Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Matematyka w ubezpieczeniach życiowych – 2. Podstawy teorii oprocentowania – MIM UW

Zagadnienia

2. Podstawy teorii oprocentowania

Treść tego rozdziału jest punktem wyjścia dla samodzielnej dyscypliny zwanej często matematyką finansową. Podamy tutaj niezbędne w dalszym ciągu wykładu podstawowe wiadomości , natomiast pełniejsze opracowanie omawianych zagadnień można znaleźć w [6] lub [1]. Załóżmy , że inwestujemy dzisiaj kwotę k_{0}, która po roku wzrasta do k_{1} (zdarza się, że k_{1}<k_{0} – wtedy wzrost jest ujemny). Liczbę r określoną wzorem

r=\frac{k_{1}}{k_{0}}-1 (2.1)

nazywamy stopą zwrotu z tej inwestycji. Po przekształceniu wzoru (2.1) otrzymujemy

k_{1}=k_{0}(1+r) (2.2)

Liczbę 1+r nazywamy czynnikiem akumulującym. W ciągu roku u różnych podmiotów gospodarczych zrealizują się, oczywiście, różne stopy zwrotu. W celu uporządkowania i uproszczenia dalszych rozważań przyjmujemy, że dominująca stopa zwrotu na przestrzeni kilku okresów, jest równa i. Będziemy ją nazywać efektywną stopą procentową.

Jeśli więc dziś założę lokatę bankową w wysokości k_{0}, to po roku otrzymam

k_{1}=k_{0}(1+i)

Jeśli jednak nie podejmę tych pieniędzy, ale przedłużę lokatę na rok następny, to na koniec drugiego roku trwania lokaty otrzymam

k_{2}=k_{1}(1+i)=k_{0}(1+i)^{2}

Kapitał rośnie zatem tak jak ciąg geometryczny, po n latach będę miał w banku

k_{n}=k_{0}(1+i)^{n}

Kwotę i_{n}, która przyrosła w n-tym roku, nazywamy bieżącymi odsetkami; wynosi ona

i_{n}=k_{n}-k_{{n-1}}=ik_{{n-1}}

Spójrzmy teraz na rozważany problem z innej strony. Chcę dysponować kapitałem k_{1} za rok od dziś. Ile powinienem teraz zainwestować (k_{0}=?), jeśli efektywna stopa procentowa wynosi i ? Odpowiedź uzyskujemy przekształcając wzór (2.2)

k_{0}=\frac{k_{1}}{1+i} (2.3)

Liczbę

v=\frac{1}{1+i} (2.4)

nazywamy czynnikiem dyskontującym. Poglądowo można powiedzieć, że a kumuluje on wstecz (rys.1). Wzór (2.3) zapiszemy teraz w postaci bardziej przypominającej (2.2)

k_{0}=k_{1}(1-d) (2.5)

Liczbę d występującą w tej zależności nazywamy efektywną stopą dyskontową. Ze wzorów (2.3),(2.4) i (2.5) wynika, że

d=1-v=\frac{i}{1+i}=iv (2.6)

Liczba d jest miarą odsetek pobieranych z góry. Jeśli więc pożyczamy od kogoś 1 zł z efektywną stopą dyskonta d, to dostajemy tylko (1-d) zł, a po roku oddajemy kapitał 1 zł. Pożyczkodawca osiągnął więc stopę zwrotu

\frac{1}{1-d}-1=\frac{1}{v}-1=i

Taką samą stopę zwrotu osiągnąłby pobierając odsetki po roku, w wysokości i zł.

Równanie typu

k_{n}=k_{0}(1+i)^{n} (2.7)

nazywamy równaniem wartości. Jeśli trzy spośród czterech liczb k_{0},k_{n},i,n są dane, to czwartą można obliczyć z tego równania. Jeśli niewiadomą jest czas inwestycji n, to z równania (2.7) otrzymuje się na ogół niecałkowitą wartość n (najczęściej niewymierną). Dlatego wprowadza się tzw. kapitalizację ciągłą. Wyjaśnimy krótko jej sens.

Niech t będzie dowolną liczbą dodatnią (np. t=10\frac{1}{3}). Chcę pobrać z banku początkowy depozyt k_{0} po czasie t. Bank wypłaca mi

k_{t}=k_{0}(1+i)^{t}

Odsetki były tu naliczane cały czas ( w sposób ciągły), a nie tylko dopisywane na koniec roku.

