Zagadnienia

3.1 Wersalność
3.2 Transwersalność
3.3 Bifurkacje kowymiaru 1

3. Teoria bifurkacji

3.1. Wersalność

Zgodnie z Twierdzeniem 2.43 typowe pola wektorowe na zwartej $2-$ wymia- rowej rozmaitości $M$ są orbitalnie strukturalnie stabilne. Jeśli oznaczymy przez $\mathcal{X}$ nieskończenie wymiarową przestrzeń wszystkich pól wektorowych na $M$ (danej klasy i z odpowiednią topologią, o której nie będziemy mówić), to podzbiór $\Sigma$ , nazywany zbiorem bifurkacyjnym, przestrzeni $\mathcal{X}$ złożony z pól, które nie są orbtalnie strukturalnie stabilne, powinien mieć kowymiar $\geq 1.$ Należy się spodziewać, że ten podzbiór $\Sigma$ jest na ogół gładki, ale może mieć punkty nieregularne (jak na Rysunku 3.1). Te ostatnie punkty powinny odpowiadać polom wektorowym, które mają osobliwości bardziej skomplikowane niż pola odpowiadające typowym punktom z $\Sigma.$

Rys. 3.1. Zbiór bifurkacyjny.

Jeśli wybierzemy przypadkowo pojedyncze pole z $\mathcal{X}$ , to z prawdopodobieństwem 1 będzie ono poza zbiorem $\Sigma.$ Ale cała rodzina $\left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in\mathbb{R}}}$ pól wektorowych stanowi krzywą w $\mathcal{X}$ i już może przeciąć hiperpowierzchnię $\Sigma.$ Spodziewamy się też, że dla typowej rodziny odpowiednia krzywa przetnie hiperpowierzchnię $\Sigma$ pod kątem i w punktach typowych tej hiperpowierzchnii (patrz Rysunek 3.1).

Teoria bifurkacji zajmuje się badaniem zarówno geometrii zbioru bifurkacyjnego $\Sigma$ jak i zachownia się wieloparametrowych rodzin pól wektorowych. My ograniczymy się do $1-$ parametrowych rodzin.

Należy zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt tej sytuacji. Na przestrzeni $\mathcal{X}$ działa grupa $\mathcal{G}$ orbitalnych równoważności i podzbiór bifurkacyjny $\Sigma$ jest niezmienniczy względem tego działania. Należy zatem powiązać analizę $1-$ parametrowych rodzin $\left\{ v_{{\lambda}}\right\}$ z działaniem grupy $G.$ V. Arnold w [5] wprowadził raz na zawsze porządek na tym polu i poniższe definicje pochodzą od niego. My podajemy te definicje dla $1-$ parametrowych rodzin, ale łatwo je uogólnić na przypadek wieloparametrowy.¹¹Ta filozofia pracuje również w innych ogólnych sytuacjach. Na przykład, gdy $\mathcal{X}$ jest przestrzenią funkcji $f$ na rozmaitości a $\mathcal{G}$ jest grupą dyfeomorfizmów $h$ rozmaitości z działaniem $f\longmapsto f\circ h.$ Podobnie $\mathcal{X}$ może być przestrzenią dyfeomorfizmów $f$ rozmaitości $M$ a grupa $\mathcal{G}$ dyfeomorfizmów $M$ może działać poprzez sprzężenie: $f\longmapsto h\circ f\circ h^{{-1}}$ .

Definicja 3.1. Dwie rodziny $\left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in J}}$ i $\left\{ w_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in J}}$ , $J\subset\mathbb{R}$ , pól wektorowych na $M$ są orbitalnie równoważne, jeśli dla każdego $\lambda\in J$ pola $v_{{\lambda}}(x)$ i $w_{{\lambda}}(x)$ są orbitalnie równoważne za pomocą homeomorfizmu $h_{{\lambda}}(x),$ który zależy w sposób ciągły od parametru $\lambda.$

Mówimy, że rodzina $\left\{ w_{{\nu}}\right\} _{{\nu\in K}}$ jest indukowana z rodziny $\left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in J}}$ , jeśli istnieje ciągłe od wzorowanie $\varphi:K\longmapsto J$ takie, że

$w_{{\nu}}=v_{{\varphi(\nu)}}.$

Rodzina $\left\{ v_{{\lambda}}\right\} _{{\lambda\in\left(\mathbb{R},0\right)}},$ z zadanym polem $v_{{0}}$ , jest wersalna, jeśli dowolna inna rodzina $\left\{ w_{{\nu}}\right\} _{{\nu\in\left(\mathbb{R},0\right)}}$ z $w_{{0}}=v_{{0}}$ jest orbitalnie równoważna rodzinie indukowanej z rodziny $\left\{ v_{{\lambda}}\right\}.$

Przykład 3.2. Rodzina $\dot{x}=\nu^{{2}}+x^{{3}}$ jest indukowana z rodziny $\dot{x}=\lambda+x^{{3}}$ przy pomocy zamiany zmiennych $\lambda=\varphi(\nu)=\nu^{{2}}.$

Przykład 3.3. Weźmy modelową rodzinę pól wektorowych

$\dot{x}=v_{{\lambda}}(x)=\lambda+x^{{2}}.$

(3.1)

Odpowiednie portrety fazowe są przedstawione na Rysunku 3.2.

Weźmy teraz dowolną rodzinę postaci

$\dot{x}=w_{{\mu}}(x)=x^{{2}}+\mu\tilde{w}(x,\mu)=:f(x,\mu),$

(3.2)

gdzie $\tilde{w}(x,\mu)$ jest gładką funkcją w otoczeniu $x=\mu=0$ . Twierdzę, że

Rys. 3.2. Portrety fazowe.

dla dażdego $\mu$ pole wektorowe $w_{{\mu}}$ posiada albo 1 albo 2 albo 0 punktów osobliwych w otoczeniu $x=0.$ Aby to zobaczyć rozważmy równanie

$g(x,\mu)=0,$

gdzie $g(x,\mu)=f_{{x}}^{{\prime}}(x,\mu).$ Ponieważ $f_{{xx}}^{{\prime\prime}}(0,0)\not=0,$ to $g_{{x}}^{{\prime}}(0,0)\not=0,$ i z Twierdzenia o Funkcji Uwikłanej wynika istnienie gładkiej funkcji $\psi(\mu)$ takiej, że jest spełnione równanie $g(\psi(\mu),\mu)\equiv 0.$ To oznacza, że punkt

$x_{{\mu}}=\psi(\mu)$

Rys. 3.3. Wykresy prawej strony.

jest punktem lokalnego minimum funkcji $w_{{\mu}}=f(\cdot,\mu):$ $\frac{dw_{{\mu}}}{dx}(x_{{\mu}})=0.$ Mamy trzy możliwości na wartość pola $w_{{\mu}}$ w punkcie $x_{{\mu}}:$ (i) $w_{{\mu}}(x_{{\mu}})=0,$ (ii) $w_{{\mu}}(x_{{\mu}})<0,$ (iii) $w_{{\mu}}(x_{{\mu}})>0.$ W przypadku (i) pole $w_{{\mu}}$ ma dokłanie jeden punkt równowagi (typu siodło–węzeł), w przypadku (ii) pole $w_{{\mu}}$ ma dwa hiperboliczne punkty równowagi a w przypadku (iii) nie ma żadnych punktów równowagi (patrz Rysunek 3.3).

Zatem dla każdego $\mu$ portret fazowy pola $w_{{\mu}}$ jest topologicznie równoważny z portretem fazowym pola $v_{{\lambda}}$ dla odpowiedniego $\lambda.$ Pojawia się naturalne pytanie, czy można tak dobrać $\lambda=\varphi(\mu)$ i homeomorfizmy $h_{{\mu}}$ realizujące orbitalne sprzężenie $w_{{\mu}}$ z $v_{{\varphi(\mu)}},$ aby zależność od $\mu$ była ciągła. Okazuje się, że tak; to oznacza, że rodzina (3.1) jest wersalna.

Rys. 3.4. Bifurkacja modelowej rodziny i bifurkacja typowej rodziny.

Aby się o tym przekonać, rozważmy najpierw przypadek, gdy

(a) $\frac{\partial f}{\partial\mu}(0,0)\not=0$ w (3.2). Wtedy krzywa punktów równowagi

$\Gamma:w_{{\mu}}(x)=f(x,\mu)=0$

pola $w_{{\mu}}$ na płaszczyżnie zmiennych $x,\mu$ jest `pionowa' i homeomorficzna z parabolą (patrz Rysunek 3.4). Również parabolą jest krzywa punktów równowagi $\Delta=\{\lambda=-x^{{2}}\}$ dla pola $v_{{\lambda}}.$

W zależności od znaku $f_{{\mu}}^{{\prime}}(0,0)$ kładziemy $\varphi\left(\mu\right)=\mu$ lub $\varphi(\mu)=-\mu;$ czyli dalej można zakładać, że obie `parabole' są zorientowane tak samo. W tym przypadku konstrukcję homeomorfizmów $h_{{\mu}},$ czyli homeomorfizmu płaszczyzny

$\left(\mu,x\right)\longmapsto\left(\mu,h_{{\mu}}(x)\right),$

rozpoczynamy od konstrukcji homeomorfizmu pomiędzy krzywymi punktów równowagi: $\Gamma\longmapsto\Delta$ . Następnie przedłużamy ten homeomorfizm do homeomorfizmu płaszczyzny, tak aby odcinki pionowe (w $\mu=\textrm{const})$ poza punktami równowagi przechodziły na odpowiednie odcinki pionowe. Jest raczej jasne, że tak da się zrobić.

