Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych – 1. Punkty równowagi pól wektorowych – MIM UW

Zagadnienia

1. Punkty równowagi pól wektorowych

Rozważmy nieautonomiczny układ równań różniczkowych (lub pole wektorowe zależne od czasu)

\dot{x}=v(t,x). (1.1)

Tutaj x należy do pewnej rozmaitości M zaś t (czas) do przedziału I\subset\mathbb{R}. W tym rozdziale możemy zakładać, że M jest otwartym podzbiorem \mathbb{R}^{{n}} i że pole v jest klasy C^{{r}}, r\geq 2; tak, że spełnione są założenia twierdzeń z Dodatku.

Przypomnijmy, że punkt x_{{\ast}} taki, że

v(t,x_{{\ast}})=0

(dla każdego t) nazywa się punktem równowagi; inne nazwy spotykane w literaturze to: punkt osobliwy pola i punkt krytyczny pola (głównie w przypadku pola autonomicznego). Oczywiście \varphi(t)\equiv x_{{\ast}} jest rozwiązaniem tego układu. Celem tego rozdziału jest zbadanie własności rozwiązań układu (1.1) w otoczeniu pnktu równowagi.

1.1. Stabilność w sensie Lapunowa i asymptotyczna stabilność

Najprostszą i pożądaną z punktu widzenia zastosowań własnością puktu równowagi jest jego stabilność. Poniżej podajemy dwie matematycznie ścisłe definicje stabilności.

Definicja 1.1. Punkt równowagi x_{{\ast}} równania (1.1) jest stabily w sensie Lapunowa, jeśli dla każdego \varepsilon>0 istnieje \delta>0 takie, że każde rozwiązanie x=\varphi(t;x_{{0}};t_{{0}}) startujące z \delta-otoczenia puktu x_{{\ast}}, \left|x_{{0}}-x_{{\ast}}\right|<\delta, pozostaje w \varepsilon-otoczeniu tego punktu, \left|\varphi(t;x_{{0}};t_{{0}})-x_{{\ast}}\right|<\varepsilon, dla wszystkich czasów t>t_{{0}}.

Punkt równowagi x_{{\ast}} jest asymptotycznie stabilny, jeśli jest on stabilny w sensie Lapunowa i, dodatkowo, istnieje \varepsilon _{{0}}>0 takie, że każde rozwiązanie \varphi(t;x_{{0}};t_{{0}}) startujące z punktu x_{{0}}=\varphi(t_{{0}};x_{{0}};t_{{0}}) \varepsilon _{{0}}-bliskiego punktowi równowagi, \left|x_{{0}}-x_{{\ast}}\right|<\varepsilon _{{0}}, dąży do x_{{\ast}} przy t\rightarrow\infty.

Przykład 1.2. Dla oscylatora harmonicznego \ddot{x}=-\omega^{{2}}x, albo

\dot{x}=y,\text{ \ \ }\dot{y}=-\omega^{{2}}x,

rozwiązania leżą w elipsach \left\{(\omega x)^{{2}}+y^{{2}}=\varepsilon^{{2}}\right\} (patrz Rysunek 1.1). Stąd dla 0<\omega\leq 1 wynika, że wybór \delta=\omega\varepsilon spełnia warunki definicji stabilności w sensie Lapunowa. Ponieważ rozwiązania nie dążą do punktu równowagi x=y=0, nie jest on asymptotycznie stabilny.

Rys. 1.1. Oscylator harmoniczny.

Przykład 1.3. Na Rysunku 1.2 przedstawiono portret fazowy pewnego pola wektorowego, które ma tę własność, że każde rozwiązanie dąży do punktu równowagi (czyli jest spełniony drugi z warunków na stabilność asymptotyczną). Jednakowoż ten punkt równowagi nie jest stabily w sensie Lapunowa, ponieważ trajektorie starujące z dołu oraz dowolnie blisko punktu równowagi wychodzą z czasem z ustalonego otoczenia tego punktu.

Okazuje się, że odpowiednie autonomiczne pole wektorowe można zadać konkretnym wzorem. Mianowicie, ma ono postać

\dot{x}=y,\ \ \dot{y}=-2x^{{2}}-4xy-y(x^{{2}}+y^{{2}})^{{2}} (1.2)

(patrz Zadanie 2.64).

Rys. 1.2. Stabilność Lapunowa ale nie asymptotyczna.

Podstawowy wynik o stabilności punktów równowagi pochodzi od A. Lapunowa. Dotyczy ono punktu równowagi x=0 dla kiełka1Przez kiełek pola wektorowego v(x) (lub funkcji f(x) czy formy różniczkowej \omega(x) czy odwzorowania) w punkcie x_{{0}}\in\mathbb{R}^{{n}} rozumiemy pole wektorowe (lub funkcję lub formę różniczkową lub odwzorowanie) określoną na pewnym otoczeniu U punktu x_{{0}}. Dwa kiełki, jeden określony na otoczeniu U a drugi na U^{{\prime}}, są równoważne, jeśli są zgodne na pewnym otoczeniu V\subset U\cap U^{{\prime}}. Przyjmuje się oznaczenie f:\left(\mathbb{R}^{{n}},x_{{0}}\right)\rightarrow\mathbb{R} dla oznaczenia kiełka funkcji w x_{{0}}; analogoczne oznaczenia są dla pól wektorowych, form różniczkowych, odwzorowań, itd. autonomicznego pola wetorowego w \left(\mathbb{R}^{{n}},0\right) postaci

v(x)=Ax+O(\left|x\right|^{{2}}), (1.3)

gdzie A=\frac{\partial v}{\partial x}(0) jest macierzą linearyzacji pola w punkcie x=0.

Twierdzenie 1.4 (Lapunow). Jeśli macierz A ma własność, że części rzeczywiste wszystkich jej wartości własnych są ujemne,

\textrm{Re}\lambda _{{j}}<0, (1.4)

to punkt równowagi x=0 jest asymptotycznie stabilny.

Zanim zaczniemy ścisły dowód tego twierdzenia wprowadzimy pojęcie funkcji Lapunowa, które okazuje się być użyteczne dla pokazywania asymptotycznej stabilności nawet bez założenia (1.4).

Definicja 1.5.Funkcją Lapunowa dla punktu równowagi x=0 kiełka autonomicznego pola wektorowego v(x) nazywamy funkcję

L:U\longmapsto\mathbb{R}

z otoczenia U punktu x=0, która spełnia następujące dwie własności:

(i) L(x)\geq 0 i L(x)=0 tylko dla x=0;

(ii) \dot{L}(x)=\left\langle dL(x),v(x)\right\rangle<0 dla x\not=0.

Stwierdzenie 1.6. Jeśli istnieje funkcja Lapunowa (dla punktu równowa- gi x=0 pola v(x)) to ten punkt jest asymptotycznie stabilny.

Dowód. Własność (i) z definicji funkcji Lapunowa mówi, że zbiory\left\{ L(x)\leq c\right\}, c>0, są ograniczone i dążą do punktu x=0 przy c\rightarrow 0.

Własność (ii) oznacza, że jeśli x=\varphi(t) jest rowiązaniem równania \dot{x}=x(x), to

\frac{d}{dt}L\circ\varphi(t)=\frac{\partial L}{\partial x}(\varphi(t))\cdot\dot{\varphi}(t)=\left(\triangledown L(x),v(x)\right)=\left\langle dL(x),v(x)\right\rangle<0.

Widać, że funkcja Lapunowa maleje wzdłuż rozwiązań równania różniczkowego (patrz Rysunek 1.3).

Rys. 1.3. Funkcja Lapunowa.

Zatem rozwiązania startujące z brzegu \left\{ L(x)=c\right\} zbioru \left\{ L(x)\leq c\right\} `wchodzą' do wnętrza tego zbioru. Ponieważ te trajektorie pozostają w zbiorach \left\{ L\leq c\right\}, jest spełniony warunek stabilności w sensie Lapunowa. Z drugiej strony, rozwiązania muszą dążyć do punktu x=0 przy t\rightarrow\infty; a to oznacza asymptotyczną stabilność. ∎

Teraz dla dowodu twierdzenia Lapunowa wypada skonstruować funkcję Lapunowa. W tym celu poprawimy nieco macierz A. Po pierwsze, założymy, że jest ona w postaci Jordana. Zatem mamy klatki

\left(\begin{array}[]{cccccc}\lambda _{{j}}&1&0&\ldots&0&0\\
0&\lambda _{{j}}&1&\ldots&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&\lambda _{{j}}&1\\
0&0&0&\ldots&0&\lambda _{{j}}\end{array}\right),\text{ \ \ }\left(\begin{array}[]{ccccc}\alpha _{{j}}&-\beta _{{j}}&1&0&\ldots\\
\beta _{{j}}&\alpha _{{j}}&0&1&\ldots\\
0&0&\alpha _{{j}}&-\beta _{{j}}&\ldots\\
0&0&\beta _{{j}}&\alpha _{{j}}&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\end{array}\right),

odpowiadające nierzeczywistym (\lambda _{{1}},\ldots,\lambda _{{r}}) i zespolonym (\lambda _{{j}}=\bar{\lambda}_{{j+1}}=\alpha _{{j}}+i\beta _{{j}}, j=r+1,r+3,\ldots,n-1) wartościom własnym.