2.1. Nominalne stopy oprocentowania i dyskonta.Intensywność oprocentowania

Bank w którym mam swój ROR, kapitalizuje moje saldo (tzn. dopisuje odsetki) co miesiąc, nominalna stopa oprocentowania wynosi 13.5\%. Co to znaczy w praktyce? Oznacza to , że po miesiącu stan mojego konta wyniesie

k_{{1/12}}=k_{0}\left(1+\frac{0.135}{12}\right)

a po l miesiącach

k_{{l/12}}=k_{0}\left(1+\frac{0.135}{12}\right)^{l}

(zakładamy , że w międzyczasie nic nie wpłacam i nic nie podejmuję); na przykład po roku mam na koncie

k_{1}=k_{0}\left(1+\frac{0.135}{12}\right)^{{12}}\approx 1.1438k_{0}

Powyższe rozważania streszczamy krótko:

Nominalnej stopiei^{{(12)}}=13.5\%odpowiada efektywna stopa (roczna)i\approx 14.4\%.

Ogólnie, jeśli dopisywanie odsetek odbywa się m razy w ciągu roku (oczywiście m jest całkowite!), to nominalna stopa i^{{(m)}} jest powiązana z równoważną jej stopą efektywną i zależnością

\left(1+\frac{i^{{(m)}}}{m}\right)^{m}=1+i (2.8)

Po roku musi przyrosnąć taka sam kwota po obu stronach w zależności (2.8), chociaż po lewej przyrasta m razy, a po prawej tylko raz. Rozumowanie takie można powtórzyć dla nominalnych stóp dyskontowych; otrzymuje się wówczas zależność

\left(1-\frac{d^{{(m)}}}{m}\right)^{m}=1-d (2.9)

W tym kontekście ciekawe uzasadnienie można podać dla kapitalizacji ciągłej.

Załóżmy, że w naszym mieście jest nieskończenie wiele banków . Każdy z nich oferuje taką samą nominalną stopę oprocentowania \delta rachunków ROR, z tym że w banku nr m odsetki są kapitalizowane m razy w ciągu roku – np. bank nr 365 dopisuje odsetki codziennie. Niech teraz i_{m} oznacza efektywną roczną stopę oprocentowania, którą uzyskamy w banku nr m. Mamy więc

1+i_{m}=\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{m}

Ponieważ liczby te wzrastają wraz z m, więc im większy jest numer banku, tym korzystniejsza jest jego oferta. Czy można przebić tę nieskończoną mnogość coraz lepszych ofert? Okazuje się , że tak! Ponieważ

\lim _{{m\rightarrow\infty}}\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{m}=e^{{\delta}} (2.10)

więc wystarczy założyć bank (nazwijmy go umownie bankiem granicznym) i zaproponować efektywną roczną stopę oprocentowania w wysokości

i=e^{{\delta}}-1 (2.11)

Odsetki wypłaca się raz do roku w powyższej wysokości.

Co to ma wspólnego z kapitalizacją ciągłą? Załóżmy, że chcemy wycofać pieniądze w chwili t, gdzie o t nic się nie zakłada. Dla większości banków t nie będzie całkowitą wielokrotnością ich okresu odsetkowego (1/m roku), ale załóżmy, że taki bank zaliczy nam łaskawie ostatnią cząstkę okresu odsetkowego jako cały. Nasz początkowy kapitał k_{0} wzrośnie więc po czasie t w banku nr m do

k(m)=k_{0}\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{{[tm]+1}}

([y] oznacza część całkowitą liczby y). Otrzymujemy stąd

\lim _{{m\rightarrow\infty}}k(m)=k_{0}\lim _{{m\rightarrow\infty}}\left(\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{m}\right)^{{\frac{[tm]+1}{m}}}=k_{0}e^{{\delta t}}=k_{0}(1+i)^{t}

Skorzystaliśmy z (2.10) i (2.11). Wobec tego nasz bank graniczny w chwili t powinien wypłacić

k_{t}=k_{0}(1+i)^{t}

tzn. powinien kapitalizować odsetki w sposób ciągły. Liczbę

\delta=\ln(1+i) (2.12)

nazywamy intensywnością oprocentowania. łatwo pokazać, że

\lim _{{m\rightarrow\infty}}i^{{(m)}}=\lim _{{m\rightarrow\infty}}d^{{(m)}}=\delta

gdzie i^{{(m)}}, d^{{(m)}} są stopami nominalnymi równoważnymi zadanej efektywnej stopie rocznej i.