(b) W zdegenerowanym przypadku, gdy $f_{{\mu}}^{{\prime}}(0,0)\not=0,$ krzywa punktów równowagi $\Gamma=\{ f=0\}$ może być bardzo skomplikowana (patrz Rysunek 3.5). Ale wiemy, że z każdą prostą pionową $\mu=\textrm{const}$ ta krzywa ma co najwyżej dwa punkty przecięcia. Oznaczmy $\Gamma _{{\mu}}$ przecięcie $\Gamma$ z taką prostą. Zatem konstrukcja przeparametryzowania $\mu\longmapsto\varphi(\mu)$ polega na tym aby parametry $\mu,$ dla których $\#\Gamma _{{\mu}}=2,$ przeszły na lewo od $\lambda=0$ a parametry $\mu,$ dla których $\#\Gamma _{{\mu}}=0$ przeszły na prawo od $\lambda=0$ (z zachowaniem ciągłości). Następnie, powtarzając argumenty z przypadku (a), konstrujemy najpierw ciągłe przekształcenie $\left(\mu,x\right)\longmapsto(\varphi(\mu),h_{{\mu}}(x))$ pomiędzy krzywymi $\Gamma$ i $\Delta$ a następnie przedłużamy je w sposób ciągły z zachowaniem pionowości.

Rys. 3.5. Bifurkacja nietypowej rodziny.

3.2. Transwersalność

Matematycznym aparatem do ścisłego sformułowania teorii bifurkacji i odpowiednich twierdzeń jest teoria transwersalności sformułowana przez francuskiego matematyka R. Thoma.

Niech $M$ będzie $n-$ wymiarową rozmaitością a $B\subset M$ będzie jej $k-$ wymiarową podrozmaitością. Ponadto niech $A$ będzie $m-$ wymarową rozmaitością a

$f:A\longmapsto M$

będzie odwzorowaniem różniczkowalnym (o wystarczającej klasie różniczkowalności). W przypadku zwartych rozmaitości $A$ i $M$ w przestrzeni $C^{{k}}(A,M)$ odwzorowań wprowadza się naturalną topologię (której nie będę uściślał).

Definicja 3.4. Mówimy, że odwzorowanie $f$ jest transwersalne do podrozmaitości $B,$ jeśli dla każdego punktu $x\in A$ takiego, że $y=f(x)\in B,$ ma miejsce następująca własność

$f_{{\ast}}T_{{x}}A+T_{{y}}B=T_{{y}}M.$

Gdy $A\subset M$ jest podrozmaitością i $f=id|_{{A}}$ jest włożeniem, to mówimy, że $A$ jest transwersalne do $B,$ gdy własność

$T_{{y}}A+T_{{y}}B=T_{{y}}M$

zachodzi dla każdego punktu $y\in A\cap B.$ Mamy standardowe oznaczenia

Rys. 3.6. Transwersalność krzywych na płaszczyźnie.

$f\pitchfork B\text{ \ \ i \ \ }A\pitchfork B$

dla własności transwersalności.

Przykład 3.5. (a) Niech $M=\mathbb{R}^{{2}}$ oraz $A\subset M$ i $B\subset M$ będą gładkimi krzywymi. Wtedy $A\pitchfork B$ gdy krzywa $A$ przecina krzywę $B$ pod niezerowym kątem (patrz Rysunek 3.6).

(b) Niech $M=\mathbb{R}^{{3}},$ $A\subset M$ to krzywa i $B\subset M$ to powierzchnia. Rysunek 3.7 pokazuje przypadki transwersalności i nietransweralsności.

(d) Gdy $M=\mathbb{R}^{{3}}$ i $A\subset M,$ $B\subset M$ są krzywymi, to $A\pitchfork B$ wtedy i tylko wtedy gdy krzywe są rozłączne.

(e) Niech $M=\mathbb{R}^{{2}}=\left\{\left(x,y\right)\right\},$ $A=\mathbb{R}^{{1}}$ i $B=\left\{ x=0\right\}$ oraz niech $f:A\longmapsto M$ będzie zadane wzorem $f(t)=(t^{{3}},0).$ Oczywiście $f(t)\in B$ tylko dla $t=0.$ Ale wtedy $f_{{\ast}}(0)=f^{{\prime}}(0)=0.$ Zatem $f_{{\ast}}T_{{0}}A+T_{{(00)}}B=T_{{(0,0)}}B\simeq B\not=T_{{(0,0)}}M.$ Ten przykład pokazuje zasadność własności transwersalności odwzorowania to podrozmaitości.

Zachodzi następujące fundamentalne twierdzenie pochodzące od Thoma¹²To Twierdzenie Thoma o Transwersalności, jak również jego uogólnienie podane poniżej, stanowiły istotny element stworzonej przez niego Teorii Katastrof . Ta teoria zawiera w sobie po części teorię osobliwości odwzorowań i funkcji jak również teorię bifurkacji układów dynamicznych. Warto jeszcze dodać, że w przypadku uogólnienia Twierdzenia Thoma na przypadek rozmaitości niezwartych wprowadza się specjalną topologię (tzw. topologię Whitney'a) w przestrzeni odwzorowań klasy $C^{{k}}.$ .

Twierdzenie 3.6 (Thom). Niech $M,$ $A$ i $B$ będą ustalonymi zwartymi rozmaitościami jak powyżej. Wtedy podzbiór przestrzeni odwzorowań $f:A\longmapsto M$ złożony z odwzorowań, które są transwersalne do $B,$ jest otwarty i gęsty.

To oznacza, że, z jednej strony, jeśli odwzorowanie $f_{{0}}$ jest transwersalne do $B,$ to dowolne bliskie niemu odwzorowanie $f_{{\varepsilon}}$ też jest transwersalne do $B,$ a, z drugiej strony, jeśli $f_{{0}}$ nie jest transwersalne, to dowolnie blisko niego istnieje odwzorowanie $f_{{\varepsilon}},$ które już jest transwersalne.

Rys. 3.7. Transwersalność krzywej i powierzchni w przestrzeni.

Dowód. Nietrudno zauważyć, że można ograniczyć się do sytuacji lokalnej, gdy $A\subset\mathbb{R}^{{m}}$ i $M\subset\mathbb{R}^{{n}}$ są podzbiorami otwartymi a

$B=\left\{ y_{{1}}=\ldots=y_{{n-k}}=0\right\}\cap M$

jest (lokalnie) podprzestrzenią kowymiaru $n-k$ (Zadanie 3.16).

Wtedy $f(x)=\left(f_{{1}}(x),\ldots f_{{n}}(x)\right)$ i

$T_{{y}}B=\left\{ q\in\mathbb{R}^{{n}}:q_{{1}}=\ldots=q_{{n-k}}=0\right\}\subset T_{{y}}M=\mathbb{R}^{{n}}.$

Jeśli $f(x_{{0}})\in B$ , tzn. $f_{{1}}(x_{{0}})=\ldots f_{{n-k}}(x_{{0}})=0,$ to $f$ jest transwersalne w $x_{{0}}$ do $B$ wtedy i tylko wtedy gdy wektory $f_{{\ast}}\partial _{{x_{{1}}}},\ldots,f_{{\ast}}\partial _{{x_{{m}}}}$ razem z wektorami $\partial _{{yn-k+1}},\ldots\partial _{{y_{{n}}}}$ rozpinają $\mathbb{R}^{{n}}.$ (Tutaj $\partial _{{x_{{j}}}}$ i $\partial _{{y_{{k}}}}$ są bazowymi wektorami w $\mathbb{R}^{{m}}$ i $\mathbb{R}^{{n}}$ odpowiednio.) Do tego wystarczy, aby rzuty wektorów $f_{{\ast}}\partial _{{x_{{j}}}}$ na przestrzeń ilorazową $T_{{y}}M/T_{{y}}B\simeq\mathbb{R}^{{n-k}}$ rozpinały tę przestrzeń. To oznacza, że macierz

$C=\left[\begin{array}[]{ccc}\partial f_{{1}}/\partial x_{{1}}&\ldots&\partial f_{{1}}/\partial x_{{m}}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\ \partial f_{{n-k}}/\partial x_{{1}}&\ldots&\partial f_{{n-k}}/\partial x_{{m}}\end{array}\right]$

ma rząd $\textrm{rk}C\geq n-k.$

Mamy dwie możliwości:

(i) $m<n-k$ i wtedy rząd jest mniejszy od $n-k,$

(ii) $m\geq n-k$ (wtedy własność rk $C\geq n-k$ jest warunkiem otwartym w przestrzeni macierzy). W przypadku (i) transwersalność oznacza brak przecięcia $f(A)$ z $B$ i jest to warunek otwarty w przestrzeni odwzorowań. Również w przypadku (ii) nietrudno pokazać, że warunek transwersalności też jest otwarty (Zadanie 3.13).

Aby udowodnić gęstość własności transwersalności musimy wprowadzić dodatkowe pojęcia (Zadanie 3.14).