Okazuje się, że jedynki nad diagonalą można zastąpić małymi \varepsilon-ami. Rzeczywiście, jeśli mamy klatkę Jordana wymiaru k z rzeczywistą wartością własną \lambda, to w standardowej bazie \left(e_{{j}}\right) mamy

Ae_{{1}}=\lambda e_{{1}},\text{ \ }Ae_{{2}}=\lambda e_{{2}}+e_{{1}},\ldots,\text{ }Ae_{{k}}=\lambda e_{{k}}+e_{{k-1}}.

Zatem dla bazy \left(f_{{j}}\right) takiej, że

f_{{k}}=e_{{k}},\text{ \ }f_{{k-1}}=e_{{k-1}}/\varepsilon,\ldots,\text{ }f_{{1}}=e_{{1}}/\varepsilon^{{k-1}},

będziemy mieli Af_{{1}}=f_{{1}} i Af_{{j}}=\lambda f_{{j}}+\varepsilon f_{{j-1}} (j>1). Analogiczną zamianę stosujemy w przypadku, gdy mamy klatkę Jordana z zepolonymi wartościami własnymi (Zadanie 1.27). Mamy zatem następujący

Lemat 1.7.W odpowiednim liniowym układzie współrzędnych macierz A przyjmuje postać

A=A_{{0}}+\varepsilon A_{{1}},

gdzie A_{{0}} jest blokowo-diagonalna z\lambda _{{j}}\in\mathbb{R} i z \left(\begin{array}[]{cc}\alpha _{{j}}&-\beta _{{j}}\\
\beta _{{j}}&\alpha _{{j}}\end{array}\right) na diagonali a maciarz A_{{1}} jest ograniczona, \left\| A_{{1}}\right\|<C_{{1}}.

Następny lemat kończy dowód Stwierdzenia 1.6.

Lemat 1.8.Niech \left(x_{{i}}\right) będzie układem współrzędnych z tezy Lematu 1.7. Wtedy funkcja

L(x)=\sum x_{{i}}^{{2}}=\left(x,x\right)=\left|x\right|^{{2}}

na odpowiednio małym otoczeniu pnktu x=0 jest funkcją Lapunowa dla tego punktu równowagi.

Dowód. Oczywiście wystarczy sprawdzić własność (ii) z Definicji 1.5 funkcji Lapunowa. Mamy

\dot{L}=\left(\triangledown L,A_{{0}}x\right)+\varepsilon\left(\triangledown L,A_{{1}}x\right)+\left(\triangledown L,v-Ax\right),

gdzie \triangledown L=2x. Pierwszy wyraz po prawej stronie tej równości wynosi (jak łatwo sprawdzić)

\left(\triangledown L,A_{{0}}x\right)=2\sum _{{j=1}}^{{r}}\lambda _{{j}}x_{{j}}^{{2}}+2\sum\alpha _{{j}}(x_{{j}}^{{2}}+x_{{j+1}}^{{2}}), (1.5)

gdzie w drugiej sumie sumujemy po j=r+1,r+3,\ldots,n-1. Następnie, z ograniczoności A_{{1}} dostajemy

\left|\left(\triangledown L,A_{{1}}x\right)\right|\leq 2C_{{1}}\left|x\right|^{{2}}.

Poniewaz nieliniowe wyrazy pola v(x)-Ax są rzędu O(\left|x\right|^{{2}}), mamy

\left|\left(\triangledown L,v-Ax\right)\right|\leq 2C_{{2}}\left|x\right|^{{3}}\leq 2C_{{2}}\varepsilon\left|x\right|^{{2}}

dla pewnej stałej C_{{2}} i dostatecznie małego \left|x\right|.

Warunek (1.4) z założenia twierdzenia Lapunowa oznacza, że w (1.5) mamy

\lambda _{{j}},\alpha _{{k}}<-\Lambda<0

dla pewnego \Lambda. Zatem mamy \left(\triangledown L,A_{{0}}x\right)<-2\Lambda\left|x\right|^{{2}} a pozostałe dwa człony w \dot{L} szacują się przez 2(C_{{1}}+C_{{2}})\varepsilon\left|x\right|^{{2}}. To pokazuje, że \dot{L}<0 dla x\not=0 i małego \varepsilon, co kończy dowód lematu i twierdzenia Lapunowa. ∎

Istnieje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lapunowa. Jest ono dosyć naturalne i przypuszczalnie Lapunow miał jego świadomość, ale w rosyjskiej literaturze (np. w [10]) przypisuje się je V. Czetajewowi.

Twierdzenie 1.9 (Czetajew). Jeśli macierz A linearyzacji pola wektorowego (1.3) posiada wartość własną o ściśle dodatniej części rzeczywistej, to punkt równowagi x=0 nie jest stabilny (ani w sensie Lapunowa ani asymptotycznie).

Dowód. Niech \textrm{Re}\lambda _{{1}},\ldots,\textrm{Re}\lambda _{{k}} będą ściśle dodatnie a \textrm{Re}\lambda _{{k+1}},\ldots,\textrm{Re}\lambda _{{k+l}}\leq 0, k+l=n. Możemy założyć, że

A=A_{{1}}\oplus A_{{2}}

w rozkładzie \mathbb{R}^{{n}}=\mathbb{R}^{{k}}\oplus\mathbb{R}^{{l}}, przy czym macierz A_{{1}} ma wartości własne \lambda _{{1}},\ldots,\lambda _{{k}} a macierz A_{{2}} ma wartości własne \lambda _{{k+1}},\ldots,\lambda _{{n}}. Ponadto, możemy założyć, że macierze A_{{1}} i A_{{2}} są jak w tezie Lematu 1.7. Przyjmijmy jeszcze, że x=\left(x_{{1}},x_{{2}}\right) w powyższym rozkładzie \mathbb{R}^{{n}} oraz \left|x\right|=\left|x_{{1}}\right|+\left|x_{{2}}\right|.

Zdefiniujmy stożek V za pomocą nierówności

\left|x_{{2}}\right|\leq\alpha\left|x_{{1}}\right|,\text{
\ \ }\left|x_{{1}}\right|\leq\beta,

gdzie stałe \alpha i \beta będą zdefiniowanie w trakcie dalszych etapów dowodu. Zauważmy, że brzeg \partial V stożka V składa się z dwóch części: \partial _{{1}}V=\left\{\left|x_{{2}}\right|=\alpha\left|x_{{1}}\right|\right\} i \partial _{{2}}V=\left\{\left|x_{{1}}\right|=\beta\right\}. Zdefiniujmy też `funkcję Czetajewa', jako

C(x)=\left|x_{{1}}\right|.

Okazuje się, że przy odpowiednio dobranych \alpha i \beta zachodzą następujące własności:

(a) pole wektorowe wchodzi do V na częsci \partial _{{1}}V brzegu,

(b) \dot{C}(x)>0 dla x\in V\setminus 0. Oczywiście, z nich wynika teza twierdzenia; trajektorie startujące dowolnie blisko x=0 w V wychodzą z V przez część \partial _{{2}}V brzegu (patrz Rysunek 1.4).

Rys. 1.4. Funkcja Czetajewa.

Aby udowodnić te własności, skorzystamy z nierówności (które są konsekwencją poczynionych założeń):

\frac{d}{dt}\left|x_{{1}}\right|>M\left|x_{{1}}\right|-\varepsilon\left|x\right|,\text{ \ \ }\frac{d}{dt}\left|x_{{2}}\right|<\varepsilon\left|x\right|,

(dla M=\min\left\{\textrm{Re}\lambda _{{j}}:1\leq j\leq l\right\}) i małego \varepsilon, przy warunku, że \left|x\right|<\beta (\beta dostatecznie małe). Jak zwykle d/dt oznacza pochodną wzdłuż trajektorii x(t) pola wektorowego.

Warunek (a) oznacza, że \frac{d}{dt}\left(\left|x_{{1}}\right|-\alpha\left|x_{{2}}\right|\right)|_{{\partial _{{1}}V}}>0. Ale dla \left|x_{{1}}\right|=\alpha\left|x_{{2}}\right| mamy

\frac{d}{dt}\left(\left|x_{{1}}\right|-\alpha\left|x_{{2}}\right|\right)>M\left|x_{{1}}\right|-(\alpha+1)\varepsilon\left|x\right|=\left(M-\left(\alpha+1\right)^{{2}}\varepsilon\right)\left|x_{{1}}\right|>0,

o ile \varepsilon jest małe. Z drugiej strony dla \left|x_{{2}}\right|\leq\alpha\left|x_{{1}}\right| mamy

\frac{d}{dt}\left|x_{{1}}\right|>(M-(\alpha+1)\varepsilon)\left|x_{{1}}\right|>0.

W związku z powyższymi twierdzeniami nasuwa się naturalne praktyczne pytanie:

jak sprawdzić, czy wszystkie wartości własne danej macierzy mają ujemne częsci rzeczywiste?

Oczywiście to pytanie sprowadza się do pytania o części rzeczywiste pierwiastków wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

Zatem załóżmy, że mamy wielomian2Wielomian charakterystyczny macierzy \det\left(A-\lambda\right) ma współczynnik a_{{0}}=(-1)^{{n}}. Tutaj przyjmujemy a_{{0}}>0 dla uproszcenia formułowanych niżej wyników.

