Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Teoria sterowania – 4. Sterowalność dla układów nieliniowych – MIM UW

4. Sterowalność dla układów nieliniowych

Rozważymy układ nieliniowy (NLA)

\dot{x}=f(x,u)\,,\qquad x(t)\in{\mathbb{R}}^{n}\,,\qquad u\in{\mathbb{U}}_{m}\,, (4.1)

z celem {\mathcal{T}}(t)\equiv 0\in{\mathbb{R}}^{n}. Zakładamy, że f(0,0)=0\in{\mathbb{R}}^{n} i f jest klasy C^{1} na {\mathbb{R}}^{n}\times{\mathbb{R}}^{m}.

Istotną rolę będzie pełniła linearyzacja (NLA) wokół (0,0)\in{\mathbb{R}}^{n}\times{\mathbb{R}}^{m}:

f(x,u)=A_{f}x+B_{f}u+o(|x|+|u|)\,, (4.2)

gdzie

A_{f}=\bigg[\frac{\partial f^{i}}{\partial x^{j}}(0,0)\bigg]_{{i,j=1,\ldots,n}}\,,\qquad B_{f}=\bigg[\frac{\partial f^{i}}{\partial u^{k}}(0,0)\bigg]_{{\genfrac{}{}{0pt}{}{i=1,\ldots,n}{k=1,\ldots,m}}}\,.

Chcemy o sterowalności dla (NLA) w otoczeniu 0\in{\mathbb{R}}^{n} wnioskować ze sterowalności linearyzacji wokół (0,0)\in{\mathbb{R}}^{n}\times{\mathbb{R}}^{m}.

Definicja 4.1

Dla (NLA) wprowadzamy macierz sterowalności układu zlinearyzowanego:

M_{f}=\underbrace{\Big[\, B_{f},A_{f}B_{f},A_{f}^{2}B_{f},\ldots,A_{f}^{{n-1}}B_{f}\,\Big]}_{{\mathrm{macierz}\; n\times nm}}
Twierdzenie 4.1

Dla (NLA): \;\mathrm{rank}\, M_{f}=n\; \;\Longrightarrow\; \; 0\in\mathrm{Int}\,{\mathcal{C}}.

Dowód: [31], str. 38.\;\clubsuit

Wniosek 4.1

Twierdzenie 4.1 zachodzi dla wszystkich sterowań, dla których można w danej klasie przedłużać sterowanie zerem.

Jednakże odpowiednik twierdzenia 4.1 dla {{\mathcal{C}}}_{{BB}} jest fałszywy, jak pokazuje następujący przykład:

Przykład 4.1 (([31], str. 45))

Niech n=m=1 i

{\dot{x}}(t)=u(t)+\big(u(t)\big)^{2}

dla -1\leq u(t)\leq 1. Mamy

A_{f}=f_{x}(0,0)=0\,,\qquad B_{f}=f_{u}(0,0)=1\,,\qquad M_{f}=1\,.

Zatem \;{\mathrm{rank}}\, M_{f}=1=n\; i \; 0\; leży we wnętrzu \;{{\mathcal{C}}}\; z twierdzenia 4.1 (a także dla \;{{\mathcal{C}}}_{{PC}}\; oraz \;{{\mathcal{C}}}_{{\varepsilon}}\;). Ale u\in{{\mathbb{U}}}_{{BB}} implikuje, że u+\big(u\big)^{2} równa się 0, albo 2, a zatem {\dot{x}}\geq 0. Stąd 0\not\in\,{\rm Int}\,{{\mathcal{C}}}_{{BB}}, gdyż żaden punkt x_{0}>0 nie może być doprowadzony do 0.

Ten sam przykład pokazuje, że zasada bang–bang (rozdział 5.1) nie zachodzi dla (NLA).

Twierdzenie 4.2

Dla (NLA): Jeżeli układ z zerowym sterowaniem (u=0) jest globalnie asymptotycznie stabilny i \;{\rm rank}\, M_{f}=n\;, to {{\mathcal{C}}}={{\mathbb{R}}}^{n}.

