Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych – 6. Dodatek. Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii RRZ – MIM UW

Zagadnienia

6. Dodatek. Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii RRZ

6.1. Definicje

Pod równaniem różniczkowym zwyczajnym rozumiemy równanie postaci

\frac{dx}{dt}=\dot{x}=v(t,x), (6.1)

gdzie t\in I\subset\mathbb{R} jest czasem rzeczywistym (I to otwarty odcinek), x należy do przestrzeni fazowej (rozmaitości) M a v jest zależnym od czasu polem wektorowym na M, v:I\times M\longmapsto TM spełnia v(t,x)\in T_{{x}}M. Często M=U jest podzbiorem otwartym przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^{{n}}; wtedy v:I\times U\longmapsto\mathbb{R}^{{n}} i mówimy o układzie równań różniczkowych zwyczajnych. Jeśli v nie zależy od czasu, v=v(x), to równanie (6.1) jest równaniem autonomicznym (a v jest autonomicznym polem wektorowym), w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z nieautonomicznym równaniem. Przestrzeń I\times M nazywa się rozszerzoną przestrzenią fazową.

Rozwiązaniem równania (6.1) nazywamy dowolną różniczkowalną krzywą \varphi:J\longmapsto M, J\subset I, która spełnia równanie

\frac{d\varphi}{dt}(t)\equiv v(t;\varphi(t)).

Zagadnieniem początkowym nazywamy następujące dwa warunki

\dot{x}=v(t,x),\text{ \ \ }x(t_{{0}})=x_{{0}}, (6.2)

z których drugi nazywa się warunkiem początkowym. Rozwiązaniem zagadnienia początkowego (6.2) nazywamy rozwiązanie

\varphi(t)=\varphi(t;x_{{0}},t_{{0}})

równania (6.1), które ma własność \varphi(t_{{0}})=x_{{0}}.

Jeśli \varphi(t) jest rozwiązaniem układu (6.1), to krzywą \left\{\left(t,\varphi(t)\right):t\in J\right\}\subset I\times M (tj. wykres rozwiązania) nazywamy krzywą całkową; jeśli, dodatkowo, układ (6.1) jest autonomiczny, to krzywą \left\{\varphi(t):t\in J\right\} (tj. obraz rozwiązania) nazywamy krzywą fazową.

Uwaga 6.1. Wprowadzając nowy czas \tau możemy przepisać nieautonomiczne równanie (6.1) w postaci następującego układu autonomicznego

\frac{dt}{d\tau}=1,\text{ \ }\frac{dx}{d\tau}=v(t,x) (6.3)

w rozszerzonej przestrzeni fazowej. Wtedy krzywe całkowe dla równania (6.1) okażą się krzywymi fazowymi dla układu (6.3).

Równanie różniczkowe rzędun, czyli

\frac{d^{{n}}x}{dx^{{n}}}=x^{{(n)}}=f(t,x,x^{{(1)}},\ldots,x^{{(n-1)}}),\text{ \ }t\in I,\text{\ }x\in\mathbb{R}, (6.4)

zastępuje się układem równań pierwszego rzędu

\dot{y}_{{1}}=y_{{2}},\text{ }\dot{y}_{{2}}=y_{{3}},\ldots,\text{ }\dot{y}_{{n-1}}=y_{{n}},\text{ }\dot{y}_{{n}}=f(t,y_{{1}},\ldots,y_{{n}}) (6.5)

przy pomocy podstawienia x=y_{{1}}, x^{{(1)}}=y_{{2}},\ldots, x^{{(n-1)}}=y_{{n}}. Naturalnym warunkiem początkowym dla równania (6.4) jest

x(t_{{0}})=x_{{0}},\text{ }x^{{(1)}}(t_{{0}})=x_{{1}},\ldots,\text{\ }x^{{(n-1)}}(t_{{0}})=x_{{n-1}}. (6.6)

Zauważmy, że stosując trick z Uwagi 6.1 możemy zastąpić (na ogól) nieautonomiczny układ (6.5) odpowiednim układem autonomicznym w \mathbb{R}^{{n+1}}.

Uwaga 6.2. W książkach o równaniach różniczkowych rozważane są także równania uwikłane względem pochodnej, typu

F(t,x,\dot{x})=0,\text{ \ \ }t\in\mathbb{R},\text{ \ }x\in\mathbb{R}. (6.7)

Okazuje się, że, jeśli równanie F(t,x,p)=0 da się rozwikłać w otoczeniu pewnego punktu \left(t_{{0}},x_{{0}},p_{{0}}\right) w postaci x=g(t,p), to równanie (6.7) można przepisać w postaci układu autonomicznego

\frac{dt}{d\tau}=g_{{p}}^{{\prime}}(t,p),\text{ \ }\frac{dp}{d\tau}=p-g_{{t}}^{{\prime}}(t,p),

gdzie \tau jest nowym `czasem'. Rzeczywiście, mamy \frac{dx}{d\tau}=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau}=p\frac{dt}{d\tau}. Zatem, różniczkując tożsamość x(\tau)=g(t(\tau),p(\tau)), dostajemy warunek p\frac{dt}{d\tau}\equiv g_{{t}}^{{\prime}}\frac{dt}{d\tau}+g_{{p}}^{{\prime}}\frac{dp}{d\tau}. Jest on spełniony dla powyższego pola wektorowego.

Podobny układ można napisać, gdy równanie F=0 rozwikłuje się względem t, a także gdy x\in\mathbb{R}^{{n}} i F\in\mathbb{R}^{{n}}. W tym skrypcie równania typu (6.7) nie są badane, ale przytoczyliśmy je, aby zademonstrować pewną uniwersalną własność autonomicznych równań różniczkowych.