P(\lambda)=a_{{0}}\lambda^{{n}}+a_{{1}}\lambda^{{n-1}}+\ldots+a_{{n}},\text{ \ \ }a_{{0}}>0,\text{ \ \ }a_{{j}}\in\mathbb{R}. (1.6)

Definicja 1.10. Mówimy, że wielomian P(\lambda) jest stabilny jeśli wszystkie jego zera \lambda _{{j}} mają ujemną część rzeczywistą.

Pytamy o warunki konieczne i dostateczne aby wielomian postaci (1.6) był stabilny. Okazuje się, że ten problem był badany już w XIX wieku i ma pełne rozwiązanie.

Aby przyjrzeć się temu zagadnieniu, odnotujmy następujący prosty warunek konieczny.

Lemat 1.11.Jeśli wielomian postaci (1.6) jest stabilny, to a_{{j}}>0 dla wszystkichj.

Dowód. Przyjrzyjmy się czynnikom w przedstawieniu

P(\lambda)=a_{{0}}\prod(\lambda-\lambda _{{j}})\prod(\lambda^{{2}}-2\alpha _{{j}}\lambda+(\alpha _{{j}}^{{2}}+\beta _{{j}}^{{2}})),

gdzie pierwszy iloczyn jest związany z rzeczywistymi pierwiastkami \lambda _{{j}}<0, a drugi iloczyn jest związany z nierzeczywistymi pierwiastkami \lambda _{{j}}=\alpha _{{j}}\pm i\beta _{{j}}, \alpha _{{j}}<0, \beta _{{j}}\not=0. Ponieważ każdy z czynników ma dodatnie współczynniki, to i cały wielomian też musi mieć dodatnie współczynniki. ∎

Uwaga 1.12. Jeśli stopień n\leq 2,\ to warunek a_{{j}}>0, j=0,1,2, jest również warunkiem dostateczym.

Zdefiniujmy następującą macierz wymiaru n\times n:

M=\left[\begin{array}[]{lllllll}a_{{1}}&a_{{0}}&0&0&\ldots&0&0\\
a_{{3}}&a_{{2}}&a_{{1}}&a_{{0}}&\ldots&0&0\\
a_{{5}}&a_{{4}}&a_{{3}}&a_{{2}}&\ldots&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&0&\ldots&a_{{n-1}}&a_{{n-2}}\\
0&0&0&0&\ldots&0&a_{{n}}\end{array}\right] (1.7)

taką, że na diagonali stoją kolejno liczby a_{{1}},a_{{2}},\ldots,a_{{n}}.

Twierdzenie 1.13 (Warunki Raussa–Hurwitza). Warunkiem koniecznym i dostatecznym na stabilność wielomianu (1.6) jest:

(i) a_{{j}}>0 dla wszystkich j;

(ii) minory główne \Delta _{{j}} (wymiarów j)  macierzy (1.7) są dodatnie.

Przykłady 1.14. Dla n=1 macierz (1.7) ma postać \left[a_{{1}}\right], zatem \Delta _{{1}}=a_{{1}}.

Dla n=2, czyli macierzy \left[\begin{array}[]{cc}a_{{1}}&a_{{0}}\\
0&a_{{2}}\end{array}\right], mamy \Delta _{{1}}=a_{{1}} i \Delta _{{2}}=a_{{2}}; zatem odtwarzamy Uwagę 1.12.

Dla n=3 mamy macierz

\left[\begin{array}[]{ccc}a_{{1}}&a_{{0}}&0\\
a_{{3}}&a_{{2}}&a_{{1}}\\
0&0&a_{{3}}\end{array}\right].

Warunki Raussa–Hurwitza przyjmują postać: \Delta _{{1}}=a_{{1}}>0 (nic nowego),

\Delta _{{2}}=a_{{1}}a_{{1}}-a_{{0}}a_{{3}}>0 (1.8)

i \Delta _{{3}}=a_{{3}}\Delta _{{2}} (też nic nowego).

Uwaga 1.15. Można pokazać, że warunek \Delta _{{j}}>0 dla wszystkich j można zastąpić następującym warunkiem Liénarda–Shapira:

\Delta _{{2}}>0,\text{ \ }\Delta _{{4}}>0,\text{ \ }\Delta _{{6}}>0,\ldots

(patrz także poniższy dowód).

Dowód Twierdzenia 1.13.3Na wykładzie dowód jest ograniczony do przypadku n=3 i tego wymaga się od studentów na egzaminie. Idea dowodu jest dosyć prosta. Warunki\textrm{Re}\lambda _{{j}}<0 (oraz a_{{0}}>0) definiują pewien podzbiór U w przestrzeni \mathbb{R}^{{n+1}}=\left\{ a\right\} współczynników a_{{j}}. Zbiór U jest semi-algebraiczny i jego brzeg składa się z gładkich `stratów'. Chodzi o równania definiujące te straty. Jeśli a\in\partial U, to mamy dwie możliwości: albo

(a) pewien pierwiastek równania P(\lambda)=0 zeruje się, albo

(b) para sprzężonych pierwiastków zespolonych leży na osi urojonej.

Przypadek (a) oznacza, że P(0)=0, czyli a_{{n}}=0; to jest dosyć proste.

Rozważmy sytuację z parą \lambda _{{j,j+1}}=\pm i\beta urojonych pierwiastków. Mamy wtedy

P_{{\beta}}(\lambda)=(\lambda^{{2}}+\beta^{{2}})Q(\lambda) (1.9)

dla pewnego wielomianu

Q=b_{{0}}\lambda^{{n-2}}+b_{{1}}\lambda^{{n-3}}+\ldots+b_{{n-2}},

o którym możemy założyć, że jest stabilny. Ponadto, z założenia indukcyjnego (względem n) możemy przyjąć, że b_{{j}}>0 i odpowiednie minory \Delta _{{j}}=\Delta _{{j}}(Q)>0.

Mamy następujące relacje

a_{{0}}=b_{{0}},\text{ }a_{{1}}=b_{{1}},\text{ }a_{{2}}=b_{{2}}+\beta^{{2}}b_{{0}},\text{ }a_{{3}}=b_{{3}}+\beta^{{2}}b_{{1}},\ldots

To oznacza, że macierz M w (1.7) ma pos tać M=M_{{1}}+\beta^{{2}}M_{{2}}, gdzie

M_{{1}}=\left[\begin{array}[]{ccccccc}b_{{1}}&b_{{0}}&0&\ldots&0&0&0\\
b_{{3}}&b_{{2}}&b_{{1}}&\ldots&0&0&0\\
b_{{5}}&b_{{4}}&b_{{3}}&\ldots&0&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&b_{{n-2}}&b_{{n-3}}&b_{{n-4}}\\
0&0&0&\ldots&0&0&b_{{n-2}}\\
0&0&0&\ldots&0&0&0\end{array}\right],
M_{{2}}=\left[\begin{array}[]{ccccccc}0&0&0&\ldots&0&0&0\\
b_{{1}}&b_{{0}}&0_{{1}}&\ldots&0&0&0\\
b_{{3}}&b_{{2}}&b_{{1}}&\ldots&0&0&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&0&\ldots&b_{{n-4}}&b_{{n-5}}&b_{{n-6}}\\
0&0&0&\ldots&b_{{n-2}}&b_{{n-3}}&b_{{n-4}}\\
0&0&0&\ldots&0&0&b_{{n-2}}\end{array}\right].

Zauważmy, że r-ty wiersz macierzy M_{{2}} równa się (r-1)-temu wierszowi macierzy M_{{1}} dla r>1. To oznacza, że wszystkie minory \Delta _{{j}}(P_{{\beta}}), j=1,\ldots,n-2, macierzy M są równe odpowiednim minorom \Delta _{{j}}(Q) dla macierzy M_{{1}} (związanej z wielomianem Q); zatem są one dodatnie. Stąd też wynika, że \Delta _{{n-1}}(P_{{\beta}})=0 i \Delta _{{n}}(P_{{\beta}})=\beta^{{2}}b_{{n-2}}\Delta _{{n-1}}(P_{{\beta}})=0.

Widać, że równanie \Delta _{{n-1}}(P)=0 opisuje lokalnie hiperpłaszczyznę w przestrzeni współczynników \left(a_{{j}}\right) oddzielającą wielomiany stabilne od nie- stabilnych. Wypada tylko sprawdzić, czy nierówność \Delta _{{n-1}}(P_{{\beta}})>0 lokalnie definiuje zbiór wielomianów stabilnych.

W tym celu rozważymy następującą deformację sytuacji (1.9):

P_{{\alpha,\beta}}=(\lambda^{{2}}+\alpha^{{2}}\lambda+\beta^{{2}})Q(\lambda),

gdzie parametr \alpha jest mały i \beta jest rzeczywiste. Wtedy do macierzy M dochodzi jeszcze jeden człon \alpha^{{2}}M_{{3}}, gdzie w ostatnich dwóch wierszach macierzy M_{{3}} niezerowy jest tylko końcowy fragment wymiaru 2\times 2:

N=\left[\begin{array}[]{cc}b_{{n-2}}&b_{{n-3}}\\
0&0\end{array}\right].