W przypadku (ii) weźmy lokalne odwzorowanie $g:A\longmapsto R^{{n-k}},$

$g(x)=(f_{{1}}(x),\ldots,f_{{n-k}}(x)).$

Przypomnijmy (patrz Definicja 3.7 poniżej), że $x_{{0}}$ jest punktem krytycznym dla $g,$ jeśli rk $\frac{\partial g}{\partial x}(x_{{0}})$ $=$ rk $C<n-k,$ a wartość $g(x_{{0}})$ nazywa się wartością krytyczną dla $g$ . Skorzystamy z klasycznego Twierdzenia Sarda (Twierdzenie 3.7 poniżej), które zapewnia, że zbiór wartości krytycznych dla $g$ jest `rzadki'. Zgodnie z Zadaniem 3.15 $f\pitchfork B,$ gdy $0$ nie jest wartością krytyczną dla $g.$ Niech $z$ będzie wartością niekrytyczną dla $g$ i bliską zeru. Zaburzymy odwzorowanie $f=(g,h)$ w następujący sposób

$f_{{\varepsilon}}(x)=(g(x)-z,h(x)).$

Latwo sprawdzić, że $f_{{\varepsilon}}$ jest transwersalne do $B$ (Zadanie 3.16). ∎

Rys. 3.8. Transwersalność powierzchnii w przestrzeni.

Definicja 3.7. Niech $h:\mathbb{R}^{{m}}\longmapsto\mathbb{R}^{{l}}$ będzie odwzorowaniem różniczkowalnym. Mówimy, że że $x_{{0}}$ jest punktem krytycznym dla $h$ jeśli rk $\frac{\partial h}{\partial x}(x_{{0}})$ nie jest maksymalny. Wartość $h(x_{{0}})$ w punkcie krytycznym nazywa się wartością krytyczną dla $h.$

Twierdzenie 3.8 (Sard). Zbiór wartości krytycznych dla odwzorowania różniczkowalnego $h:\mathbb{R}^{{m}}\longmapsto\mathbb{R}^{{l}}$ dostatecznie wysokiej klasy gładkości ma zerową miarę Lebesque'a.

Uzasadnienie. Rozważmy przypadek $m=l=1$ . Nie jest wykluczone, że wartości krytyczne dla $g$ mogą tworzyć zbiór gęsty w $\mathbb{R}$ .

Możemy jednak pokryć każdy punkt krytyczny $x_{{j}}$ odcinkiem $I_{{j}}$ o szerokości $\left|I_{{j}}\right|\leq\varepsilon$ dla dowolnie małego $\varepsilon.$ Ponieważ $g^{{\prime}}(x_{{j}})=0,$ to długość obrazu $g(I_{{j}})$ takiego odcinka będzie szerokości rzędu $O(\varepsilon^{{2}})=O(\varepsilon)\left|I_{{j}}\right|$ (patrz Rysunek 3.9). Zatem

$\left|g\left(\bigcup I_{{j}}\right)\right|\leq O(\varepsilon)\cdot\left|\bigcup I_{{j}}\right|\leq O(\varepsilon),$

co dąży do zera przy $\varepsilon\rightarrow 0.$

W istocie ten sam argument pracuje przy dowolnych $m\leq l$ (Zadanie 3.17). Gdy $m>l$ dowód jest bardziej skomplikowany (z rozbiciem $\mathbb{R}^{{m}}$ na podzbiory stałego rzędu macierzy $\partial h/\partial x).$ ∎

Rys. 3.9. Twierdzenie Sarda.

Następująca definicja jest potrzebna do uogólnienia Twierdzenia Thoma. Niech

$f:\mathbb{R}^{{m}}\longmapsto\mathbb{R}^{{n}}$

(3.3)

będzie odwzorowaniem dostatecznie wiele razy różniczkowalnym. Z takim odwzorowaniem można związać serię geometrycznych obiektów. Pierwszym z nich jest wykres

$\left\{(x,f(x))\right\}\subset\mathbb{R}^{{m}}\times\mathbb{R}^{{n}}=:J^{{0}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{m}}).$

Innym jest wykres pochodnej, czyli wykres odwzorowania $Df:x\longmapsto(y,p)=(f(x),\frac{\partial f}{\partial x}(x)),$

$\left\{\left(x,f(x),\frac{\partial f}{\partial x}(x)\right)\right\}\subset\mathbb{R}^{{m}}\times\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R}^{{m\cdot n}}=:J^{{1}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{n}}).$

Ogólnie, wykres odwzorowania $r-$ tej pochodnej odwzorowania $x\longmapsto(f(x),Df(x),\ldots,D^{{r}}f(x))$ jest podzbiorem (dosyć dużej) przestrzeni oznaczanej przez $J^{{r}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{n}}).$

Definicja 3.9. Przestrzenie $J^{{r}}(\mathbb{R}^{{m,}}\mathbb{R}^{{n}})$ nazywają się przestrzeniami dżetów rzędu $r$ odzworowań z $\mathbb{R}^{{m}}$ do $\mathbb{R}^{{n}}.$ Z każdym odzworowaniem postaci (3.3) wiąże się jego $r-$ ty dżet

$x\longmapsto j^{{r}}f(x)=(x,f(x),Df(x),\ldots,D^{{r}}f(x))\in J^{{r}}(\mathbb{R}^{{m}},\mathbb{R}^{{n}}).$

Analogicznie, jeśli $A$ i $M$ są rozmaitościami wymiarów $m$ i $n$ odpowiednio, to definiuje się przestrzenie $J^{{r}}(A,M)$ dżetów odwzorowań z $A$ do $M$ i z każdym różniczkowalnym odwzorowaniem $f:A\longmapsto M$ wiąże się jego $r$ ty dżet $j^{{r}}f:A\longmapsto J^{{r}}(A,M).$

Definicja 3.10. Jeśli $C\subset J^{{r}}(A,M)$ jest podrozmaitością, to mówimy, że odwzorowanie $f:A\longmapsto M$ jest transwersalne do $C$ (oznaczenie $f\pitchfork C)$ gdy $j^{{r}}f\pitchfork C.$

Twierdzenie 3.11 (Thom). Niech $A,$ $M$ i $C\subset J^{{r}}(A,M)$ będą ustalone. Wtedy zbiór odwzorowań $f:A\longmapsto M,$ które są transwersalne do $C,$ jest otwarty i gęsty w zbiorze wszystkich takich odwzorowań.

Dowód. Ten dowód w znacznej części powtarza dowód Twierdzenia 3.6. Podstawowa różnica leży w dowodzie gęstości, a dokładniej, w wyborze zaburzenia. Otóż, zamiast zamiany $g(x)\rightarrow g(x)-z$ (gdzie $z$ jest `małą' wartością niekrytyczną dla $g),$ bierze się zamianę $g(x)\rightarrow g(x)-z-\tilde{p}(x)-\tilde{q}(x,x)-\ldots-\tilde{s}(x,\ldots x),$ gdzie $\tilde{p},$ $\tilde{q},$ $\ldots,\tilde{s}$ są odpowiednio `małymi' przekształeceniami liniowymi, jednorodnymi kwadratowymi, czy jednorodnymi stopnia $r.$ ∎

Przykład 3.12. Pewne naturalne warunki na odwzorowanie są interpretowane jako warunki na jego transwersalność w dżetach. Na przykład, warunek

$\frac{\partial f}{\partial\lambda}(x,\lambda)\cdot\frac{\partial^{{2}}}{\partial x^{{2}}}f(x,\lambda)\not=0\text{ \ gdy \ }f(x,\lambda)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,\lambda)=0$

wynika z jednoczesnej transwersalności odwzorowania

$j^{{1}}f:\mathbb{R}^{{2}}=\left\{\left(x,\lambda\right)\right\}\longmapsto J^{{1}}(\mathbb{R}^{{2}},\mathbb{R})=\left\{\left(x,\lambda,y,p_{{x}},p_{{\lambda}}\right)\right\}$

do dwóch podrozmaitości

$C_{{1}}=\left\{ y=0\right\}\text{ \ i \ }C_{{2}}=\left\{ y=p_{{x}}=0\right\}.$

Istotnie, transwersalność do $C_{{1}}$ oznacza, że $\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\not=0$ lub $\frac{\partial y}{\partial\lambda}=\frac{\partial f}{\partial\lambda}\not=0$ gdy $y=f(x,\lambda)=0.$ Tymczasem transweralność do $C_{{2}}$ oznacza, że $\left|\begin{array}[]{ll}f_{{x}}^{{\prime}}&f_{{\lambda}}^{{\prime}}\\ f_{{xx}}^{{\prime\prime}}&f_{{x\lambda}}^{{\prime\prime}}\end{array}\right|\not=0$ gdy $y=f=0$ i $p_{{x}}=f_{{x}}^{{\prime}}=0.$

W zagadnieniach teorii bifurkacji zawsze, gdy pojawiają się warunki podobnego charakteru jak w Przykładzie 3.12, możemy założyć, że albo są spełnione z prawdopodobieństwem 1 albo z takim samym przwdopodobieństwem nie mogą być spełnione. Ten drugi przypadek zachodzi gdy $\dim A+\dim C<\dim J^{{r}}(A,M).$ Taki jest praktyczny wniosek z twierdzeń Thoma.