Z autonomicznym równaniem

\dot{x}=v(x) (6.8)

wiąże się pojęcie potoku fazowego. Zauważmy, że rozwiązania \varphi(t;x_{{0}},0) równania (6.8) z warunkiem początkowym x(0)=x_{{0}} zadają rodzinę odwzorowań

g^{{t}}:D_{{t}}\longmapsto M,\text{ \ }x_{{0}}\longmapsto\varphi(t;x_{{0}},0),

gdzie D_{{t}} jest dziedziną odwzorowania g^{{t}}. Ta rodzina powinna spełniać dwie naturalne własności

\displaystyle g^{{0}} \displaystyle= \displaystyle id, (6.9)
\displaystyle g^{{t}}\circ g^{{s}} \displaystyle= \displaystyle g^{{t+s}}. (6.10)

Własność (6.9) to definicja warunku początkowego. Własność (6.10), która powinna być spełniona dla x_{{0}}\in D_{{s}}\cap\left(g^{{s}}\right)^{{-1}}(D_{{t}}), oznacza, że jeśli wystartujemy w momencie czasu 0 z punktu x_{{0}} i dojedziemy (wzdłuż rozwiązania) do punktu y_{{0}}=g^{{s}}(x_{{0}}) a następnie wyzerowujemy stoper i jedziemy z y_{{0}} po czasie t, to dojedziemy do tego samego punktu, jak byśmy jechali po czasie s t+s z x_{{0}} bez zerownia stopera. Oczywiście, tutaj istotne jest, że v(s,y_{{0}})=v(0,y_{{0}})=v(y_{{0}}) (autonomiczność).

Rodzina \left\{ g^{{t}}\right\} _{{t\in I}}, g^{{t}}:D_{{t}}\longmapsto M, spełniająca warunki (6.9)–(6.10) nazywa się lokalnym potokiem fazowym. Rodzina

g^{{t}}:M\longmapsto M,\text{ \ }t\in\mathbb{R},

(globalnych) dyfeomorfizmów przestrzeni fazowej M, spełniająca własności (6.9)–(6.10) nazywa się potokiem fazowym na M. Inaczej mówiąc, odwzorowanie t\longmapsto g^{{t}} jest homomorfizmen z grupy \mathbb{R} do grupy Diff(M) dyfeomorfizmów rozmaitości M.

Przykład 6.3. Równanie

\dot{x}=x^{{2}}+1

definiuje globalne pole wektorowe na przestrzeni rzutowej \mathbb{RP}^{{1}}=\mathbb{R}\cup\infty (gdzie współrzędna y=1/x w otoczniu x=\infty spełnia równanie \dot{y}=-1-y^{{2}}). Tutal lokalny potok fazowy okazuje sie być potokiem fazowym na \mathbb{RP}^{{1}} złożonym z przekształceń Möbiusa

g^{{t}}(x_{{0}})=\frac{x_{{0}}\cos t+\sin t}{\cos t-x_{{0}}\sin t}.

Uwaga 6.4. W przypadku nieautonomicznego pola wektorowego mamy do czynienia z 2-parametrową rodziną przekształceń

g_{{s}}^{{t}}:M\longmapsto M

(ściślej, z jej lokalną wersją) definiowaną tak, że g_{{s}}^{{t}}(x_{{0}})=\varphi(t;x_{{0}};s), czyli wartość w chwili t rozwiązania startującego z x_{{0}} w chwili s. Zachodzą oczywiste tożsamości

g_{{t}}^{{t}}=id,\text{ \ \ }g_{{s}}^{{t}}\circ g_{{u}}^{{s}}=g_{{u}}^{{t}}.

6.2. Twierdzenia

Poniżej czytelnik znajdzie szereg twierdzeń, które są podstawowe w teorii równań różniczkowych zwyczajnych i które są podane bez dowodów. Po więcej szczegółów odsyłam do [3], [15].

Twierdzenie 6.5 (O istnieniu i jednoznaczności lokalnych rozwiązań). Załóżmy, że pole v(t,x) jest klasy C^{{1}} na zbiorze otwartym I\times U\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{{n}}. Niech (t_{{0}},x_{{\ast}})\in I\times U.

Wtedy istnieje odcinek I_{{0}}\subset I, zawierający moment początkowy t_{{0}}, oraz otoczenie U_{{0}}\subset U punktu x_{{\ast}} takie, że dla dowolnego x_{{0}}\in U_{{0}} zagadnienie początkowe \dot{x}=v(t;x), x(t_{{0}})=x_{{0}} posiada dokładnie jedno rozwiązanie \varphi(t;x_{{0}}). 

Ponadto odwzorowanie

\left(t,x_{{0}}\right)\longmapsto\varphi(t;x_{{0}}) (6.11)

jest ciągłe, a w przypadku, gdy pole v(t,x) jest analityczne, to to odwzorowanie też jest analityczne.

Przypomnimy, że podstawowa idea dowodu tego twierdzenia polega na zastąpieniu zagadnienia początkowego (6.2) równaniem całkowym

\varphi(t;x_{{0}})=x_{{0}}+\int _{{t_{{0}}}}^{{t}}v(t,\varphi(s;x_{{0}}))ds. (6.12)

To równanie jest traktowane jako równanie punktu stałego \varphi=\mathcal{T}(\varphi) dla operatora \mathcal{T} definiowanego po prawej stronie równania (6.12) działającego w odpowiedniej przestrzeni Banacha odwzorowań \varphi(t,x_{{0}}). Na ogół jest to przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na I_{{0}}\times U_{{0}} z normą supremum, przy tym warunek zwężania dla operatora T wynika z warunku Lipschitza względem x dla pola v(t,x). W przypadku analitycznym jako przestrzeń Banacha wybiera się przestrzeń funkcji holomorficznych w pewnym obszarze w \mathbb{C}\times\mathbb{C}^{{n}} z normą supremum (Zadanie 6.25)

Przykład 6.6. Równanie

\dot{x}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}

posiada dwa rozwiązania z tym samym warunkiem początkowym x(0)=0: \varphi _{{1}}(t)=0 dla t<0 i \varphi _{{1}}(t)=t^{{3/2}} dla t\geq 0 oraz \varphi _{{2}}(t)\equiv 0. Ten standardowy przykład pokazuje, jak ważny jest warunk Lipschitza; tutaj on nie zachodzi w x=0.

