Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 10. Całka względem ciągłych martyngałów – MIM UW

Zagadnienia

10. Całka względem ciągłych martyngałów

Podczas wcześniejszych wykładów zdefiniowaliśmy całkę \int XdW. Okazuje się, że bez większych trudności definicję tę daje się uogólnić na \int XdM, gdzie M jest ciągłym martyngałem (a nawet ciągłym martyngałem lokalnym).

10.1. Rozkład Dooba-Meyera

Podstawą konstrukcji całki stochastycznej względem procesu Wienera jest to, że W_{t} i W_{t}^{2}-t są martyngałami. Okazuje się, że dla dowolnego całkowalnego z kwadratem ciągłego martyngału M znajdzie się proces niemalejący X taki, że M^{2}-X jest martyngałem.

Twierdzenie 10.1 (rozkład Dooba-Meyera)

Dla M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T} istnieje proces \langle M\rangle=(\langle M\rangle _{{t}})_{{0\leq t\leq T}} o trajektoriach ciągłych, niemalejących taki, że \langle M\rangle _{0}=0 oraz (M^{2}_{t}-\langle M\rangle _{t})_{{0\leq t\leq T}} jest martyngałem. Co więcej proces \langle M\rangle jest wyznaczony jednoznacznie.

Udowodnimy jednoznaczność rozkładu, dowód istnienia można znaleźć w [5].

Dowód Jednoznaczności

Załóżmy, że procesy Y_{t},Z_{t} są niemalejące oraz M_{t}^{2}-Y_{t} i M_{t}^{2}-Z_{t} są martyngałami o ciągłych trajektoriach. Trajektorie procesu Y_{t}-Z_{t} mają wahanie skończone, ponadto Y_{t}-Z_{t}=(M_{t}^{2}-Z_{t})-(M_{t}^{2}-Y_{t}) jest martyngałem ciągłym. Stąd, na podstawie Twierdzenia 7.3, Y-Z\equiv 0.

Przykład 10.1

Dla procesu Wienera \langle W\rangle _{t}=t.
Ogólniej, Wniosek 9.1 implikuje, że \langle\int X_{s}\, dW_{s}\rangle _{t}=\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, ds dla X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}.

10.2. Całka izometryczna

Ponieważ dla wszystkich \omega, t\rightarrow\langle M\rangle _{t}(\omega) jest niemalejące, zatem ma wahanie skończone, czyli można określić skończoną miarę d\langle M\rangle _{t}(\omega) na [0,T]. Z uwagi na ciągłość \langle M\rangle miara ta jest bezatomowa. Następna definicja jest naturalnym uogólnieniem definicji dla procesu Wienera.

Definicja 10.1

Dla procesu elementarnego X postaci

X=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=0}}^{{m-1}}\xi _{k}{\mathrm{I}}_{{(t_{k},t_{{k+1}}]}},

gdzie 0=t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq\ldots\leq t_{{m}}<T, \xi _{k} ograniczone, {\mathcal{F}}_{{t_{k}}}- mierzalne oraz M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T} określamy

\int _{0}^{t}X\, dM:=\sum _{{k=0}}^{{m-1}}\xi _{k}(M_{{t_{{k+1}}\wedge t}}-M_{{t_{k}\wedge t}})\mbox{ dla }0\leq t\leq T.

Definiujemy też dla M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T},

{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M)=\Big\{ X=(X_{{t}})_{{t<T}}\mbox{  prognozowalne takie, że }{\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}\, d\langle M\rangle _{s}<\infty\Big\}.
Stwierdzenie 10.1

Niech M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}} oraz X\in{\mathcal{E}}. Wówczas I(X):=\int X\, dM\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}, I(X)_{0}=0 oraz

\| I(X)\| _{{{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}}}^{2}={\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{T}X_{s}\, dM_{s}\Big)^{2}={\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}\, d\langle M\rangle _{s}=\| X\| _{{{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M)}}^{2}.

Ciągłość I(X), warunek I(X)_{0}=0 oraz to, że I(X)_{t}\in L_{2} dla wszystkich t są oczywiste. Dla t_{j}\leq t\leq t_{{j+1}} mamy

I(X)_{t}=\xi _{0}(M_{{t_{1}}}-M_{{t_{0}}})+\xi _{1}(M_{{t_{2}}}-M_{{t_{1}}})+\ldots+\xi _{j}(M_{t}-M_{{t_{{j}}}}).