Gdy \alpha i \beta są niezerowe wielomian P_{{\alpha,\beta}} jest stabilny; zatem \Delta _{{j}}(P_{{\alpha,\beta}})\not=0 dla j=1,\ldots,n-1. Policzmy granicę \Delta _{{n-1}}(P_{{\alpha,\beta}}) przy \beta\rightarrow 0 i stałym \alpha\not=0. (Wtedy \Delta _{{n}}(P_{{\alpha,\beta}})\rightarrow 0, bo a_{{n}}=\beta^{{2}}b_{{n-2}}\rightarrow 0, ale to nam nie przeszkadza.) Łatwo zobaczyć, że dla \beta=0 i małego niezerowego \alpha macierz M przyjmuje postać blokową, z blokami: M_{{11}} (wymiaru (n-2)\times(n-2)), M_{{12}} (wymiaru (n-2)\times 2), M_{{21}}=0 (wymiaru 2\times(n-2)) i M_{{22}}=\alpha^{{2}}N. Ponieważ \det M_{{11}}=\Delta _{{n-2}}(P_{{\alpha,0}}) jest bliskie \Delta _{{n-2}}(P_{{0,0}})=\Delta _{{n-2}}(Q)>0 (z założenia indukcyjnego), więc i \det M_{{11}}>0. Zatem

\Delta _{{n-1}}(P_{{\alpha,0}})=\det M_{{11}}\cdot\alpha^{{2}}b_{{n-2}}>0.

Przykład 1.16 (Regulator Watta). Na Rysunku 1.5 mamy przedsta- wiony schemat regulatora Watta, stosowanego w XIX wieku w maszynach parowych. Ten regulator składa się z:

— sworznia S, który może się obracać wokół swojej osi;

Rys. 1.5. Regulator Watta.

— dwu kul o masie m każda, umieszczonych na ruchomych przegubach wokół sworznia S, tak, że górna obręcz jest nieruchoma (scalona z S) a dolna obręcz może przesuwać się w górę i w dół (przy czym kule odpowiednio oddalają się od sworznia i przybliżają do sworznia), ponadto pręty P_{{1}} i P_{{2}} łaczące kule z górną obręczą mają długość l;

— koła zamachowego K umieszczonego na walcu W;

— przekładni zębatej pomiędzy sworzniem S i walcem W o stosunku prędkości obrotowych n;

— dźwigni D regulującej dopływ pary do maszyny i przymocowanej do dolnej obręczy.

Na każdą kulę działają trzy siły (patrz Rusunek 1.6): siła odśrodkowa F_{{od\acute{s}r}}=ml\theta^{{2}}\sin\varphi (skierowana prostopadle od sworznia na zewnątrz), siła ciężkości F_{{cie\dot{z}}}=mg (skierowana w dół) oraz tarcie F_{{tarc}}=-b\dot{\varphi} (prostopadłe do prętów P_{{1,2}}). Tutaj \theta jest prędkością kątową obrotu sworznia S (i kul), \varphi jest kątem pomiędzy prętami P_{{1,2}} a sworzniem S, g jest przyspieszeniem ziemskim a b jest pewnym współczynnikiem. Sumując składowe tych sił prostopadłe do prętów P_{{1,2}}, dostajemy następujące równanie ruchu

ml\ddot{\varphi}=ml\theta^{{2}}\sin\varphi\cos\varphi-mg\sin\varphi-b\dot{\varphi}. (1.10)

Przy tym zwykle zakłada się (np. w [16]), że

l=1,

tj. w pewnych jednoskach długości.

W równaniu (1.10) oprócz dynamicznej zmiennej \varphi występuje jeszcze wielkość \theta, która także zmienia się z czasem. Aby dostać jakąś zależność \theta (lub jej pochodnych) od \varphi, uwzględnijmy najpierw jej związek

\theta=n\omega

z prędkością obrotową \omega walca W. Z drugiej strony, ruch koła zamachowego K opisuje się równaniem

J\dot{\omega}=k\cos\varphi-F,

gdzie J jest momentem bezwładności koła, natomiast po prawej stronie mamy moment siły działającej na koło. Przy tym składnik k\cos\varphi jest proporcjonalny do ilości dopływu pary (k jest pewną stałą) a F jest stałą spowalniającą siłą związaną z pracą wykonywaną przez maszynę. Z powyższych rozważań wynika następujący zamknięty i autonomiczny układ równań różniczkowych dla x=\varphi, y=\dot{\varphi} i z=\omega:

\begin{array}[]{lll}\dot{x}&=&y,\\
\dot{y}&=&n^{{2}}z^{{2}}\sin x\cos x-g\sin x-\frac{b}{m}y,\\
\dot{z}&=&\frac{k}{J}\cos x-\frac{F}{J},\end{array} (1.11)
Rys. 1.6. Siła ciężkości i siła odśrodkowa.

Okazuje się, że ten układ ma dokładnie jedno (fizycznie realizowalne) położenie równowagi (x_{{0}},y_{{0}},z_{{0}}) zadane równaniami

\cos x_{{0}}=F/k,\text{ \ }y_{{0}}=0,\text{ \ }n^{{2}}z_{{0}}^{{2}}=g/\cos x_{{0}}. (1.12)

Ponadto macierz linearyzacji układu (1.11) w tym punkcie równowagi jest następująca

A=\left[\begin{array}[]{ccc}0&1&0\\
-g\frac{\sin^{{2}}x_{{0}}}{\cos x_{{0}}}&-\frac{b}{m}&2g\frac{\sin x_{{0}}}{z_{{0}}}\\
-\frac{k}{J}\sin x_{{0}}&0&0\end{array}\right] (1.13)

a jej wielomian charakterystyczny to

\det\left(A-\lambda\right)=-P(\lambda)=-\left\{\lambda^{{3}}+\frac{b}{m}\lambda^{{2}}+g\frac{\sin^{{2}}x_{{0}}}{\cos x_{{0}}}\lambda+2kg\frac{\sin^{{2}}x_{{0}}}{Jz_{{0}}}\right\}. (1.14)

Widać, że współczynniki wielomianu P(\lambda) są dodatnie, czyli jest spełniony warunek (i) Twierdzenia Raussa–Hurwiza. Dzięki Przykładowi 1.14 (dla n=3) warunkiem dostatecznym stabilności wielomian P(\lambda) jest nierówność (1.8), która w tym przypadku oznacza

\frac{bJ}{m}>2k\frac{\cos x_{{0}}}{z_{{0}}}=\frac{2F}{z_{{0}}} (1.15)

(Zadanie 1.28). Tutaj \nu:=z_{{0}}/2F=\omega _{{0}}/2F ma mechaniczną interpretację nierównomierności pracy maszyny. Zatem ostatnia nierówność przyjmuje prostą postać

\frac{bJ\nu}{m}>1.

Można stąd wysnuć następujące wnioski:

— zwiększanie masy m kul pogarsza stabilność;

— zmniejszanie współczynnika tarcia b pogarsza stabilność;4Gdy prezentowałem ten przykład kilka lat temu na wykładzie z JTRRZ, Z. Nowak poinformował nas o przypadkach, gdy w niektórych fabrykach niemieckich (gdzie dbano o wszystko) uporczywe zmniejsznie współczynnika tarcia prowadziło do awarii maszyn parowych.

— zmniejszenie momentu bezwładności J koła zamachowego pogarsza stabilność;

— podobny wpływ ma zmniejszenie współczynnika \nu nierównomierności pracy maszyny.

1.2. Hiperboliczność

Wyniki poprzedniego rozdziału nauczyły nas, że warunek \textrm{Re}\lambda _{{j}}=0, dla pewnej wartości własnej macierzy linearyzacji A w punkcie równowagi autonomicznego pola wektorowego

\dot{z}=Az+\ldots,\text{ \ }z\in\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right), (1.16)

jest warunkiem granicznym dla roztrzygnięcia problemy stabilności asymptotycznej tego punktu równowagi. Stąd pojawia się następująca

Definicja 1.17. Punkt równowagi z=0 autonomicznego pola wektorowego (1.16) nazywa się punktem hiperbolicznym, jeśli części rzeczywiste wszystkich wartości własnych macierzy A linearyzacji pola w tym punkcie są niezerowe.

Załóżmy, że punkt z=0 jest hiperboliczny i rozważmy odpowiedni układ liniowy

\dot{z}=Az. (1.17)

Wtedy istnieje naturalny rozkład przestrzeni \mathbb{R}^{{n}} na sumę prostą podprzestrzeni stabilnej E^{{s}}\simeq\mathbb{R}^{{k}} i podprzestrzeni niestabilnej E^{{u}}\simeq\mathbb{R}^{{l}} (od angielskich słów `stable' i `unstable'), odpowiadających wartościom własnym z \textrm{Re}\lambda _{{j}}<0 i z \textrm{Re}\lambda _{{j}}>0 odpowiednio:

\mathbb{R}^{{n}}=E^{{s}}\oplus E^{{u}},\text{ \ \ }A=A_{{1}}\oplus A_{{2}}. (1.18)

Zauważmy, że podprzestrzenie E^{{s}} i E^{{u}} można zdefiniować topologicznie w terminach liniowego potoku fazowego g_{{Az}}^{{t}}=e^{{At}} liniowego pola (1.17) (patrz Dodatek). Mianowicie

E^{{s}}=\left\{ z:g_{{Az}}^{{t}}(z)\rightarrow 0,\text{ }t\rightarrow+\infty\right\},\text{ \ }E^{{s}}=\left\{ z:g_{{Az}}^{{t}}(z)\rightarrow 0,\text{ }t\rightarrow-\infty\right\}

(patrz Rysunek 1.7).

Rys. 1.7. Hiperboliczne siodło.

Okazuje się, że analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku nieliniowego pola (1.16).

