Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 11. Własności nawiasu skośnego – MIM UW

Zagadnienia

11. Własności nawiasu skośnego

Podczas tego wykładu zajmiemy się interpretacją procesu \langle M\rangle. Wprowadzimy też definicję nawiasu skośnego pary ciągłych martyngałów lokalnych.

11.1. Nawias skośny jako wariacja kwadratowa

Niech \Pi=(t_{0},t_{1},\ldots,t_{k}) będzie podziałem [0,t] takim, że 0=t_{0}\leq t_{1}\leq\ldots\leq t_{k}=t. Definiujemy wówczas

V_{{\Pi,t}}^{M}:=\sum _{{i=1}}^{k}(M_{{t_{i}}}-M_{{t_{{i-1}}}})^{2}.

Będziemy też czasem pisać V_{{\Pi,t}}(M) zamiast V_{{\Pi,t}}^{M}. Pokażemy, że \langle M\rangle _{t} jest granicą V_{{\Pi,t}}^{M} przy \mathrm{diam}(\Pi)\rightarrow 0, dlatego też \langle M\rangle nazywa się często wariacją kwadratową M.

Zacznijmy od najprostszej sytuacji martyngałów ograniczonych, tzn. takich, że \sup _{t}\| M_{t}\| _{{\infty}}<\infty.

Twierdzenie 11.1

Załóżmy, że M jest ograniczonym martyngałem ciągłym Wówczas V_{{\Pi,t}}^{M}\rightarrow\langle M\rangle _{t} w L_{2}(\Omega) dla t\leq T, gdy \mathrm{diam}(\Pi)\rightarrow 0.

Możemy założyć, rozpatrując zamiast M proces M-M_{0}, że M_{0}=0, bo V_{{\Pi,t}}(M-M_{0})=V_{{\Pi,t}}(M) oraz \langle M-M_{0}\rangle=\langle M\rangle ((M-M_{0})^{2}-\langle M\rangle=(M^{2}-\langle M\rangle)-2MM_{0}+M_{0}^{2} jest martyngałem, czyli, z jednoznaczności \langle\cdot\rangle, mamy \langle M-M_{0}\rangle=\langle M\rangle).

Niech \Pi _{n}=(0=t_{0}^{{(n)}}\leq t_{1}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{n}}}^{{(n)}}=t) będzie ciągiem podziałów [0,t] takim, że \mathrm{diam}(\Pi _{n})\rightarrow 0.

Połóżmy C=\sup _{{s\leq T}}\| M_{s}\| _{{\infty}}. Liczymy

\displaystyle M_{t}^{2} \displaystyle=\Big(\sum _{{k=1}}^{{k_{n}}}(M_{{t_{k}^{{(n)}}}}-M_{{t_{{k-1}}^{{(n)}}}})\Big)^{2}
\displaystyle=\sum _{k}(M_{{t_{k}^{{(n)}}}}-M_{{t_{{k-1}}^{{(n)}}}})^{2}+2\sum _{{k<j}}(M_{{t_{k}^{{(n)}}}}-M_{{t_{{k-1}}^{{(n)}}}})(M_{{t_{j}^{{(n)}}}}-M_{{t_{{j-1}}^{{(n)}}}})
\displaystyle=V_{{\Pi _{n},t}}^{M}+2\sum _{{j}}(M_{{t_{j}^{{(n)}}}}-M_{{t_{{j-1}}^{{(n)}}}})M_{{t_{{j-1}}^{{(n)}}}}=V_{{\Pi _{n},t}}^{M}+2N_{n}(t).

Niech

X_{n}(s):=\sum _{{j=1}}^{{k_{n}}}M_{{t_{{j-1}}^{{(n)}}}}{\mathrm{I}}_{{(t_{{j-1}}^{{(n)}},t_{{j}}^{{(n)}}]}}\in{\mathcal{E}},

wówczas N_{n}(t)=\int _{0}^{t}X_{n}(s)\, dM_{s}. Z ciągłości M dostajemy X_{n}(s)\rightarrow M_{s} dla wszystkich s\leq t. Ponadto |X_{n}|\leq C, stąd |X_{n}-M|^{2}\leq 4C^{2} i na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej,

{\mathbb{E}}\int _{0}^{t}|X_{n}-M|^{2}\, d\langle M\rangle _{s}\rightarrow 0.