Dowód: [31], str. 43.

\quad

Dla (NLA) twierdzenie 4.1 gwarantuje istnienie \delta>0, t.ż. istnieje kula {\mathbb{B}}(0;\delta)\subset{\mathcal{C}}. Globalna asymptotyczna stabilność rozwiązania dla u\equiv 0 implikuje, że

\lim\limits _{{t\to\infty}}x(t;x_{0},0)=0

dla każdego x_{0}\in{\mathbb{R}}^{n}. Zatem każde rozwiązanie z u\equiv 0 wchodzi do {\mathbb{B}}(0,\delta) w skończonym czasie. Następnie korzystamy z {\mathbb{B}}(0;\delta)\subset{\mathcal{C}}.

Twierdzenie 4.2 wskazuje na ścisły związek pomiędzy teorią stabilności a sterowalnością.

Ważnym pojęciem w badaniu stabilności jest funkcja Lapunova (por. [35], rozdział 7.2, [21], rozdział 26).

Definicja 4.2

Niech {\mathbb{G}}\subset{\mathbb{R}}^{n} będzie otoczeniem punktu równowagi x_{{\ast}}\in{\mathbb{R}}^{n} układu \dot{x}=f(x). Funkcję V\,:\;{\mathbb{G}}\longrightarrow{\mathbb{R}}_{+} nazywamy funkcją Lapunova, jeżeli

  1. jest ciągła w {\mathbb{G}} i różniczkowalna w {\mathbb{G}}\setminus\{ x_{{\ast}}\},

  2. V(x)\geq 0\forall\; x\in{\mathbb{G}}, \quad V(x)=0\;\Leftrightarrow\; x=x_{{\ast}}

  3. \dot{V}(x)\leq 0\;\forall\; x\in{\mathbb{G}}\setminus\{ x_{{\ast}}\}, gdzie

    \dot{V}(x)=\Big(\mathrm{grad}\, V(x)\Big)^{T}f(x)\,.
Definicja 4.3

Mocną funkcją Lapunova nazywamy V\,:\;{\mathbb{G}}\longrightarrow{\mathbb{R}}_{+}, jeżeli

  1. jest funkcją Lapunova w {\mathbb{G}},

  2. \dot{V}<0\forall\; x\in{\mathbb{G}}\setminus\{ x_{{\ast}}\}.

Twierdzenie 4.3

\quad

  1. Jeżeli istnieje funkcja Lapunova, to punkt równowagi x_{{\ast}} jest stabilny w sensie Lapunova.

  2. Jeżeli istnieje mocna funkcja Lapunova, to punkt równowagi x_{{\ast}} jest asymptotycznie stabilny.

\clubsuit

Przykład 4.2 (por. [31], str. 43)

Punkt materialny, o jednostkowej masie, poruszający się pod wpływem zewnętrznej siły F można opisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

\ddot{y}=F\,.

Jeżeli punkt zawieszony jest na sprężynie i ruch odbywa się w ośrodku stawiającym opór, to można przyjąć, że

F=-l\dot{y}-h(y)+u\,,

gdzie F_{1}=-l\dot{y} jest siłą oporu środowiska, l=l(y,\dot{y}), -h(y) jest siłą sprężystości oraz u jest siłą wymuszającą (lub tłumiącą). Na przykład dla prawa Hooke'a h(y)=h_{0}y — por. przykład 1.3.

Załóżmy, że l i h są funkcjami klasy C^{1}, h(0)=0.

