Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Matematyka w ubezpieczeniach życiowych – 3. Zadania, I – MIM UW

3. Zadania, I

1. Rozważamy polisę emerytalną dla (x). Polega ona na tym, że przez następne m lat będzie on płacił co rok składkę netto P. Po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę w postaci renty dożywotniej w stałej wysokości 1 zł (na początku każdego roku). Gdy umrze przed osiągnięciem wieku x+m nic nie będzie wypłacone. Niech L oznacza stratę ubezpieczyciela netto na moment wystawienia polisy. Wykazać, że zdarzenie \{ L<0\} opisuje wzór

v^{{K+1}}>1-(P+1)(1-v^{m})

Rozwiązanie. Strata L wyraża się wzorem

L=\left\{\begin{array}[]{lll}-P(1+v+\ldots+v^{K}),&\mbox{ dla }&K<m\\
(v^{m}+\ldots v^{K})-P(1+v+\ldots+v^{{m-1}}),&\mbox{ dla }&K\ge m\end{array}\right.

Jeśli K<m to zawsze L<0. Jeśli natomiast K\ge m to L<0 oznacza, że

\frac{v^{m}-v^{{K+1}}}{d}<P\frac{1-v^{m}}{d}

a to jest równoważne wzorowi z treści zadania.

2. Niech \bar{A}_{{x:\overline{m}\mid}}^{1}(\delta) oznacza składkę \bar{A}_{{x:\overline{m}\mid}}^{1} obliczoną z użyciem technicznej intensywności oprocentowania \delta>0. Obliczyć \Delta\delta które spełnia równanie

\bar{A}_{{x:\overline{m}\mid}}^{1}(\delta)=\bar{A}_{{x+\frac{1}{12}:\overline{m+\frac{1}{12}}\mid}}^{1}(\delta+\Delta\delta)

jeżeli dane są wartości:

\bar{A}_{{x:\overline{m}\mid}}^{1}=0,131763,\bar{A}_{{x:\overline{m}\mid}}^{{\mbox{     1}}}=0,0768021,(\bar{I}\bar{A})_{{x:\overline{m}\mid}}^{1}=3,0173,
\mu _{x}=0,002,\mu _{{x+m}}=0,05,\delta=\ln(1,05)=0,04879

(obliczone przy podanej wartości \delta).

Rozwiązanie. Zastępując przyrost funkcji różniczką otrzymujemy następujące równanie na \Delta\delta

\frac{\partial\bar{A}^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}(\delta)}{\partial x}\cdot\frac{1}{12}+\frac{\partial\bar{A}^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}(\delta)}{\partial m}\cdot\frac{1}{12}+\frac{\partial\bar{A}^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}(\delta)}{\partial\delta}\cdot\Delta\delta=0.

Obliczymy najpierw potrzebne pochodne cząstkowe.

Tu prosze poprawic wzor
\frac{\partial\bar{A}^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}(\delta)}{\partial m}=\frac{\partial}{\partial m}\int _{0}^{m}e^{{-\delta t}}\mbox{}_{t}p_{x}\mu _{{x+t}}\, dt=e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x}\mu _{{x+m}}=A_{{x:\overline{m}\mid}}^{{\ \ \  1}}\mu _{{x+m}},
\frac{\partial\bar{A}^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}(\delta)}{\partial\delta}=\frac{\partial}{\partial\delta}\int _{0}^{m}e^{{-\delta t}}\mbox{}_{t}p_{x}\mu _{{x+t}}\, dt=-\int _{0}^{m}te^{{-\delta t}}\mbox{}_{t}p_{x}\mu _{{x+t}}\, dt=-(\bar{I}\bar{A})_{{x:\overline{m}\mid}}^{1}.

Zatem \Delta\delta spełnia równanie

\frac{1}{12}[0,131763(0,002+0,04879)+0,0768021\cdot 0,05-0,002]+\frac{1}{12}0,0768021\cdot 0,05-3,0173\Delta\delta=0

skąd otrzymujemy ostatecznie \Delta\delta=???.