ZADANIA

Zadanie 3.13. W przypadku $m\geq n-k$ zauważyć, że (w dowodzie Twierdzenia 3.6) rk $C\geq n-k$ oznacza rk $C=n-k.$ Skorzystać z Twierdzenia o Funkcji Uwikłanej aby pokazać, że $f^{{-1}}(B)\subset A$ w otoczeniu $x_{{0}}$ jest podrozmaitością w $A$ kowymiaru $n-k.$ Pokazać następnie, że dla dowolnego $f_{{\varepsilon}}$ bliskiego $f$ również $f_{{\varepsilon}}^{{-1}}(B)$ jest lokalnie podrozmaitością kowymiaru $n-k$ bliską $f^{{-1}}(B).$ Wywnioskować stąd i z otwartości podzbioru macierzy rzędu $n-k$ w przestrzeni macierzy wymiaru $(n-k)\times n,$ że $f_{{\varepsilon}}$ jest transwersalne do $B$ w otoczeniu $x_{{0}}.$

Zadanie 3.14. Pokazać lokalną gęstość własności transwersalności w przypadku $m<n-k.$

Wskazówka: Wybrać odpowiednie zaburzenie $f_{{\varepsilon}}$ dla $f,$ które nie jest transwersalne do $B.$

Zadanie 3.15. Pokazać, że $f\pitchfork B$ wtedy i tylko wtedy gdy $0$ nie jest wartością krytyczną dla odwzorowania $g.$

Zadanie 3.16. Uzupełnić dowód Twierdzenia 3.6.

Wskazówka: Użyć odpowiedniego rozkładu jedności $1=\sum\varphi _{{j}}(x)$ w $A$ związanego z lokalnymi afinicznymi mapami w $A,$ $M$ i $B$ . Lokalne zaburzenia wybierać w postaci $f_{{\varepsilon}}=\left(g-\psi _{{k}}(x)z_{{k}},h(x)\right),$ z odpowiednimi funkcjami $\psi _{{k}}(x)$ o zwartym nośniku i `małymi' wektorami $z_{{k}}.$ Na koniec skorzystać ze zwartości $A.$

Zadanie 3.17. Udowodnić Twierdzenie Sarda w przypadkach $m<l$ i $m=l>1.$

3.3. Bifurkacje kowymiaru 1

Bifurkacje autonomicznych pól wektorowych będziemy dzielić na lokalne i nielokalne.

Lokalne bifurkacje zachodzą w otoczeniu punktu osobliwego $x=0$ dla wartości bifurkacyjnej parametru. Dokładniej, mamy rodzinę

$\dot{x}=v(x;\mu)$

taką, że

$v(x,0)=Ax+\ldots.$

W przypadku typowych $1-$ parametrowych rodzin naruszenie warunku hi- perboliczności (tzn. $\textrm{Re}\lambda _{{j}}(A)\not=0$ dla wszystkich wartości własnych) zachodzi w dwu przypadkach:

1. $\lambda _{{1}}(A)=0$ i $\textrm{Re}\lambda _{{j}}(A)\not=0$ dla $j>1;$ jest to bifurkacja siodło–węzeł.

2. $\lambda _{{1}}=\bar{\lambda}_{{2}}=i\omega\in i\mathbb{R}\setminus 0$ i $\textrm{Re}\lambda _{{j}}\not=0$ dla $j>2;$ jest to bifurkacja narodzin cyklu granicznego albo bifurkacja Andronowa–Hopfa.

Mamy trzy nielokalne bifurkacje związane z orbitą okresową $\gamma$ dla pola $v(x,0).$ Niech $\lambda _{{j}}$ będą wartościami własnymi części liniowej przekształcenia powrotu Poincarégo. Przypomnijmy, że warunek hiperboliczności dla $\gamma$ oznacza, że $\left|\lambda _{{j}}\right|\not=1$ dla wszystkich $j.$ Zatem typowe bifurkacje kowymiaru 1 mają miejsce w następujących przypadkach:

3. $\lambda _{{1}}=1$ i $\left|\lambda _{{j}}\right|\not=1$ dla $j>1;$ jest to bifurkacja siodło–węzeł dla orbity okresowej.

4. $\lambda _{{1}}=-1$ i $\left|\lambda _{{j}}\right|\not=1$ dla $j>1;$ jest to bifurkacja podwojenia okresu.

5. $\lambda _{{1}}=\bar{\lambda}_{{2}}\in\mathbb{S}^{{1}}\setminus\{ 1,-1\}.$ Tutaj przypadki, gdy $\lambda _{{1}}=e^{{2\pi ik/m}}$ jest pierwiastkiem z 1 stopnia $m,$ nazywają się rezonansowymi; dodatkowo, gdy $m=3,4$ to mówimy o silnym rezonansie.

Rys. 3.10. Połączenie separatrys i pętla separatrys.

Na koniec mamy dwie nielokalne bifurkacje związane z połaczeniem separatrys (patrz Rysunek 3.10):

6. Połączenie separatrys różnych siodeł.

7. Pętla separatrys jednego siodła.

3.3.1. Redukcja do rozmaitości centralnej i forma normalna Poincarégo–Dulaca

Załóżmy, że mamy pole wektorowe

$\dot{x}=v(x)=Ax+\ldots$

z punktem osobliwym $x=0.$ Możemy założyć, że macierz $A$ ma postać blokowo diagonalną

$A=A^{{s}}\oplus A^{{u}}\oplus A^{{c}},$

(3.4)

gdzie $A^{{s}}$ (odpowiednio $A^{{u}}$ i $A^{{c}})$ ma wartości własne z $\textrm{Re}\lambda _{{j}}<0$ (odpowiednio z $\textrm{Re}\lambda _{{j}}>0$ i z $\textrm{Re}\lambda _{{j}}=0).$

Twierdzenie 3.18 (Szoszitaiszwili). W sytuacji jak powyżej istnieje lokalny homeomorfizm $h:\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n}},0\right)$ przeprowadzający portret fazowy pola $v(x)$ na portret fazowy następującego pola

$\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}},\text{ \ }\dot{y}_{{3}}=w(y_{{3}}),$

(3.5)

gdzie

$w(y_{{3}})=A^{{c}}y_{{3}}+\ldots$

Dowód tego twierdzenia jest techniczny i skomplikowany (patrz [5]). Dlatego nie będziemy go tutaj przytaczać. Za to wyciągniemy z niego bardzo praktyczne zastosowania. Zauważmy też, że to twierdzenie jest uogólnieniem Twierdzenia Grobmana–Hartmana.

Definicja 3.19. Podrozmaitość zadaną równaniem

$W^{{c}}=\left\{ y_{{1}}=0,\text{ }y_{{2}}=0\right\}$

(w terminach (3.5)) nazywamy rozmaitością centralną.

Twierszenie Szoszitaiszwiliego mówi, że w przypadku niehiperbolicznego puktu osobliwego `ciekawa część' dynamiki odbywa się na rozmaitości centralnej.

Dla rodziny pól wektorowych $v(x,\mu)$ możemy potraktować $\mu$ jako dodatkową zmienną, tzn. mamy układ

$\dot{x}=v(x,\mu),\text{ \ }\dot{\mu}=0,$

do którego stosujemy Twierdzenie 3.18 (z $h(x,\mu)=(h_{{0}}(x,\mu),\mu)).$ Mamy następującą redukcję do rozmaitości centralnej.

Stwierdzenie 3.20. Dla rodziny $\dot{x}=v(x,\mu)$ z $v(x,0)=Ax+\ldots$ $A=A^{{s}}\oplus A^{{u}}\oplus A^{{c}}$ , istnieje lokalny homeomeorfizm $(h_{{0}}(x,\mu),\mu)$ zadajający topologiczną równoważność tej rodziny z następującą rodziną

$\dot{z}=w(z,\mu),\text{ \ }\dot{z}_{{1}}=-z_{{1}},\text{ \ }\dot{z}_{{2}}=z_{{2}}.$

Samo istnienie rozmaitości centralnej $W^{{c}}$ jest uogólnieniem Twierdzenia Hadamarda–Perrona. Można jej poszukiwać jak w dwodzie Twierdzenia 1.19. Przy tym okaże się, że rozmaitość centralna nie jest wyznaczona jednoznacznie; zależy ona od wyboru przedłużenia pola (lub dyfeomorfizmu) na całe $\mathbb{R}^{{n}}.$

Ale istnieje sposób wyznaczenia $W^{{c}}$ w sposób formalny. Poszukujemy jej jako wykresu

$W^{{c}}=\left\{ x_{{1}}=f(x_{{3}}),\text{ \ }x_{{2}}=g(x_{{3}}):x_{{3}}\in E^{{c}}\right\}$

(gdzie współrzędne $\left(x_{{1}},x_{{2}},x_{{3}}\right)$ są związane z rozkładem (3.4)), który jest niezmienniczy względem pola $v(x)$ . Okazuje się, że odwzorowania $f:E^{{c}}\longmapsto E^{{s}}$ i $g:E^{{c}}\longmapsto E^{{u}}$ mają jednoznacznie wyznaczone szeregi Taylora, $f(x_{{3}}),g(x_{{3}})=O(\left|x_{{3}}\right|^{{2}}).$ Na $W^{{c}},$ które jest parametryozwane przez $x_{{3}}\in E^{{c}},$ otrzymujemy pole wektorowe

$\dot{x}_{{3}}=w(x_{{3}}).$

Ta redukcja do $W^{{c}}$ nazywa się redukcją Lapunowa–Schmidta.

Niestety, na ogół okazuje się, że szeregi zadające $f$ i $g$ są rozbieżne (nawet gdy $v(x)$ było analityczne). Tym też tłumaczy się niejednoznaczność $W^{{c}}$ w sensie topologicznym.