Zatem X_{n}\rightarrow M w {\mathcal{L}}_{t}^{2}(M), czyli N_{n}\rightarrow\int M\, dM w {\mathcal{M}}_{t}^{{2,c}}, to znaczy N_{n}(t)\rightarrow\int _{0}^{t}M_{s}\, dM_{s} w L_{2}(\Omega). Wykazaliśmy zatem, iż

V_{{\Pi _{n},t}}^{M}=M_{t}^{2}-2N_{n}(t)\rightarrow M_{t}^{2}-2\int M\, dM\,\mbox{ w }L_{2}(\Omega).

Proces Y:=M^{2}-2\int M\, dM jest ciągły, Y_{0}=0 oraz M^{2}-Y=2\int M\, dM jest martyngałem. By zakończyć dowód, że Y=\langle M\rangle musimy wykazać monotoniczność trajektorii Y. Wybierzmy s<t i rozpatrzmy taki ciąg podziałów \Pi _{n} odcinka [0,t], że s jest jednym z punktów każdego z podziałów. Wówczas \Pi _{n} można też traktować jako ciąg podziałów [0,s] i określić V_{{\Pi _{n},s}}^{M}. Mamy

Y_{s}\stackrel{L_{2}}{\longleftarrow}V_{{\Pi _{n},s}}^{M}\leq V_{{\Pi _{n},t}}^{M}\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}Y_{t},

czyli proces Y ma trajektorie monotoniczne.

Uwaga 11.1

W szczególności przedstawiony dowód pokazuje, że dla martyngału jednostajnie ograniczonego M, takiego, że M_{0}=0, zachodzi M^{2}=2\int M\, dM+\langle M\rangle.

By uogólnić Twierdzenie 11.1 na przypadek martyngałów całkowalnych z kwadratem będziemy potrzebowali dwóch faktów.

Lemat 11.1

Niech (\xi _{n}) będzie ciągiem zmiennych losowych, a (A_{k}) wstępującym ciągiem zdarzeń takim, że {\mathbb{P}}(\bigcup A_{k})=1. Załóżmy, że dla wszystkich k, zmienne \xi _{n}{\mathrm{I}}_{{A_{k}}} zbiegają według prawdopodobieństwa (przy n\rightarrow\infty) do zmiennej \eta _{k}. Wówczas \xi _{n} zbiega według prawdopodobieństwa do zmiennej \eta takiej, że \eta{\mathrm{I}}_{{A_{{k}}}}=\eta _{k} p.n. dla k=1,2,\ldots.

Dla k\leq l mamy \eta _{l}{\mathrm{I}}_{{A_{k}}}=\eta _{k} p.n., gdyż pewien podciąg \xi _{{n_{s}}}{\mathrm{I}}_{{A_{l}}}\rightarrow\eta _{l} p.n., a zatem \xi _{{n_{s}}}{\mathrm{I}}_{{A_{l}}}=\xi _{{n_{s}}}{\mathrm{I}}_{{A_{l}}}{\mathrm{I}}_{{A_{k}}}\rightarrow\eta _{l}{\mathrm{I}}_{{A_{k}}} p.n. (czyli również wg {\mathbb{P}}). Stąd istnieje zmienna losowa \eta taka, że \eta{\mathrm{I}}_{{A_{k}}}=\eta _{k} p.n..

Zauważmy, że {\mathbb{P}}(A_{k}^{{c}})\leq\varepsilon/2 dla dużego k oraz przy ustalonym k, {\mathbb{P}}(|\xi _{n}{\mathrm{I}}_{{A_{k}}}-\eta _{k}|\geq\varepsilon)\leq\varepsilon/2 dla dużych n, stąd

{\mathbb{P}}(|\xi _{n}-\eta|\geq\varepsilon)\leq{\mathbb{P}}(A_{k}^{{c}})+{\mathbb{P}}(|\xi _{n}{\mathrm{I}}_{{A_{k}}}-\eta{\mathrm{I}}_{{A_{k}}}|\geq\varepsilon)\leq\varepsilon

dla dostatecznie dużych n.

Kolejny lemat pokazuje, że przy pewnych prostych założeniach można ze zbieżności według prawdopodobieństwa wyprowadzić zbieżność w L_{1}.