3. Niech P_{x} oznacza tradycyjnie regularną coroczną składkę płatną aż do śmierci za ubezpieczenie osoby w wieku x, które wypłaci 1 zł na koniec roku śmierci. Załóżmy, że x jest liczbą całkowitą a u\in(0,1). Udowodnić, że przy założeniu UDD składka P_{{x+u}} wyraża się przez składki P_{x} oraz P_{{x+1}} następującym wzorem:

P_{{x+u}}=w_{x}\cdot P_{x}+w_{{x+1}}\cdot P_{{x+1}}

gdzie w_{{x+1}}=1-w_{x} oraz

w_{x}=\frac{(1-u)(P_{{x+1}}+d)}{(1-u)(P_{{x+1}}+d)+(u-uq_{x})(P_{x}+d)}

4. Rozważamy ubezpieczenie na życie ciągłe dla (35). Wypłaci ono 1 zł w chwili śmierci. Natomiast składka netto będzie płacona w postaci renty dożywotniej ciągłej z odpowiednio dobraną intensywnością. Obliczyć \pi^{s}(10) tzn. intensywność oszczędnościowej części składki po 10 latach. Dane są:

i=5\%,M_{{35}}=3776,D_{{35}}=17236,M_{{45}}=3181,D_{{45}}=10091,p_{{45}}=0,992.

Uwaga! Należy skorzystać z założenia UDD.

Rozwiązanie. Skorzystamy ze wzoru

\pi^{s}(t)=V^{{\prime}}(t)-\delta V(t).

Mamy

V(t)=\bar{A}_{{35+t}}-\bar{P}(\bar{A}_{{35}})\bar{a}_{{35+t}}\mbox{  oraz  }
V^{{\prime}}(t)=(\mu _{{35+t}}+\delta)\bar{A}_{{35+t}}-\mu _{{35+t}}-\bar{P}(\bar{A}_{{35}})[(\mu _{{35+t}}+\delta)\bar{a}_{{35+t}}-1].

Na mocy założenia UDD mamy następujące wzory przybliżone

\bar{A}_{{45}}=\frac{i}{\delta}\cdot\frac{M_{{45}}}{D_{{45}}}=?,\bar{a}_{{45}}=\frac{1-\bar{A}_{{45}}}{\delta}=?,\mu _{{45}}=q_{{45}}=0,008.

Zatem V(10)=?, V^{{\prime}}(10)=? i stąd \pi^{s}(10)=?.

5. Rozważamy rodzinę polis emerytalnych dla (x) parametryzowaną długością okresu płacenia składek m>0. Dokładniej: polisa Pol(m) polega na tym, że przez najbliższe m lat ubezpieczony (x) będzie płacił składkę netto w postaci renty życiowej m-letniej ciągłej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto; po dożyciu wieku x+m zacznie otrzymywać emeryturę w postaci renty dożywotniej ciągłej z roczną intensywnością 1. Niech 0<t<m oraz niech V(t) oznacza rezerwę składek netto po t latach. Wykazać, że \frac{\partial V(t)}{\partial m} wyraża się wzorem:

\frac{\partial V(t)}{\partial m}=-A_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}^{{\ \ \ \ \ \ \ \  1}}\cdot\frac{\bar{a}_{x}\bar{a}_{{x:\overline{t}\mid}}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}^{2}}

Rozwiązanie. Z definicji rezerwy otrzymujemy jawny wzór na V(t),

V(t)=\mbox{}_{{m-t|}}\bar{a}_{{x+t}}-\bar{P}\bar{a}_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}\mbox{ dla }0<t<m,

gdzie

\bar{P}=\frac{\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}}.