Przykład 3.21. Rozważmy układ

$\dot{x}=x^{{2}},\text{ \ }\dot{y}=y-x^{{2}}.$

Tutaj $W^{{u}}=\left\{ x=0\right\}$ jest rozmaitością niestabilną. Rozmaitość centralną poszukujemy w postaci $W^{{c}}=\left\{ y=a_{{2}}x^{{2}}+a_{{3}}x^{{3}}+\ldots\right\}.$ Podstawiając takie $y$ do układu, dostajemy

$\left(a_{{2}}x^{{2}}+a_{{3}}x^{{3}}+\ldots\right)-x^{{2}}=\left(2a_{{2}}x+3a_{{3}}x^{{2}}+\ldots\right)\cdot x^{{2}}.$

To prowadzi do następującej rekurencji: $a_{{2}}=1,$ $a_{{n+1}}=na_{{n}},$ z rozwiązaniem $a_{{n}}=(n-1)!.$ Zatem rozmaitość centralna zadaje się jednoznacznym, ale rozbieżnym, szeregiem

$y=\sum _{{n\geq 2}}(n-1)!x^{{n}}$

(Zadania 3.27 i 3.28).

Innym narzędziem użytecznym w teorii bifurkacji, które również opiera się na (często rozbieżnych) szeregach formalnych, jest następne twierdzenie. Rozważamy kiełki analitycznych pól wektorowych

$\dot{x}=Ax+O(\left|x\right|^{{2}}),\text{ \ \ }x\in\left(\mathbb{C}^{{n}},0\right),$

(3.6)

takich, że macierz $A$ jest diagonalna, $A=$ diag $\left(\lambda _{{1}},\ldots,\lambda _{{n}}\right).$ Przypomnijmy jeszcze standardowe oznaczenia $\left(e_{{1}},\ldots,e_{{n}}\right)$ dla standardowej basy w $\mathbb{C}^{{n}}$ (zatem $x=\sum x_{{j}}e_{{j}}$ ), $x^{{k}}=x_{{1}}^{{k_{{1}}}}\ldots x_{{n}}^{{k_{{n}}}}$ i $\left|k\right|=k_{{1}}+\ldots k_{{n}}.$

Definicja 3.22. Mówimy, że wartości własne spełniają relację rezonansową typu $\left(j,k\right),$ $j\in\{ 1,\ldots,n\},$ $k=\left(k_{{1}},\ldots,k_{{n}}\right)\in\mathbb{N}^{{n}},$ jeśli

$\lambda _{{j}}=k_{{1}}\lambda _{{1}}+\ldots k_{{n}}\lambda _{{n}}=(k,\lambda).$

Twierdzenie 3.23 (Poincaré–Dulac). Załóżmy że mamy kiełek zespolonego analitycznego pola wektorowego (3.6). Wtedy istnieje zamiana

$x=y+O(\left|y\right|^{{2}})$

taka, że każda składowa po prawej stronie jest formalnym szeregiem potęgowym od $y,$ która prowadzi do układu

$\dot{y}_{{j}}=\lambda _{{j}}y_{{j}}+\sum c_{{j;k}}y^{{k}},\text{ \ \ \ }j=1,\ldots,n,$

(3.7)

przy czym sumy po prawych stronach równań (3.7) biegną po takich wielowskaźnikach $k=(k_{{1}},\ldots,k_{{n}}),$ że jest spełniona relacja rezonansowa typu $\left(j,k\right).$

Dowód. Sprowadzanie do postaci normalnej Poincarégo–Dulaca (3.7) odbywa się przy pomocy serii zamian postaci

$x=y-\sum _{{j,k:\left|k\right|=m}}b_{{j,k}}y^{{k}}e_{{j}},$

(3.8)

czyli dodajemy wyrazy jednorodne stopnia $m.$ (Zaczynamy od $m=2,$ potem bierzemy $m=3,$ itd.) Łatwo sprawdzić, że przekształcenie odwrotne do (3.8) ma postać $y=x+\sum _{{j,k:\left|k\right|=m}}b_{{j,k}}y^{{k}}e_{{j}}+\ldots$ (Zadanie 3.29).

Załóżmy, że w polu (3.6) do stopnia $m-1$ występują tylko wyrazy rezonansowe (założenie indukcyjne). Chcemy przy pomocy podstawienia (3.8) zlikwidować wyrazy nierezonansowe stopnia dokładnie $m.$ Mamy

$\dot{x}_{{i}}=\dot{y}_{{i}}-\sum _{{k:\left|k\right|=m}}b_{{i,k}}\left(y^{{k}}\right)^{{\cdot}},$

(3.9)

gdzie

$\dot{y}_{{i}}=\lambda _{{i}}y_{{i}}+\left(\text{wyrazy rezon. st. }\leq m\right)+h.o.t.$

$\sum _{{k:\left|k\right|=m}}b_{{i,k}}\left(y^{{k}}\right)^{{\cdot}}=\sum b_{{i,k}}\cdot\left(\lambda,k\right)y^{{k}}+h.o.t.$

Z lewej strony wzoru (3.9), po podstawieniu (3.8), mamy

	$\displaystyle\dot{x}_{{i}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\lambda _{{i}}\left(y_{{i}}-\sum _{{k:\left\|k\right\|=m}}b_{{i,k}}y^{{k}}\right)+\left(\text{wyrazy rezon. st. }\leq m-1\right)$
			$\displaystyle+\sum _{{k:\left\|k\right\|=m}}a_{{i,k}}y^{{k}}+h.o.t.$

Teraz, porównując wyrazy jednorodne stopnia $m,$ dostajemy równania

$b_{{i,k}}\cdot\left\{(\lambda,k)-\lambda _{{i}}\right\}=a_{{i,k}}.$

Z nich jasno wynika, że jeśli $\left(\lambda,k\right)-\lambda _{{i}}\not=0$ , to można dobrać $b_{{i,k}}$ tak, aby zlikwidować odpowiedni nierezonansowy wyraz $x^{{k}}e_{{i}}$ . Pozostają tylko wyrazy rezonansowe. ∎

Przykład 3.24. Rozważmy przypadek rezonansowego węzła

$\dot{x}_{{1}}=x_{{1}}+\ldots,\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=nx_{{2}}+\ldots,$

czyli dla $\lambda _{{1}}=1$ i $\lambda _{{2}}=n\in\mathbb{N}\setminus 1$ Jak łatwo stwierdzić, jedyną relacją rezonansową jest $\lambda _{{2}}=n\lambda _{{1}}+0\cdot\lambda _{{2}}.$ Zatem normalna forma Poincarégo–Dulaca jest następująca

$\dot{y}_{{1}}=y_{{1}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=ny_{{2}}+cy_{{1}}^{{n}}$

(Zadanie 3.30). Okazuje się, że w tym przypadku zamiana prowadząca do postaci normalnej jest analityczna (o ile wyjściowy kiełek był analityczny). ¹³Do tego przypadku można też zaliczyć sytuację, gdy $n=1,$ czyli, gdy część liniowa nie jest diagonalna. Istnieje naturale rozszerzenie Twierdzenia 3.23 na przypadek, gdy część linowa pola posiada nietrywialne klatki Jordana.

Przykład 3.25. Dla siodło–węzła

$\dot{x}_{{1}}=\ldots,\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=x_{{2}}+\ldots,$

czyli z $\lambda _{{1}}=0$ i $\lambda _{{2}}=1$ , relacje rezonasowe są postaci $\lambda _{{1}}=k\lambda _{{1}}+0\cdot\lambda _{{2}}$ i $\lambda _{{2}}=k\lambda _{{1}}+1\cdot\lambda _{{2}}.$ Stąd wynika następująca forma Poincarégo–Dulaca

$\dot{y}_{{1}}=\sum _{{k\geq 2}}a_{{k}}y_{{1}}^{{k}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}}\left(1+\sum _{{k\geq 1}}b_{{k}}y_{{1}}^{{k}}\right).$

Okazuje się, że na ogół ta forma normalna nie jest analityczna.

Przykład 3.26.Dla $\mathit{(1:-1)}$ rezonansowego siodła

$\dot{x}_{{1}}=x_{{1}}+\ldots,\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=-x_{{2}}+\ldots,$

czyli z $\lambda _{{1}}=1$ i $\lambda _{{2}}=-1$ relacje rezonansowe są postaci $\lambda _{{1}}=(k+1)\lambda _{{1}}+k\lambda _{{2}}$ i $\lambda _{{2}}=k\lambda _{{1}}+(k+1)\lambda _{{2}}.$ Stąd wynika następująca postać normalna Poincarégo–Dulaca

$\dot{y}_{{1}}=y_{{1}}\left(1+\sum a_{{k}}\left(y_{{1}}y_{{2}}\right)^{{k}}\right),\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=-y_{{2}}\left(1+\sum b_{{k}}\left(y_{{1}}y_{{2}}\right)^{{k}}\right).$

Również i ta forma nie jest na ogól analityczna (Zadanie 3.31).

ZADANIA

Zadanie 3.27. Znaleźć rozmaitość centralną punktu $\left(0,0\right)$ dla układu z Zadania 1.33 przy $a=-1,$ tzn. dla $\dot{x}=-x+y+x^{{2}},$ $\dot{y}=x-y+y^{{2}}.$

Zadanie 3.28. Znaleźć przybliżenie rozmaitości centralnej z dokładnością do wyrazów sześciennych dla punktu $\left(0,0,0\right)$ układu $\dot{x}=-y+x^{{2}}+zy,$ $\dot{y}=x+xy+z^{{2}},$ $\dot{z}=z+xy.$

Zadanie 3.29. Pokazać, że przekształcenie odwrotne do przekształcenia (3.8) ma postać jak w dowodzie Twierdzenia 3.23.