Twierdzenie 1.18 (Hadamard–Perron). Dla hiperbolicznego punktu równowagi z=0 pola \dot{z}=v(z) klasy C^{{r}}, r\geq 2, istnieją lokalne podrozmaitości, stabilna W^{{s}} i niestabilna W^{{u}} klasy C^{{r}}, takie, że

W^{{s}}=\left\{ z:g_{{v}}^{{t}}(z)\rightarrow 0,\text{ }t\rightarrow+\infty\right\},\text{ \ }W^{{s}}=\left\{ z:g_{{v}}^{{t}}(z)\rightarrow 0,\text{ }t\rightarrow-\infty\right\}, (1.19)

oraz5Tutaj g_{{v}}^{{t}} oznacza lokalny potok fazowy generowany przez pole v(x) a T_{{y}}M oznacza przestrzeń styczną do podrozmaitości M w punkcie y.

T_{{0}}W^{{s}}=E^{{s}},\text{ \ \ }T_{{0}}W^{{u}}=E^{{u}}. (1.20)

Zanim zabierzemy się za dowód tego twierdzenia, zauważmy, że analogiczne pojęcia i twierdzenia można wprowadzić dla lokalnych dyfeomeorfizmów. Po pierwsze, jeśli z=0 jest punktem równowagi pola wektorowego \dot{z}=v(z)=Az+\ldots, to z=0 jest punktem stałym przekształcenia potoku po czasie t=1, f(z)=g_{{v}}^{{1}}(z), tzn.

f(0)=0.

Ponadto część liniowa \frac{\partial f}{\partial z}(z) przekształcenia f w z=0 ma postać macierzy

\frac{\partial f}{\partial z}(0)=B=e^{{A}}.

(Zadanie 1.36). W istocie istnieje dyskretna wersja pojęcia potoku fazowego.

Definicja 1.19. Dyfeomorfizm f:M\longmapsto M definiuje homomorfizm \mathbb{Z}\rightarrow Diff(M) z grupy addytywnej liczb całkowitych do grupy dyfeomeorfizmów rozmaitości tak, że

n\longmapsto f^{{n}},

gdzie f^{{n}}=f\circ\ldots\circ f (n razy dla n\geq 0) i f^{{-n}}=f^{{-1}}\circ\ldots\circ f^{{-1}} (\left|n\right| razy dla n<0). W literaturze \left\{ f^{{n}}\right\} nazywa się kaskadą.

Punkt z_{{0}}\in M jest punktem okresowym o okresie p\geq 1 dla f, jeśli f^{{p}}(z_{{0}})=z_{{0}}; przy tym pod okresem będziemy rozumieli minimalny okres (tzn. f^{{q}}(z_{{0}})\not=z_{{0}} dla 1\leq q<p). Oczywiście punkt okresowy o okresie p=1 jest punktem stałym.

Definicja 1.20. Punkt okresowy z_{{0}} o okresie p dyfeomorfizmu f nazywa się hiperbolicznym, jeśli macierz

B=\frac{\partial(f^{{p}})}{\partial z}(z_{{0}})

ma wszystkie wartości własne poza okręgiem jednostkowym,

\left|\lambda _{{j}}\right|\not=1.

Lemat 1.21.Jeśli z=0 jest hiperbolicznym punktem równowagi pola wektorowego v(z) to z=0 jest też hiperbolicznym punktem stałym dyfeomorfizmu f=g_{{v}}^{{t}}, i odwrotnie (Zadanie 1.36).

Mamy następującą wersję twierdzenia Hadamarda–Perrona dla dyfeomorfizmów.

Twierdzenie 1.22.Jeśli punkt stały z=0lokalnego dyfeomorfizmuf:\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right) klasy C^{{r}}, r\geq 1, jest hiperboliczny, to istnieją lokalne podrozmaitości, stabilna W^{{s}} i niestabilna W^{{u}} klasy C^{{r}}, takie, że

W^{{s}}=\left\{ z:f^{{n}}(z)\rightarrow 0,\text{ }n\rightarrow+\infty\right\},\text{ \ }W^{{s}}=\left\{ z:f^{{n}}(z)\rightarrow 0,\text{ }n\rightarrow-\infty\right\}, (1.21)

oraz

T_{{0}}W^{{s}}=E^{{s}},\text{ \ \ }T_{{0}}W^{{u}}=E^{{u}}, (1.22)

gdzie E^{{s}} i E^{{u}} są podprzestrzniami\mathbb{R}^{{n}} rozpiętymi przez podprzestrzenie własne odpowiadające wartościom własnym macierzy B=\frac{\partial f}{\partial z}(0) o module <1 i  >1 odpowiednio.

Droga do dowodu Twierdzenia Hadamarda–Perrona 1.18 wiedzie poprzez dowód Twierdzenia 1.22. Przy tym, jak się wkrótce przekonamy, metoda dowodu istnienia podrozmaitościi W^{{s}} i W^{{u}} o własnościach (1.21) klasy C^{{0}} jest dosyć naturalna: dostaje się równanie na punkt stały pewnego przekształcenia w odpowiedniej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha. Niestety `wyciśnięcie' warunku kontrakcji tego przekształcenia jest mocno wyczerpujące. Dlatego w poniższym dowodzie ograniczymy się do wyprowadzenie odpowiednich równań i naszkicujemy ogólny schemat oszacowań. Po ścisły dowód odsyłamy czytelnika do monografii W. Szlenka [18].

Dowód Twierdzenia 1.22. Dla uproszczenia sytuacji załóżmy rozkład(1.18), czyli \mathbb{R}^{{n}}=E^{{s}}\oplus E^{{u}}=\left\{\left(x,y\right)\right\} i przekształcenie w postaci f=\left(f_{{1}},f_{{2}}\right) takie, że

f_{{1}}(x,y)=Ax+\varphi(x,y),\text{ \ \ }f_{{2}}(x,y)=By+\psi(x,y), (1.23)

gdzie

\left\| A\right\|<1,\text{ \ \ \ }\left\| B^{{-1}}\right\|<1 (1.24)

oraz funkcje \varphi i \psi są rzędu o(\left|x\right|+\left|y\right|) (Zadanie 1.37).

Oczywiście wektorowe funkcje \varphi i \psi są określone w małym otoczeniu zera. W dowodzie, który predstawiamy poniżej, stanowi to pewną techniczną przeszkodę. Dlatego dokonamy następującej zamiany

\varphi\longmapsto\varphi\chi,\text{ \ \ }\psi\longmapsto\psi\chi,

gdzie funkcja \chi(x,y) jest gładka (klasy C^{{\infty}}) i taka, że:

(i) \chi(x,y)\equiv 1 w małym otoczeniu zera, \left|x\right|+\left|y\right|<\varepsilon;

(ii) \chi(x,y)\equiv 0 poza małym otoczeniem zera, \left|x\right|+\left|y\right|>2\varepsilon (Zadanie 1.38). Zatem funkcje \varphi\chi i \psi\chi po przedłużeniu zerem dla \left|x\right|+\left|y\right|>\varepsilon będą określone na całym \mathbb{R}^{{n}}. Dalej oznaczamy je przez \varphi i \psi. Przypomnijmy, że te nowe funkcje spełniają d\varphi(0,0)=0, d\psi(0,0)=0 oraz \left|\varphi\right| i \left|\psi\right| są małe wraz z pochodnymi. Dzięki własności (i) dynamika przekształcenia f z nowymi \varphi i \psi w otoczeniu zera jest taka sama jak dla starego przekształcenia (1.23).

Poszukujemy podrozmaitości W^{{s}} w postaci wykresu pewnego odwzorowania (lub funkcji wektorowej) F:E^{{s}}\longmapsto E^{{u}},

W^{{s}}=\left\{(x,F(x)):x\in E^{{s}}\right\}.

(Dowód istnienia podrozmaitości W^{{u}} przebiega zupełnie analogicznie, dlatego ograniczamy się do przypadku W^{{s}}.)

Z własności (1.21) wynika, że podrozmaitość W^{{s}} powinna być niezmiennicza względem dyfeomorfizmu f, f(W^{{s}})=W^{{s}}. To oznacza, że f(x,F(x))=(x_{{1}},F(x_{{1}})) dla pewnych x_{{1}}\in E^{{s}} zależnych od x\in E^{{s}}. Z (1.23) znajdujemy, że x_{{1}}=Ax+\varphi(x,F(x)). Zatem dostajemy warunek

BF(x)+\psi(x,F(x))=F\circ(Ax+\varphi(x,F(x)),

który przepiszemy w następującej postaci

F(x)=B^{{-1}}\left\{ F\circ(Ax+\varphi(x,F(x))-\psi(x,F(x))\right\}=:\mathcal{T}(F)(x). (1.25)

Traktujemy ostatnie równanie jako równanie punktu stałego F=\mathcal{T}(F) dla nieliniowego operatora \mathcal{T} definiowanego przez prawą stronę tej równości.