Obliczamy odpowiednie pochodne

\frac{\partial}{\partial m}(\mbox{}_{{m-t|}}\bar{a}_{{x+t}})=\frac{\partial}{\partial m}\int _{{m-t}}^{{\infty}}e^{{-\delta s}}\mbox{}_{s}p_{{x+t}}\, ds=-e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}},
\frac{\partial}{\partial m}(\bar{a}_{{x+t:\overline{m-t}\mid}})=\frac{\partial}{\partial m}\int _{0}^{{m-t}}e^{{-\delta s}}\mbox{}_{s}p_{{x+t}}\, ds=e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}},
\frac{\partial}{\partial m}(\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x})=\frac{\partial}{\partial m}\int _{m}^{{\infty}}e^{{-\delta s}}\mbox{}_{s}p_{x}\, ds=-e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x},
\frac{\partial}{\partial m}(\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}})=e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x}.

Dalej

\frac{\partial V(t)}{\partial m}=-e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}}-\left[\frac{-e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x}\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}-e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x}\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x}}{\bar{a}^{2}_{{x:\overline{m}\mid}}}\right]\bar{a}_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}-\bar{P}(m)e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}}=
-e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}}+\frac{e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x}\bar{a}_{x}\bar{a}_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}}{\bar{a}^{2}_{{x:\overline{m}\mid}}}-\frac{e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}}\cdot\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}}=-\frac{e^{{-\delta(m-t)}}\mbox{}_{{m-t}}p_{{x+t}}\bar{a}_{x}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}}+
+\frac{e^{{-\delta m}}\mbox{}_{m}p_{x}\bar{a}_{x}\bar{a}_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}}{\bar{a}^{2}_{{x:\overline{m}\mid}}}=-A_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}^{{\ \ \ \ \ \ \  1}}\left[\frac{\bar{a}_{x}\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}-e^{{-\delta t}}\mbox{}_{t}p_{x}\bar{a}_{x}\bar{a}_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}}\right]=-A_{{x+t:\overline{m-t}\mid}}^{{\ \ \ \ \ \ \  1}}\cdot\frac{\bar{a}_{x}\bar{a}_{{x:\overline{t}\mid}}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}^{2}}.

6. Rozważmy grupę 100 osób w wieku (50). Każda z tych osób ubezpieczyła się kilka lub kilkanaście lat temu na życie i płaci regularne coroczne składki netto aż do śmierci (bieżący staż każdej z tych osób w ubezpieczeniu jest liczbą całkowitą). Obliczyć przeciętną liczbę polis, które nie przyniosą ubezpieczycielowi straty netto. Zakładamy, że wszystkie te osoby należą do tej samej populacji i że ich życia są niezależne. Można skorzystać z następujących danych:

A_{{50}}=0,37,i=5\%,
l_{{30}}=96172,l_{{40}}=93348,l_{{50}}=86752,l_{{60}}=73602,l_{{70}}=51989,l_{{80}}=24644,l_{{90}}=4568.

Rozwiązanie. Rozważmy jedną z osób z tej grupy ubezpieczonych. Jeśli ubezpieczyła się ona w wieku x i k lat temu to oczywiście x+k=50. Strata ubezpieczyciela związana z tą polisą ma postać

\mbox{}_{k}L=v^{{K(50)+1}}-P_{x}\cdot\frac{1-v^{{K(50)+1}}}{d}.

Zdarzenie, że ta polisa nie przyniesie straty można zapisać nierównością

\mbox{}_{k}L<\mbox{}_{k}V\mbox{  czyli  }
v^{{K(50)+1}}-P_{x}\cdot\frac{1-v^{{K(50)+1}}}{d}<A_{{50}}-P_{x}\ddot{a}_{{50}}

która jest równoważna następującej

v^{{K(50)+1}}<A_{{50}}

i dalej

K(50)+1>\frac{\ln A_{{50}}}{-\delta}=??\mbox{  czyli  }K(50)\ge??

Przeciętna liczba polis, które nie przyniosą straty wynosi więc ??.