Zadanie 3.30. Pokazać, że w każdym innym przypadku węzła, tzn. gdy $1<\lambda _{{2}}/\lambda _{{1}}\not\in\mathbb{N},$ normalna forma Poincarégo–Dulaca jest liniowa (brak nieliniowych wyrazów rezonansowych).

Zadanie 3.31. Uogólnić Przykład 3.26 na przypadek $\left(p:-q\right)-$ rezonansowego siodła, tzn. gdy $0<\lambda _{{1}}/\lambda _{{2}}=-p/q\in\mathbb{Q}$ (ułamek zredukowany).

3.3.2. Bifurkacja siodło–węzeł

Mamy $1-$ parametrową rodzinę pól wektorowych

$\dot{x}=v(x;\mu)=v_{{\mu}}(x),\text{ \ \ }\left(x,\mu\right)\in\left(\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R},0\times 0\right).$

Na nią nakładamy następujące warunki:

1. $v(0;0)=0$ i $v(x;0)=Ax+\ldots$

2. Macierz $A$ ma jedną zerową wartość własną, $\lambda _{{1}}=0,$ (w szczególności $\det A=0)$ i $\textrm{Re}\lambda _{{j}}\not=0$ dla $j>1.$ Zatem można założyć, że $A$ ma postać blokową

$A=\left[\begin{array}[]{ll}0&0\\ 0&B\end{array}\right].$

3. Niech $\left(x,y\right)$ będzie liniowym układem współrzędnych związanym z powyższą postacią $A.$ Możemy przepisać układ w postaci

$\dot{x}=f(x,y;\mu),\text{ \ \ }\dot{y}=By+\ldots,$

gdzie $f(0,0;0)=0$ i $f_{{x}}^{{\prime}}(0,0;0)=0,$ $f_{{y}}^{{\prime}}(0,0;0)=0.$ Następne założenie mówi, że

$\frac{\partial^{{2}}f}{\partial x^{{2}}}(0,0;0)\not=0.$

4. Ostatnie założenie mówi, że

$\frac{\partial f}{\partial\mu}(0,0;0)\not=0$

(Zadanie 3.34).

Uwaga 3.32. Powyższe warunki są warunkami w przestrzeni $J^{{2}}=J^{{2}}(\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R},\mathbb{R}^{{n}})$ dżetów rzędu 2. Są to warunki na transwersalność względem pewnych podrozmaitości w $J^{{2}}.$ Dzięki Twierdzeniu 3.11 typowe $v(x;\mu)$ spełnia te warunki (porównaj też Przykład 3.12).

Rys. 3.11. Bifurkacja siodło–węzeł.

Twierdzenie 3.33.Jeśli są spełnione powyższe warunki, to rodzina $\left\{ v_{{\mu}}\right\}$ jest wersalna. W szczególności, jest ona równoważna jednej z rodzin postaci

$\dot{x}=\lambda\pm x^{{2}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}}.$

Dowód. Z twierdzenia o redukcji do rozmaitości centralnej możemy założyć, że mamy układ postaci

$\dot{x}=f(x,\mu),\text{ \ \ }\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{ \ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}}.$

Mamy następujące własności wynikające bezpośrednio z Warunków 1, 2, 3 i 4:

(i) $f(0,0)=0,$

(ii) $f_{{x}}^{{\prime}}(0,0)=0,$

(iii) $f_{{xx}}^{{\prime\prime}}(0,0)\not=0,$

(iv) $f_{{\mu}}^{{\prime}}(0,0)\not=0.$

Dalszy dowód przebiega dokładnie jak w Przykładzie 3.3.

Na Rysunku 3.11 jest przedstawiona bifurkacja siodło–węzeł dla rodziny dwuwymiarowych pól wektorowych. ∎

ZADANIA

Zadanie 3.34. Pokazać, że Warunek 4 posiada następującą interpretację. Z Warunku 3 wynika, że równanie $f_{{x}}^{{\prime}}=0$ posiada jednoznaczne rozwiązanie $x=x_{{0}}(y,\mu)$ (punkt lokalnego extremum). Niech $g(y,\mu)=f(x_{{0}}(y,\mu),y;\mu)$ (wartość w tego ekstremum). Wtedy $\frac{\partial f}{\partial\mu}(0,0;0)\not=0$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{\partial g}{\partial\mu}(0,0)\not=0.$

Zadanie 3.35. Dla $2-$ parametrowej rodziny $1-$ wymiarowych pól wektorowych $\dot{x}=\lambda _{{1}}+\lambda _{{2}}x+x^{{3}}$ (deformacja osobliwości typu siodło–węzeł kowymiaru 2) zbadać bifurkacje punktów równowagi.

3.3.3. Bifurkacja Andronowa–Hopfa

Mamy $1-$ parametrową rodzinę pól wektorowych

$\dot{x}=v(x;\mu)=v_{{\mu}}(x),\text{ \ \ }\left(x,\mu\right)\in\left(\mathbb{R}^{{n}}\times\mathbb{R},0\times 0\right).$

Na nią nakładamy następujące warunki:

1. $v(0;0)=0,$ zatem $v(x;0)=Ax+\ldots$

2. $\lambda _{{1}}=\bar{\lambda}_{{2}}=i\omega\in i\mathbb{R}\setminus 0$ i $\textrm{Re}\lambda _{{j}}\not=0$ dla $j>2.$ To implikuje $\det A\not=0$ i z Twierdzenia o Funkcjach Uwikłanych równanie $v(x;\mu)=0$ ma rozwiązanie $x=x_{{0}}(\mu),$ które odpowiada punktowi równowagi. Następnie przesuwamy ten punkt równowagi do początku układu współrzędnych: $x\longmapsto x-x_{{0}}(\mu).$ Teraz mamy układ

$\dot{x}=A(\mu)x+\ldots.$

3. Następne założenie mówi, że

Rys. 3.12. Ostra utrata stabilności.

$\frac{\partial}{\partial\mu}\textrm{Re}\lambda _{{1,2}}(\mu)|_{{\mu=0}}\not=0.$

4. Ostatnie założenie wykorzystuje formę normalną Poincarégo–Dulaca dla $\mu=0.$ W dziedzinie zespolonej mamy $\lambda _{{1}}=-\lambda _{{2}}$ i zgodnie z Przykładem 3.26 forma normalna przyjmuje postać

$\dot{z}_{{1}}=i\omega z_{{1}}\left(1+\sum a_{{j}}\left(z_{{1}}z_{{2}}\right)^{{j}}\right),\text{ \ \ }\dot{z}_{{2}}=-i\omega z_{{2}}\left(1+\sum b_{{j}}\left(z_{{1}}z_{{2}}\right)^{{j}}\right),$

gdzie $z_{{1,2}}=x_{{1}}\pm\sqrt{-1}x_{{2}}+\ldots=y_{{1}}\pm iy_{{2}}$ są (formalnymi) zmiennymi zespolonymi po ograniczniu do rozmaitości centralnnej. Ponieważ wyjściowe pole było rzeczywiste, to $z_{{2}}=\bar{z}_{{1}}$ i powyższe równania są względem siebie sprzężone. W zmiennych rzeczywistych $y_{{1}}=x_{{1}}+\ldots$ i $y_{{2}}=x_{{2}}+\ldots$ dostajemy następującą postać normalną Poincarégo–Dulaca dla ogniska

	$\displaystyle\dot{y}_{{1}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle y_{{1}}\left(c_{{3}}r^{{2}}+c_{{5}}r^{{4}}+\ldots\right)-\omega y_{{2}}\left(1+d_{{3}}r^{{2}}+\ldots\right),$
	$\displaystyle\dot{y}_{{2}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\omega y_{{1}}\left(1+d_{{3}}r^{{2}}+\ldots\right)+y_{{2}}\left(c_{{3}}r^{{2}}+c_{{5}}r^{{4}}+\ldots\right),$

gdzie $r^{{2}}=y_{{1}}^{{2}}+y_{{2}}^{{2}}.$ Tutaj $c_{{3}},c_{{5}},\ldots$ są liczbami ogniskowymi Lapunowa–Poincarego z Definicji 2.13 (Zadanie 3.40).

Ostatni warunek niezdegenerowania mówi, że

$c_{{3}}\not=0.$

Następujące twierdzenie nosi też nazwę Twierdzenia o narodzinach cyklu granicznego i jest najbardziej chyba znanym twierdzeniem z teorii bifurkacji.

Twierdzenie 3.36 (Andronov–Hopf). Jeśli są spełnione powyższe warunki, to rodzina $\left\{ v_{{\mu}}\right\}$ jest wersalna. W szczególności jest ona równoważna rodzinie

$\dot{x}_{{1}}=x_{{1}}(\lambda\pm r^{{2}})-\omega x_{{2}},\text{ \ \ }\dot{x}_{{2}}=\omega x_{{1}}+x_{{2}}(\lambda\pm r^{{2}}),\text{ \ }\dot{y}_{{1}}=-y_{{1}},\text{\ \ }\dot{y}_{{2}}=y_{{2}},$

( $r^{{2}}=x_{{1}}^{{2}}+x_{{2}}^{{2}})$ lub (równoważnie i na rozmaitości centralnej) rodzinie

$\dot{z}=(\lambda+i\omega)z\pm z\left|z\right|^{{2}},\text{ \ \ \ }z=x_{{1}}+ix_{{2}}\in\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^{{2}}.$

(3.10)

Rys. 3.13. Łagodna utrata stabilności.

