Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 13. Wzór Itô – MIM UW

Zagadnienia

13. Wzór Itô

Podczas tego wykładu udowodnimy fundamentalne twierdzenie dla analizy stochastycznej. Pokazuje ono, że klasa semimartyngałów ciągłych jest zamknięta ze względu na funkcje gładkie oraz podaje wzór na różniczkę stochastyczną df(X).

13.1. Podstawowe twierdzenie analizy stochastycznej

Twierdzenie 13.1 (Wzór Itô)

Załóżmy, że Z=Z_{0}+M+A jest ciągłym semimartyngałem, f funkcją klasy C^{2} na {\mathbb{R}}. Wówczas f(Z) też jest semimartyngałem oraz

f(Z_{t})=f(Z_{0})+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s})dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s}. (13.1)

Wszystkie całki w (13.1) są dobrze zdefiniowane, bo procesy f^{{\prime}}(Z_{s}) i f^{{\prime\prime}}(Z_{s}) są ciągłe, zatem f^{{\prime}}(Z_{s})\in\Lambda^{2}_{T}(M) oraz f^{{\prime\prime}}(Z_{s}) jest całkowalne względem \langle M\rangle.

Wzór Itô (13.1) będziemy dowodzić poczynając od najprostszych przypadków.

Przypadek I.Z jest semimartyngałem ograniczonym, a f wielomianem.

Z liniowości obu stron (13.1) wystarczy rozpatrywać przypadek, gdy f(x)=x^{n}. Pokażemy ten wzór przez indukcję po n.

Dla n=0 teza jest oczywista. Załóżmy więc, że (13.1) zachodzi dla f(x)=x^{n} pokażemy go dla g(x)=xf(x). Zauważmy, że g^{{\prime}}(x)=f(x)+xf^{{\prime}}(x) oraz g^{{\prime\prime}}(x)=2f^{{\prime}}(x)+xf^{{\prime\prime}}(x). Ze wzoru na całkowanie przez części,

\displaystyle g(Z_{t})= \displaystyle Z_{t}f(Z_{t})=Z_{0}f(Z_{0})+\int _{0}^{t}Z_{s}df(Z)_{s}+\int _{0}^{t}f(Z)dZ_{s}
\displaystyle+\Big\langle\int f^{{\prime}}(Z)dM,M\Big\rangle _{t}
\displaystyle= \displaystyle g(Z_{t})+\int _{0}^{t}(Z_{s}f^{{\prime}}(Z_{s})dZ_{s}+\frac{1}{2}Z_{s}f^{{\prime\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s})+\int _{0}^{t}f(Z)dZ_{s}
\displaystyle+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s}
\displaystyle= \displaystyle g(Z_{t})+\int _{0}^{t}g^{{\prime}}(Z_{t})dZ_{t}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}g^{{\prime\prime}}(Z_{t})d\langle M\rangle _{s}.

Przypadek II.Z jest semimartyngałem ograniczonym (a f jest dowolną funkcją klasy C^{2}).

Niech C:=\| Z\| _{{\infty}}<\infty, istnieje ciąg wielomianów f_{n} taki, że

|f_{n}(x)-f(x)|,|f_{n}^{{\prime}}(x)-f^{{\prime}}(x)|,|f_{n}^{{\prime\prime}}(x)-f^{{\prime\prime}}(x)|\leq\frac{1}{n}\quad\mbox{dla }x\in[-C,C].