Zakładając, że funkcje \varphi i \psi są klasy C^{{1}}, naturalne jest wprowadzić przestrzeń Banacha \mathcal{X}=C^{{0}}(E^{{s}},E^{{u}}) odwzorowań ciągłych z normą supremum. Nietrudno też pokazać, że przekształcenie \mathcal{T} przeprowadza \mathcal{X} w siebie. Aby zastosować zasadę Banacha dla odwzorowań zwężających, należałoby jeszcze udowodnić warunek kontrakcji, czyli oszacować normę różnicy \mathcal{T}(F_{{1}})-\mathcal{T}(F_{{2}}). Tutaj pojawia się problem, bo z (1.25) dostajemy następującą nierówność:

\displaystyle\left\|\mathcal{T}(F_{{1}})-\mathcal{T}(F_{{2}})\right\|
\displaystyle\leq \displaystyle\left\{\left\| B^{{-1}}\right\|+\left\| B^{{-1}}\right\|\cdot\left\| F_{{1}}^{{\prime}}\right\|\cdot\left\|\varphi _{{y}}^{{\prime}}\right\|+\left\| B^{{-1}}\right\|\cdot\left\|\psi _{{y}}^{{\prime}}\right\|\right\}\cdot\left\| F_{{1}}-F_{{2}}\right\|

(Zadanie 1.39). Ponieważ \left\| B^{{-1}}\right\|<1 (patrz (1.24)) oraz \left\|\psi _{{y}}^{{\prime}}\right\|=\left\|\partial\psi/\partial y\right\| i \left\|\partial\varphi/\partial y\right\| są małe (patrz powyżej), to wypada tylko umieć oszacować normę pochodnej F_{{1}}^{{\prime}} odwzorowania F_{{1}}. Ale, jeśli wybieramy F_{{1}} i F_{{2}} dowolnie z przestrzni \mathcal{X}, to F_{{1}} będzie tylko ciągłe, a jego pochodna może być nieograniczona.

Jest wyjście z tego impasu. Przypomnijmy, że w dowodzie twierdzenia Banacha wybiera się F_{{0}}\in\mathcal{X}, a następnie punkty F_{{n}}=\mathcal{T}^{{n}}(F_{{0}}) powinny zbiegać do punktu stałego. Chodzi o to aby wybrać wektorową funkcję F_{{0}} gładką i pokazać, że funkcje F_{{n}} też są gładkie z odpowiednio ograniczonymi normami. Nietrudno zgadnąć, że

F_{{0}}(x)\equiv 0

jest dibrym wyborem. Łatwo też widać ze wzoru (1.24), że F_{{n}}(x) są gładkie, np. F_{{1}}(x)=-B^{{-1}}\psi(x,0).

Trzeba tylko pokazać, że funkcje F_{{n}}(x) są jednakowo ciągłe. To sprowadza się do oszacowania normy pochodnej \left(\mathcal{T(}F)\right)^{{\prime}}(x) przy założeniu, ograniczoności normy F^{{\prime}}(x). Mamy

\left(\mathcal{T(}F)\right)^{{\prime}}(x)=B^{{-1}}\cdot\left\{ F^{{\prime}}\cdot\left[A+\varphi _{{x}}^{{\prime}}+\varphi _{{y}}^{{\prime}}\cdot F^{{\prime}}\right]-\psi _{{x}}^{{\prime}}-\psi _{{y}}^{{\prime}}\cdot F^{{\prime}}\right\}, (1.26)

gdzie pominęliśmy argumenty funkcji występujących po prawej stronnie tej równości. Zatem norma supremum szacuje się następująco:

\left\|\left(\mathcal{T(}F)\right)^{{\prime}}\right\|\leq a+b\left\| F^{{\prime}}\right\|+c\left\| F^{{\prime}}\right\|^{{2}},

gdzie a jest małe, b<1 i c>0. Stąd wynika, że, jeśli \left\| F^{{\prime}}\right\| jest dostatecznie mała, \left\| F^{{\prime}}\right\|<d (dla odpowiedniego d), to i \left\|\left(\mathcal{T(}F)\right)^{{\prime}}\right\|<d (Zadanie 1.40). To daje równomierne oszacowanie dla norm \left\| F_{{n}}^{{\prime}}\right\| ciągu funkcji F_{{n}}.

Zatem F_{{n}} zbiegają do punktu stałego F_{{\ast}}, o którym na razie możemy powiedzieć tylko że jest reprezentowany przez ciągłe odwzorowanie z E^{{s}} do E^{{u}}; czyli, że podrozmaitość

W^{{s}}=\left\{(x,F_{{\ast}}(x))\right\}

jest klasy C^{{0}}.

Powiemy krótko, jak dowieść gładkości funkcji F_{{\ast}}. W tym celu należy stosować jednocześnie równania (1.25) i (1.26) do ciągów \left\{ F_{{n}}\right\} i \left\{ F_{{n}}^{{\prime}}\right\}. W szczególności, pokazuje się jednakową ciągłość rodziny \left\{ F_{{n}}^{{\prime}}\right\}, co wymaga jednostajnego szacowania wyrażenia \sup\left|\left(\mathcal{T(}F_{{n}})\right)^{{\prime}}(x_{{1}})-\left(\mathcal{T(}F_{{n}})\right)^{{\prime}}(x_{{2}})\right|.Okazuje się, że to daje się zrobić korzystając z oszacowań dla\sup\{\left|F_{{n}}^{{\prime}}(x_{{1}})-F_{{n}}^{{\prime}}(x_{{2}})\right|, \left|\varphi^{{\prime}}(x_{{1}},y_{{1}})-\varphi^{{\prime}}(x_{{2}},y_{{2}})\right|, \left|\psi^{{\prime}}(x_{{1}},y_{{1}})-\psi^{{\prime}}(x_{{2}},y_{{2}})\right|\}.

Następnie korzysta się z twierdzenia Ascoliego, które mówi, że z jednakowo ciągłego ciągu funkcji na zwartym zbiorze można wybrać podciąg zbieżny. Tutaj zbiór zwarty to \left\{\left|x\right|<M\right\}\subset E^{{s}} dla pewnego M a granicą podciągu \left\{ F_{{n_{{k}}}}\right\} musi być F_{{\ast}} (bo taka jest granica w przestrzeni funkcji ciągłych).

W tym (skróconym) dowodzie ograniczyliśmy się do przypadku, gdy f jest klasy C^{{1}} (i wtedy W^{{s,u}} są też klasy C^{{1}}). Ale przypadek klasy C^{{r}} dla r>1 też da się udowodnić, i to tą samą metodą, tylko dowód wymaga większej liczby wzorów i oszacowań. Pomijamy go.

Na koniec zauważmy, że ponieważ F_{{0}}^{{\prime}}(0)=0 i \varphi^{{\prime}}(0,0)=0 i \psi^{{\prime}}(0,0)=0, to mamy F_{{n}}^{{\prime}}(0)=0 dla dowolnego n. Zatem F_{{\ast}}^{{\prime}}(0)=0, co oznacza, że podrozmaitość W^{{s}} jest styczna w punkcie \left(0,0\right) do przestrzeni E^{{s}}.

Dowód Twierdzenia 1.18. Połóżmy f=g_{{v}}^{{1}}, czyli przekształcenie potoku fazowego po czasie t=1 i niech V^{{s}} będzie lokalną rozmaitością stabilną dla f (patrz Twierdzenie 1.22). Ponieważ podrozmaitość W^{{s}} jest definiowana topologicznie jako zbiór tych punktów z, że g_{{v}}^{{t}}(z)\rightarrow 0 gdy t\rightarrow\infty, to W^{{s}}\subset V^{{s}}. Z drugiej strony, jeśli z\in V^{{s}}, to zapisując t=n+\tau dla n\in\mathbb{N} i 0\leq\tau<1, mamy g^{{t}}(z)=g^{{\tau}}(g^{{n}}(z))\rightarrow 0 (jako, że rodzina \left\{ g^{{\tau}}\right\} _{{\tau\in[0,1)}} jest jednakowo ciągła). ∎

Drugi podstawowy wynik dotyczący hiperbolicznych punktów stałych pochodzi od D. Grobmana i P. Hartmana ([13]). Formułujemy go jednocześnie dla kaskad i potoków.

Twierdzenie 1.23 (Grobman–Hartman). Niech f:\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right) będzie kiełkiem dyfeomorfizmu klasy C^{{r}}, r\geq 1, z hiperbolicznym punktem stałym w z=0. Wtedy istnieje lokalny homeomorfizm h:\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right) taki, że

h\circ f(z)=f^{{\prime}}(0)\cdot h(z). (1.27)

Analogicznie, dla lokalnego potoku g_{{v}}^{{t}} generowanego przez kiełek pola wektorowego v\left(z\right) z hiperbolicznym punktem równowagi z=0 istnieje lokalny homeomorfizm h (jak wyżej) taki, że

h\circ g_{{v}}^{{t}}(z)=e^{{tv^{{\prime}}(0)}}\cdot h(z). (1.28)

Dowód. Zaczniemy od przypadku kaskady. Podobnie jak w przypadku dowodu Twierdzenia 1.22 sprowadzamy sytuację do przypadku, gdy z=\left(x,y\right) i

f(x,y)=(Ax+\varphi,By+\psi)=Lz+\tilde{f},

gdzie L=A\oplus B=f^{{\prime}}(0), zachodzą oszacowania (1.24) i \tilde{f}=\left(\varphi(x,y),\psi(x,y)\right) jest określone na całym \mathbb{R}^{{n}}=E^{{s}}\oplus E^{{u}} oraz jest małe wraz z pochodnymi. Homeomorfizm h wybierzemy w postaci

h=id+g=(x+g_{{1}},y+g_{{2}}),\text{ \ \ }g\text{\  małe.} (1.29)

