Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych – 3. Teoria bifurkacji – MIM UW

Zagadnienia

3. Teoria bifurkacji

3.1. Wersalność

Zgodnie z Twierdzeniem 2.43 typowe pola wektorowe na zwartej 2-wymia- rowej rozmaitości M są orbitalnie strukturalnie stabilne. Jeśli oznaczymy przez \mathcal{X} nieskończenie wymiarową przestrzeń wszystkich pól wektorowych na M (danej klasy i z odpowiednią topologią, o której nie będziemy mówić), to podzbiór \Sigma, nazywany zbiorem bifurkacyjnym, przestrzeni \mathcal{X}złożony z pól, które nie są orbtalnie strukturalnie stabilne, powinien mieć kowymiar \geq 1. Należy się spodziewać, że ten podzbiór \Sigma jest na ogół gładki, ale może mieć punkty nieregularne (jak na Rysunku 3.1). Te ostatnie punkty powinny odpowiadać polom wektorowym, które mają osobliwości bardziej skomplikowane niż pola odpowiadające typowym punktom z \Sigma.

Rys. 3.1. Zbiór bifurkacyjny.

Jeśli wybierzemy przypadkowo pojedyncze pole z \mathcal{X}, to z prawdopodobieństwem 1 będzie ono poza zbiorem \Sigma. Ale cała rodzina \left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in\mathbb{R}}} pól wektorowych stanowi krzywą w \mathcal{X} i już może przeciąć hiperpowierzchnię \Sigma. Spodziewamy się też, że dla typowej rodziny odpowiednia krzywa przetnie hiperpowierzchnię \Sigma pod kątem i w punktach typowych tej hiperpowierzchnii (patrz Rysunek 3.1).

Teoria bifurkacji zajmuje się badaniem zarówno geometrii zbioru bifurkacyjnego \Sigma jak i zachownia się wieloparametrowych rodzin pól wektorowych. My ograniczymy się do 1-parametrowych rodzin.

Należy zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt tej sytuacji. Na przestrzeni \mathcal{X} działa grupa \mathcal{G} orbitalnych równoważności i podzbiór bifurkacyjny \Sigma jest niezmienniczy względem tego działania. Należy zatem powiązać analizę 1-parametrowych rodzin \left\{ v_{{\lambda}}\right\} z działaniem grupy G. V. Arnold w [5] wprowadził raz na zawsze porządek na tym polu i poniższe definicje pochodzą od niego. My podajemy te definicje dla 1-parametrowych rodzin, ale łatwo je uogólnić na przypadek wieloparametrowy.11Ta filozofia pracuje również w innych ogólnych sytuacjach. Na przykład, gdy \mathcal{X} jest przestrzenią funkcji f na rozmaitości a \mathcal{G} jest grupą dyfeomorfizmów h rozmaitości z działaniem f\longmapsto f\circ h. Podobnie \mathcal{X} może być przestrzenią dyfeomorfizmów f rozmaitości M a grupa \mathcal{G} dyfeomorfizmów M może działać poprzez sprzężenie: f\longmapsto h\circ f\circ h^{{-1}}.

Definicja 3.1. Dwie rodziny \left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in J}} i \left\{ w_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in J}}, J\subset\mathbb{R}, pól wektorowych na Morbitalnie równoważne, jeśli dla każdego \lambda\in J pola v_{{\lambda}}(x) i w_{{\lambda}}(x) są orbitalnie równoważne za pomocą homeomorfizmu h_{{\lambda}}(x), który zależy w sposób ciągły od parametru \lambda.

Mówimy, że rodzina \left\{ w_{{\nu}}\right\} _{{\nu\in K}} jest indukowana z rodziny \left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in J}}, jeśli istnieje ciągłe od wzorowanie \varphi:K\longmapsto J takie, że

w_{{\nu}}=v_{{\varphi(\nu)}}.

Rodzina \left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in\left(\mathbb{R},0\right)}}, z zadanym polem v_{{0}}, jest wersalna, jeśli dowolna inna rodzina \left\{ w_{{\nu}}\right\} _{{\nu\in\left(\mathbb{R},0\right)}} z w_{{0}}=v_{{0}} jest orbitalnie równoważna rodzinie indukowanej z rodziny \left\{ v_{{\lambda}}\right\}.

Przykład 3.2. Rodzina \dot{x}=\nu^{{2}}+x^{{3}} jest indukowana z rodziny \dot{x}=\lambda+x^{{3}} przy pomocy zamiany zmiennych \lambda=\varphi(\nu)=\nu^{{2}}.

Przykład 3.3. Weźmy modelową rodzinę pól wektorowych

\dot{x}=v_{{\lambda}}(x)=\lambda+x^{{2}}. (3.1)

Odpowiednie portrety fazowe są przedstawione na Rysunku 3.2.

Weźmy teraz dowolną rodzinę postaci

\dot{x}=w_{{\mu}}(x)=x^{{2}}+\mu\tilde{w}(x,\mu)=:f(x,\mu), (3.2)

gdzie \tilde{w}(x,\mu) jest gładką funkcją w otoczeniu x=\mu=0. Twierdzę, że

Rys. 3.2. Portrety fazowe.

dla dażdego \mu pole wektorowe w_{{\mu}} posiada albo 1 albo 2 albo 0 punktów osobliwych w otoczeniux=0. Aby to zobaczyć rozważmy równanie

g(x,\mu)=0,

gdzie g(x,\mu)=f_{{x}}^{{\prime}}(x,\mu). Ponieważ f_{{xx}}^{{\prime\prime}}(0,0)\not=0, to g_{{x}}^{{\prime}}(0,0)\not=0, i z Twierdzenia o Funkcji Uwikłanej wynika istnienie gładkiej funkcji \psi(\mu) takiej, że jest spełnione równanie g(\psi(\mu),\mu)\equiv 0. To oznacza, że punkt

x_{{\mu}}=\psi(\mu)
Rys. 3.3. Wykresy prawej strony.

jest punktem lokalnego minimum funkcji w_{{\mu}}=f(\cdot,\mu): \frac{dw_{{\mu}}}{dx}(x_{{\mu}})=0. Mamy trzy możliwości na wartość pola w_{{\mu}} w punkcie x_{{\mu}}: (i) w_{{\mu}}(x_{{\mu}})=0, (ii) w_{{\mu}}(x_{{\mu}})<0, (iii) w_{{\mu}}(x_{{\mu}})>0. W przypadku (i) pole w_{{\mu}} ma dokłanie jeden punkt równowagi (typu siodło–węzeł), w przypadku (ii) pole w_{{\mu}} ma dwa hiperboliczne punkty równowagi a w przypadku (iii) nie ma żadnych punktów równowagi (patrz Rysunek 3.3).

Zatem dla każdego \mu portret fazowy pola w_{{\mu}} jest topologicznie równoważny z portretem fazowym pola v_{{\lambda}} dla odpowiedniego \lambda. Pojawia się naturalne pytanie, czy można tak dobrać \lambda=\varphi(\mu) i homeomorfizmy h_{{\mu}} realizujące orbitalne sprzężenie w_{{\mu}} z v_{{\varphi(\mu)}}, aby zależność od \mu była ciągła. Okazuje się, że tak; to oznacza, że rodzina (3.1) jest wersalna.

Rys. 3.4. Bifurkacja modelowej rodziny i bifurkacja typowej rodziny.

Aby się o tym przekonać, rozważmy najpierw przypadek, gdy

(a)\frac{\partial f}{\partial\mu}(0,0)\not=0 w (3.2). Wtedy krzywa punktów równowagi

\Gamma:w_{{\mu}}(x)=f(x,\mu)=0

pola w_{{\mu}} na płaszczyżnie zmiennych x,\mu jest `pionowa' i homeomorficzna z parabolą (patrz Rysunek 3.4). Również parabolą jest krzywa punktów równowagi \Delta=\{\lambda=-x^{{2}}\} dla pola v_{{\lambda}}.

W zależności od znaku f_{{\mu}}^{{\prime}}(0,0) kładziemy \varphi\left(\mu\right)=\mu lub \varphi(\mu)=-\mu; czyli dalej można zakładać, że obie `parabole' są zorientowane tak samo. W tym przypadku konstrukcję homeomorfizmów h_{{\mu}}, czyli homeomorfizmu płaszczyzny

\left(\mu,x\right)\longmapsto\left(\mu,h_{{\mu}}(x)\right),

rozpoczynamy od konstrukcji homeomorfizmu pomiędzy krzywymi punktów równowagi: \Gamma\longmapsto\Delta. Następnie przedłużamy ten homeomorfizm do homeomorfizmu płaszczyzny, tak aby odcinki pionowe (w \mu=\textrm{const}) poza punktami równowagi przechodziły na odpowiednie odcinki pionowe. Jest raczej jasne, że tak da się zrobić.