Lemat 11.2

Załóżmy, że \xi _{n}\geq 0, \xi _{n}\rightarrow\xi według {\mathbb{P}} oraz dla wszystkich n, {\mathbb{E}}\xi _{n}={\mathbb{E}}\xi<\infty. Wówczas \xi _{n}\rightarrow\xi w L_{1}.

Mamy

\displaystyle{\mathbb{E}}|\xi-\xi _{n}| \displaystyle={\mathbb{E}}(|\xi-\xi _{n}|-(\xi-\xi _{n}))=2{\mathbb{E}}(\xi-\xi _{n}){\mathrm{I}}_{{\{\xi\geq\xi _{n}\}}}
\displaystyle\leq\frac{\varepsilon}{2}+2{\mathbb{E}}(\xi-\xi _{n}){\mathrm{I}}_{{\{\xi\geq\xi _{n}+\frac{\varepsilon}{4}\}}}\leq\frac{\varepsilon}{2}+2{\mathbb{E}}\xi{\mathrm{I}}_{{\{\xi\geq\xi _{n}+\frac{\varepsilon}{4}\}}}.

Na mocy zbieżności według prawdopodobieństwa, \lim _{{n\rightarrow\infty}}{\mathbb{P}}(\xi\geq\xi _{n}+\varepsilon/4)=0. Ponadto {\mathbb{E}}|\xi|={\mathbb{E}}\xi<\infty, zatem \{\xi\} jest jednostajnie całkowalna , czyli |{\mathbb{E}}\xi{\mathrm{I}}_{A}|\leq\varepsilon/2 dla odpowiednio małego {\mathbb{P}}(A). Stąd {\mathbb{E}}\xi{\mathrm{I}}_{{\{\xi\geq\xi _{n}+\varepsilon/4\}}}\leq\varepsilon/2 dla dużych n, a więc {\mathbb{E}}|\xi-\xi _{n}|\leq\varepsilon.

Twierdzenie 11.2

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}, wówczas dla t<T, V_{{\Pi,t}}^{M}\rightarrow\langle M\rangle _{t} w L_{1}(\Omega), gdy \mathrm{diam}(\Pi)\rightarrow 0.

Jak poprzednio możemy zakładać, że M_{0}=0. Ustalmy ciąg podziałów \Pi _{n} taki, że \mathrm{diam}(\Pi _{n})\rightarrow 0.

Istnieje ciąg momentów zatrzymania \tau _{k}\nearrow T taki, że M^{{\tau _{k}}} jest jednostajnie ograniczony (np. \tau _{k}=\inf\{ t\colon|M_{t}|\leq k\}). Na mocy Twierdzenia 11.1, dla ustalonego k, mamy przy n\rightarrow\infty,

V_{{\Pi _{n},t}}(M^{{\tau _{k}}})\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}\langle M^{{\tau _{k}}}\rangle _{t}=\langle M\rangle^{{\tau _{k}}}_{t}.

Stąd

{\mathrm{I}}_{{\{ t\leq\tau _{k}\}}}V_{{\Pi _{n},t}}(M)={\mathrm{I}}_{{\{ t\leq\tau _{k}\}}}V_{{\Pi _{n},t}}(M^{{\tau _{k}}})\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}{\mathrm{I}}_{{\{ t\leq\tau _{k}\}}}\langle M\rangle _{t}^{{\tau _{k}}}={\mathrm{I}}_{{\{ t\leq\tau _{k}\}}}\langle M\rangle _{t}.

Zbieżność w L_{2} implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa, zatem możemy stosować Lemat 11.1 do \xi _{n}=V_{{\Pi _{n},t}}(M) i A_{k}=\{ t\leq\tau _{k}\}, by otrzymać V_{{\Pi _{n},t}}(M)\rightarrow\langle M\rangle _{t} według {\mathbb{P}}. Mamy jednak

{\mathbb{E}}\langle M\rangle _{t}={\mathbb{E}}M_{t}^{2}={\mathbb{E}}[V_{{\Pi _{n},t}}(M)+2\sum _{j}M_{{t_{{j-1}}^{{(n)}}}}(M_{{t_{j}^{{(n)}}}}-M_{{t_{{j-1}}^{{(n)}}}})]={\mathbb{E}}V_{{\Pi _{n},t}}(M),

a zatem na mocy Lematu 11.2, V_{{\Pi _{n},t}}(M)\rightarrow\langle M\rangle _{t} w L_{1}.