Uwaga 3.37. Z dokładnością do zmiany orientacji płaszczyzny (np. $(x,y)\longmapsto(x,-y))$ można przyjąć, że częstotliwość $\omega>0.$ Przy tym założeniu mamy dwie lokalne bifurkacje rodzin (3.10) odpowiadających dwu wartościom $c_{{3}}=1$ i $c_{{3}}=-1.$ Są one przedstawione na Rysunkach 3.12 i 3.13 odpowiednio. Różnica pomiędzy tymi rysunkami ma istotne znaczenie praktyczne.

Na Rysunku 3.12 obserwujemy tzw. ostrą utratę stabilności. Istotnie, dla $\lambda<0$ punkt równowagi jest stabilny (chociaż `basen' jego przyciągania kurczy się) a dla $\lambda\geq 0$ punkt równowagi staje się `globalnie' niestabilny (tutaj układ kompletnie się rozstraja).

Na Rysunku 3.13 mamy do czynienia z tzw. łagodną utratą stabilności. Dla $\mu\leq 0$ punkt równowagi jest `globalnie' stabilny i dla $\lambda>0$ traci on stabilność. Ale dla $\lambda>0$ pojawia się stabilny cykl graniczny, zlokalizowany blisko punktu równowagi. Zatem układ (np. mechaniczny) zaczyna lekko oscylować wokół położenia równowagi.

Dowód Twierdzenia 3.36. Podobnie jak w przypadku Twierdzenia o Bifurkacji Siodło–Węzeł sprowadzamy najpierw zagadnienie do sytuacji dwuwymiarowej (na rozmaitości centralnej).

Lekko uzupełniając dowód Twierdzenia Poincarégo–Dulaca sprowadzamy całą rodzinę do następującej postaci normalnej, modulo wyrazy rzędu $\geq 4:$

$\dot{z}=\left(c_{{1}}(\mu)+i\omega(\mu)\right)z+(c_{{3}}(\mu)+id_{{3}}(\mu))\left|z\right|^{{2}}z+O(\left|z\right|^{{4}}),$

(3.11)

$z=y_{{1}}+iy_{{2}},$ gdzie $c_{{1}}(0)=0,$ $c_{{1}}^{{\prime}}(0)\not=0$ i $c_{{3}}(0)\not=0$ (Zadanie 3.41). Możemy spokojnie przyjąć, że $c_{{1}}(\mu)=\mu,$ i, przechodząc do biegunowego układu współrzędnych, $z=re^{{i\varphi}},$ możemy napisać

$\dot{r}=r\left(\mu+c_{{3}}r^{{2}}+O(r^{{3}})\right),\text{ \ \ }\dot{\varphi}=\omega+O(r^{{2}})$

(3.12)

(Zadanie 3.42).

Rys. 3.14. Dowód Twierdzenia Andronowa–Hopfa.

Dla układu (3.12) definiujemy przekształcenie powrotu Poincarégo $P:\left\{\varphi=0\right\}$ $\longmapsto\left\{\varphi=2\pi\right\}$ jak na Rysunku 3.14. Dla ustalenia uwagi założymy, że $c_{{3}}=1.$ Dalszą analizę dzielimy na trzy kroki.

(a) Dla $\mu\geq 0$ mamy $\dot{r}>0$ (dla $r>0),$ czyli $P(r)>r$ i nie ma cykli granicznych.

(b) Niech $\mu<0$ . Rozważmy obszar $\left\{ 0\leq r\leq 2\sqrt{-\mu}\right\}.$ Dokonajmy następującej normalizacji

$r=\tau R,\text{ \ \ }\mu=-\tau^{{2}}.$

Wtedy w obszarze $\left\{ 0\leq R\leq 2\right\}$ dostajemy układ

$\dot{R}=\tau^{{2}}R\left(-1+R^{{2}}+O(\tau)\right),\text{ \ \ }\dot{\varphi}=\omega+O(\tau)$

(3.13)

dla małego parametru $\tau.$ Teraz już łatwo wyliczyć przekształcenie $P.$ Zauważmy, że rozwiązanie układu (3.13) z warunkiem początkowym $R(0)=R_{{0}},$ $\varphi(0)=0$ spełnia $R(t)=R_{{0}}+O(\tau).$ Zatem

	$\displaystyle P(R_{{0}})-R_{{0}}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\int _{{0}}^{{2\pi}}\frac{dR}{d\varphi}d\varphi=\frac{\tau^{{2}}}{\omega}\int _{{0}}^{{2\pi}}\frac{R(-1+R^{{2}}+\ldots)}{1+\ldots}d\varphi$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\tau^{{2}}\frac{2\pi}{\omega}R_{{0}}(R_{{0}}^{{2}}-1+O(\tau)).$

Oznaczmy $F(R_{{0}},\tau)=(P(R_{{0}})-R_{{0}})/\tau^{{2}}=F_{{0}}(R_{{0}})+O(\tau),$ gdzie wykres funkcji $F_{{0}}R_{{0}})=\pi R_{{0}}(R_{{0}}^{{2}}-1)/\omega$ jest przedstawiony na Rysunku 3.15. Widzimy, że równanie $F(R_{{0}},\tau)=0$ posiada dokładnie dwa proste rozwiązania $R_{{0}}=0$ i $R_{{0}}=1+O(\tau)$ (Zadanie 3.43). Pierwsze z nich odpowiada punktowi równowagi, a drugie cyklowi granicznemu bliskiemu okręgu $\left\{ r=\sqrt{-\mu}\right\}.$

(c) Dla $\mu<0$ rozważmy obszar $\left\{ 2\sqrt{-\mu}<r<\varepsilon\right\}$ dla małego $\varepsilon>0$ (niezależnego od $\mu).$ Z (3.12) łatwo widać, że tutaj $\dot{r}>0$ i nie może być cykli granicznych.

Rys. 3.15. Wykres funkcji $F_{{0}}$ .

Widać zatem, że w każdej z trzech powyższych sytuacji portrety fazowe są `jakościowo' takie same jak dla modelowej rodziny (3.10). Wypadałoby jeszcze skonstruować rodzinę $\left\{ h_{{\mu}}\right\}$ lokalnych homeomorfizmów realizujących topologiczne orbitalne równoważności odpowiednich portretów fazowych. Jest to dosyć żmudne zadanie (jeśli potraktować je bardzo serio) i my je opuścimy (nawet w [5] jest to pominięte). ∎

Uwaga 3.38. E. Hopf w swojej oryginalnej pracy udowodnił ogólniejsze wynik niż Twierdzenie 3.36. Mianowicie opuścił on założenie, że $c_{{3}}\not=0$ (patrz [14]). Pokazał on istnienie $1-$ parametrowej rodziny $\gamma _{{\nu}}$ rozwiązań okresowych dla pól wektorowych $v_{{\mu(\nu)}}(x),$ gdzie $\left(\mathbb{R}_{{+}},0\right)\ni\nu\longrightarrow\mu(\nu)$ jest pewnym gładkim odwzorowaniem. To twierdzenie nazywa się Twierdzeniem o Bifurkacji Hopfa. Na przykład, dla rodziny

$\dot{z}=\left(\mu+i\right)z=v_{{\mu}}(z,\bar{z})$

mamy rodzinę rozwiązań okresowych $\gamma _{{\nu}}=\left\{\left|z\right|^{{2}}=\nu\right\}$ dla jednego pola $\dot{z}=iz=v_{{0}}(z,\bar{z}),$ tzn. $\mu(\nu)\equiv 0.$

Arnold [5] często podkreślał, że w przypadku $c_{{3}}\not=0$ odpowiednią bifurkację badał równolegle A. Andronov [2]. Dlatego też bifurkacja z Twierdzenia 3.36 nazywa się Bifurkacją Andronowa–Hopfa.

Rys. 3.16. Szybowiec Żukowskiego.