(b) W zdegenerowanym przypadku, gdy f_{{\mu}}^{{\prime}}(0,0)\not=0, krzywa punktów równowagi \Gamma=\{ f=0\} może być bardzo skomplikowana (patrz Rysunek 3.5). Ale wiemy, że z każdą prostą pionową \mu=\textrm{const} ta krzywa ma co najwyżej dwa punkty przecięcia. Oznaczmy \Gamma _{{\mu}} przecięcie \Gamma z taką prostą. Zatem konstrukcja przeparametryzowania \mu\longmapsto\varphi(\mu) polega na tym aby parametry \mu, dla których \#\Gamma _{{\mu}}=2, przeszły na lewo od \lambda=0 a parametry \mu, dla których \#\Gamma _{{\mu}}=0 przeszły na prawo od \lambda=0 (z zachowaniem ciągłości). Następnie, powtarzając argumenty z przypadku (a), konstrujemy najpierw ciągłe przekształcenie \left(\mu,x\right)\longmapsto(\varphi(\mu),h_{{\mu}}(x)) pomiędzy krzywymi \Gamma i \Delta a następnie przedłużamy je w sposób ciągły z zachowaniem pionowości.

Rys. 3.5. Bifurkacja nietypowej rodziny.

3.2. Transwersalność

Matematycznym aparatem do ścisłego sformułowania teorii bifurkacji i odpowiednich twierdzeń jest teoria transwersalności sformułowana przez francuskiego matematyka R. Thoma.

Niech M będzie n-wymiarową rozmaitością a B\subset M będzie jej k-wymiarową podrozmaitością. Ponadto niech A będzie m-wymarową rozmaitością a

f:A\longmapsto M

będzie odwzorowaniem różniczkowalnym (o wystarczającej klasie różniczkowalności). W przypadku zwartych rozmaitości A i M w przestrzeni C^{{k}}(A,M) odwzorowań wprowadza się naturalną topologię (której nie będę uściślał).

Definicja 3.4. Mówimy, że odwzorowanie f jest transwersalne do podrozmaitości B, jeśli dla każdego punktu x\in A takiego, że y=f(x)\in B, ma miejsce następująca własność

f_{{\ast}}T_{{x}}A+T_{{y}}B=T_{{y}}M.

Gdy A\subset M jest podrozmaitością i f=id|_{{A}} jest włożeniem, to mówimy, że A jest transwersalne do B, gdy własność

T_{{y}}A+T_{{y}}B=T_{{y}}M

zachodzi dla każdego punktu y\in A\cap B. Mamy standardowe oznaczenia

Rys. 3.6. Transwersalność krzywych na płaszczyźnie.
f\pitchfork B\text{ \ \  i \ \ }A\pitchfork B

dla własności transwersalności.

Przykład 3.5. (a) Niech M=\mathbb{R}^{{2}} oraz A\subset M i B\subset M będą gładkimi krzywymi. Wtedy A\pitchfork B gdy krzywa A przecina krzywę B pod niezerowym kątem (patrz Rysunek 3.6).

(b) Niech M=\mathbb{R}^{{3}}, A\subset M to krzywa i B\subset M to powierzchnia. Rysunek 3.7 pokazuje przypadki transwersalności i nietransweralsności.

(c) Przypadek M=\mathbb{R}^{{3}} i dwu powierzchni A\subset M, B\subset M przedstawia Rysunek 3.8.

(d) Gdy M=\mathbb{R}^{{3}} i A\subset M, B\subset M są krzywymi, to A\pitchfork B wtedy i tylko wtedy gdy krzywe są rozłączne.

(e) Niech M=\mathbb{R}^{{2}}=\left\{\left(x,y\right)\right\}, A=\mathbb{R}^{{1}} i B=\left\{ x=0\right\} oraz niech f:A\longmapsto M będzie zadane wzorem f(t)=(t^{{3}},0). Oczywiście f(t)\in B tylko dla t=0. Ale wtedy f_{{\ast}}(0)=f^{{\prime}}(0)=0. Zatem f_{{\ast}}T_{{0}}A+T_{{(00)}}B=T_{{(0,0)}}B\simeq B\not=T_{{(0,0)}}M. Ten przykład pokazuje zasadność własności transwersalności odwzorowania to podrozmaitości.

Zachodzi następujące fundamentalne twierdzenie pochodzące od Thoma12To Twierdzenie Thoma o Transwersalności, jak również jego uogólnienie podane poniżej, stanowiły istotny element stworzonej przez niego Teorii Katastrof . Ta teoria zawiera w sobie po części teorię osobliwości odwzorowań i funkcji jak również teorię bifurkacji układów dynamicznych. Warto jeszcze dodać, że w przypadku uogólnienia Twierdzenia Thoma na przypadek rozmaitości niezwartych wprowadza się specjalną topologię (tzw. topologię Whitney'a) w przestrzeni odwzorowań klasy C^{{k}}..

Twierdzenie 3.6 (Thom). Niech M, A i B będą ustalonymi zwartymi rozmaitościami jak powyżej. Wtedy podzbiór przestrzeni odwzorowań f:A\longmapsto M złożony z odwzorowań, które są transwersalne do B, jest otwarty i gęsty.

To oznacza, że, z jednej strony, jeśli odwzorowanie f_{{0}} jest transwersalne do B, to dowolne bliskie niemu odwzorowanie f_{{\varepsilon}} też jest transwersalne do B, a, z drugiej strony, jeśli f_{{0}} nie jest transwersalne, to dowolnie blisko niego istnieje odwzorowanie f_{{\varepsilon}}, które już jest transwersalne.

Rys. 3.7. Transwersalność krzywej i powierzchni w przestrzeni.

Dowód. Nietrudno zauważyć, że można ograniczyć się do sytuacji lokalnej, gdy A\subset\mathbb{R}^{{m}} i M\subset\mathbb{R}^{{n}} są podzbiorami otwartymi a

B=\left\{ y_{{1}}=\ldots=y_{{n-k}}=0\right\}\cap M

jest (lokalnie) podprzestrzenią kowymiaru n-k (Zadanie 3.16).

Wtedy f(x)=\left(f_{{1}}(x),\ldots f_{{n}}(x)\right) i

T_{{y}}B=\left\{ q\in\mathbb{R}^{{n}}:q_{{1}}=\ldots=q_{{n-k}}=0\right\}\subset T_{{y}}M=\mathbb{R}^{{n}}.

Jeśli f(x_{{0}})\in B, tzn. f_{{1}}(x_{{0}})=\ldots f_{{n-k}}(x_{{0}})=0, to f jest transwersalne w x_{{0}} do B wtedy i tylko wtedy gdy wektory f_{{\ast}}\partial _{{x_{{1}}}},\ldots,f_{{\ast}}\partial _{{x_{{m}}}} razem z wektorami \partial _{{yn-k+1}},\ldots\partial _{{y_{{n}}}} rozpinają \mathbb{R}^{{n}}. (Tutaj \partial _{{x_{{j}}}} i \partial _{{y_{{k}}}} są bazowymi wektorami w \mathbb{R}^{{m}} i \mathbb{R}^{{n}} odpowiednio.) Do tego wystarczy, aby rzuty wektorów f_{{\ast}}\partial _{{x_{{j}}}} na przestrzeń ilorazową T_{{y}}M/T_{{y}}B\simeq\mathbb{R}^{{n-k}} rozpinały tę przestrzeń. To oznacza, że macierz

C=\left[\begin{array}[]{ccc}\partial f_{{1}}/\partial x_{{1}}&\ldots&\partial f_{{1}}/\partial x_{{m}}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
\partial f_{{n-k}}/\partial x_{{1}}&\ldots&\partial f_{{n-k}}/\partial x_{{m}}\end{array}\right]

ma rząd \textrm{rk}C\geq n-k.

Mamy dwie możliwości:

(i) m<n-k i wtedy rząd jest mniejszy od n-k,

(ii) m\geq n-k (wtedy własność rkC\geq n-k jest warunkiem otwartym w przestrzeni macierzy). W przypadku (i) transwersalność oznacza brak przecięcia f(A) z B i jest to warunek otwarty w przestrzeni odwzorowań. Również w przypadku (ii) nietrudno pokazać, że warunek transwersalności też jest otwarty (Zadanie 3.13).

Aby udowodnić gęstość własności transwersalności musimy wprowadzić dodatkowe pojęcia (Zadanie 3.14).

W przypadku (ii) weźmy lokalne odwzorowanie g:A\longmapsto R^{{n-k}},

g(x)=(f_{{1}}(x),\ldots,f_{{n-k}}(x)).