Dla t_{j}\leq t\leq s\leq t_{{j+1}} otrzymujemy zatem

{\mathbb{E}}(I(X)_{s}|{\mathcal{F}}_{t})-I(X)_{t}={\mathbb{E}}(\xi _{j}(M_{s}-M_{t})|{\mathcal{F}}_{t})=\xi _{j}({\mathbb{E}}(M_{s}|{\mathcal{F}}_{t})-M_{t})=0,

czyli I(X) jest martyngałem. Ponadto

\displaystyle{\mathbb{E}}I(X)_{T}^{2}= \displaystyle\sum _{{k=0}}^{{m-1}}{\mathbb{E}}[\xi _{k}^{2}(M_{{t_{{k+1}}}}-M_{{t_{k}}})^{2}]
\displaystyle+2\sum _{{j<k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}(M_{{t_{k}}}-M_{{t_{{k-1}}}})(M_{{t_{j}}}-M_{{t_{{j-1}}}})]=:I_{1}+I_{2}.

Zauważmy, że dla s<t,

\displaystyle{\mathbb{E}}((M_{t}-M_{s})^{2}| \displaystyle{\mathcal{F}}_{s})
\displaystyle={\mathbb{E}}(M_{{t}}^{2}-\langle M\rangle _{t}|{\mathcal{F}}_{s})+{\mathbb{E}}(\langle M\rangle _{t}|{\mathcal{F}}_{s})-2M_{s}{\mathbb{E}}(M_{s}|{\mathcal{F}}_{s})+M_{{s}}^{2}
\displaystyle=M_{{s}}^{2}-\langle M\rangle _{s}+{\mathbb{E}}(\langle M\rangle _{t}|{\mathcal{F}}_{s})-M_{s}^{2}={\mathbb{E}}(\langle M\rangle _{t}-\langle M\rangle _{s}|{\mathcal{F}}_{s}).

Stąd

\displaystyle I_{1} \displaystyle=\sum _{k}{\mathbb{E}}[\xi _{k}^{2}{\mathbb{E}}((M_{{t_{{k+1}}}}-M_{{t_{k}}})^{2}|{\mathcal{F}}_{{t_{k}}})]=\sum _{k}{\mathbb{E}}[\xi _{k}^{2}{\mathbb{E}}(\langle M\rangle _{{t_{{k+1}}}}-\langle M\rangle _{{t_{k}}}|{\mathcal{F}}_{{t_{k}}})]
\displaystyle={\mathbb{E}}\sum _{{k}}\xi _{k}^{2}(\langle M\rangle _{{t_{{k+1}}}}-\langle M\rangle _{{t_{k}}})={\mathbb{E}}\sum _{k}\int _{{t_{k}}}^{{t_{{k+1}}}}\xi _{k}^{2}\, d\langle M\rangle _{s}={\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}\, d\langle M\rangle _{s}.

Ponadto

I_{2}=2\sum _{{j<k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}(M_{{t_{j}}}-M_{{t_{{j-1}}}}){\mathbb{E}}(M_{{t_{k}}}-M_{{t_{{k-1}}}}|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]=0.

Tak jak dla procesu Wienera dowodzimy, że domknięcie {\mathcal{E}} w przestrzeni L_{2}([0,T)\times\Omega,d\langle M\rangle\otimes{\mathbb{P}}) jest równe \overline{{\mathcal{E}}}={\mathcal{L}}_{T}^{2}(M). Izometrię I(X) możemy przedłużyć do \overline{{\mathcal{E}}}, w ten sposób otrzymujemy izometryczną definicję całki I(X)=\int X\, dM dla X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M). Mamy zatem następujący fakt.

Stwierdzenie 10.2

Niech M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}. Wówczas
a) Dla X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M) proces \int XdM\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T} oraz

\Big\|\int XdM\Big\| _{{{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}}}^{2}={\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{T}X_{s}dM_{s}\Big)^{2}={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{T}X_{s}^{2}d\langle M\rangle _{s}=\| X\| _{{{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M)}}.

b) Jeśli X,Y\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M), to aX+bY\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M) dla a,b\in{\mathbb{R}} oraz \int(aX+bY)dM=a\int XdM+b\int YdM.

10.3. Uogólnienie definicji całki

Zacznijmy od prostego faktu.

Stwierdzenie 10.3

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}, wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania \tau, M^{{\tau}}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T} oraz \langle M^{{\tau}}\rangle=\langle M\rangle^{{\tau}}.