Twierdzenie 6.7 (O zależności od warunku początkowego). Jeśli w Twierdzeniu 6.5 założymy, że v jest klasy C^{{2}}, to odwzorowanie (6.11) będzie klasy C^{{1}}. Ogólniej, jeśli v jest klasy C^{{r}}, 1\leq r\leq\infty, to \varphi jest klasy C^{{r-1}}.

Twierdzenie 6.8 (O zależności od parametrów). 19W niektórych źródłach (np. [13], [12]) dowodzi się klasy C^{{r}} zależności rozwiązań od parametrów. Dla naszych celów klasa C^{{r-1}} jest wystarczająca, zwłaszcza, jeśli uwzględni się prostotę poniższego szkicu dowodu tego twierdzenia. Jeśli pole v zależy dodatkowo od parametru \lambda\in V\subset\mathbb{R}^{{k}} i v(t,x;\lambda) jest klasy C^{{r}}, r\geq 2, to rozwiązanie \varphi(t;x_{{0}};\lambda) jest klasy C^{{r-1}}.

W dowodach ostatnich dwóch twierdzeń wykorzystuje się ważnie pojęcie równania w wariacjach. Równaniem w wariacjach względem warunku początkowego nazywamy równanie

\dot{y}=A(t)y,\text{ \ \ }A(t)=\frac{\partial v}{\partial x}(t,\varphi _{{0}}(t)). (6.13)

Tutaj \varphi _{{0}}(t), \varphi _{{0}}(t_{{0}})=x_{{0}}, jest zadanym rozwiązaniem, a równanie (6.13) otrzymuje się przez podstawienie zaburzenia x=\varphi _{{0}}(t)+\varepsilon y(t)+O(\varepsilon^{{2}}) (z małym \varepsilon) do zagadnienia początkowego (6.2) z warunkiem początkowym x(t_{{0}})=x_{{0}}+\varepsilon y_{{0}} i przyrównania wyrazów rzędu \varepsilon. Pochodną czastkową \partial\varphi/\partial(x_{{0}})_{{j}} rozwiązania względem warunku początkowego otrzymuje się jako rozwiązanie układu (6.13) z warunkiem początkowym y_{{0}}=e_{{j}} (gdzie \left(e_{{j}}\right) to standardowa baza w \mathbb{R}^{{n}}).

Równaniem w wariacjach względem parametru nazywamy równanie

\dot{y}=A(t)y+b(t),\text{ \ \ }b(t)=\frac{\partial v}{\partial\lambda}(t,\varphi _{{0}}(t);\lambda _{{0}}). (6.14)

Tutaj \varphi _{{0}}(t) jest wyróżnionym rozwiązaniem zagadnienia początkowego \dot{x}=v(t,x,\lambda _{{0}}), x(t_{{0}})=x_{{0}}, tzn. dla ustalonego parametru \lambda=\lambda _{{0}}, i macierz A(t) jest taka sama jak w (6.13). To równanie otrzymuje się przez podstawienie x=\varphi _{{0}}(t)+\varepsilon y(t)+O(\varepsilon^{{2}}) do zagadnienia początkowego \dot{x}=v(t,x;\lambda _{{0}}+\epsilon\nu _{{0}}), x(t_{{0}})=x_{{0}}, i porównanie wyrazów liniowych względem małego \varepsilon.

W dowodach Twierdzeń 6.7 i 6.8 problem sprowadza się do układu \dot{x}=v(t,x),  \dot{y}=\frac{\partial v}{\partial x}(t,x)y lub do układu \dot{x}=v(t,x;\lambda),  \dot{y}=\frac{\partial v}{\partial x}(t,x;\lambda)y+\frac{\partial v}{\partial\lambda}(t,x;\lambda) i stosuje Twierdzenie 6.5 (Zadania 6.26 i 6.27).

Z powyższych twierdzeń wynikają ważne wnioski o jakościowym zachowaniu się rozwiązań równania (6.1).

Twierdzenie 6.9 (O prostowaniu dla układu nieautonomicznego) . Jeśli v(t,x) jest klasy C^{{r}}, r\geq 2, i \left(t_{{0}},x_{{\ast}}\right)\in I\times U\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{{n}}, to istnieje lokalny dyfeomeorfizm

f:(t,x)\longmapsto(t,y),

z otoczenia punktu \left(t_{{0}},x_{{\ast}}\right), który przeprowadza układ (6.1) w układ

\dot{y}=0.

W dowodzie dyfeomeorfizm f jest definiowany tak, że jeśli punkt x=\varphi(t;x_{{0}},t_{{0}}), tj. jest wartością rozwiązania po czasie t i z warunkiem początkowym x(t_{{0}})=x_{{0}}, to kładziemy y=x_{{0}} (Zadanie 6.28).

Twierdzenie 6.10 (O prostowaniu dla układu autonomicznego) . Jeśli autonomiczne pole wektorowe v(x) jest klasy C^{{r}}, r\geq 2, na U i punkt x_{{\ast}}\in U jest taki, że

v(x_{{\ast}})\not=0, (6.15)

to istnieje lokalny dyfeomorfizm f:x\longmapsto y z otoczenia punktu x_{{\ast}}, który przeprowadza układ \dot{x}=v(x) w układ

\dot{y}_{{1}}=1,\text{ }\dot{y}_{{2}}=0,\ldots,\text{ }\dot{y}_{{n}}=0.