7. Żona (20) jest wybrana z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 100; natomiast mąż (25) jest wybrany z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 90. Rozpatrujemy następującą polisę emerytalną dla tej pary. Przez najbliższe 40 lat będą płacić składki w postaci renty życiowej ciągłej, przy czym płacenie składek ustaje po pierwszej śmierci (jeśli ktoś umrze w ciągu najbliższych 40 lat). Po 40 latach zaczyna się wypłata emerytury w postaci renty życiowej ciągłej płacącej do drugiej śmierci z roczną intensywnością 1. Obliczyć intensywność \bar{P} renty składek przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie \delta=0,02.

8. On (y) jest wylosowany z populacji Gompertza a ona (x) z populacji Weibulla. Dane są:

e_{{x:y}}=7,\mu _{x}=0,02\mbox{ oraz }Pr(T(x)<T(y))=0,25.

Obliczyć przybliżoną wartość

e_{{x+\frac{1}{12}:y}}

Rozwiązanie.Mamy

e_{{x+\frac{1}{12}:y}}\approx e_{{x:y}}+\frac{1}{12}\frac{\partial}{\partial x}(e_{{x:y}}).

Ale

\frac{\partial}{\partial x}(e_{{x:y}})=\frac{\partial}{\partial x}\int _{0}^{{\infty}}\mbox{}_{t}p_{x}\cdot\mbox{}_{t}p_{y}\, dt=\int _{0}^{{\infty}}\mbox{}_{t}p_{y}\frac{\partial}{\partial x}(\mbox{}_{t}p_{x})\, dt=\int _{0}^{{\infty}}\mbox{}_{t}p_{y}[\mbox{}_{t}p_{x}(\mu _{x}-\mu _{{x+t}})]\, dt=
=\mu _{x}e_{{x:y}}-\int _{0}^{{\infty}}\mbox{}_{t}p_{x}\cdot\mbox{}_{t}p_{y}\mu _{{x+t}}\, dt=\mu _{x}e_{{x:y}}-Pr(T(x)<T(y)),

więc ostatecznie

e_{{x+\frac{1}{12}:y}}\approx 7+\frac{1}{12}(0,02\cdot 7-0,25)=6,9908.

9. Rozważamy ubezpieczenie 30-letnie malejące dla (20) wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym 100. Suma ubezpieczenia c(t) wypłacana jest w chwili śmierci i wynosi:

c(t)=\left\{\begin{array}[]{ccc}(30-t+ft)/30&\mbox{dla}&t<30\\
0&\mbox{dla}&t\ge 30.\end{array}\right.

gdzie f\in(0,1) jest parametrem. Składka opłacana jest w postaci renty życiowej ciągłej 30-letniej z odpowiednio dobraną intensywnością netto. Znaleźć najmniejsze f, które spełnia warunek: dla każdego t\in(0,30) zachodzi nierówność V(t)\ge 0. Symbol V(t) oznacza rezerwę składek netto po t latach.

10. Rozważamy dwie populacje. Niech g_{j}(x) oznacza gęstość rozkładu trwania życia noworodka wylosowanego z populacji j (j=1,2.) Między funkcjami g_{1}(x) oraz g_{2}(x) zachodzi związek:

g_{2}(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}0,9g_{1}(x)&\mbox{dla}&x<50\\
1,1g_{1}(x)&\mbox{dla}&x>50.\end{array}\right.

Niech dalej zmienna losowa X_{j} oznacza długość życia noworodka wylosowanego z populacji j. Udowodnić, że zachodzi wzór:

E(min(X_{1},50))=5,5E(X_{1})-5E(X_{2})+25.