Przypomnijmy (patrz Definicja 3.7 poniżej), że x_{{0}} jest punktem krytycznym dla g, jeśli rk\frac{\partial g}{\partial x}(x_{{0}}) =rkC<n-k, a wartość g(x_{{0}}) nazywa się wartością krytyczną dla g. Skorzystamy z klasycznego Twierdzenia Sarda (Twierdzenie 3.7 poniżej), które zapewnia, że zbiór wartości krytycznych dla g jest `rzadki'. Zgodnie z Zadaniem 3.15 f\pitchfork B, gdy 0 nie jest wartością krytyczną dla g. Niech z będzie wartością niekrytyczną dla g i bliską zeru. Zaburzymy odwzorowanie f=(g,h) w następujący sposób

f_{{\varepsilon}}(x)=(g(x)-z,h(x)).

Latwo sprawdzić, że f_{{\varepsilon}} jest transwersalne do B (Zadanie 3.16). ∎

Rys. 3.8. Transwersalność powierzchnii w przestrzeni.

Definicja 3.7. Niech h:\mathbb{R}^{{m}}\longmapsto\mathbb{R}^{{l}} będzie odwzorowaniem różniczkowalnym. Mówimy, że że x_{{0}} jest punktem krytycznym dla h jeśli rk\frac{\partial h}{\partial x}(x_{{0}}) nie jest maksymalny. Wartość h(x_{{0}}) w punkcie krytycznym nazywa się wartością krytyczną dla h.

Twierdzenie 3.8 (Sard). Zbiór wartości krytycznych dla odwzorowania różniczkowalnego h:\mathbb{R}^{{m}}\longmapsto\mathbb{R}^{{l}} dostatecznie wysokiej klasy gładkości ma zerową miarę Lebesque'a.

Uzasadnienie. Rozważmy przypadek m=l=1. Nie jest wykluczone, że wartości krytyczne dla g mogą tworzyć zbiór gęsty w \mathbb{R}.

Możemy jednak pokryć każdy punkt krytyczny x_{{j}} odcinkiem I_{{j}} o szerokości \left|I_{{j}}\right|\leq\varepsilon dla dowolnie małego \varepsilon. Ponieważ g^{{\prime}}(x_{{j}})=0, to długość obrazu g(I_{{j}}) takiego odcinka będzie szerokości rzędu O(\varepsilon^{{2}})=O(\varepsilon)\left|I_{{j}}\right| (patrz Rysunek 3.9). Zatem

\left|g\left(\bigcup I_{{j}}\right)\right|\leq O(\varepsilon)\cdot\left|\bigcup I_{{j}}\right|\leq O(\varepsilon),

co dąży do zera przy \varepsilon\rightarrow 0.

W istocie ten sam argument pracuje przy dowolnych m\leq l (Zadanie 3.17). Gdy m>l dowód jest bardziej skomplikowany (z rozbiciem \mathbb{R}^{{m}} na podzbiory stałego rzędu macierzy \partial h/\partial x).

Rys. 3.9. Twierdzenie Sarda.

Następująca definicja jest potrzebna do uogólnienia Twierdzenia Thoma. Niech

f:\mathbb{R}^{{m}}\longmapsto\mathbb{R}^{{n}} (3.3)

będzie odwzorowaniem dostatecznie wiele razy różniczkowalnym. Z takim odwzorowaniem można związać serię geometrycznych obiektów. Pierwszym z nich jest wykres

\left\{(x,f(x))\right\}\subset\mathbb{R}^{{m}}\times\mathbb{R}^{{n}}=:J^{{0}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{m}}).

Innym jest wykres pochodnej, czyli wykres odwzorowania Df:x\longmapsto(y,p)=(f(x),\frac{\partial f}{\partial x}(x)),

\left\{\left(x,f(x),\frac{\partial f}{\partial x}(x)\right)\right\}\subset\mathbb{R}^{{m}}\times\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R}^{{m\cdot n}}=:J^{{1}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{n}}).

Ogólnie, wykres odwzorowania r-tej pochodnej odwzorowaniax\longmapsto(f(x),Df(x),\ldots,D^{{r}}f(x)) jest podzbiorem (dosyć dużej) przestrzeni oznaczanej przez J^{{r}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{n}}).

Definicja 3.9. Przestrzenie J^{{r}}(\mathbb{R}^{{m,}}\mathbb{R}^{{n}}) nazywają się przestrzeniami dżetów rzędu r odzworowań z \mathbb{R}^{{m}} do \mathbb{R}^{{n}}. Z każdym odzworowaniem postaci (3.3) wiąże się jego r-ty dżet

x\longmapsto j^{{r}}f(x)=(x,f(x),Df(x),\ldots,D^{{r}}f(x))\in J^{{r}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{n}}).

Analogicznie, jeśli A i M są rozmaitościami wymiarów m i n odpowiednio, to definiuje się przestrzenie J^{{r}}(A,M) dżetów odwzorowań z A do M i z każdym różniczkowalnym odwzorowaniem f:A\longmapsto M wiąże się jego rty dżet j^{{r}}f:A\longmapsto J^{{r}}(A,M).

Definicja 3.10. Jeśli C\subset J^{{r}}(A,M) jest podrozmaitością, to mówimy, że odwzorowanie f:A\longmapsto M jest transwersalne do C (oznaczenie f\pitchfork C) gdy j^{{r}}f\pitchfork C.

Twierdzenie 3.11 (Thom). Niech A, M i C\subset J^{{r}}(A,M) będą ustalone. Wtedy zbiór odwzorowań f:A\longmapsto M, które są transwersalne do C, jest otwarty i gęsty w zbiorze wszystkich takich odwzorowań.

Dowód. Ten dowód w znacznej części powtarza dowód Twierdzenia 3.6. Podstawowa różnica leży w dowodzie gęstości, a dokładniej, w wyborze zaburzenia. Otóż, zamiast zamiany g(x)\rightarrow g(x)-z (gdzie z jest `małą' wartością niekrytyczną dla g), bierze się zamianę g(x)\rightarrow g(x)-z-\tilde{p}(x)-\tilde{q}(x,x)-\ldots-\tilde{s}(x,\ldots x), gdzie \tilde{p}, \tilde{q}, \ldots,\tilde{s} są odpowiednio `małymi' przekształeceniami liniowymi, jednorodnymi kwadratowymi, czy jednorodnymi stopnia r.

Przykład 3.12. Pewne naturalne warunki na odwzorowanie są interpretowane jako warunki na jego transwersalność w dżetach. Na przykład, warunek

\frac{\partial f}{\partial\lambda}(x,\lambda)\cdot\frac{\partial^{{2}}}{\partial x^{{2}}}f(x,\lambda)\not=0\text{ \  gdy \ }f(x,\lambda)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,\lambda)=0

wynika z jednoczesnej transwersalności odwzorowania

j^{{1}}f:\mathbb{R}^{{2}}=\left\{\left(x,\lambda\right)\right\}\longmapsto J^{{1}}(\mathbb{R}^{{2}},\mathbb{R})=\left\{\left(x,\lambda,y,p_{{x}},p_{{\lambda}}\right)\right\}

do dwóch podrozmaitości

C_{{1}}=\left\{ y=0\right\}\text{ \  i \ }C_{{2}}=\left\{ y=p_{{x}}=0\right\}.

Istotnie, transwersalność do C_{{1}} oznacza, że \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\not=0 lub \frac{\partial y}{\partial\lambda}=\frac{\partial f}{\partial\lambda}\not=0 gdy y=f(x,\lambda)=0. Tymczasem transweralność do C_{{2}} oznacza, że \left|\begin{array}[]{ll}f_{{x}}^{{\prime}}&f_{{\lambda}}^{{\prime}}\\
f_{{xx}}^{{\prime\prime}}&f_{{x\lambda}}^{{\prime\prime}}\end{array}\right|\not=0 gdy y=f=0 i p_{{x}}=f_{{x}}^{{\prime}}=0.

W zagadnieniach teorii bifurkacji zawsze, gdy pojawiają się warunki podobnego charakteru jak w Przykładzie 3.12, możemy założyć, że albo są spełnione z prawdopodobieństwem 1 albo z takim samym przwdopodobieństwem nie mogą być spełnione. Ten drugi przypadek zachodzi gdy \dim A+\dim C<\dim J^{{r}}(A,M). Taki jest praktyczny wniosek z twierdzeń Thoma.

ZADANIA

Zadanie 3.13. W przypadku m\geq n-k zauważyć, że (w dowodzie Twierdzenia 3.6) rkC\geq n-k oznacza rkC=n-k. Skorzystać z Twierdzenia o Funkcji Uwikłanej aby pokazać, że f^{{-1}}(B)\subset A w otoczeniu x_{{0}} jest podrozmaitością w A kowymiaru n-k. Pokazać następnie, że dla dowolnego f_{{\varepsilon}} bliskiego f również f_{{\varepsilon}}^{{-1}}(B) jest lokalnie podrozmaitością kowymiaru n-k bliską f^{{-1}}(B). Wywnioskować stąd i z otwartości podzbioru macierzy rzędu n-k w przestrzeni macierzy wymiaru (n-k)\times n, że f_{{\varepsilon}} jest transwersalne do B w otoczeniu x_{{0}}.