Jak można się domyślić, zmienna y_{{1}} to czas t wdłuż rozwiązań \varphi(t;x_{{0}}), które startują przy t=0 z pewnej hiperpłaszczyzny H prostopadłej do wektora v(x_{{\ast}}). Pozostałe zmienne y_{{j}} pochodzą od jakiegoś układu współrzędnych na hiperpłaszczyźnie H i są stałe wzdłuż rozwiązań (Zadanie 6.29).

Uwaga 6.11. Powyższe twierdzenie można nazwać pierwszym twierdzeniem jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych.20W angojęzycznej literaturze występuje ono pod nazwą `Flow Box Theorem'. Mówi ono, że lokalnie każde pole wektorowe spełniające warunek (6.15) jest takie samo z matematycznego punktu widzenia. Istotne różnice pojawiają się przy badaniu zachowania globalnych rozwiązań. Warunek (6.15) implikuje pewną prostotę pola wektorowego. W pierwszym rozdziale niniejszego skryptu badamy sytuację gdy ten warunek jest naruszony.

Twierdzenie 6.12 (O lokalnym potoku fazowym). Dla autonomicznego pola wektorowego v(x) klasy C^{{r}}, r\geq 2, istnieje lokalny potok fazowy \left\{ g^{{t}}\right\}, x_{{0}}\longmapsto g^{{t}}(x_{{0}}) (spełniający warunki (6.9)–(6.10)) zadany przez rozwiązania \varphi(t;x_{{0}}) zagadnień początkowych \dot{x}=v(x), x(0)=x_{{0}}.

Oczywiście to twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności lokalnych rozwiązań dla układu (6.1) z autonomicznym polem v(x).

Twierdzenie 6.13 (O przedłużniu rozwiązań). Niech pole v(t,x) będzie klasy C^{{r}}, r\geq 1, w zbiorze otwarym I\times U i niech F\subset U będzie zwarym podzbiorem. Wtedy dowolne lokalne rozwiązanie \varphi(t;x_{{0}};t_{{0}}) starujące z x_{{0}}\in F albo przedłuża się dla wszystkich czasów t_{{0}}\leq t<\infty pozostając w F, albo wychodzi z F po skończonym czasie T(x_{{0}})\geq t_{{0}}. 

Taka sama alternatywa ma miejsce dla rozwiązań \varphi(t;x_{{0}};t_{{0}}) przyt<t_{{0}}.

W pewnym sensie to twierdzenie jest oczywiste. Następujący przykład pokazuje, że założenie o zwartości F jest istotne.

Przykład 6.14. Równanie

\dot{x}=x^{{2}},\text{ \ \ }x\in\mathbb{R},

ma rozwiązania \varphi=x_{{0}}/(1-tx_{{0}}), które uciekają do nieskończoności po skończonym czasie T=1/x_{{0}}.

6.3. Metody rozwiązywania

Poniżej przedstawiamy listę klas równań różniczkowych zwyczajnych, które dają się scałkowac i podajemy metody ich całkowania. Wszystkie rozważane tutaj równania mają postać

\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)} (6.16)

albo równoważną postać równania Pfaffa

Q(x,y)dx-P(x,y)dy=0.

Przykład 6.15.Równania z rozdzielonymi zmiennymi. Są to równania postaci

\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x)}{P(y)}.

Oczywiście rozwiązania są zadane w postaci uwikłanej

\int _{{x_{{0}}}}^{{x}}Q(z)dz=\int _{{y_{{0}}}}^{{y}}P(y)dy.

Przykład 6.16.Równania jednorodne są postaci

\frac{dy}{dx}=f\left(y/x\right).

Tutaj podstawienie u=\frac{y}{x} prowadzi do równania z rozdzielonymi zmiennymi

x\frac{du}{dx}=f(u)-u.

Do tej klasy można zaliczyć równania postaci

\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{ax+by+\alpha}{cx+dy+\beta}\right),\text{ \ \ }\left|\begin{array}[]{cc}a&b\\
c&d\end{array}\right|\not=0.

Poprzez przesunięcie początku układu współrzędnych do punktu przecięcia się prostych ax+by+\alpha=0cx+dy+\beta=0 staje się ono ewidentnie jednorodne. Gdy ad-bc=0 równanie łatwo sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych.

Przykład 6.17.Równania quasi-jednorodne charakteryzują się niezmienniczością względem symetrii typu

x\longmapsto\lambda x,\text{ \ }y\longmapsto\lambda^{{\gamma}}y,\text{ \ \ \ }\lambda\in\mathbb{R}\setminus 0,

która uogólnia analogiczną symetrię z \gamma=1 dla równania jednorodnego. Tutaj podstawienie u=y/x^{{\gamma}} prowadzi do równania z rozdzielonymi zmiennymi.

Przykład 6.18.Równania liniowe

\frac{dy}{dx}=a(x)y+b(x) (6.17)

dzielą się na jednorodne, gdy b(x)\equiv 0, i niejednorodne. Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego \frac{dy}{dx}=a(x)y stowarzyszonego z równaniem (6.17) ma postać

\varphi _{{jedn}}=C\cdot\exp A(x),

gdzie A(x) jest funkcją pierwotną dla funkcji a(x). Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego \varphi _{{jedn}} i pewnego szczególnego rozwiązania \varphi _{{szcz}} równania niejednorodnego. To ostatnie rozwiązanie poszukujemy metodą uzmienniania sta łej, tzn. w postaci

\varphi _{{szcz}}=C(x)\cdot\exp A(x).