Wiemy, że M^{{\tau}} jest ciągłym martyngałem. Na mocy nierówności Jensena

{\mathbb{E}}|M^{{\tau}}_{T}|^{2}={\mathbb{E}}M^{2}_{{\tau\wedge T}}={\mathbb{E}}[{\mathbb{E}}(M_{T}|{\mathcal{F}}_{{\tau\wedge T}})]^{2}\leq{\mathbb{E}}M_{T}^{2},

zatem M^{{\tau}}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}. Proces \langle M\rangle^{{\tau}} startuje z zera, ma trajektorie ciągłe, ponadto (M^{{\tau}})^{2}-\langle M\rangle^{{\tau}}=(M^{2}-\langle M\rangle)^{{\tau}} jest martyngałem, więc \langle M\rangle^{{\tau}} spełnia wszystkie warunki definicji \langle M^{{\tau}}\rangle.

Możemy uogólnić rozkład Dooba-Meyera na przypadek ciągłych martyngałów lokalnych.

Wniosek 10.1

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}, wówczas istnieje dokładnie jeden proces \langle M\rangle=(\langle M\rangle _{t})_{{0\leq t<T}} o trajektoriach ciągłych, niemalejących taki, że \langle M\rangle _{0}=0 oraz M^{2}-\langle M\rangle\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}.

Istnienie. Niech \tau _{n} będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takim, że M^{{\tau _{n}}}\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}. Określmy Y_{n}:=\langle M^{{\tau _{n}}}\rangle, wówczas dla n\leq m,

Y_{m}^{{\tau _{n}}}=\langle M^{{\tau _{m}}}\rangle^{{\tau _{n}}}=\langle(M^{{\tau _{m}}})^{{\tau _{n}}}\rangle=\langle M^{{\tau _{n}\wedge\tau _{m}}}\rangle=\langle M^{{\tau _{n}}}\rangle=Y_{n}.

Stąd istnieje proces ciągły Y=(Y_{t})_{{0\leq t<T}} taki, że Y^{{\tau _{n}}}=Y_{n}, oczywiście Y_{0}=Y_{{n,0}}=0, ponadto Y ma trajektorie niemalejące oraz

(M^{2}-Y)^{{\tau _{n}}}=(M^{{\tau _{n}}})^{2}-Y^{{\tau _{n}}}=(M^{{\tau _{n}}})^{2}-\langle M^{{\tau _{n}}}\rangle\in{\mathcal{M}}^{{c}},

zatem M^{2}-Y jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0,T).

Jednoznaczność. Niech Y i \bar{Y} procesy ciągłe o niemalejących trajektoriach takie, że Y_{0}=\bar{Y}_{0}=0 oraz M^{2}-Y i M^{2}-\bar{Y} są martyngałami lokalnymi. Wówczas istnieją momenty zatrzymania \tau _{n}\nearrow T i \bar{\tau}_{n}\nearrow T takie, że (M^{2}-Y)^{{\tau _{n}}} oraz (M^{2}-\bar{Y})^{{\bar{\tau}_{n}}} są martyngałami. Biorąc \sigma _{n}=\tau _{n}\wedge\bar{\tau}_{n}\nearrow T dostajemy martyngały (M^{2}-Y)^{{\sigma _{n}}}=((M^{2}-Y)^{{\tau _{n}}})^{{\bar{\tau}_{n}}} oraz (M^{2}-\bar{Y})^{{\sigma _{n}}}=((M^{2}-\bar{Y})^{{\bar{\tau}_{n}}})^{{\tau _{n}}}, proces (Y-\bar{Y})^{{\sigma _{n}}} jest więc martyngałem o ograniczonym wahaniu, czyli jest stały, zatem Y^{{\sigma _{n}}}=\bar{Y}^{{\sigma _{n}}}. Przechodząc z n\rightarrow\infty otrzymujemy Y=\bar{Y}.

Podobnie jak dla procesu Wienera dowodzimy twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej względem martyngałów całkowalnych z kwadratem.

Twierdzenie 10.2

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}, X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M) oraz \tau jest momentem zatrzymania. Wówczas {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M), X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M^{{\tau}}) oraz

\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)X_{s}\, dM_{s}=\int _{{0}}^{{t\wedge\tau}}X_{s}\, dM_{s}=\int _{0}^{t}X_{s}dM^{{\tau}}_{s}\quad\mbox{ dla }0\leq t\leq T.
Definicja 10.2

Dla T\leq\infty, M\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}} określamy przestrzeń procesów prognozowalnych, lokalnie całkowalnych z kwadratem względem \langle M\rangle

\Lambda^{2}_{T}(M)=\Big\{(X_{t})_{{t<T}}-\mbox{ prognozowalny}\colon\ \int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, d\langle M\rangle _{s}<\infty\mbox{  p.n. dla }t<T\Big\}.