Wtedy f_{n}(Z_{s})\rightarrow f(Z_{s}),f_{n}^{{\prime}}(Z_{s})\rightarrow f^{{\prime}}(Z_{s}),f_{n}^{{\prime\prime}}(Z_{s})\rightarrow f^{{\prime\prime}}(Z_{s}) jednostajnie oraz |f_{n}^{{\prime}}(Z_{s})|\leq\sup _{n}\sup _{{|x|\leq C}}|f_{n}^{{\prime}}(x)|\leq\sup _{{|x|\leq C}}|f^{{\prime}}(x)|+1<\infty, więc z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej (dla całki zwykłej i stochastycznej),

\displaystyle f(Z_{s})\leftarrow f_{n}(Z_{s}) \displaystyle=f_{n}(Z_{0})+\int _{0}^{t}f_{n}^{{\prime}}(Z_{s})dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f_{n}^{{\prime\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s}
\displaystyle\rightarrow f(Z_{0})+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s})dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s}.

Przypadek III. Zmienna Z_{0} jest ograniczona.

Połóżmy w tym przypadku

\tau _{n}:=\inf\{ t>0\colon|Z_{t}|\geq n\}\wedge T,

wówczas Z^{{(n)}}:=Z_{0}+M^{{\tau _{n}}}+A^{{\tau _{n}}} jest ciągłym ograniczonym semimartyngałem oraz Z^{{(n)}}_{t}\rightarrow Z_{t} p.n.. Na mocy przypadku II, (13.1) zachodzi dla Z^{{(n)}}, więc

\displaystyle f(Z^{{(n)}}_{t}) \displaystyle=f(Z_{0})+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z^{{(n)}}_{s})dZ^{{(n)}}_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})d\langle M^{{\tau _{n}}}\rangle _{s}
\displaystyle=f(Z_{0})+\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}f^{{\prime}}(Z^{{(n)}}_{s}){\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}f^{{\prime\prime}}(Z_{s}^{{(n)}}){\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}d\langle M\rangle _{s}^{{\tau _{n}}}
\displaystyle=f(Z_{0})+\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}f^{{\prime}}(Z_{s}){\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}f^{{\prime\prime}}(Z_{s}){\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}d\langle M\rangle _{s}
\displaystyle=f(Z_{0})+\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}f^{{\prime}}(Z_{s})dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}f^{{\prime\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s}.

Biorąc n\rightarrow\infty dostajemy (13.1).

Przypadek IV.Z jest dowolnym semimartyngałem ciągłym.

Połóżmy Z_{0}^{{(n)}}:=(Z_{0}\wedge n)\vee-n oraz Z^{{(n)}}:=Z_{0}^{{(n)}}+M+A. Zauważmy, że \int XdZ=\int XdZ^{{(n)}}, więc, ponieważ wiemy już, iż (13.1) zachodzi, gdy Z_{0} ograniczone, to

f(Z_{t}^{{(n)}})=f(Z_{0}^{{(n)}})+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})dZ_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})d\langle M\rangle _{s}. (13.2)

Mamy

|f^{{\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})|\leq\sup _{n}|f^{{\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})|:=Y_{s},

proces Y jest prognozowalny jako supremum procesów prognozowalnych, ponadto

\sup _{n}\sup _{{s\leq t}}|Z_{s}^{{(n)}}|\leq|Z_{0}|+\sup _{{s\leq t}}|M_{s}|+\sup _{{s\leq t}}|A_{s}|<\infty\mbox{ p.n..}

Zatem z ciągłości f^{{\prime}}, \sup _{{s\leq t}}|Y_{s}|<\infty p.n., skąd Y\in\Lambda _{T}^{2}(M). Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej dla całek stochastycznych,

\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})dM_{s}\stackrel{{\mathbb{P}}}{\longrightarrow}\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s})dM_{s},

ponadto z twierdzenia Lebesgue'a dla zwykłej całki,

\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})dA_{s}\rightarrow\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(Z_{s})dA_{s}\quad\mbox{p.n..}

Podobnie \sup _{n}\sup _{{s\leq t}}|f^{{\prime\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})|<\infty p.n. i ponownie stosując twierdzenie Lebesgue'a dostajemy

\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(Z_{s}^{{(n)}})d\langle M\rangle _{s}\rightarrow\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(Z_{s})d\langle M\rangle _{s}\quad\mbox{p.n..}

Oczywiście f(Z_{t}^{{(n)}})\rightarrow f(Z_{t}) p.n., więc możemy przejść w (13.2) z n do \infty, by dostać (13.1).