Po podstawieniu do równania (6.17) dostajemy równanie C^{{\prime}}(x)=e^{{-A(x)}}b(x).

Ogólne rozwiązanie ma postać

y=e^{{A(x)}}C+\int^{{x}}e^{{A(x)-A(z)}}b(z)dz. (6.18)

Przykład 6.19.Równanie Bernoulliego

\frac{dy}{dx}=a(x)y+b(x)y^{{n}}

sprowadza się do równania liniowego przez podstawienie

z=y^{{1-n}}.

Przykład 6.20.Równanie z czynnikiem całkującym ma postać

\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}=\frac{-MH_{{x}}^{{\prime}}}{MH_{{y}}^{{\prime}}},

lub

M(H_{{x}}^{{\prime}}dx+H_{{y}}^{{\prime}}dy)=MdH=0.

Tutaj M=M(x,y) jest czynnikiem całkującym a H=H(x,y) jest całką pierwszą równania, tzn. funkcja H jest stała na krzywych całkowych równania, H(x,\varphi(x))\equiv\textrm{const}. Oczywiście, tutaj rozwiązania y=\varphi(x) są uwikłane w postaci równań

H(x,y)=h.

Naturalne jest pytanie, jak z postaci funkcji P  i Q odgadnąć, czy istnieje czynnik całkujący i całka pierwsza. Wygodnie jest operować autonomicznym polem wektorowym

\dot{x}=P(x,y),\text{ \ \ }\dot{y}=Q(x,y) (6.19)

związanym z równaniem (6.16).

Zauważmy, że przypadek z M(x,y)\equiv 1 z całką pierwszą H(x,y) odpowiada sytuacji, gdy układ (6.19) jest hamiltonowski z H jako funkcją Hamiltona (hamiltonianem),

\dot{x}=H_{{y}}^{{\prime}},\text{ \ \ }\dot{y}=-H_{{x}}^{{\prime}}.

Oczywiście wtedy mamy

\textrm{div\,}V=P_{{x}}^{{\prime}}+Q_{{y}}^{{\prime}}\equiv 0, (6.20)

tzn. dywergencja pola wektorowego V=Q\partial _{{x}}+P\partial _{{y}} zeruje się, lub, równoważnie,

Brak opisu
d\left(Qdx-Pdy\right)=0.

Jest to warunek konieczny dla hamiltonowskości układu (6.19). Gdy \textrm{div}V\equiv 0 to można zdefiniować funkcję H następująco

H(x,y)=\int _{{\Gamma(x.y)}}\left(Qdx-Pdy\right),

gdzie \Gamma(x,y) jest drogą z ustalonego punktu \left(x_{{0}},y_{{0}}\right) do \left(x,y\right). Jeśli obszar U\subset\mathbb{R}^{{2}}, w którym jest zdfiniowany układ (6.19) jest jednospójny (każda pętla jest ściągalna do punktu), to definicja H(x,y) nie zależy od wyboru drogi \Gamma=\Gamma(x,y): różnica pomiędzy tą wartością i wartością zdefiniowaną dla innej drogi \Gamma^{{\prime}} jest całką po zamkniętej pętli \Gamma-\Gamma^{{\prime}} (która ogranicza obszar \Omega) z 1-formy \omega=Qdx-Pdy, która jest zamknięta, zatem wzór Stokes'a daje \oint _{{\Gamma-\Gamma^{{\prime}}}}\omega=\iint _{{\Omega}}d\omega=0.

Przykład równania

d\left(\textrm{arctg}\frac{y}{x}\right)=\frac{-y}{x^{{2}}+y^{{2}}}dx+\frac{x}{x^{{2}}+y^{{2}}}dy=0

w \mathbb{R}^{{2}}\setminus 0, które spełnia warunek (6.20), i posiada lokalną (ale nie globalną) całkę pierwszą H=\arg\left(x+iy\right) pokazuje, że założenie jednospójności jest istotne.

Przypadek, gdy istnieje nietrywialny czynnik całkujący M jest dużo trudniejszy. Pozwolę sobie tutaj zacytować wynik M. Singera, który dotyczy przypadku, gdy P i Q są wielomianami.

Twierdzenie 6.21 (Singer). Jeśli równanie (6.16) z wielomanami P i Q posiada czynnik całkujący M i całkę pierwszą, które można przedstawić w kwadraturach, to czynnik całkujący M można wybrać w tzw. postaci Darboux

M=e^{{g(x,y)}}f_{{1}}^{{a_{{1}}}}(x,y)\ldots f_{{r}}^{{a_{{r}}}}(x,y),

gdzie g(x,y) jest funkcją wymierną, f_{{j}}(x,y) są wielomianami aa_{{j}}\in\mathbb{C}.

Odsyłam czytelnika do książki [20], w której można znaleźć definicję funkcji przedstawialnych w kwadraturach oraz dowód twierdzenia Singera.