Przykład 3.39 (Model Żukowskiego szybowca). Niech samolot leci z prędkością $v$ (która może się zmieniać) i jest podniesiony pod kątem $\theta$ względem poziomu (patrz Rysunek 3.16). Na samolot działają następujące siły: siła ciągu $F_{{c}}$ skierowana wzdłuż samolotu, siła ciężkości $mg$ skierowana do dołu i siła oporu powietrza proporcjonalna do $v^{{2}}$ . Rozkładamy siłę ciężkości na składową wzdłuż samolotu (powodującą wytracanie prędkości) i w kierunku prostopadłym (powodując obrót w dół). Mamy zatem następującą parę równań: $m\dot{v}=F_{{c}}-mg\sin\theta-c_{{2}}v^{{2}}$ i $mv\dot{\theta}=-mg\cos\theta+c_{{2}}v^{{2}}.$ Tutaj stałe $c_{{1}}$ i $c_{{2}}$ zależą od kilku czynników, których nie będę specyfikował (patrz [8], Rozdz. 3, Paragr. 3) i [7], Rozdz. 14, Paragr. 3, Rozdz. 15, Paragr. 3). Po odpowiedniej normalizacji $y=\textrm{const}\cdot v$ dostajemy następującą $2-$ parametrową rodzinę pól wektorowych

$\dot{\theta}=(y^{{2}}-\cos\theta)/y,\text{ \ \ }\dot{y}=\lambda-\mu y^{{2}}-\sin\theta,$

(3.14)

$-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ , $y\geq 0,$ z biegunem wzdłuż $\left\{ y=0\right\}.$

Rozważmy najpierw przypadek $\lambda=0,$ który odpowiada modelowi szybowca. Po pomnożeniu przez $y$ (przeskalowanie czasu) dostajemy portret fazowy regularnego pola

$V=(y^{{2}}-\cos\theta)\partial _{{\theta}}-y(\sin\theta+\mu y^{{2}})\partial _{{y}}.$

(3.15)

Przy $\mu=0$ dostajemy układ hamiltonowski z całką pierwszą

$F=\frac{1}{3}y^{{3}}-y\cos\theta$

i punktami równowagi $S_{{\pm}}=\left(\pm\pi/2,0\right)$ i $C=\left(0,1\right)$ . Przy $\mu>0$ dostajemy $\textrm{div}V=-2\mu y<0,$ czyli funkcja $\Phi=y$ jest funkcją Dulaca dla pola (3.14). Stąd łatwo wynika, że dla $\mu=0$ ruch szybowca jest okresowy (oscylujący wokół centrum $C$ ) a dla $\mu>0$ odpowiedni punkt krytyczny $C$ (bifurkujący z $\left(0,1\right))$ jest globalnie stabilnym ogniskiem (Zadanie 3.44). To znaczy, że ruch szybowca stabilizuje się.

Dla ogólnej rodziny (3.14) z małymi $\lambda$ i $\mu$ można badać pojawiające się możliwe cykle graniczne metodą całek abelowych (patrz Przykład 4.5 poniżej). Przyrost $\Delta F$ całki pierwszej wzdłuż trajektorii układu (3.14) (od cięcia do cięcia) wynosi w przybliżeniu

$\int\dot{F}dt=\int\left(y^{{2}}-\cos\theta\right)\left(\lambda-\mu y^{{2}}\right)dt\approx\int _{{F=c}}(\lambda-\mu y^{{2}})yd\theta=\lambda I_{{0}}(c)-\mu I_{{1}}(c),$

gdzie $I_{{0}}(c)=\int\int dydx$ jest polem obszaru zakreślonego przez krzywą $F(\theta,y)=c.$ W [7] pokazano, że funkcja $c\longmapsto I_{{1}}(c)/I_{{0}}(c)$ jest monotoniczna, czyli, że równanie $\lambda I_{{0}}(c)-\mu I_{{1}}(c)=0$ ma co najwyżej jedno rozwiązanie. To oznacza, że układ (4.14) dla małych $\lambda$ i $\mu$ może posiadać co najwyżej jeden cykl graniczny.

Tutaj w momencie, gdy dywergencja pola (3.14) w ognisku $C$ jest zerowa, zachodzi bifurkacja Andronowa–Hopfa. Można sprawdzić, że jest ona niezdegenerowana (zachęcam czytelników do sprawdzenia tego).

ZADANIA

Zadanie 3.40. Pokazać, że współczynniki $c_{{3}},c_{{5}},\ldots$ z Punktu 4 założeń do Twierdzenia Andronowa–Hopfa pokrywają się ze liczbami oniskowymi Lapunowa–Poincarégo z Definicji 2.13. Znaleźć zależność pomiędzy wspólczynnikami $c_{{2j+1}}$ i $d_{{2j+1}}$ a $a_{{j}}$ i $b_{{j.}}$

Zadanie 3.41. Udowodnić wzór (3.11).

Wskazówka: Redukcję skończonej liczby wyrazów rezonansowych można przeprowadzać jednocześnie dla $1-$ parametrowej rodziny.

Zadanie 3.42. Udowodnić wzór (3.12).

Zadanie 3.43. Pokazać ściśle, że równanie $F=0$ z dowodu Twierdzenia 3.36 ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 3.44. Zbadać punkty osobliwe pola (3.15). Naszkicować portrety fazowe dla $\mu=0$ i $\mu\not=0.$

3.3.4. Bifurkacje dla cykli granicznych

Niech $\gamma\subset M$ będzie zamknniętą krzywą fazową dla pola wektorowego $v_{{0}}(x)$ na rozmaitości $M$ ( $n-$ wymiarowej). Ponadto pole $v_{{0}}(x)$ jest zanurzone w $1-$ parametrowej rodzinie $v_{{\mu}}(x),$ $\mu\in\left(\mathbb{R},0\right),$ pól wektorowych na $M.$ Weźmy cięcie $S$ transwersalne do $\gamma$ w $M.$ Dla $\mu$ bliskich $0$ mamy dobrze zdefiniowane przekształcenia Poincarégo $P_{{\mu}}:S\longmapsto S.$ Utożsamiając $S$ z $\left(\mathbb{R}{}^{{n-1}},0\right),$ otrzymujemy rodzinę lokalnych przekształceń

$f_{{\mu}}:\left(\mathbb{R}^{{n-1}},0\right)\longmapsto\left(\mathbb{R}^{{n-1}},0\right),\text{ \ \ }f_{{\mu}}(z)=f(z;\mu),$

takich, że $f_{{0}}(0)=0.$ Zatem

Rys. 3.17. Bifurkacja siodło–węzeł dla dyfeomorfizmów.

$f_{{0}}(z)=Az+\ldots$

Zakładamy też, że dla $\mu=0$ orbita $\gamma$ jest niehiperboliczna, tzn. punkt stały $z=0$ dyfeomorfizmu $f_{{0}}$ jest niehiperboliczny. W zależności od typu niehiperboliczności mamy różne rodzaje bifurkacji. My omówimy tutaj tylko dwie.

A. Bifurkacja siodło–węzeł dla cyklu granicznego. Tutaj mamy $\lambda _{{1}}=1$ i $\left|\lambda _{{j}}\right|\not=1$ $(j>1)$ dla wartości własnych macierzy $A.$ Sprowadzając sytuację do rozmaitości centralnej (czyli $1-$ wymiarowej dla dyfeomorfizmu) i nakładając odpowiednie warunki niezdegenerowania (tzn. $\frac{\partial^{{2}}f}{\partial z^{{2}}}(0;0)\frac{\partial f}{\partial\mu}(0;0)$ $\not=0),$ pokazuje się równoważność odpowiedniej rodziny $1-$ wymiarowych przekształceń z następującą modelową rodziną

$f(z;\mu)=x+\mu\pm x^{{2}}.$

Odpowiednie bifurkacje są przedstawione na Rysunku 3.17. Widzimy, że dla $\mu<0$ mamy dwa cykle graniczne, które się zlewają przy $\mu=0$ a następnie znikają.

B. Bifurkacja podwojenia okresu. Tutaj mamy $\lambda _{{1}}=-1$ i $\left|\lambda _{{j}}\right|\not=1$ dla $j>1.$ Ponieważ przekształcenie powrotu zmienia orientację, to rozmaitość centralna dla orbity $\gamma$ jest wstęgą Möbiusa (patrz Rysunek 3.19).

Rys. 3.18. Bifurkacja podwojenia okresu dla dyfeomorfizmów.

Modelową rodziną przekształceń w tym przypadku jest

$f_{{\mu}}(z)=f(z,\mu)=\left(-1+\mu\right)z\pm z^{{3}}.$

Oczywiście to przekształcenie ma tylko jeden punkt stały, tj. $z=0.$ Ale jego druga iteracja ma postać

$f_{{\mu}}\circ f_{{\mu}}(z)=(1-2\mu)z\mp 2z^{{3}}+\ldots$

i posiada dwa dodatkowe punkty stałe $z_{{1,2}}\approx\sqrt{\mp\mu}$ dla $\mp\mu>0.$ Te punkty stałe odpowiadają orbicie okresowej dla $f_{{\mu}}$ o okresie 2. Stąd bierze się nazwa bifurkacji; czasami też jest używana nazwa bifurkacja widełki (od kształtu krzywej punktów okresowych na płaszczyźnie $\left(\mu,z\right)).$

Odpowiednie bifurkacje dla $\left\{ f_{{\mu}}\right\}$ są przedstawione na Rysunku 3.18.¹⁴Bifurkacja podwojenia okresu leży u podstaw znanej bifurkacji Feigenbauma dla nieodwracalnego przekształcenia $g:I\longmapsto I$ odcinka w siebie. Najpierw punkt stały traci stabilność przy przechodzeniu wartości własnej przez $-1.$ Potem powstała obrita okresowa o okresie 2 znowu traci stabilność i powstaje orbita okresowa o okresie 2 ${}^{{2}},$ itd. Dla granicznej wartości parametru mamy bifurkację Feigenbauma.

Rys. 3.19. Bifurkacja podwojenia okresu dla cykkli granicznych.

Na tym kończymy omawianie bifurkacji pól wektorowych. Po więcej szczegółów na temat bifurkacji opisanych wyżej i innych bifurkacji odsyłam słuchaczy do literatury ([1], [2], [5], [6], [7], [8], [11], [14]).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zagadnienia

3. Teoria bifurkacji

3.1. Wersalność

3.2. Transwersalność

3.3. Bifurkacje kowymiaru 1

3.3.1. Redukcja do rozmaitości centralnej i forma normalna Poincarégo–Dulaca

3.3.2. Bifurkacja siodło–węzeł

3.3.3. Bifurkacja Andronowa–Hopfa

3.3.4. Bifurkacje dla cykli granicznych