Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych – Wprowadzenie – MIM UW

Wprowadzenie

Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych (JTRRZ) zajmuje dosyć szczególne miejsce zarówno w Matematyce Stosowanej jak i w Matematyce Teoretycznej. Z jednej strony jest to kontynuacja standardowego wykładu z Równań Różniczkowych Zwyczajnych (RRZ). Z drugiej strony stanowi ona wprowadzenie do teorii Układów Dynamicznych (UD), jednej z głównych dyscyplin matematycznych ostatnich dziesięcioleci. Ponadto okazuje się bardzo przydatna absolwentom, gdy w pracy zawodowej spotykają się z równaniami różniczkowymi, które są zwykle mocno skomplikowane i nie nie dają się rozwiązać standardowymi metodami. O ile się zbytnio nie przechwalam, to pierwszy wykład z JTRRZ na Wydziale MIM został wygłoszony przeze mnie w drugiej połowie lat 80-tych zeszłego wieku; jak widać, pomysł okazał się udany.

Główna idea jakościowej analizy równań różniczkowych polega na tym, aby bez rozwiązywania samych równań, móc coś powiedzieć o zachowaniu się rozwiązań.

Dlatego na pierwsze miejsce wysuwają się takie własności pewnych rozwiązań jak stabilność. Jest to stabilność względem zmian warunków początkowych równania. Zauważmy, że nawet przy podejściu numerycznym do równań różniczkowych wszystkie wyliczenia są obarczone pewnym nieuniknionym błędem. Zatem dobrze jest, gdy asymptotyczne zachownie się rozwiązań jest niewrażliwe na zaburzenia stanu początkowego. Na tym z grubsza koncentruje się pierwsza część skryptu.

Innym istotnym pojęciem tej teorii jest strukturalna stabilność. Jest to stabilność całego układu, tj. portretu fazowego, względem zaburzeń parametrów, które zwykle występują (i to w dużych ilościach) po prawej stronie równań. W przypadku braku strukturalnej stabilności mamy do czynienia z bifurkacjami. Metody jakościowej teorii pozwalają na dosyć precyzyjne i ścisłe badanie takich bifurkacji. Opisujemy je w trzeciej części skryptu.

W przypadku 2-wymiarowych autonomicznych układów portrety fazowe są koncepcyjnie dosyć proste, składają się one z punktów osobliwych, ich separatrys i cykli granicznych; dochodzą jeszcze rozdmuchania osobliwości i zachowanie na nieskończoności. Warto wspomnieć, że problem cykli granicznych dla wielomianowych pól wektorowych to do dziś nierozwiązany szesnasty problem Hilberta. Tym tematom jest poświęcona druga część skryptu.

Czwarta część jest poświęcona kilku zagadnieniom, w których występuje mały parametr (w różnym kontekście). W szczególności do tej klasy zagadnień zalicza się teoria KAM i teoria drgań relaksacyjnych; omawiamy je dosyć pobieżnie.

W układach wielowymiarowych pojawiają się nowe zjawiska, z których najważniejszy jest chaos. Najbardziej elementarym przykadem układu chaotycznego jest słynna podkowa Smale'a, definiowana dla pojedynczego przekształcenia. W przedostatniej części tego skryptu pokażemy jak podkowa Smale'a pojawia już w takich elementarych układach jak huśtawka poruszana okresową siłą zewnętrzną. Podamy też inne przykłady chaotycznych zachowań, jak atraktory.

W Dodatku (Rozdział 6) czytelnik znajdzie zebrane główne fakty z kursowego wykładu z Równań Różniczkowych Zwyczajnych.

Każdy rozdział zawiera serię zadań (o różnym stopniu trudności), które szanujący się student powinien rozwiązać.

Na koniec wstępu chciałbym podziękować profesorowi Zbigniewowi Peradzyńskiemu, który starannie przeczytał rękopis i przekazał mi listę uwag i błędów.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.