6.4. Układy i równania liniowe

Układy liniowe równań różniczkowych zwyczajnych są uogólnieniami równań (6.17) i mają postać

\dot{x}=A(t)x+b(t),\text{ \ \ }t\in I\subset\mathbb{R},\text{ \ \ }x\in\mathbb{R}^{{n}}. (6.21)

Równolegle rozpatruje się liniowe równania różniczkowe rzędu n postaci

x^{{(n)}}+a_{{n-1}}(t)x^{{(n-1)}}+\ldots+a_{{0}}(t)x=b(t),\text{ \ \ }t\in I\subset\mathbb{R},\text{ \ \ }x\in\mathbb{R}. (6.22)

Wiadomo, że rozwiązania x=\varphi(t;x_{{0}};t) takich układów i równań przedłużają się do całego odcinka I (Zadanie 6.40). W przypadku jednorodnym, tzn. gdy b(t)\equiv 0, zbiór rozwiązań tworzy n-wymiarową przestrzeń wektorową. Każda baza tej przestrzeni tworzy tzw. układ fundamentalny \left(\varphi _{{j}}\right)_{{j=1}}^{{n}}. Taki układ fundamentalny zadaje macierz fundamentalną \mathcal{F}(t)=\left(\varphi{}_{{1}},\ldots,\varphi _{{n}}\right) w przypadku układu (6.21) i

\mathcal{F}(t)=\left(\begin{array}[]{ccc}\varphi _{{1}}&\ldots&\varphi _{{n}}\\
\varphi _{{1}}^{{(1)}}&\ldots&\varphi _{{n}}^{{(1)}}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
\varphi _{{1}}^{{(n-1)}}&\ldots&\varphi _{{n}}^{{(n-1)}}\end{array}\right)

w przypadku równania (6.22). Wyznacznik macierzy fundamentalnej nazy- wa się Wrońskianem

W(t)=\det\mathcal{F}(t) (6.23)

(od nazwiska polskiego matematyka J. Hoene-Wrońskiego).

Ogólne rozwiązanie układu jednorodnego (6.21) (z b\equiv 0) ma postać

\varphi(t)=\mathcal{F}(t)\cdot C, (6.24)

gdzie C jest stałym wektorem (wyznaczanym z warunków początkowych); w szczególności, gdy układ fundamentalny jest tak dobrany aby \mathcal{F}(t_{{0}})=I, to rozwiązanie \varphi(t)=\mathcal{F}(t)x_{{0}} spełnia warunek początkowy \varphi(t_{{0}})=x_{{0}}. W przypadku jednorodnego równania (6.22) (z b\equiv 0) ogólne rozwiązanie ma postać

\varphi(t)=\left(\mathcal{F}(t)\cdot C\right)_{{1}}=C_{{1}}\varphi _{{1}}(t)+\ldots+C_{{n}}\varphi _{{n}}(t),

tzn. pierwsza składowa wektora stojącego po prawej stronie równania (6.24).

Nietrudno domyślić się, że ogólne rozwiązanie układu lub równania niejednorodnego (tj. z b(t)\not\equiv 0) jest sumą ogólnego rozwiązania równania jednorodnego \varphi _{{jedn}} i szczególnego rozwiązania układu lub równania niejednorodnego \varphi _{{szcz}}. Aby rozwiązać układ lub równanie niejednorodne, znając macierz fundamentalną, stosujemy metodę uzmienniania stałych, tzn. robimy podstawienie x=\mathcal{F}(t)\cdot C(t). Rozwiązując odpowiednie równanie na C(t) znajdziemy ogólne rozwiązanie układu (6.21) w postaci

x=\mathcal{F}(t)C+\int _{{t_{{0}}}}^{{t}}\mathcal{F}(t)\mathcal{F}^{{-1}}(s)b(s)ds.

Oczywiście, podstawowym problemem jest znalezienie macierzy fundamentalnej \mathcal{F}(t).

W przypadku, gdy macierz A(t)=A w układzie (6.21) lub współczynniki a_{{j}}(t)=a_{{j}} w równaniu (6.22) nie zależą od czasu, mówimy o układzie o stałych współczynnikach lub o równaniu o stałych współczynnikach. W tym przypadku macierz fundamentalna ma postać

\mathcal{F}(t)=\exp At=I+At+\frac{t^{{2}}}{2!}A^{{2}}+\ldots,

gdzie

A=\left(\begin{array}[]{ccccc}0&1&0&\ldots&0\\
0&0&1&\ldots&0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
-a_{{0}}&-a_{{1}}&-a_{{2}}&\ldots&-a_{{n-1}}\end{array}\right)

w przypadku równania.

Dla równania (6.21) o stałych współczynnikach ogólne rozwiązanie równania jednorodnego można otrzymać bezpośrednio z równania charakterystycznego

P(\lambda)=\lambda^{{n}}+a_{{n-1}}\lambda^{{n-1}}+\ldots+a_{{0}}=0. (6.25)

Ma ono postać

\begin{array}[]{lll}\varphi _{{jedn}}(t)&=&(C_{{1,0}}+C_{{1,1}}t+\ldots+C_{{1,k_{{1}}-1}}t^{{k_{{r}}-1}})e^{{\lambda _{{1}}t}}+\ldots\\
&&+(C_{{r,0}}+\ldots+C_{{r,k_{{r}}-1}}t^{{k_{{r}}-1}})e^{{\lambda _{{r}}t}},\end{array} (6.26)

gdzie \lambda _{{j}} są pierwiastkami równania charakterystycznego krotności k_{{j}}; w przypadku występowania par zespolonych pierwiastków \lambda _{{j}}=\bar{\lambda}_{{j+1}}=\alpha _{{j}}+i\beta _{{j}}, i=\sqrt{-1}, odpowiednie wspólczynniki w sumie w (6.26) są sprzężone, C_{{j+1,l}}=\bar{C}_{{j}},l, i te dwa składniki dają wyrażenie

D_{{j,l}}t^{{l}}e^{{\alpha _{{j}}t}}\cos(\beta _{{j}}t)+E_{{j,l}}t^{{l}}e^{{\alpha _{{j}}t}}\sin(\beta _{{j}}t)

(ze stałymi D_{{j,l}} i E_{{j,l}}).