Zadanie 3.14. Pokazać lokalną gęstość własności transwersalności w przypadku m<n-k.

Wskazówka: Wybrać odpowiednie zaburzenie f_{{\varepsilon}} dla f, które nie jest transwersalne do B.

Zadanie 3.15. Pokazać, że f\pitchfork B wtedy i tylko wtedy gdy 0 nie jest wartością krytyczną dla odwzorowania g.

Zadanie 3.16. Uzupełnić dowód Twierdzenia 3.6.

Wskazówka: Użyć odpowiedniego rozkładu jedności 1=\sum\varphi _{{j}}(x) w A związanego z lokalnymi afinicznymi mapami w A, M i B. Lokalne zaburzenia wybierać w postaci f_{{\varepsilon}}=\left(g-\psi _{{k}}(x)z_{{k}},h(x)\right), z odpowiednimi funkcjami \psi _{{k}}(x) o zwartym nośniku i `małymi' wektorami z_{{k}}. Na koniec skorzystać ze zwartości A.

Zadanie 3.17. Udowodnić Twierdzenie Sarda w przypadkach m<l i m=l>1.

3.3. Bifurkacje kowymiaru 1

Bifurkacje autonomicznych pól wektorowych będziemy dzielić na lokalne i nielokalne.

Lokalne bifurkacje zachodzą w otoczeniu punktu osobliwego x=0 dla wartości bifurkacyjnej parametru. Dokładniej, mamy rodzinę

\dot{x}=v(x;\mu)

taką, że

v(x,0)=Ax+\ldots.

W przypadku typowych 1-parametrowych rodzin naruszenie warunku hi- perboliczności (tzn. \textrm{Re}\lambda _{{j}}(A)\not=0 dla wszystkich wartości własnych) zachodzi w dwu przypadkach:

1. \lambda _{{1}}(A)=0 i \textrm{Re}\lambda _{{j}}(A)\not=0 dla j>1; jest to bifurkacja siodło–węzeł.

2. \lambda _{{1}}=\bar{\lambda}_{{2}}=i\omega\in i\mathbb{R}\setminus 0 i \textrm{Re}\lambda _{{j}}\not=0 dla j>2; jest to bifurkacja narodzin cyklu granicznego albo bifurkacja Andronowa–Hopfa.

Mamy trzy nielokalne bifurkacje związane z orbitą okresową \gamma dla pola v(x,0). Niech \lambda _{{j}} będą wartościami własnymi części liniowej przekształcenia powrotu Poincarégo. Przypomnijmy, że warunek hiperboliczności dla \gamma oznacza, że \left|\lambda _{{j}}\right|\not=1 dla wszystkich j. Zatem typowe bifurkacje kowymiaru 1 mają miejsce w następujących przypadkach:

3. \lambda _{{1}}=1 i \left|\lambda _{{j}}\right|\not=1 dla j>1; jest to bifurkacja siodło–węzeł dla orbity okresowej.

4. \lambda _{{1}}=-1 i \left|\lambda _{{j}}\right|\not=1 dla j>1; jest to bifurkacja podwojenia okresu.

5. \lambda _{{1}}=\bar{\lambda}_{{2}}\in\mathbb{S}^{{1}}\setminus\{ 1,-1\}. Tutaj przypadki, gdy \lambda _{{1}}=e^{{2\pi ik/m}} jest pierwiastkiem z 1 stopnia m, nazywają się rezonansowymi; dodatkowo, gdy m=3,4 to mówimy o silnym rezonansie.

Rys. 3.10. Połączenie separatrys i pętla separatrys.

Na koniec mamy dwie nielokalne bifurkacje związane z połaczeniem separatrys (patrz Rysunek 3.10):

6. Połączenie separatrys różnych siodeł.

7. Pętla separatrys jednego siodła.

3.3.1. Redukcja do rozmaitości centralnej i forma normalna Poincarégo–Dulaca

Załóżmy, że mamy pole wektorowe

\dot{x}=v(x)=Ax+\ldots

z punktem osobliwym x=0. Możemy założyć, że macierz A ma postać blokowo diagonalną

A=A^{{s}}\oplus A^{{u}}\oplus A^{{c}}, (3.4)

gdzie A^{{s}} (odpowiednio A^{{u}} i A^{{c}}) ma wartości własne z \textrm{Re}\lambda _{{j}}<0 (odpowiednio z \textrm{Re}\lambda _{{j}}>0 i z \textrm{Re}\lambda _{{j}}=0).

Twierdzenie 3.18 (Szoszitaiszwili). W sytuacji jak powyżej istnieje lokalny homeomorfizm h:\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right) przeprowadzający portret fazowy pola v(x) na portret fazowy następującego pola

\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}},\text{ \ }\dot{y}_{{3}}=w(y_{{3}}), (3.5)

gdzie

w(y_{{3}})=A^{{c}}y_{{3}}+\ldots

Dowód tego twierdzenia jest techniczny i skomplikowany (patrz [5]). Dlatego nie będziemy go tutaj przytaczać. Za to wyciągniemy z niego bardzo praktyczne zastosowania. Zauważmy też, że to twierdzenie jest uogólnieniem Twierdzenia Grobmana–Hartmana.

Definicja 3.19. Podrozmaitość zadaną równaniem

W^{{c}}=\left\{ y_{{1}}=0,\text{ }y_{{2}}=0\right\}

(w terminach (3.5)) nazywamy rozmaitością centralną.

Twierszenie Szoszitaiszwiliego mówi, że w przypadku niehiperbolicznego puktu osobliwego `ciekawa część' dynamiki odbywa się na rozmaitości centralnej.

Dla rodziny pól wektorowych v(x,\mu) możemy potraktować \mu jako dodatkową zmienną, tzn. mamy układ

\dot{x}=v(x,\mu),\text{ \ }\dot{\mu}=0,

do którego stosujemy Twierdzenie 3.18 (z h(x,\mu)=(h_{{0}}(x,\mu),\mu)). Mamy następującą redukcję do rozmaitości centralnej.

Stwierdzenie 3.20. Dla rodziny \dot{x}=v(x,\mu) z v(x,0)=Ax+\ldots A=A^{{s}}\oplus A^{{u}}\oplus A^{{c}}, istnieje lokalny homeomeorfizm (h_{{0}}(x,\mu),\mu) zadajający topologiczną równoważność tej rodziny z następującą rodziną

\dot{z}=w(z,\mu),\text{ \ }\dot{z}_{{1}}=-z_{{1}},\text{ \ }\dot{z}_{{2}}=z_{{2}}.

Samo istnienie rozmaitości centralnej W^{{c}} jest uogólnieniem Twierdzenia Hadamarda–Perrona. Można jej poszukiwać jak w dwodzie Twierdzenia 1.19. Przy tym okaże się, że rozmaitość centralna nie jest wyznaczona jednoznacznie; zależy ona od wyboru przedłużenia pola (lub dyfeomorfizmu) na całe \mathbb{R}^{{n}}.

Ale istnieje sposób wyznaczenia W^{{c}} w sposób formalny. Poszukujemy jej jako wykresu

W^{{c}}=\left\{ x_{{1}}=f(x_{{3}}),\text{ \ }x_{{2}}=g(x_{{3}}):x_{{3}}\in E^{{c}}\right\}

(gdzie współrzędne \left(x_{{1}},x_{{2}},x_{{3}}\right) są związane z rozkładem (3.4)), który jest niezmienniczy względem pola v(x). Okazuje się, że odwzorowania f:E^{{c}}\longmapsto E^{{s}} i g:E^{{c}}\longmapsto E^{{u}} mają jednoznacznie wyznaczone szeregi Taylora, f(x_{{3}}),g(x_{{3}})=O(\left|x_{{3}}\right|^{{2}}). Na W^{{c}}, które jest parametryozwane przez x_{{3}}\in E^{{c}}, otrzymujemy pole wektorowe

\dot{x}_{{3}}=w(x_{{3}}).

Ta redukcja do W^{{c}} nazywa się redukcją Lapunowa–Schmidta.

Niestety, na ogół okazuje się, że szeregi zadające f i g są rozbieżne (nawet gdy v(x) było analityczne). Tym też tłumaczy się niejednoznaczność W^{{c}} w sensie topologicznym.

Przykład 3.21. Rozważmy układ

\dot{x}=x^{{2}},\text{ \ }\dot{y}=y-x^{{2}}.

