)$ i $y=x\left(\mathbf{p}^{{N}},m^{{N}}\right)$

Relacja pośredniej jawnej preferencji jest domknięciem zwykłej (używa się też dla porównania słowa bezpośredniej) jawnej preferencji ze względu na przechodniość.

Mocny aksjomat ujawnionych preferencji mówi, że jeżeli $x$ jest pośrednio jawnie preferowany przed $y$ , to $y$ nie może być bezpośrednio jawnie preferowany przed $x$ .

Definicja 9.2

Mocny (silny) aksjomat ujawnionych preferencji

Funkcja popytu spełnia mocny aksjomat ujawnionych preferencji, że dla dowolnych koszyków $x$ i $y$ , jeśli $x$ jest pośrednio ściśle jawnie preferowany przed $y$ to $\left(\mathbf{p}^{{N}}\right)^{{T}}x>m^{{N}}$ (gdzie $y=x\left(\mathbf{p}^{{N}},m^{{N}}\right)$ ).

Stwierdzenie 9.2

Jeżeli funkcja popytu Walrasa $x$ spełnia mocny aksjomat ujawnionych preferencji, to istnieje racjonalna relacja preferencji racjonalizująca $x$ , taka że $\forall y\in B_{{\mathbf{p},m}},y\neq x(\mathbf{p},m)$ koszyk $x(\mathbf{p},m)$ jest lepszy od $y$ .

Dowód – patrz na przykład Mas-Colell, Whinston i Green [1] albo Varian [2].

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010