Również istnieje recepta na szczególne rozwiązanie niejednorodnego równania (6.22) o stałych współczynnikach, w przypadku gdy funkcja b(t) (po prawej stronie równania) jest tzw. quasi-wielomianem postaci

b(t)=e^{{\mu t}}p(t). (6.27)

Tutaj \mu nazywa się wykładnikiem quasi-wielomianu a p(t) jest zwykłym wielomianem stopnia m, nazywanym stopniem quasi-wielomianu. Również funkcje postaci e^{{\nu t}}\cos(\xi t)p(t) i e^{{\nu t}}\sin(\xi t)p(t) są odpowiednio częściamu rzeczywistą i urojoną quasi-wielomianu z zespolonym wykładnikiem \mu=\nu+i\xi.

Twierdzenie 6.22. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać (6.26).

Jeśli prawa strona równania niejednorodnego (6.22) ma postać (6.27) i wykładnik \mu quasiwielomianu jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (6.25) krotności k, to szczególne rozwiązanie równania można wybrać w postaci quasi-wielomianu

\varphi _{{szcz}}=t^{{k}}e^{{\mu t}}q(t),

gdzie q(t) jest wielomianem stopniam=\deg p(t).

Następujące twierdzenie, pochodzące od J. Liouville'a, jest uogólnieniem elementarnej algebraicznej tożsamości

\det\exp A=\exp\textrm{tr}A

i ma olbrzymie zastosowanie w Jakościowej Teorii.

Twierdzenie 6.23 (Liouville). Wrońskian W(t) związany z macierzą fundamentalną \mathcal{F}(t) układu (6.21) (wzór (6.23)) spełnia równanie

\dot{W}=\textrm{tr}A(t)\cdot W.

Dowód sprowadza się do policzenia granicy

\lim _{{s\rightarrow 0}}\frac{\det(I+sA(t))-1}{s},

bo \mathcal{F}(t+s)=(I+sA(t))\mathcal{F}(t)+O(s^{{2}}). Latwo sprawdzić, korzystając ze standardowej definicji wyznacznika \det\left(I+sA\right)=\sum\left(-1\right)^{{\pi}}\prod\left(I+sA\right)_{{j,\pi(j)}}, że człony pochodzące od nietrywialnych permutacji \pi dają wkład rzędu s^{{2}}. Człon \prod\left(I+sA\right)_{{j,j}}=\prod(1+sa_{{jj}}) równa się 1+s\sum a_{{jj}}+O(s^{{2}}).

W przypadku gdy macierz fundamentalna \mathcal{F}(t) spełnia własność \mathcal{F}(t_{{0}})=I, wyznacznik Wrońskiego ma naturalną interpretację (n-wymiarowej) objętości równoległościanu rozpiętego przez wektory f_{{i}}(t)=g_{{t_{{0}}}}^{{t}}e_{{i}}, i=1,\ldots n, gdzie g_{{t_{{0}}}}^{{t}} jest to 2-parametrowa rodzina przekształceń ewolucji układu (które są zdefiniowane w Uwadze 6.4 i które są liniowe) a \left(e_{{i}}\right) to standardowa baza w \mathbb{R}^{{n}}. Inaczej mówiąc, zachodzą tożsamości

\left|g_{{t_{{0}}}}^{{t}}(V)\right|=W(t)\cdot\left|V\right|,\text{ \ \ \ }\frac{d}{dt}\left|g_{{t_{{0}}}}^{{t}}(V)\right|=\textrm{tr}A(t)\cdot\left|g_{{t_{{0}}}}^{{t}}(V)\right|, (6.28)

dla obszaru V\subset\mathbb{R}^{{n}}, gdzie \left|V\right| oznacza objętość.

Zastosujmy tę obserwację do równania w wariacjach względem warunków początkowych (6.13) w przypadku autonomicznego pola wektorowego \dot{x}=v(x). To równanie w wariacjach ma postać \dot{y}=A(t)y, gdzie A(t)=\frac{\partial v}{\partial x}(\varphi _{{0}}(t)) jest macierzą pochodnych cząstkowych \partial v_{{i}}/\partial x_{{j}} składowych v_{{i}} pola wzdłuż wyróżnionego rozwiązania \varphi _{{0}}(t). Łatwo sprawdzić tożsamość

\textrm{tr}A(t)=\sum _{{i=1}}^{{n}}\frac{\partial v_{{i}}}{\partial x_{{i}}}(\varphi _{{0}}(t))=\textrm{div\,}v(\varphi _{{0}}(t), (6.29)

gdzie div oznacza dywergencję.

Niech V\subset\mathbb{R}^{{n}} będzie obszarem takim, że rozwiązania starujące z V są określone dla czasów pomiędzy 0 i t. Podzielmy obszar V na prostokątne kostki \Delta _{{j}} o małej krawędzi \varepsilon i z wyróżnionymi punktami z_{{j}}\in\Delta _{{j}}. Pod działaniem potoku g^{{t}} te kostki przejdą na nielinowe obszarki g^{{t}}(\Delta _{{j}}), które są bliskie równoległościankom rozpiętym przez wektory postaci \varepsilon\cdot f_{{i}}(t),\,gdzie każdy wektor f_{{i}}(t) jest jak powyżej dla przekształcenia g_{{0}}^{{t}} związanego z równaniem w wariacjach wzdłuż rozwiązania \varphi _{{j}}(t) startującego z z_{{j}}. Następnie sumujemy objętości obszarków g^{{t}}(\Delta _{{j}}) i przechodzimy do granicy z \varepsilon\rightarrow 0, korzystając z własności (6.28) i (6.29). W rezultacie otrzymujemy następujący wynik.

Brak opisu

Twierdzenie 6.24. Dla obszaruV\subset\mathbb{R}^{{n}}i potoku g^{{t}} generowanego przez autonomiczne pole vektorowe v(x) zachodzi tożsamość

\frac{d}{dt}\left|g^{{t}}(V)\right|=\int _{{g^{{t}}(V)}}\textrm{div\,}v(x)d^{{n}}x.