Dla martyngałów lokalnych zachodzi zbliżone twierdzenie, tylko zbieżność w L_{1} musimy zastąpić zbieżnością według prawdopodobieństwa.

Wniosek 11.1

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{{c}}, wówczas dla t<T, V_{{\Pi,t}}^{M}\rightarrow\langle M\rangle _{t} według prawdopodobieństwa, gdy \mathrm{diam}(\Pi)\rightarrow 0.

Bez straty ogólności możemy założyć, że M_{0}=0, wówczas M\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{{2,c}}. Niech \Pi _{n} będą podziałami [0,t] o średnicy zbieżnej do zera oraz \tau _{k}\nearrow T takie, że M^{{\tau _{k}}}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}. Na podstawie Twierdzenia 11.2 otrzymujemy, że dla ustalonego k,

V_{{\Pi _{n},t}}(M^{{\tau _{k}}})\stackrel{L_{1}}{\longrightarrow}\langle M^{{\tau _{k}}}\rangle=\langle M\rangle^{{\tau _{k}}}.

Stąd

V_{{\Pi _{n},t}}(M){\mathrm{I}}_{{\{\tau _{k}\geq t\}}}=V_{{\Pi _{n},t}}(M^{{\tau _{k}}}){\mathrm{I}}_{{\{\tau _{k}\geq t\}}}\stackrel{L_{1}}{\longrightarrow}\langle M\rangle^{{\tau _{k}}}{\mathrm{I}}_{{\{\tau _{k}\geq t\}}}=\langle M\rangle{\mathrm{I}}_{{\{\tau _{k}\geq t\}}}.

Teza wynika z Lematu 11.1.

11.2. Uogólnienie definicji nawiasu skośnego

Nawias skośny określa się nie tylko dla pojedynczego martyngału, ale też i dla pary martyngałów.

Definicja 11.1

Nawiasem skośnym dwóch ciągłych martyngałów lokalnych M i N nazywamy proces \langle M,N\rangle zdefiniowany wzorem

\langle M,N\rangle=\frac{1}{4}[\langle M+N\rangle-\langle M-N\rangle].
Stwierdzenie 11.1

a) Załóżmy, że M,N\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}, wówczas \langle M,N\rangle to jedyny proces o trajektoriach ciągłych mających wahanie skończone na [0,T] taki, że \langle M,N\rangle _{0}=0 oraz MN-\langle M,N\rangle jest martyngałem na [0,T].
b) Załóżmy, że M,N\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{{c}}, wówczas \langle M,N\rangle to jedyny proces o trajektoriach ciągłych mających wahanie skończone na [0,t] dla t<T taki, że \langle M,N\rangle _{0}=0 oraz MN-\langle M,N\rangle jest martyngałem lokalnym na [0,T).

Jednoznaczność dowodzimy jak dla \langle M\rangle, zaś wymienione własności wynikają z tożsamości

MN-\langle M,N\rangle=\frac{1}{4}\Big[\Big((M+N)^{2}-\langle M+N\rangle\Big)-\Big((M-N)^{2}-\langle M-N\rangle\Big)\Big].
Stwierdzenie 11.2

Niech \Pi _{n}=(t_{0}^{{(n)}},t_{1}^{{(n)}},\ldots,t_{{k_{n}}}^{{(n)}}) będzie ciągiem podziałów [0,t] takim, że 0=t_{0}^{{(n)}}\leq t_{1}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{n}}}^{{(n)}}=t oraz \mathrm{diam}(\Pi _{n})\rightarrow 0.
a) Jeśli M,N\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}, to dla t<T,

\sum _{{k=0}}^{{k_{n}-1}}(M_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-M_{{t_{k}^{{(n)}}}})(N_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-N_{{t_{k}^{{(n)}}}})\rightarrow\langle M,N\rangle _{t}\quad\mbox{ w }L_{1}(\Omega).

b) Jeśli M,N\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{{2,c}}, to dla t<T,

\sum _{{k=0}}^{{k_{n}-1}}(M_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-M_{{t_{k}^{{(n)}}}})(N_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-N_{{t_{k}^{{(n)}}}})\rightarrow\langle M,N\rangle _{t}\quad\mbox{ według prawdopodobieństwa. }

Wystarczy zauważyć, że

(M_{t}-M_{s})(N_{t}-N_{s})=\frac{1}{4}[((M_{t}+N_{t})-(M_{s}+N_{s}))^{2}-((M_{t}-N_{t})-(M_{s}-N_{s}))^{2}]

i skorzystać z Twierdzenia 11.1 i Wniosku 11.1.