Ponieważ \int XdM=\int Xd(M-M_{0}) oraz \langle M-M_{0}\rangle=\langle M\rangle, więc bez straty ogólności przy uogólnianiu definicji całki będziemy zakładać, że M_{0}=0.

Definicja 10.3

Niech M=(M_{t})_{{t<T}}\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}, M_{0}=0, X=(X_{t})_{{t<T}}\in\Lambda^{2}_{T}(M) oraz \tau _{n} będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takich, że M^{{\tau _{n}}}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T} i {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}(M^{{\tau _{n}}}) dla wszystkich n. Całką stochastyczną \int X\, dM nazywamy taki proces (N_{t})_{{t<T}}=(\int _{0}^{t}X\, dM)_{{t<T}}, że N^{{\tau _{n}}}_{t}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dM^{{\tau _{n}}} dla n=1,2,\ldots.

Nietrudno udowodnić (naśladując dowód dla całki względem procesu Wienera), że całka \int X\, dM dla M\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}} i X\in\Lambda^{2}_{T}(M) jest zdefiniowana poprawnie i jednoznacznie (z dokładnością do nieodróżnialności procesów) oraz nie zależy od wyboru ciągu momentów zatrzymania \tau _{n}.

Następujący fakt przedstawia podstawowe własności \int XdM.

Stwierdzenie 10.4

Niech M,N\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}. Wówczas
a) Dla X\in\Lambda _{T}^{2}(M) proces \int XdM\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}.
b) Jeśli X,Y\in\Lambda _{T}^{2}(M), to aX+bY\in\Lambda _{T}^{2}(M) dla a,b\in{\mathbb{R}} oraz \int(aX+bY)dM=a\int XdM+b\int YdM.
c) Jeśli X\in\Lambda _{T}^{2}(M)\cap\Lambda _{T}^{2}(N) oraz a,b\in{\mathbb{R}}, to X\in\Lambda _{T}^{2}(aM+bN) oraz \int Xd(aM+bN)=a\int XdM+b\int XdN.

Można również sformułować twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej w ogólnym przypadku.

Twierdzenie 10.3

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{{\rm loc}}}, X\in\Lambda _{T}^{2}(M) oraz \tau będzie momentem zatrzymania. Wówczas {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in\Lambda _{T}^{2}(M), X\in\Lambda _{T}^{2}(M^{{\tau}}) oraz

\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)\, dM_{s}=\int _{{0}}^{{t\wedge\tau}}X_{s}\, dM_{s}=\int _{0}^{t}X_{s}dM^{{\tau}}_{s}\quad\mbox{ dla }0\leq t<T.

10.4. Zadania

Ćwiczenie 10.1

Niech M=\int W_{t}^{2}dW_{t}. Oblicz {\mathbb{E}}M_{s}^{2}. Jak wygląda przestrzeń {\cal L}^{2}_{T}(M)? Czy W_{t}^{{-1}} należy do tej przestrzeni?

Ćwiczenie 10.2

Udowodnij Twierdzenia 10.2 i 10.3.

Ćwiczenie 10.3

Udowodnij Stwierdzenie 10.4.

Ćwiczenie 10.4

Załóżmy, że X jest procesem ciągłym, a M ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że jeśli t<T, \Pi _{n}=(t_{0}^{{(n)}},t_{1}^{{(n)}},\ldots,t_{{k_{n}}}^{{(n)}}) jest ciągiem podziałów [0,t] takim, że 0=t_{0}^{{(n)}}\leq t_{1}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{n}}}^{{(n)}}=t oraz \mathrm{diam}(\Pi _{n})\rightarrow 0, to

\sum _{{k=0}}^{{k_{n}-1}}X_{{{t_{k}^{{(n)}}}}}(M_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-M_{{t_{k}^{{(n)}}}})\rightarrow\int _{0}^{t}X_{s}dM_{s}\quad\mbox{ według prawdopodobieństwa. }
Ćwiczenie 10.5

Wykaż, że każdy ciągły martyngał lokalny M=(M_{t})_{{t<T}}, którego trajektorie mają skończone wahanie na każdym przedziale [0,t] jest stale równy M_{0}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.