11. Rozważamy dwie polisy bezterminowe na życie dla (x). Każda z nich wypłaca jako świadczenie 1 zł na koniec roku śmierci. Polisa 1. opłacona jest za pomocą jednorazowej składki netto w momencie zawarcia umowy. Niech L_{1} oznacza stratę ubezpieczyciela na moment wystawienia tej polisy. Natomiast w przypadku polisy 2. składki regularne netto będą płacone w postaci renty życiowej na początku każdego roku aż do śmierci. Niech L_{2} oznacza stratę ubezpieczyciela na moment wystawienia tej polisy. Wiadomo, że

\frac{Var(L_{2})}{Var(L_{1})}=1,826

Obliczyć A_{x}.

Rozwiązanie. Jak wiadomo

Var(L_{2})=\left(1+\frac{P_{x}}{d}\right)^{2}\cdot Var(v^{{K+1}})=\left(\frac{1}{1-A_{x}}\right)^{2}Var(L_{1})

Obliczamy stąd A_{x}=0,26.

12. Rozważamy ubezpieczenie n-letnie na życie i dożycie ciągłe dla (x). Jeśli umrze on w ciągu najbliższych n lat to zostanie wypłacone świadczenie 1 zł w chwili śmierci, a jeżeli dożyje wieku x+n to 1 zł zostanie wypłacone właśnie w tym momencie. Składki netto będzie płacił w formie renty życiowej ciągłej h-letniej, gdzie 0<h<n. Odpowiednią intensywność składki netto oznaczamy tradycyjnie symbolem \mbox{}_{h}\bar{P}(\bar{A}_{{x:\overline{n}\mid}}) . Załóżmy, że zwiększymy n o jeden miesiąc. O ile należy zmniejszyć h aby nie zmieniła się roczna intensywność składki netto. Dane są

\mbox{}_{h}\bar{P}(\bar{A}_{{x:\overline{n}\mid}})=0,03,\ \ \  A_{{x+h:\overline{n-h}\mid}}^{{\ \ \ \ \ \ \ \  1}}=0,55\mbox{ oraz }\delta=0,049.

13. Rozważamy ubezpieczenie ciągłe dla (x), które wypłaci t w chwili śmierci, jeśli ubezpieczony umrze w wieku (x+t). Niech Z oznacza wartość obecną świadczenia na moment wystawienia polisy. Załóżmy, że ubezpieczony został wylosowany z populacji wykładniczej o średniej trwania życia 80. Techniczną intensywność oprocentowania \delta wybrano na poziomie, który minimalizuje wartość współczynnika zmienności:

\sqrt{Var(Z)})/E(Z)

Obliczyć ten poziom \delta.

14. Rozważamy polisę emerytalną, która polega na tym, że (x) płaci składki przez najbliższe m lat w postaci renty życiowej ciągłej, a po dożyciu wieku x+m zaczyna pobierać emeryturę z intensywnością 1 na rok. W przypadku śmierci przed osiągnięciem wieku x+m uposażeni otrzymują jednorazowe świadczenie w wysokości \alpha razy suma wpłaconych dotychczas składek (w chwili śmierci). Niech \bar{P}(\alpha) oznacza odpowiednią intensywność roczną składek netto. Wykazać, że zachodzi wzór:

\frac{d\bar{P}(\alpha)}{d\alpha}=\bar{P}(\alpha)^{2}\frac{(\bar{I}\bar{A})_{{x:\overline{m}\mid}}^{1}}{\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x}}

Rozwiązanie. Intensywność składki obliczamy z równania

E(P.V.(\mbox{składek }\bar{P}(\alpha)))=E(P.V.(\mbox{świadczeń})).

W systuacji z zadania równanie to ma postać

\bar{P}(\alpha)\cdot\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}=1\cdot\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x}+\alpha(\bar{I}\bar{A})^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}\bar{P}(\alpha).

Mamy stąd

\bar{P}=\frac{\mbox{}_{{m|}}\bar{a}_{x}}{\bar{a}_{{x:\overline{m}\mid}}-\alpha(\bar{I}\bar{A})^{1}_{{x:\overline{m}\mid}}}.

Otrzymujemy stąd natychmiast wzór na \frac{d\bar{P}(\alpha)}{d\alpha}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.