Stwierdzenie 11.3

Dla dowolnych ciągłych martyngałów lokalnych M i N,
a) \langle M,M\rangle=\langle M\rangle=\langle-M\rangle,
b) \langle M,N\rangle=\langle N,M\rangle,
c) \langle M-M_{0},N\rangle=\langle M,N-N_{0}\rangle=\langle M-M_{0},N-N_{0}\rangle=\langle M,N\rangle,
d) (N,M)\rightarrow\langle M,N\rangle jest przekształceniem dwuliniowym,
e) \langle M^{{\tau}},N^{{\tau}}\rangle=\langle M^{{\tau}},N\rangle=\langle M,N^{{\tau}}\rangle=\langle M,N\rangle^{{\tau}} dla każdego momentu zatrzymania \tau,
f) jeśli X\in\Lambda _{{T}}^{2}(M) oraz Y\in\Lambda _{{T}}^{2}(N), to \langle\int XdM,\int YdN\rangle=\int XYd\langle M,N\rangle.

Szkic dowodu.

Punkty a), b) i c) wynikają natychmiast z definicji, punkt d) z Wniosku 11.1. To, że \langle M^{{\tau}},N^{{\tau}}\rangle=\langle M,N\rangle^{{\tau}} dowodzimy jak w Stwierdzeniu 10.3 (wykorzystując Stwierdzenie 11.1). Pozostałe równości w e) wynikają ze Stwierdzenia 11.2. Punkt f) dowodzimy najpierw dla przypadku, gdy M i N są martyngałami, zaś X i Y procesami elementarnymi, następnie dla X\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(M) oraz Y\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}(M) i wreszcie, wykorzystując własność e), dla przypadku ogólnego.

11.3. Zadania

Ćwiczenie 11.1

Oblicz \langle W^{{1}},W^{{2}}\rangle, gdzie W^{{1}},W^{{2}} są niezależnymi procesy Wienera.

Ćwiczenie 11.2

Wykaż, że
a) |\langle M,N\rangle|\leq\langle M\rangle\langle N\rangle
b) {\rm Wah}_{{[s,t]}}(\langle M,N\rangle)\leq\frac{1}{2}[\langle M\rangle _{t}-\langle M\rangle _{s}+\langle N\rangle _{t}-\langle N\rangle _{s}].

Ćwiczenie 11.3

Uzupełnij dowód Stwierdzenia 11.3.

Ćwiczenie 11.4

Wykaż, że dla dowolnego procesu M\in{\mathcal{M}}^{c}_{{\mathrm{loc}}}, X\in\Lambda _{{2}}^{T}(M) oraz momentu zatrzymania \tau\leq T,

{\mathbb{E}}\sup _{{t<\tau}}\Big(\int _{0}^{t}X\, dM\Big)^{2}\leq 4{\mathbb{E}}\int _{0}^{{\tau}}X_{s}^{2}\, d\langle M\rangle _{s}.
Ćwiczenie 11.5

Załóżmy, że M\in{\mathcal{M}}^{c}_{{\mathrm{loc}}}, M_{0}=0 oraz \tau jest momentem zatrzymania takim, że {\mathbb{E}}\langle M\rangle _{{\tau}}<\infty. Wykaż, że M^{{\tau}} jest martyngałem.

Ćwiczenie 11.6

Określamy

S_{n}(\alpha)=\sum _{{k=n}}^{{3n-1}}\Big|\int _{{k/n}}^{{(k+1)/n}}W_{s}^{4}dW_{s}\Big|^{{\alpha}}.

a) Wykaż, że ciąg S_{n}(2) jest zbieżny w L_{1} i zidentyfikuj jego granicę.
b) Co można powiedzieć o zbieżności według prawdopodobieństwa ciągu S_{n}(\alpha) dla \alpha\neq 2?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.