Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Teoria sterowania – 3. Obserwowalność – MIM UW

3. Obserwowalność

Rozpatrujemy następujący układ liniowy:

\dot{x}=Ax\,,\qquad x(0)=x_{0}\,,\qquad y=Cx\,,\quad t\geq 0\,, (3.1)

gdzie x=x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}, y=y(t)\in{\mathbb{R}}^{m}, A jest macierzą n\times n oraz C jest macierzą m\times n.

Problem 3.1

Zagadnienie obserwowalności (Observability question): dla zadanego y=y(t)\in{\mathbb{R}}^{m} odtworzyć x=x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}, a w szczególności x_{0}\in{\mathbb{R}}^{n}.

Sens tego zagadnienia widać dla m<n: y to pomiary (obserwacje), z których należy odtworzyć wielowymiarowe x.

Definicja 3.1

Układ (3.1) nazywa się obserwowalny (observable), jeżeli dla rozwiązań x_{1}, x_{2}, z faktu, że Cx_{1}(t)=Cx_{2}(t), dla t\in[0,{t_{1}}], wynika, że x_{1}(0)=x_{2}(0).

Przykład 3.1

Jeżeli C=0, to układ nie jest obserwowalny. Jeżeli n=m i C jest nieosobliwa, to x(t)=C^{{-1}}y(t) i układ jest obserwowalny.

Twierdzenie 3.1

Dwa następujące warunki są równoważne

  • (a) układ (3.1) jest obserwowalny;

  • (b) \mathrm{rank}\,\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]=n, czyli układ

    \dot{x}=A^{T}x+C^{T}u (3.2)

    jest lokalnie sterowalny.

Dowód: [19], str. 25, [27], str. 117.

\quad

1. Dowód {(b)} \;\Rightarrow\; {(a)}, czyli \sim{(a)} \;\Rightarrow\; \sim{(b)}. Załóżmy więc \sim{(a)}, czyli, że układ (3.1) nie jest obserwowalny. Istnieją wówczas punkty x_{{1,0}},x_{{2,0}}\in{\mathbb{R}}^{n}, t.ż. x_{{1,0}}\not=x_{{2,0}},

\begin{array}[]{lllll}\dot{x}_{1}&=&Ax_{1}\,,\qquad x_{1}(0)&=&x_{{1,0}}\\
\dot{x}_{2}&=&Ax_{2}\,,\qquad x_{2}(0)&=&x_{{2,0}}\end{array} (3.3)

oraz y(t)=Cx_{1}(t)=Cx_{2}(t) dla każdego t\geq 0. Niech

x(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)\,,\qquad x_{0}=x_{{1,0}}-x_{{2,0}}\,. (3.4)

Stąd

\dot{x}=Ax\,,\qquad x(0)=x_{0}\not=0\,, (3.5)

czyli x(t)=e^{{tA}}x_{0}. Mamy Cx(t)=0 dla t\geq 0. Zatem

Ce^{{tA}}x_{0}=0\,,\qquad t\geq 0\,. (3.6)

Zatem dla t=0 otrzymujemy Cx_{0}=0, następnie różniczkując względem t i wstawiając t=0 otrzymujemy, że

CA^{k}x_{0}=0\,,\qquad\forall k=0,1,2,\ldots\,. (3.7)

Stąd \big(x_{0}\big)^{T}\big(A^{k}\big)^{T}C^{T}=0, a więc \big(x_{0}\big)^{T}\big(A^{T}\big)^{k}C^{T}=0, czyli

\big(x_{0}\big)^{T}\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]=0\,. (3.8)

Ponieważ x_{0}\not=0, więc \mathrm{rank}\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\Big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]<n, co kończy dowód {(b)} \;\Rightarrow\; {(a)}.

2. Dowód {(a)} \;\Rightarrow\; {(b)}, czyli \sim{(b)} \;\Rightarrow\; \sim{(a)}. Załóżmy więc \sim{(b)}, czyli, że

\mathrm{rank}\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]<n\,.

Zatem istnieje x_{0}\not=0, t.ż.

\big(x_{0}\big)^{T}\,\Big[C^{T},A^{T}C^{T},\ldots,\Big(A^{T}\big)^{{n-1}}C^{T}\Big]=0\,,

czyli CA^{k}x_{0}=0 dla każdego k=0,1,\ldots,n-1.

Z twierdzenia Cayleya–Hamiltona wynika, że

A^{n}=-\beta _{{n-1}}A^{{n-1}}-\ldots-\beta _{0}I

dla odpowiednich stałych \beta _{0},\ldots,\beta _{{n-1}} (z wielomianu charakterystycznego).

Stąd CA^{n}x_{0}=0. Następnie

A^{{n+1}}=-\beta _{{n-1}}A^{n}-\ldots-\beta _{0}A\,,

a więc CA^{{n+1}}x_{0}=0. Kontynuując otrzymujemy CA^{k}x_{0}=0 dla każdego k=0,1,\ldots. Mamy

x(t)=e^{{tA}}x_{0}=\sum\limits _{{k=0}}^{{\infty}}\frac{t^{k}A^{k}}{k!}x_{0}\,,

skąd otrzymujemy Cx(t)=0, a zatem układ (3.1) nie jest obserwowalny. To kończy dowód.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.