Tutaj W^{{u}}=\left\{ x=0\right\} jest rozmaitością niestabilną. Rozmaitość centralną poszukujemy w postaci W^{{c}}=\left\{ y=a_{{2}}x^{{2}}+a_{{3}}x^{{3}}+\ldots\right\}. Podstawiając takie y do układu, dostajemy

\left(a_{{2}}x^{{2}}+a_{{3}}x^{{3}}+\ldots\right)-x^{{2}}=\left(2a_{{2}}x+3a_{{3}}x^{{2}}+\ldots\right)\cdot x^{{2}}.

To prowadzi do następującej rekurencji: a_{{2}}=1, a_{{n+1}}=na_{{n}}, z rozwiązaniem a_{{n}}=(n-1)!. Zatem rozmaitość centralna zadaje się jednoznacznym, ale rozbieżnym, szeregiem

y=\sum _{{n\geq 2}}(n-1)!x^{{n}}

(Zadania 3.27 i 3.28).

Innym narzędziem użytecznym w teorii bifurkacji, które również opiera się na (często rozbieżnych) szeregach formalnych, jest następne twierdzenie. Rozważamy kiełki analitycznych pól wektorowych

\dot{x}=Ax+O(\left|x\right|^{{2}}),\text{ \ \ }x\in\left(\mathbb{C}^{{n}},0\right), (3.6)

takich, że macierz A jest diagonalna, A=diag\left(\lambda _{{1}},\ldots,\lambda _{{n}}\right). Przypomnijmy jeszcze standardowe oznaczenia \left(e_{{1}},\ldots,e_{{n}}\right) dla standardowej basy w \mathbb{C}^{{n}} (zatem x=\sum x_{{j}}e_{{j}}), x^{{k}}=x_{{1}}^{{k_{{1}}}}\ldots x_{{n}}^{{k_{{n}}}} i \left|k\right|=k_{{1}}+\ldots k_{{n}}.

Definicja 3.22. Mówimy, że wartości własne spełniają relację rezonansową typu \left(j,k\right), j\in\{ 1,\ldots,n\}, k=\left(k_{{1}},\ldots,k_{{n}}\right)\in\mathbb{N}^{{n}}, jeśli

\lambda _{{j}}=k_{{1}}\lambda _{{1}}+\ldots k_{{n}}\lambda _{{n}}=(k,\lambda).

Twierdzenie 3.23 (Poincaré–Dulac). Załóżmy że mamy kiełek zespolonego analitycznego pola wektorowego (3.6). Wtedy istnieje zamiana

x=y+O(\left|y\right|^{{2}})

taka, że każda składowa po prawej stronie jest formalnym szeregiem potęgowym od y, która prowadzi do układu

\dot{y}_{{j}}=\lambda _{{j}}y_{{j}}+\sum c_{{j;k}}y^{{k}},\text{ \ \ \ }j=1,\ldots,n, (3.7)

przy czym sumy po prawych stronach równań (3.7) biegną po takich wielowskaźnikach k=(k_{{1}},\ldots,k_{{n}}), że jest spełniona relacja rezonansowa typu \left(j,k\right).

Dowód. Sprowadzanie do postaci normalnej Poincarégo–Dulaca (3.7) odbywa się przy pomocy serii zamian postaci

x=y-\sum _{{j,k:\left|k\right|=m}}b_{{j,k}}y^{{k}}e_{{j}}, (3.8)

czyli dodajemy wyrazy jednorodne stopnia m. (Zaczynamy od m=2, potem bierzemy m=3, itd.) Łatwo sprawdzić, że przekształcenie odwrotne do (3.8) ma postać y=x+\sum _{{j,k:\left|k\right|=m}}b_{{j,k}}y^{{k}}e_{{j}}+\ldots (Zadanie 3.29).

Załóżmy, że w polu (3.6) do stopnia m-1 występują tylko wyrazy rezonansowe (założenie indukcyjne). Chcemy przy pomocy podstawienia (3.8) zlikwidować wyrazy nierezonansowe stopnia dokładnie m. Mamy

\dot{x}_{{i}}=\dot{y}_{{i}}-\sum _{{k:\left|k\right|=m}}b_{{i,k}}\left(y^{{k}}\right)^{{\cdot}}, (3.9)

gdzie

\dot{y}_{{i}}=\lambda _{{i}}y_{{i}}+\left(\text{wyrazy rezon. st. }\leq m\right)+h.o.t.

i

\sum _{{k:\left|k\right|=m}}b_{{i,k}}\left(y^{{k}}\right)^{{\cdot}}=\sum b_{{i,k}}\cdot\left(\lambda,k\right)y^{{k}}+h.o.t.

Z lewej strony wzoru (3.9), po podstawieniu (3.8), mamy

\displaystyle\dot{x}_{{i}} \displaystyle= \displaystyle\lambda _{{i}}\left(y_{{i}}-\sum _{{k:\left|k\right|=m}}b_{{i,k}}y^{{k}}\right)+\left(\text{wyrazy rezon. st. }\leq m-1\right)
\displaystyle+\sum _{{k:\left|k\right|=m}}a_{{i,k}}y^{{k}}+h.o.t.

Teraz, porównując wyrazy jednorodne stopnia m, dostajemy równania

b_{{i,k}}\cdot\left\{(\lambda,k)-\lambda _{{i}}\right\}=a_{{i,k}}.

Z nich jasno wynika, że jeśli \left(\lambda,k\right)-\lambda _{{i}}\not=0, to można dobrać b_{{i,k}} tak, aby zlikwidować odpowiedni nierezonansowy wyraz x^{{k}}e_{{i}}. Pozostają tylko wyrazy rezonansowe. ∎

Przykład 3.24. Rozważmy przypadek rezonansowego węzła

\dot{x}_{{1}}=x_{{1}}+\ldots,\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=nx_{{2}}+\ldots,

czyli dla \lambda _{{1}}=1 i \lambda _{{2}}=n\in\mathbb{N}\setminus 1 Jak łatwo stwierdzić, jedyną relacją rezonansową jest \lambda _{{2}}=n\lambda _{{1}}+0\cdot\lambda _{{2}}. Zatem normalna forma Poincarégo–Dulaca jest następująca

\dot{y}_{{1}}=y_{{1}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=ny_{{2}}+cy_{{1}}^{{n}}

(Zadanie 3.30). Okazuje się, że w tym przypadku zamiana prowadząca do postaci normalnej jest analityczna (o ile wyjściowy kiełek był analityczny). 13Do tego przypadku można też zaliczyć sytuację, gdy n=1, czyli, gdy część liniowa nie jest diagonalna. Istnieje naturale rozszerzenie Twierdzenia 3.23 na przypadek, gdy część linowa pola posiada nietrywialne klatki Jordana.

Przykład 3.25. Dla siodło–węzła

\dot{x}_{{1}}=\ldots,\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=x_{{2}}+\ldots,

czyli z \lambda _{{1}}=0 i \lambda _{{2}}=1, relacje rezonasowe są postaci \lambda _{{1}}=k\lambda _{{1}}+0\cdot\lambda _{{2}} i \lambda _{{2}}=k\lambda _{{1}}+1\cdot\lambda _{{2}}. Stąd wynika następująca forma Poincarégo–Dulaca

\dot{y}_{{1}}=\sum _{{k\geq 2}}a_{{k}}y_{{1}}^{{k}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}}\left(1+\sum _{{k\geq 1}}b_{{k}}y_{{1}}^{{k}}\right).

Okazuje się, że na ogół ta forma normalna nie jest analityczna.

Przykład 3.26.Dla \mathit{(1:-1)} rezonansowego siodła

\dot{x}_{{1}}=x_{{1}}+\ldots,\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=-x_{{2}}+\ldots,

czyli z \lambda _{{1}}=1 i \lambda _{{2}}=-1 relacje rezonansowe są postaci \lambda _{{1}}=(k+1)\lambda _{{1}}+k\lambda _{{2}} i \lambda _{{2}}=k\lambda _{{1}}+(k+1)\lambda _{{2}}. Stąd wynika następująca postać normalna Poincarégo–Dulaca

\dot{y}_{{1}}=y_{{1}}\left(1+\sum a_{{k}}\left(y_{{1}}y_{{2}}\right)^{{k}}\right),\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=-y_{{2}}\left(1+\sum b_{{k}}\left(y_{{1}}y_{{2}}\right)^{{k}}\right).

Również i ta forma nie jest na ogól analityczna (Zadanie 3.31).

ZADANIA

Zadanie 3.27. Znaleźć rozmaitość centralną punktu \left(0,0\right) dla układu z Zadania 1.33 przy a=-1, tzn. dla \dot{x}=-x+y+x^{{2}}, \dot{y}=x-y+y^{{2}}.

Zadanie 3.28. Znaleźć przybliżenie rozmaitości centralnej z dokładnością do wyrazów sześciennych dla punktu \left(0,0,0\right) układu \dot{x}=-y+x^{{2}}+zy, \dot{y}=x+xy+z^{{2}}, \dot{z}=z+xy.