Równanie (1.27) na h, które odnacza przemienność następującego diagramu

\begin{array}[]{ccc}\mathbb{R}^{{n}}&\overset{f}{\longmapsto}&\mathbb{R}^{{n}}\\
\uparrow h&&\uparrow h\\
\mathbb{R}^{{n}}&\overset{L}{\longmapsto}&\mathbb{R}^{{n}}\end{array}

prowadzi do równania \left(id+g\right)\circ L=L\cdot(id+g)+\tilde{f}\circ(id+g). W składowych dostajemy układ równań

\begin{array}[]{lll}g_{{1}}(Ax,By)&=&A\cdot g_{{1}}(x,y)+\varphi(x+g_{{1}},y+g_{{2}}),\\
g_{{2}}(Ax,By)&=&B\cdot g_{{2}}(x,y)+\psi(x+g_{{1}},y+g_{{2}}).\end{array}

Przepiszmy ten układ w dogodnej dla nas formie

\begin{array}[]{lll}g_{{1}}(x,y)&=&A\cdot g_{{1}}(A^{{-1}}x,B^{{-1}}y)+\varphi\circ(id+g)\circ(A^{{-1}}x,B^{{-1}}y),\\
g_{{2}}(x,y)&=&B^{{-1}}\cdot g_{{2}}(Ax,By)-B^{{-1}}\cdot\psi\circ(id+g).\end{array} (1.30)

Łatwo rozpoznać tu równanie punktu stałego g=\mathcal{T}(g) dla nieliniowego operatora \mathcal{T} działającego na\  g=(g_{{1}},g_{{2}}) poprzez prawe strony układu (1.30).

Jako przestrzeń Banacha wybierzemy

\mathcal{X}=C^{{0}}(\mathbb{R}^{{n}},E^{{s}})\oplus C^{{0}}(\mathbb{R}^{{n}},E^{{u}})

z normą \left\| g\right\|=\sup\left|g_{{1}}\right|+\sup\left|g_{{2}}\right|. Tutaj już nietrudno pokazać, że operator \mathcal{T} przekształca kulę w \mathcal{X} o odpowiednim promieniu w siebie i że jest kontrakcją. Podstawowy argument polega na tym, że macierze AB^{{-1}} mają normę <1.

Oderwijmy się na moment od naszego dowodu i rozważmy sytuację, gdy równanie (1.27) zastąpić równaniem

k\circ f=L\cdot k, (1.31)

gdzie k:\mathbb{R}^{{n}}\longmapsto\mathbb{R}^{{n}}. Po podstawieniu k=id+l=(x+l_{{1}},y+l_{{2}}) i pewnych przekształceniach otrzymujemy następujący analog układu (1.30)

\begin{array}[]{lll}l_{{1}}(x,y)&=&Al_{{1}}\circ f^{{-1}}(x,y)-\varphi\circ f^{{-1}}(x,y),\\
l_{{2}}(x,y)&=&B^{{-1}}l_{{2}}(x,y)+B^{{-1}}\psi(x,y).\end{array}

Tutaj też mamy do czynienia z równaniem punktu stałego dla odpowiedniego przekształcenia \mathcal{S}:\mathcal{X}\longmapsto\mathcal{X}, które jest zwężające. Zatem również układ (1.31) ma rozwiązanie.

Odnotujmy następującą własność rozwiązań równań (1.27) i (1.31), które są konsekwencją faktu, że w tezie twierdzenia Banacha o punkcie stałym przekształcenia zwężającego w przestrzeni Banacha tenże punkt stały zależy w sposób ciągły od parametrów (o ile samo przekształcenie zależy od parametrów w sposób ciągły):

Rozwiązania h(x,y) i k(x,y) równań (1.27) i (1.31) są jednoznaczne i zależą w sposób ciągły od danych występujących w tych równaniach (czyli od L=A\oplus B i\tilde{f}=(\varphi,\psi)). Ponadto w równaniu (1.27) możemy zastąpić liniowe przekształcenie L=f^{{\prime}}(0) dowolnym przekształceniem g takim, żeg^{{\prime}}(0)=L.

Wyżej wspomniana jednoznaczność pozwoli nam na udowodnienie, że przekształcenia h i k są homeomorfizmami; dokładniej, że h\circ k=k\circ h=id. Rzeczywiście, przekształcenie m=k\circ h spełnia warunek m\circ L=L\circ m, czyli równanie (1.27) dla f=L. Ponieważ również przekształcenie tożsamościowe też spełnia to równanie, to z jednoznaczności mamy m=id. Analogicznie, przekształcenia n=h\circ k i id spełniają równanie f\circ n=n\circ f.

Przejdźmy teraz do dowodu drugiej części twierdzenia, czyli isnienia homeomorfizmu h, który spełnia jendocześnie wszystkie równania typu (1.27) dla rodziny przekształceń f_{{t}}=g_{{v}}^{{t}}, v=Az+\ldots. Dla t\not=0 przekształcenia f_{{t}} mają hiperboliczny punkt stały z=0. Zatem z udowodnionej już pierwszej części twierdzenia mamy istnienie rodziny homeomorfizmów h_{{t}}, t\not=0, takich, że

h_{{t}}\circ f_{{t}}=f_{{t}}\circ h_{{t}}.

Trzeba jeszcze tylko pokazać, że h_{{t}} nie zależą od t, który tutaj traktujemy jako parametr. Przynajmniej wiemy, że h_{{t}} zależy od t w sposób ciągły.

Zauważmy teraz następującą tożsamość

h_{{t/2}}\circ f_{{t}}\circ h_{{t/2}}^{{-1}}=\left(h_{{t/2}}\circ f_{{t/2}}\circ h_{{t/2}}^{{-1}}\right)\circ\left(h_{{t/2}}\circ f_{{t/2}}\circ h_{{t/2}}^{{-1}}\right)=e^{{At/2}}\circ e^{{At/2}}=e^{{At}}

(tutaj wykorzystaliśmy grupową własność potoku fazowego). Oznacza ona, że h_{{t/2}}=h_{{t}} (jednoznaczność). Analogicznie dowodzi się, że h_{{t/k}}=h_{{t}} dla naturalnego k i stąd, że

h_{{kt/l}}=h_{{t}},\text{ \ \ }k,l\in\mathbb{N},

(Zadanie 1.41). Widać, że dla wymiernego zbioru parametrów t przekształcenia h_{{t}} są takie same. Z ciągłej zależności h_{{t}} of parametru (patrz wyżej) wynika, że h_{{t}}\equiv\textrm{const} jako funkcja od t>0. Teraz obserwacja, że jeśli h spełnia równanie (1.28) dla danego czasu t>0, to spełnia to równanie też dla czasu -t (Zadanie 1.42) kończy dowód.

Na koniec jeszcze jedna uwaga. Ponieważ \left\{ g_{{v}}^{{t}}\right\} jest tylko lokalnym potokiem fazowym (dla pola wektorowego v(z) określonego w otoczeniu z=0) to trzeba zatroszczyć się o dziedziny przekształceń potoku, i tym samym, o dziedziny przkształceń h_{{t}}. Ale tu nie ma problemu, bo dziedzina przekształcenia g_{{v}}^{{t/k}} zwiększa się ze wzrostem k\in\mathbb{N}. Wystarczy w powyższym dowodzie ograniczyć się do czasów takich , że \left|t\right|<1. ∎

Własność (1.27) oznacza, że dynamika (tj. kaskada) generowana przez dyfeomorfizm f jest taka sama, z jakościowego punktu widzenia jak dynamika generowana przez dyfeomorfizm liniowy L(z)=f^{{\prime}}(0)z. Rzeczywiście, jeśli \left\{\ldots,f^{{-1}}(z_{{0}}),z_{{0}},f(z_{{0}}),f^{{2}}(z_{{0}}),\ldots\right\} jest orbitą punktu względem dyfeomorfizmu f i y_{{0}}=h(x_{{0}}), to \left\{\ldots,L^{{-1}}(y_{{0}}),y_{{0}},L(y_{{0}}),\ldots\right\} jest orbitą punktu y_{{0}} względem liniowego dyfeomorfizmu L. 

Następująca definicja wydaje się naturalna.

Definicja 1.24. Jeśli dla dyfeomorfizmów f:M\longmapsto M i g:N\longmapsto N istnieje homeomorfizm h:M\longmapsto N taki, że

g=h\circ f\circ h^{{-1}},

to mówimy, że dyfeomorfizmy f i g są topologicznie sprzężone (przy pomocy h). Jeśli h jest klasy C^{{r}}, to mówimy o sprzężeniu  klasy C^{{r}}. Podobnie, pola wektorowe v(x) i w(x) są topologicznie (lub klasy C^{{r}}) sprzężone, jeśli ich potoki fazowe są sprzężone przy pomocy homeomorfizmu (lub odpowiednio dyfeomorfizmu klasy C^{{r}}).

Jeśli dyfeomorfizm f ma własność, że dowolny dyfeomorfizm g, który jest bliski f (w pewnej klasie, której tutaj nie chcemy uściślać) jest topologicznie sprzężony z f, to mówimy, że f jest strukturalnie stabilny. Podobnie, pole wektorowe v(x) jest strukturalnie stabilne jeśli bliskie pola są topologicznie sprzężone z nim.

Twierdzenie Grobmana–Hartmana mówi, że dyfeomorfizm (odpowiednio pole wektorowe) w otoczeniu hiperbolicznego punktu stałego (odpowiednio hiperbolicznego punktu równowagi) jest topologicznie sprzężone z częścią liniową dyfeomorfizmu (odpowiednio pola). Możemy udowodnić więcej.