Przyjmując x^{1}=y, x^{2}=\dot{y} otrzymujemy układ równań

\left[\begin{array}[]{c}{\dot{x}}^{1}\\
{\dot{x}}^{2}\end{array}\right]\,=\,\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\
0&-l(x^{1},x^{2})\\
\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}{x}^{1}\\
{x}^{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{c}0\\
-h(x^{1})+u\end{array}\right]\,. (4.3)

Układ zlinearyzowany ma postać

\left[\begin{array}[]{c}{\dot{x}}^{1}\\
{\dot{x}}^{2}\end{array}\right]\,=\,\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\
-h^{{\prime}}(0)&-l(0,0)\\
\end{array}\right]\left[\begin{array}[]{c}{x}^{1}\\
{x}^{2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}[]{c}0\\
u\end{array}\right]\,. (4.4)

Mamy

M_{f}\,=\,\left[\begin{array}[]{cc}0&1\\
1&-l(0,0)\\
\end{array}\right]\,,\qquad\mathrm{oraz}\qquad\mathrm{rank}\, M_{f}=2=n\,. (4.5)

Zatem, dla każdego warunku gwarantującego globalną asymptotyczną stabilność rozwiązania x\equiv 0 układu dla u=0, otrzymamy {\mathcal{C}}={\mathbb{R}}^{2}.

Jeżeli

  • l(x^{1},x^{2})>0 dla każdego (x^{1},x^{2})\not=0,

  • yh(y)>0 dla każdego y\not=0,

  • \lim\limits _{{|y|\to\infty}}\,\int\limits _{0}^{y}h(s)\mathrm{d}\, s=+\infty,

to rozwiązanie x\equiv 0 jest globalnie asymptotycznie stabilne.

Rzeczywiście, niech:

V(x^{1},x^{2}):=\frac{\big(x^{2}\big)^{2}}{2}+H(x^{1})\,,\qquad H(y)=\int\limits _{0}^{y}h(s)\mathrm{d}s\,,
V(x^{1},x^{2})>0\qquad\forall\;(x^{1},x^{2})\not=0\,,
\lim\limits _{{|x|\to\infty}}V(x)=\infty (4.6)

oraz wzdłuż rozwiązań układu z u\equiv 0:

\begin{array}[]{ll}\dot{V}(x^{1},x^{2})=x^{2}\dot{x}^{2}+h(x^{1})\dot{x}^{1}=&\\
x^{2}\Big(-l(x^{1},x^{2})x^{2}-h(x^{1})\Big)+h(x^{1})x^{2}=-\big(x^{2}\big)^{2}l(x^{1},x^{2})\leq&0\,.\end{array} (4.7)

Zatem V jest funkcją Lapunova i rozwiązanie x\equiv 0 dla u\equiv 0 jest stabilne (w sensie Lapunova). Argument ten nie wystarczy do pokazania asymptotycznej stabilności, gdyż \dot{V} zeruje się nie tylko dla (x^{1},x^{2})=(0,0), ale również dla punktów (x^{1},x^{2}), takich że x^{1}\not=0, x^{2}=0. Aby pokazać asymptotyczną stabilność wystarczy wykazać, że jeżeli trajektoria przechodzi przez taki punkt (x^{1},0), x^{1}\not=0, to jest to punkt przegięcia (flex point) funkcji V i funkcja ta jest ściśle malejąca (por. [35], str. 211, przykład 7.4). Jeżeli {t_{{\ast}}}>0 jest t.ż. x^{1}({t_{{\ast}}})\not=0 i x^{2}({t_{{\ast}}})=0, to \dot{x}^{2}({t_{{\ast}}})=-h(x^{1}({t_{{\ast}}}))\not=0. Stąd \dot{x}^{2}(t) ma ten sam znak i x^{2}(t)\not=0 w sąsiedztwie {t_{{\ast}}}. Zatem V(x^{1}(t),x^{2}(t)) ma w {t_{{\ast}}} punkt przegięcia i jest ściśle malejąca. To gwarantuje asymptotyczną stabilność.

Globalność wynika z warunku 4.6 — por. [23], twierdzenia 26.2, 26.3, str. 108–109.

Istnieje związek pomiędzy {\mathcal{C}}_{{PC}} i {\mathcal{C}}:

Twierdzenie 4.4

Dla (NLA): jeżeli 0\in\mathrm{Int}\,{\mathcal{C}}_{{PC}}, to {\mathcal{C}}_{{PC}}={\mathcal{C}}.

Dowód: [31], str. 46–47.\;\clubsuit

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.