Zadanie 3.29. Pokazać, że przekształcenie odwrotne do przekształcenia (3.8) ma postać jak w dowodzie Twierdzenia 3.23.

Zadanie 3.30. Pokazać, że w każdym innym przypadku węzła, tzn. gdy 1<\lambda _{{2}}/\lambda _{{1}}\not\in\mathbb{N}, normalna forma Poincarégo–Dulaca jest liniowa (brak nieliniowych wyrazów rezonansowych).

Zadanie 3.31. Uogólnić Przykład 3.26 na przypadek \left(p:-q\right)-rezonansowego siodła, tzn. gdy 0<\lambda _{{1}}/\lambda _{{2}}=-p/q\in\mathbb{Q} (ułamek zredukowany).

3.3.2. Bifurkacja siodło–węzeł

Mamy 1-parametrową rodzinę pól wektorowych

\dot{x}=v(x;\mu)=v_{{\mu}}(x),\text{ \ \ }\left(x,\mu\right)\in\left(\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R},0\times 0\right).

Na nią nakładamy następujące warunki:

1. v(0;0)=0 i v(x;0)=Ax+\ldots

2. Macierz A ma jedną zerową wartość własną, \lambda _{{1}}=0, (w szczególności \det A=0) i \textrm{Re}\lambda _{{j}}\not=0 dla j>1. Zatem można założyć, że A ma postać blokową

A=\left[\begin{array}[]{ll}0&0\\
0&B\end{array}\right].

3. Niech \left(x,y\right) będzie liniowym układem współrzędnych związanym z powyższą postacią A. Możemy przepisać układ w postaci

\dot{x}=f(x,y;\mu),\text{ \ \ }\dot{y}=By+\ldots,

gdzie f(0,0;0)=0 i f_{{x}}^{{\prime}}(0,0;0)=0, f_{{y}}^{{\prime}}(0,0;0)=0. Następne założenie mówi, że

\frac{\partial^{{2}}f}{\partial x^{{2}}}(0,0;0)\not=0.

4. Ostatnie założenie mówi, że

\frac{\partial f}{\partial\mu}(0,0;0)\not=0

(Zadanie 3.34).

Uwaga 3.32. Powyższe warunki są warunkami w przestrzeni J^{{2}}=J^{{2}}(\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R},\mathbb{R}^{{n}}) dżetów rzędu 2. Są to warunki na transwersalność względem pewnych podrozmaitości w J^{{2}}. Dzięki Twierdzeniu 3.11 typowe v(x;\mu) spełnia te warunki (porównaj też Przykład 3.12).

Rys. 3.11. Bifurkacja siodło–węzeł.

Twierdzenie 3.33.Jeśli są spełnione powyższe warunki, to rodzina \left\{ v_{{\mu}}\right\} jest wersalna. W szczególności, jest ona równoważna jednej z rodzin postaci

\dot{x}=\lambda\pm x^{{2}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}}.

Dowód. Z twierdzenia o redukcji do rozmaitości centralnej możemy założyć, że mamy układ postaci

\dot{x}=f(x,\mu),\text{ \ \ }\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}}.

Mamy następujące własności wynikające bezpośrednio z Warunków 1, 2, 3 i 4:

(i) f(0,0)=0,

(ii) f_{{x}}^{{\prime}}(0,0)=0,

(iii) f_{{xx}}^{{\prime\prime}}(0,0)\not=0,

(iv) f_{{\mu}}^{{\prime}}(0,0)\not=0.

Dalszy dowód przebiega dokładnie jak w Przykładzie 3.3.

Na Rysunku 3.11 jest przedstawiona bifurkacja siodło–węzeł dla rodziny dwuwymiarowych pól wektorowych. ∎

ZADANIA

Zadanie 3.34. Pokazać, że Warunek 4 posiada następującą interpretację. Z Warunku 3 wynika, że równanie f_{{x}}^{{\prime}}=0 posiada jednoznaczne rozwiązanie x=x_{{0}}(y,\mu) (punkt lokalnego extremum). Niech g(y,\mu)=f(x_{{0}}(y,\mu),y;\mu) (wartość w tego ekstremum). Wtedy \frac{\partial f}{\partial\mu}(0,0;0)\not=0 \Longleftrightarrow \frac{\partial g}{\partial\mu}(0,0)\not=0.

Zadanie 3.35. Dla 2-parametrowej rodziny 1-wymiarowych pól wektorowych \dot{x}=\lambda _{{1}}+\lambda _{{2}}x+x^{{3}} (deformacja osobliwości typu siodło–węzeł kowymiaru 2) zbadać bifurkacje punktów równowagi.

3.3.3. Bifurkacja Andronowa–Hopfa

Mamy 1-parametrową rodzinę pól wektorowych

\dot{x}=v(x;\mu)=v_{{\mu}}(x),\text{ \ \ }\left(x,\mu\right)\in\left(\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R},0\times 0\right).

Na nią nakładamy następujące warunki:

1. v(0;0)=0, zatem v(x;0)=Ax+\ldots

2. \lambda _{{1}}=\bar{\lambda}_{{2}}=i\omega\in i\mathbb{R}\setminus 0 i \textrm{Re}\lambda _{{j}}\not=0 dla j>2. To implikuje \det A\not=0 i z Twierdzenia o Funkcjach Uwikłanych równanie v(x;\mu)=0 ma rozwiązanie x=x_{{0}}(\mu), które odpowiada punktowi równowagi. Następnie przesuwamy ten punkt równowagi do początku układu współrzędnych: x\longmapsto x-x_{{0}}(\mu). Teraz mamy układ

\dot{x}=A(\mu)x+\ldots.

3. Następne założenie mówi, że

Rys. 3.12. Ostra utrata stabilności.
\frac{\partial}{\partial\mu}\textrm{Re}\lambda _{{1,2}}(\mu)|_{{\mu=0}}\not=0.

4. Ostatnie założenie wykorzystuje formę normalną Poincarégo–Dulaca dla \mu=0. W dziedzinie zespolonej mamy \lambda _{{1}}=-\lambda _{{2}} i zgodnie z Przykładem 3.26 forma normalna przyjmuje postać

\dot{z}_{{1}}=i\omega z_{{1}}\left(1+\sum a_{{j}}\left(z_{{1}}z_{{2}}\right)^{{j}}\right),\text{ \ \ }\dot{z}_{{2}}=-i\omega z_{{2}}\left(1+\sum b_{{j}}\left(z_{{1}}z_{{2}}\right)^{{j}}\right),

gdzie z_{{1,2}}=x_{{1}}\pm\sqrt{-1}x_{{2}}+\ldots=y_{{1}}\pm iy_{{2}} są (formalnymi) zmiennymi zespolonymi po ograniczniu do rozmaitości centralnnej. Ponieważ wyjściowe pole było rzeczywiste, to z_{{2}}=\bar{z}_{{1}} i powyższe równania są względem siebie sprzężone. W zmiennych rzeczywistych y_{{1}}=x_{{1}}+\ldots i y_{{2}}=x_{{2}}+\ldots dostajemy następującą postać normalną Poincarégo–Dulaca dla ogniska

\displaystyle\dot{y}_{{1}} \displaystyle= \displaystyle y_{{1}}\left(c_{{3}}r^{{2}}+c_{{5}}r^{{4}}+\ldots\right)-\omega y_{{2}}\left(1+d_{{3}}r^{{2}}+\ldots\right),
\displaystyle\dot{y}_{{2}} \displaystyle= \displaystyle\omega y_{{1}}\left(1+d_{{3}}r^{{2}}+\ldots\right)+y_{{2}}\left(c_{{3}}r^{{2}}+c_{{5}}r^{{4}}+\ldots\right),

gdzie r^{{2}}=y_{{1}}^{{2}}+y_{{2}}^{{2}}. Tutaj c_{{3}},c_{{5}},\ldots są liczbami ogniskowymi Lapunowa–Poincarego z Definicji 2.13 (Zadanie 3.40).

Ostatni warunek niezdegenerowania mówi, że

c_{{3}}\not=0.

Następujące twierdzenie nosi też nazwę Twierdzenia o narodzinach cyklu granicznego i jest najbardziej chyba znanym twierdzeniem z teorii bifurkacji.

Twierdzenie 3.36 (Andronov–Hopf). Jeśli są spełnione powyższe warunki, to rodzina \left\{ v_{{\mu}}\right\} jest wersalna. W szczególności jest ona równoważna rodzinie

\dot{x}_{{1}}=x_{{1}}(\lambda\pm r^{{2}})-\omega x_{{2}},\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=\omega x_{{1}}+x_{{2}}(\lambda\pm r^{{2}}),\text{ \ }\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{\ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}},

(r^{{2}}=x_{{1}}^{{2}}+x_{{2}}^{{2}}) lub (równoważnie i na rozmaitości centralnej) rodzinie

\dot{z}=(\lambda+i\omega)z\pm z\left|z\right|^{{2}},\text{ \ \ \ }z=x_{{1}}+ix_{{2}}\in\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^{{2}}. (3.10)
Rys. 3.13. Łagodna utrata stabilności.