Stwierdzenie 1.25.Dyfeomorfizm (odpowiednio pole wektorowe) w otoczeniu hiperbolicznego punktu stałego (odpowiednio hiperbolicznego punktu równowagi) jest strukturalnie stabilny.

Dowód. Użyjemy następującej bezpośredniej konstrukcji homeomorfizmu h, który sprzęga dwa dyfeomorfizmy f i g w przypadku asymptotycznie stabilnym, tzn. takim, że f^{{\prime}}(0) i g^{{\prime}}(0) mają wszystkie wartości własne o module <1. Można założyć, że E^{{s}}=\mathbb{R}^{{n}} i z=x w dowodzie twierdzenia Grobmana–Hartmana. Wtedy istnieje `funkcja Lapunowa', L(x) tzn. spełniająca warunek (i) Definicji 1.5 i następujący analog warunku (ii):

L(f(x))<L(x)\text{ \  dla \ }x\not=0.

Jej konstrukcja jest zpełnie analogiczna jak w dowodzie Twierdzenia Lapunowa; możemy założyć, że L(x)=\left|x\right|^{{2}} w odpowiednim (liniowym) układzie współrzędnych. Niech M(x)=\left|x\right|^{{2}} będzie odpowiednią funkcją Lapunowa dla dyfeomorfizmu g (też w odpowiednim układzie współrzędnych). Mamy dwa egzemplarze \mathbb{R}^{{n}}, na których działają odpowiednio dyfeomorfizmy f i g.

Rys. 1.8. Konstrukcja sprzężenia.

Wybierzmy małe \varepsilon>0 i rozważmy hiperpowierzchnie (dyfeomorficzne ze sferami) \left\{ L(x)=\varepsilon\right\} i \left\{ M(x)=\varepsilon\right\}. Zdefiniujmy homeomorfizm h pomiędzy tymi hiperpowierzchniami jako h|_{{L=\varepsilon}}=id:\left\{ L=\varepsilon\right\}\longmapsto\left\{ M=\varepsilon\right\} (patrz Rysunek 1.8). Warunek

h\circ f^{{-1}}=g^{{-1}}\circ h (1.32)

pozwala 'dookreślić' przekształcenie h pomiędzy hiperpowierzchniamif(\left\{ L=\varepsilon\right\}) i g\left(\left\{ M=\varepsilon\right\}\right), jak na Rysunku 1.8. Przedłużmy h w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny  do obszaru pomiędzy hiperpowierzchniami \left\{ L=\varepsilon\right\} i f\left(\left\{ L=\varepsilon\right\}\right). Stosując wielokrotnie równanie (1.32) przedłużamy h do całego obszaru \left\{ 0<L\leq\varepsilon\right\}. Kładąc h(0)=0 dostajemy poszukiwany homeomorfizm.

Zupełnie analogiczna konstrukcja pracuje w przypadku dyfeomorfizmów rozszerzających, tzn. gdy macierze f^{{\prime}}(0) i g^{{\prime}}(0) mają wartości własne o module >1.

Rozważmy teraz dwa dyfeomorfizmy liniowe f_{{0}} i g_{{0}} definiowane przy pomocy hiperbolicznych macierzy A=A_{{s}}\oplus A_{{u}} i B=B_{{s}}\oplus B_{{u}} w odpowiednich (i takich samych) rozkładach \mathbb{R}^{{n}}=E^{{s}}\oplus E^{{u}}. Z powyższych rozważań dostajemy homeomorfizmy h_{{s}} i h_{{u}}, które sprzęgają A_{{s}}x z B_{{s}}x i A_{{u}}y z B_{{u}}y odpowiednio. Teraz homeomorfizm

h=h_{{s}}\oplus h_{{u}}

sprzęga f_{{0}} z g_{{0}}.

Rozważmy teraz dyfeomorfizm f w otoczeniu hiperbolicznego punktu stałego z=0 i jego małe zaburzenie g z tym samym punktem stałym. Ponieważ macierz B=g^{{\prime}}(0) jest bliska macierzy A=f^{{\prime}}(0) to też jest hiperboliczna z takimi samymi wymiarami podprzestrzeni stabilnej i niestabilnej; czyli możemy zastosować powyższą konstrukcję homeomorfizmu sprzęgającego części liniowe tych dyfeomorfizmów. Widzimy, że f jest sprzężony z f_{{0}}=f^{{\prime}}(0)z, f_{{0}} jest sprzężony z g_{{0}}=g^{{\prime}}(0)z i g_{{0}} jest sprzęzony z g; składając te trzy homeomorfizmy dostaje się sprzężenie f z g.

Przypadek Stwierdzenia 1.25 dla pól wektorowych pozostawiamy słucha- czom jako ćwiczenie (Zadanie 1.43). ∎

Uwaga 1.26. Można zapytać, czy nie można wzmocnić tezy twierdzenia Grobmana-Hartmana, tzn. czy homeomorfizm h może być klasy C^{{1}}. Okazuje się, że nie. Na przykład, przekształcenie \left(x,y,z\right)\longmapsto\left(\frac{1}{2}x,4y,2z+xy\right) nie da się zlinearyzować przy pomocy dyfeomorfizmu klasy C^{{1}} (patrz [13], Problem 8.1). Ten problem wiąże się z rezonansami pomiędzy wartościami własnymi (patrz Twierdzenie Poincarégo–Dulaca w Rozdziale 3.3).

ZADANIA

Zadanie 1.27. Uzupełnić dowód Lematu 1.7, tzn. w przypadku nierzeczywistych wartości własnych.

Zadanie 1.28. Udowodnić wzory (1.11)–(1.15).

Zadanie 1.29. Zbadać stabilność (w sensie Lapunowa i asymptotyczną) dla punktu osobliwego x=d/c, y=a/b, układu Lotki–Volterry

\dot{x}=x(a-by),\text{ \ \ }\dot{y}=y(cx-d),\text{ \ \ }abcd>0, (1.33)

który opisuje dynamikę dwóch konkurujących populacji (drapieżników i ofiar).

Wskazówka: Stwierdzenie 2.11 poniżej.

Zadanie 1.30. Korzystając z Definicji 1.1 sprawdzić, czy położenie równowagi x(0)=0 dla równania \dot{x}=4x-t^{{2}}x jest stabilne w sensie Lapunowa, t.j. z t_{{0}}=0.

Zadanie 1.31. Zbadać stabilność położenia równowagi x=y=0 dla układu \dot{x}=e^{{x+2y}}-\cos 3x, \dot{y}=\sqrt{4+8x}-2e^{{y}}.

Zadanie 1.32. Zbadać stabilność zerowego rozwiązania dla układu \dot{x}=e^{{x}}-e^{{3z}}, \dot{y}=4z-3\sin(x+y), \dot{z}=\ln(1+z-3x).

Zadanie 1.33. Dla jakich wartości parametru a rozwiązanie zerowe układu \dot{x}=ax+y+x^{{2}}, \dot{y}=x+ay+y^{{2}} jest asymptotycznie stabilne?

Wskazówka: gdya=-1 prosta y=x jest niezmiennicza.

Zadanie 1.34. Dla jakich wartości parametrów a i b rozwiązanie zerowe układu \dot{x}=y+\sin x, \dot{y}=ax+by jest asymptotycznie stabilne?

Wskazówka: dla a=b\leq-1 wprowadzając z=\dot{x} sprowadzić układ do postaci \dot{x}=H_{{z}}^{{\prime}}, \dot{z}=-H_{{x}}^{{\prime}}-(a+\cos x)z, H=\frac{1}{2}z^{{2}}-a(\frac{1}{2}x^{{2}}+1-\cos x), i znaleźć funkcję Lapunowa.

Zadanie 1.35. Dla jakich wartości parametrów a i b rozwiązanie x(t)\equiv 0 równania \dddot{x}+3\ddot{x}+a\dot{x}+bx=0 jest asymptotycznie stabilne?

Zadanie 1.36. Pokazać, że dyfeomorfizm g^{{t}} (lokalnego) potoku fazowego generowanego przez pole wektorowe \dot{x}=Ax+O(\left|x\right|^{{2}}) ma część liniową w punkcie stałym x=0 postaci B=e^{{At}}. Wywnioskować stąd Lemat 1.21.

Zadanie 1.37. Udowodnić oszacowania (1.24) (dla odpowiedniego układu współrzędnych i euklidesowej normy w \mathbb{R}^{{n}}).

Zadanie 1.38. Podać jawny wzór na funkcję \chi z dowodu Twierdzenia 1.22.

Zadanie 1.39. Udowodnić nierówność dla \left\|\mathcal{T}(F_{{1}})-\mathcal{T}(F_{{2}})\right\| z dowodu Twierdzenia 1.22.

Zadanie 1.40. Podać jakiś wzór na d, w zależności od a,b,c, w nierówności \left\|(\mathcal{T}(F))^{{\prime}}\right\|<d.

Zadanie 1.41. Udowodnić, że h_{{\frac{k}{l}t}}=h_{{t}} dla k,l\in\mathbb{N} i t\not=0.

Zadanie 1.42. Udowodnić, że jeśli h spełnia własność (1.28) dla danego t>0 to też spełnia tę własność dla t<0.

Zadanie 1.43. Uzupełnić dowód Stwierdzenia 1.25.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.