W szczególności, jeśli \textrm{div}\, v(x)<0, to potok g^{{t}} ma własność zmniejsznia objętości, a jeśli \textrm{div}\, v(x)>0, to potok ma własność rozszerzania obszarów.

ZADANIA

Zadanie 6.25. W zależności od stałych M=\sup _{{I\times U}}\left|v(t,x)\right| i L=\sup\frac{\left|v(t,x_{{1}})-v(t,x_{{2}}\right|}{\left|x_{{1}}-x_{{2}}\right|} (stała Lipschitza) dobrać \varepsilon w I_{{0}}=(t_{{0}}-\varepsilon,t_{{0}}+\varepsilon) i promienie w kulach U_{{0}}= B(x_{{\ast}},r)=\left\{\left|x-x_{{\ast}}\right|<r\right\}\subset U i \mathcal{B}(x_{{0}},R)=\left\{\varphi:I_{{0}}\times U_{{0}}\longmapsto\mathbb{R}^{{n}}:\sup\left|\varphi(t,x_{{0}})-x_{{0}}\right|<R\right\}, aby: (i) \mathcal{T}:\mathcal{B}(x_{{0}},R) \longmapsto\mathcal{B}(x_{{0}},R) oraz (ii) \mathcal{T} było kontrakcją na \mathcal{B}(x_{{0}},R). To da uzupełnienie dowodu Twierszenia 6.5.

Zadanie 6.26. Uzupełnić dowody Twierdzeń 6.7 i 6.8.

Wskazówka: W dowodzie Twierdzenia 6.7 rozważyć ciąg przybliżeń x=\varphi _{{n}}(t;x_{{0}}), z=\psi _{{n}}(t;x_{{0}}) dla zagadnienia początkowego \dot{x}=v(t;x),\dot{z}=\frac{\partial v}{\partial x}(t,x)z, x(t_{{0}})=x_{{0}}, z(t_{{0}})I, gdzie z(t;x_{{0}}) przyjmuje wartości w przestrzenie macierzy n\times n. W dowodzie Twierdzenia 6.8 skorzystać z Twierdzenia 6.7.

Zadanie 6.27. Udowodnić, że jeśli v(t,x;\lambda) zależy w sposób analityczny od zwoich argumentów, to rozwiązanie \varphi(t;x_{{0}};\lambda) też jest analityczne.

Zadanie 6.28. Uzupełnić dowód Twierdzenia 6.9.

Zadanie 6.29. Uzupełnić dowód twierdzenia 6.10.

Zadanie 6.30. Znaleźć rozwiązanie równania x^{{2}}\frac{dy}{dx}-\cos 2y=1 spełniające warunek y(+\infty)=\frac{9\pi}{4}.

Zadanie 6.31. Rozwiązać równanie \frac{dy}{dx}=\sqrt{4x+2y-1}.

Zadanie 6.32. Rozwiązać równanie x\frac{dy}{dx}=y-xe^{{y/x}}.

Zadanie 6.33. Rozwiązać równanie \frac{dy}{dx}=y^{{2}}-2/x^{{2}}.

Zadanie 6.34. Rozwiązać równanie 2ydx+(x^{{2}}y+1)xdy=0.

Zadanie 6.35. Rozwiązać równanie xy^{{\prime}}-2y=2x^{{4}}.

Zadanie 6.36. Rozwiązać równanie xydy=(y^{{2}}+x)dx.

Zadanie 6.37. Rozwiązać następujące równanie Riccatiego y^{{\prime}}=2xy-y^{{2}}+5-x^{{2}}.

Wskazówka: Zgadnąć jedno rozwiązanie.

Zadanie 6.38. Rozwiązać równanie \frac{dy}{dx}=\frac{ax^{{2}}+by^{{2}}+1}{2xy}.\

Wskazówka: Poszukać czynnika całkującego w postaci x^{{\alpha}}.

Zadanie 6.39. Rozwiązać równanie \frac{y}{x}dx+(y^{{3}}+\ln x)dy=0.

Zadanie 6.40. Rozważmy układ liniowy \dot{x}=A(t)x+b(t), z ciągłymi A(t) i b(t) oraz z oszacowaniami \left\| A(t)\right\|\leq C_{{1}}(t) i \left|b(t)\right|\leq C_{{1}}(t). Pokazać oszacowania \left|\frac{d}{dt}\left|x\right|^{{2}}\right|\leq 2C_{{1}}(t)\left|x\right|^{{2}}+2C_{{2}}(t)\left|x\right|\leq C_{{3}}(t)\left|x\right|^{{2}}, gdzie ostatnia nierówność zachodzi dla dostatecznie dużych \left|x\right| i pewnej ciągłej funkcji C_{{3}}(t). Wywnioskować stąd, że rozwiązania nie mogą uciec do nieskończoności po skończonym czasie.

Zadanie 6.41. Podać ogólne rozwiązanie układu \dot{x}=x-y-z, \dot{y}=x+y, \dot{z}=3x+z.

Zadanie 6.42. Podać ogólne rozwiązanie układu \dot{x}=x-y+1/\cos t, \dot{y}=2x-y.

Zadanie 6.43. Podać ogólne rozwiązanie równania \frac{d^{{4}}}{dt^{{4}}}x+4x=0.

Zadanie 6.44. Podać ogólne rozwiązanie równania \ddot{x}+2\dot{x}+x=t(e^{{-t}}-\cos t).

Zadanie 6.45. Dla jakich k i \omega równanie \ddot{x}+k^{{2}}x=\sin\omega t posiada przynajmniej jedno okresowe rozwiązanie.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.