Uwaga 3.37. Z dokładnością do zmiany orientacji płaszczyzny (np. (x,y)\longmapsto(x,-y)) można przyjąć, że częstotliwość \omega>0. Przy tym założeniu mamy dwie lokalne bifurkacje rodzin (3.10) odpowiadających dwu wartościom c_{{3}}=1 i c_{{3}}=-1. Są one przedstawione na Rysunkach 3.12 i 3.13 odpowiednio. Różnica pomiędzy tymi rysunkami ma istotne znaczenie praktyczne.

Na Rysunku 3.12 obserwujemy tzw. ostrą utratę stabilności. Istotnie, dla \lambda<0 punkt równowagi jest stabilny (chociaż `basen' jego przyciągania kurczy się) a dla \lambda\geq 0 punkt równowagi staje się `globalnie' niestabilny (tutaj układ kompletnie się rozstraja).

Na Rysunku 3.13 mamy do czynienia z tzw. łagodną utratą stabilności. Dla \mu\leq 0 punkt równowagi jest `globalnie' stabilny i dla \lambda>0 traci on stabilność. Ale dla \lambda>0 pojawia się stabilny cykl graniczny, zlokalizowany blisko punktu równowagi. Zatem układ (np. mechaniczny) zaczyna lekko oscylować wokół położenia równowagi.

Dowód Twierdzenia 3.36. Podobnie jak w przypadku Twierdzenia o Bifurkacji Siodło–Węzeł sprowadzamy najpierw zagadnienie do sytuacji dwuwymiarowej (na rozmaitości centralnej).

Lekko uzupełniając dowód Twierdzenia Poincarégo–Dulaca sprowadzamy całą rodzinę do następującej postaci normalnej, modulo wyrazy rzędu \geq 4:

\dot{z}=\left(c_{{1}}(\mu)+i\omega(\mu)\right)z+(c_{{3}}(\mu)+id_{{3}}(\mu))\left|z\right|^{{2}}z+O(\left|z\right|^{{4}}), (3.11)

z=y_{{1}}+iy_{{2}}, gdzie c_{{1}}(0)=0, c_{{1}}^{{\prime}}(0)\not=0 i c_{{3}}(0)\not=0 (Zadanie 3.41). Możemy spokojnie przyjąć, że c_{{1}}(\mu)=\mu, i, przechodząc do biegunowego układu współrzędnych, z=re^{{i\varphi}}, możemy napisać

\dot{r}=r\left(\mu+c_{{3}}r^{{2}}+O(r^{{3}})\right),\text{ \ \ }\dot{\varphi}=\omega+O(r^{{2}}) (3.12)

(Zadanie 3.42).

Rys. 3.14. Dowód Twierdzenia Andronowa–Hopfa.

Dla układu (3.12) definiujemy przekształcenie powrotu Poincarégo P:\left\{\varphi=0\right\} \longmapsto\left\{\varphi=2\pi\right\} jak na Rysunku 3.14. Dla ustalenia uwagi założymy, że c_{{3}}=1. Dalszą analizę dzielimy na trzy kroki.

(a) Dla \mu\geq 0 mamy \dot{r}>0 (dla r>0), czyli P(r)>r i nie ma cykli granicznych.

(b) Niech \mu<0. Rozważmy obszar \left\{ 0\leq r\leq 2\sqrt{-\mu}\right\}. Dokonajmy następującej normalizacji

r=\tau R,\text{ \ \ }\mu=-\tau^{{2}}.

Wtedy w obszarze \left\{ 0\leq R\leq 2\right\} dostajemy układ

\dot{R}=\tau^{{2}}R\left(-1+R^{{2}}+O(\tau)\right),\text{ \ \ }\dot{\varphi}=\omega+O(\tau) (3.13)

dla małego parametru \tau. Teraz już łatwo wyliczyć przekształcenie P.Zauważmy, że rozwiązanie układu (3.13) z warunkiem początkowym R(0)=R_{{0}}, \varphi(0)=0 spełnia R(t)=R_{{0}}+O(\tau). Zatem

\displaystyle P(R_{{0}})-R_{{0}} \displaystyle= \displaystyle\int _{{0}}^{{2\pi}}\frac{dR}{d\varphi}d\varphi=\frac{\tau^{{2}}}{\omega}\int _{{0}}^{{2\pi}}\frac{R(-1+R^{{2}}+\ldots)}{1+\ldots}d\varphi
\displaystyle= \displaystyle\tau^{{2}}\frac{2\pi}{\omega}R_{{0}}(R_{{0}}^{{2}}-1+O(\tau)).

Oznaczmy F(R_{{0}},\tau)=(P(R_{{0}})-R_{{0}})/\tau^{{2}}=F_{{0}}(R_{{0}})+O(\tau), gdzie wykres funkcji F_{{0}}R_{{0}})=\pi R_{{0}}(R_{{0}}^{{2}}-1)/\omega jest przedstawiony na Rysunku 3.15. Widzimy, że równanie F(R_{{0}},\tau)=0 posiada dokładnie dwa proste rozwiązania R_{{0}}=0 i R_{{0}}=1+O(\tau) (Zadanie 3.43). Pierwsze z nich odpowiada punktowi równowagi, a drugie cyklowi granicznemu bliskiemu okręgu \left\{ r=\sqrt{-\mu}\right\}.

(c) Dla \mu<0 rozważmy obszar \left\{ 2\sqrt{-\mu}<r<\varepsilon\right\} dla małego \varepsilon>0 (niezależnego od \mu). Z (3.12) łatwo widać, że tutaj \dot{r}>0 i nie może być cykli granicznych.

Rys. 3.15. Wykres funkcji F_{{0}}.

Widać zatem, że w każdej z trzech powyższych sytuacji portrety fazowe są `jakościowo' takie same jak dla modelowej rodziny (3.10). Wypadałoby jeszcze skonstruować rodzinę \left\{ h_{{\mu}}\right\} lokalnych homeomorfizmów realizujących topologiczne orbitalne równoważności odpowiednich portretów fazowych. Jest to dosyć żmudne zadanie (jeśli potraktować je bardzo serio) i my je opuścimy (nawet w [5] jest to pominięte). ∎

Uwaga 3.38. E. Hopf w swojej oryginalnej pracy udowodnił ogólniejsze wynik niż Twierdzenie 3.36. Mianowicie opuścił on założenie, że c_{{3}}\not=0 (patrz [14]). Pokazał on istnienie 1-parametrowej rodziny \gamma _{{\nu}} rozwiązań okresowych dla pól wektorowych v_{{\mu(\nu)}}(x), gdzie \left(\mathbb{R}_{{+}},0\right)\ni\nu\longrightarrow\mu(\nu) jest pewnym gładkim odwzorowaniem. To twierdzenie nazywa się Twierdzeniem o Bifurkacji Hopfa. Na przykład, dla rodziny

\dot{z}=\left(\mu+i\right)z=v_{{\mu}}(z,\bar{z})

mamy rodzinę rozwiązań okresowych \gamma _{{\nu}}=\left\{\left|z\right|^{{2}}=\nu\right\} dla jednego pola \dot{z}=iz=v_{{0}}(z,\bar{z}), tzn. \mu(\nu)\equiv 0.

Arnold [5] często podkreślał, że w przypadku c_{{3}}\not=0 odpowiednią bifurkację badał równolegle A. Andronov [2]. Dlatego też bifurkacja z Twierdzenia 3.36 nazywa się Bifurkacją Andronowa–Hopfa.

Rys. 3.16. Szybowiec Żukowskiego.

Przykład 3.39 (Model Żukowskiego szybowca). Niech samolot leci z prędkością v (która może się zmieniać) i jest podniesiony pod kątem \theta względem poziomu (patrz Rysunek 3.16). Na samolot działają następujące siły: siła ciągu F_{{c}} skierowana wzdłuż samolotu, siła ciężkości mg skierowana do dołu i siła oporu powietrza proporcjonalna do v^{{2}}. Rozkładamy siłę ciężkości na składową wzdłuż samolotu (powodującą wytracanie prędkości) i w kierunku prostopadłym (powodując obrót w dół). Mamy zatem następującą parę równań: m\dot{v}=F_{{c}}-mg\sin\theta-c_{{2}}v^{{2}} i mv\dot{\theta}=-mg\cos\theta+c_{{2}}v^{{2}}. Tutaj stałe c_{{1}} i c_{{2}} zależą od kilku czynników, których nie będę specyfikował (patrz [8], Rozdz. 3, Paragr. 3) i [7], Rozdz. 14, Paragr. 3, Rozdz. 15, Paragr. 3). Po odpowiedniej normalizacji y=\textrm{const}\cdot v dostajemy następującą 2-parametrową rodzinę pól wektorowych

\dot{\theta}=(y^{{2}}-\cos\theta)/y,\text{ \ \ }\dot{y}=\lambda-\mu y^{{2}}-\sin\theta, (3.14)

-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2,  y\geq 0,z biegunem wzdłuż \left\{ y=0\right\}.