Wniosek 13.1

Dla f\in C^{2}({\mathbb{R}}),

f(W_{t})=f(0)+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(W_{s})dW_{s}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(W_{s})ds.

W podobny sposób jak w przypadku jednowymiarowym możemy udowodnić wielowymiarową wersję twierdzenia Itô.

Twierdzenie 13.2

Załóżmy, że f\colon{\mathbb{R}}^{d}\rightarrow{\mathbb{R}} jest funkcją klasy C^{2} oraz Z=(Z^{{(1)}},\ldots,Z^{{(d)}}), gdzie Z^{{(i)}}=Z_{0}^{{(i)}}+M^{{(i)}}+A^{{(i)}} są ciągłymi semimartyngałami dla i=1,\ldots,d. Wówczas f(Z) jest semimartyngałem oraz

f(Z_{t})=f(Z_{0})+\sum _{{i=1}}^{d}\int _{0}^{t}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(Z_{s})dZ^{{(i)}}_{s}+\frac{1}{2}\sum _{{i,j=1}}^{d}\int _{0}^{t}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(Z_{s})d\langle M^{{(i)}},M^{{(j)}}\rangle _{s}.

13.2. Twierdzenie Levy'ego

Twierdzenie 13.3 (Levy)

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że M_{0}=0 oraz M_{t}^{2}-t jest martyngałem lokalnym. Wówczas M jest procesem Wienera.

Musimy wykazać, że dla s<t, M_{t}-M_{s} jest niezależne od {\cal F}_{s} oraz ma rozkład {\cal N}(0,t-s). W tym celu wystarczy wykazać, że

{\mathbb{E}}(e^{{ih(M_{t}-M_{s})}}|{\mathcal{F}}_{s})=e^{{-\frac{1}{2}(t-s)h^{2}}}\quad\mbox{ dla }t>s\geq 0,\  h\in{\mathbb{R}}. (13.3)

Istotnie (13.3) implikuje, że {\mathbb{E}}e^{{ih(M_{t}-M_{s})}}=\exp(-\frac{1}{2}(t-s)h^{2}) dla h\in{\mathbb{R}}, czyli M_{t}-M_{s}\sim{\cal N}(0,t-s). Ponadto dla dowolnej {\mathcal{F}}_{s}-mierzalnej zmiennej \eta oraz h_{1},h_{2}\in{\mathbb{R}},

\displaystyle{\mathbb{E}}e^{{ih_{1}(M_{t}-M_{s})+ih_{2}\eta}} \displaystyle={\mathbb{E}}[e^{{ih_{2}\eta}}{\mathbb{E}}(e^{{ih_{1}(M_{t}-M_{s})}}|{\mathcal{F}}_{s})]
\displaystyle={\mathbb{E}}[e^{{ih_{2}\eta}}e^{{-\frac{1}{2}(t-s)h_{1}^{2}}}]={\mathbb{E}}e^{{ih_{2}\eta}}{\mathbb{E}}e^{{ih_{1}(M_{t}-M_{s})}}.

Zatem M_{t}-M_{s} jest niezależne od zmiennych {\mathcal{F}}_{s}-mierzalnych, czyli jest niezależne od {\mathcal{F}}_{s}.