2.2. Renty

Rent używa się w finansach i ubezpieczeniach przede wszystkim do ratalnej spłaty długów, do płacenia składek i do wypłaty emerytur.

Oto przykład wprowadzający. Od 1 stycznia 2000 r. przez następne dziesięć lat będę otrzymywać 1 zł na początku każdego roku. Jaka jest wartość tego ciągu wypłat na 1 stycznia 2000 r.? Każdą z 10 płatności trzeba zdyskontować na dziś, tak więc

PV=1+v+v^{2}+\cdots+v^{9}

gdzie v jest czynnikiem dyskontującym. Skrót PV oznacza po angielsku present value, czyli wartość obecną tego strumienia wypłat. Nie jest to w zasadzie pojęcie dla nas nowe. Wzór (2.3) przedstawia, na przykład, wartość obecną pojedynczej wypłaty k_{1}, dokonywanej za rok. Ponieważ tego typu wielkości będą się pojawiać regularnie, wprowadzamy oznaczenie \ddot{a}_{{\overline{n}\mid}} na wartość obecną n złotówek otrzymywanych co rok, od dziś włącznie (tak więc ostatnia n–ta wpłata wpłynie po n-1 latach). Podobnie jak wyżej

\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}=1+v+v^{2}+\cdots+v^{{n-1}}

Sytuację tę zilustrowano na rys.2. Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego i ze wzoru (2.6) otrzymujemy

\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}=\frac{1-v^{n}}{1-v}=\frac{1-v^{n}}{d} (2.13)

Po przekształceniu uzyskujemy wzór

d\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}+v^{n}=1 (2.14)

który ma piękną interpretację.

Prawa strona wzoru: pożyczamy komuś 1 zł (dziś). Strona lewa: nasz dłużnik spłaca nam na bieżąco odsetki – na początku każdego roku przez n lat, w ten sposób dług zasadniczy nie zwiększa się. Po n okresach zwraca nam pożyczone 1 zł, które zdyskontowane na dziś wynosi v^{n}.

Ponieważ płatności rat renty są na ogół częstsze niż raz do roku (np. miesięczne), potrzebne są dodatkowe oznaczenia. Załóżmy, że płatności będą dokonywane przez n lat m razy w ciągu roku, każda w wysokości \frac{1}{m} zł. Wartość obecną renty oznaczamy symbolem

\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}=\frac{1}{m}\left(1+v^{{\frac{1}{m}}}+v^{{\frac{2}{m}}}+\cdots+v^{{\frac{nm-1}{m}}}\right)=\frac{1}{m}\cdot\frac{1-v^{n}}{1-v^{{\frac{1}{m}}}}

(nm to liczba wszystkich rat). Na podstawie (2.9) i (2.6) mamy

1-v^{{\frac{1}{m}}}=1-(1-d)^{{\frac{1}{m}}}=1-\left(1-\frac{d^{{(m)}}}{m}\right)=\frac{d^{{(m)}}}{m}

tak więc ostatecznie

\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}=\frac{1-v^{n}}{d^{{(m)}}} (2.15)

Wzór ten równie łatwo zapamiętać jak (2.13).

Użyte powyżej symbole \ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}, \ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}} dotyczą rent płatnych z góry (pierwsza rata od razu) – dwie kropki na górze oznaczają taką sytuację. Odpowiednie symbole bez kropek oznaczają wartości obecne strumieni płatności przesuniętych o 1 rok w przyszłość (płatnych z dołu). Otrzymujemy wzory

a_{{\overline{n}\mid}}=\frac{1-v^{n}}{i}\mbox{  ,  }\ \  a_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}=\frac{1-v^{n}}{i^{{(m)}}}

Na zakończenie rozważmy możliwość (przynajmniej teoretyczną) ciągłego napływu gotówki na nasz rachunek bankowy. Załóżmy, że w ciągu roku wpływa nań 1 zł. Tak więc między 3 a 10 marca wpływa 7/365 zł. Gotówka, która wpływa w krótkim przedziale czasu między t a t+\Delta t, jest w przybliżeniu dyskontowana stałym czynnikiem v^{t} (v^{t}\approx v^{{t+\Delta t}}). Sumowanie wartości obecnych poszczególnych wpłat zastąpimy tu oczywiście całkowaniem

\bar{a}_{{\overline{n}\mid}}=\int _{0}^{n}v^{t}\, dt=\frac{1-v^{n}}{\delta} (2.16)

(skorzystaliśmy z (2.12)).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.