Rozważmy najpierw przypadek \lambda=0, który odpowiada modelowi szybowca. Po pomnożeniu przez y (przeskalowanie czasu) dostajemy portret fazowy regularnego pola

V=(y^{{2}}-\cos\theta)\partial _{{\theta}}-y(\sin\theta+\mu y^{{2}})\partial _{{y}}. (3.15)

Przy \mu=0 dostajemy układ hamiltonowski z całką pierwszą

F=\frac{1}{3}y^{{3}}-y\cos\theta

i punktami równowagi S_{{\pm}}=\left(\pm\pi/2,0\right) i C=\left(0,1\right). Przy \mu>0 dostajemy \textrm{div}V=-2\mu y<0, czyli funkcja \Phi=y jest funkcją Dulaca dla pola (3.14). Stąd łatwo wynika, że dla \mu=0 ruch szybowca jest okresowy (oscylujący wokół centrum C) a dla \mu>0 odpowiedni punkt krytyczny C (bifurkujący z \left(0,1\right)) jest globalnie stabilnym ogniskiem (Zadanie 3.44). To znaczy, że ruch szybowca stabilizuje się.

Dla ogólnej rodziny (3.14) z małymi \lambda i \mu można badać pojawiające się możliwe cykle graniczne metodą całek abelowych (patrz Przykład 4.5 poniżej). Przyrost \Delta F całki pierwszej wzdłuż trajektorii układu (3.14) (od cięcia do cięcia) wynosi w przybliżeniu

\int\dot{F}dt=\int\left(y^{{2}}-\cos\theta\right)\left(\lambda-\mu y^{{2}}\right)dt\approx\int _{{F=c}}(\lambda-\mu y^{{2}})yd\theta=\lambda I_{{0}}(c)-\mu I_{{1}}(c),

gdzie I_{{0}}(c)=\int\int dydx jest polem obszaru zakreślonego przez krzywąF(\theta,y)=c. W [7] pokazano, że funkcja c\longmapsto I_{{1}}(c)/I_{{0}}(c) jest monotoniczna, czyli, że równanie \lambda I_{{0}}(c)-\mu I_{{1}}(c)=0 ma co najwyżej jedno rozwiązanie. To oznacza, że układ (4.14) dla małych \lambda i \mu może posiadać co najwyżej jeden cykl graniczny.

Tutaj w momencie, gdy dywergencja pola (3.14) w ognisku C jest zerowa, zachodzi bifurkacja Andronowa–Hopfa. Można sprawdzić, że jest ona niezdegenerowana (zachęcam czytelników do sprawdzenia tego).

ZADANIA

Zadanie 3.40. Pokazać, że współczynniki c_{{3}},c_{{5}},\ldots z Punktu 4 założeń do Twierdzenia Andronowa–Hopfa pokrywają się ze liczbami oniskowymi Lapunowa–Poincarégo z Definicji 2.13. Znaleźć zależność pomiędzy wspólczynnikami c_{{2j+1}} i d_{{2j+1}} a a_{{j}} i b_{{j.}}

Zadanie 3.41. Udowodnić wzór (3.11).

Wskazówka: Redukcję skończonej liczby wyrazów rezonansowych można przeprowadzać jednocześnie dla 1-parametrowej rodziny.

Zadanie 3.42. Udowodnić wzór (3.12).

Zadanie 3.43. Pokazać ściśle, że równanie F=0 z dowodu Twierdzenia 3.36 ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 3.44. Zbadać punkty osobliwe pola (3.15). Naszkicować portrety fazowe dla \mu=0 i \mu\not=0.

3.3.4. Bifurkacje dla cykli granicznych

Niech \gamma\subset M będzie zamknniętą krzywą fazową dla pola wektorowego v_{{0}}(x) na rozmaitości M (n-wymiarowej). Ponadto pole v_{{0}}(x) jest zanurzone w 1-parametrowej rodzinie v_{{\mu}}(x), \mu\in\left(\mathbb{R},0\right), pól wektorowych na M. Weźmy cięcie S transwersalne do \gamma w M. Dla \mu bliskich 0 mamy dobrze zdefiniowane przekształcenia Poincarégo P_{{\mu}}:S\longmapsto S. Utożsamiając S z \left(\mathbb{R}{}^{{n-1}},0\right), otrzymujemy rodzinę lokalnych przekształceń

f_{{\mu}}:\left(\mathbb{R}^{{n-1}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n-1}},0\right),\text{ \ \ }f_{{\mu}}(z)=f(z;\mu),

takich, że f_{{0}}(0)=0. Zatem

Rys. 3.17. Bifurkacja siodło–węzeł dla dyfeomorfizmów.
f_{{0}}(z)=Az+\ldots

Zakładamy też, że dla \mu=0 orbita \gamma jest niehiperboliczna, tzn. punkt stały z=0 dyfeomorfizmu f_{{0}} jest niehiperboliczny. W zależności od typu niehiperboliczności mamy różne rodzaje bifurkacji. My omówimy tutaj tylko dwie.

A. Bifurkacja siodło–węzeł dla cyklu granicznego. Tutaj mamy \lambda _{{1}}=1 i \left|\lambda _{{j}}\right|\not=1 (j>1) dla wartości własnych macierzy A. Sprowadzając sytuację do rozmaitości centralnej (czyli 1-wymiarowej dla dyfeomorfizmu) i nakładając odpowiednie warunki niezdegenerowania (tzn. \frac{\partial^{{2}}f}{\partial z^{{2}}}(0;0)\frac{\partial f}{\partial\mu}(0;0) \not=0), pokazuje się równoważność odpowiedniej rodziny 1-wymiarowych przekształceń z następującą modelową rodziną

f(z;\mu)=x+\mu\pm x^{{2}}.

Odpowiednie bifurkacje są przedstawione na Rysunku 3.17. Widzimy, że dla \mu<0 mamy dwa cykle graniczne, które się zlewają przy \mu=0 a następnie znikają.

B. Bifurkacja podwojenia okresu. Tutaj mamy \lambda _{{1}}=-1 i \left|\lambda _{{j}}\right|\not=1 dla j>1. Ponieważ przekształcenie powrotu zmienia orientację, to rozmaitość centralna dla orbity \gamma jest wstęgą Möbiusa (patrz Rysunek 3.19).

Rys. 3.18. Bifurkacja podwojenia okresu dla dyfeomorfizmów.

Modelową rodziną przekształceń w tym przypadku jest

f_{{\mu}}(z)=f(z,\mu)=\left(-1+\mu\right)z\pm z^{{3}}.

Oczywiście to przekształcenie ma tylko jeden punkt stały, tj. z=0. Ale jego druga iteracja ma postać

f_{{\mu}}\circ f_{{\mu}}(z)=(1-2\mu)z\mp 2z^{{3}}+\ldots

i posiada dwa dodatkowe punkty stałe z_{{1,2}}\approx\sqrt{\mp\mu} dla \mp\mu>0. Te punkty stałe odpowiadają orbicie okresowej dla f_{{\mu}} o okresie 2. Stąd bierze się nazwa bifurkacji; czasami też jest używana nazwa bifurkacja widełki (od kształtu krzywej punktów okresowych na płaszczyźnie \left(\mu,z\right)).

Odpowiednie bifurkacje dla \left\{ f_{{\mu}}\right\} są przedstawione na Rysunku 3.18.14Bifurkacja podwojenia okresu leży u podstaw znanej bifurkacji Feigenbauma dla nieodwracalnego przekształcenia g:I\longmapsto I odcinka w siebie. Najpierw punkt stały traci stabilność przy przechodzeniu wartości własnej przez -1. Potem powstała obrita okresowa o okresie 2 znowu traci stabilność i powstaje orbita okresowa o okresie 2{}^{{2}}, itd. Dla granicznej wartości parametru mamy bifurkację Feigenbauma.

Rys. 3.19. Bifurkacja podwojenia okresu dla cykkli granicznych.

Na tym kończymy omawianie bifurkacji pól wektorowych. Po więcej szczegółów na temat bifurkacji opisanych wyżej i innych bifurkacji odsyłam słuchaczy do literatury ([1], [2], [5], [6], [7], [8], [11], [14]).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.