Zastosujmy wzór Itô dla f(x)=e^{{ihx}} (wzór Itô zachodzi też dla funkcji zespolonych, wystarczy dodać odpowiednie równości dla części rzeczywistej i urojonej),

\displaystyle e^{{ihM_{t}}} \displaystyle=f(M_{t})=f(M_{0})+\int _{0}^{t}f^{{\prime}}(M_{u})dM_{u}+\frac{1}{2}\int _{0}^{t}f^{{\prime\prime}}(M_{u})d\langle M\rangle _{u}
\displaystyle=1+ih\int _{0}^{t}e^{{ihM_{u}}}dM_{u}-\frac{h^{2}}{2}\int _{0}^{t}e^{{ihM_{u}}}du
\displaystyle=e^{{ihM_{s}}}+ih\int _{s}^{t}e^{{ihM_{u}}}dM_{u}-\frac{h^{2}}{2}\int _{s}^{t}e^{{ihM_{u}}}du.

Niech N:=\int _{0}^{t}e^{{ihM}}dM, wówczas N jest martyngałem lokalnym oraz z nierówności Dooba (Twierdzenie 9.3),

{\mathbb{E}}\sup _{{0\leq s\leq t}}N_{s}^{2}\leq 4{\mathbb{E}}\int _{0}^{t}|e^{{ihM_{u}}}|^{2}du=4t,

czyli N jest na każdym przedziale skończonym majoryzowany przez zmienną całkowalną, zatem jest martyngałem. Ustalmy A\in{\mathcal{F}}_{s}, wtedy

\displaystyle{\mathbb{E}}[e^{{ihM_{t}}}{\mathrm{I}}_{A}] \displaystyle={\mathbb{E}}[e^{{ihM_{s}}}{\mathrm{I}}_{A}]+{\mathbb{E}}[(N_{t}-N_{s}){\mathrm{I}}_{A}]-\frac{h^{2}}{2}{\mathbb{E}}\Big[\int _{s}^{t}e^{{ihM_{u}}}du{\mathrm{I}}_{A}\Big]
\displaystyle={\mathbb{E}}[e^{{ihM_{s}}}{\mathrm{I}}_{A}]-\frac{h^{2}}{2}\int _{s}^{t}{\mathbb{E}}[e^{{ihM_{u}}}{\mathrm{I}}_{A}]du.

Zdefiniujmy g(u)={\mathbb{E}}[e^{{ihM_{{s+u}}}}{\mathrm{I}}_{A}], wtedy

g(t-s)=g(0)-\frac{h^{2}}{2}\int _{s}^{t}g(u-s)du,

czyli

g(r)=g(0)-\frac{h^{2}}{2}\int _{0}^{r}g(u)du.

Funkcja g jest ciągła, a zatem z powyższego wzoru jest różniczkowalna i spełnia równanie różniczkowe

g^{{\prime}}(r)=-\frac{h^{2}}{2}g(r).

Zatem g(r)=g(0)\exp(-\frac{1}{2}h^{2}r) dla r\geq 0, czyli

{\mathbb{E}}[e^{{ihM_{t}}}{\mathrm{I}}_{A}]={\mathbb{E}}[e^{{ihM_{s}}}{\mathrm{I}}_{A}]e^{{-\frac{1}{2}h^{2}(t-s)}}={\mathbb{E}}[e^{{ihM_{s}-\frac{1}{2}h^{2}(t-s)}}{\mathrm{I}}_{A}],

stąd {\mathbb{E}}(e^{{ihM_{t}}}|{\mathcal{F}}_{s})=\exp(ihM_{s}-\frac{1}{2}h^{2}(t-s)) p.n. i

{\mathbb{E}}(e^{{ih(M_{t}-M_{s})}}|{\mathcal{F}}_{s})=e^{{-ihM_{s}}}{\mathbb{E}}(e^{{ihM_{t}}}|{\mathcal{F}}_{s})=e^{{-\frac{1}{2}h^{2}(t-s)}}.
Uwaga 13.1

Równoważnie Twierdzenie Levy'go można sformułować w następujący sposób:
Jeśli M\in{\mathcal{M}}^{c}_{{{\rm loc}}} oraz \langle M\rangle=t, to M-M_{0} jest procesem Wienera.

Uwaga 13.2

Założenie ciągłości M jest fundamentalne. Jeśli położymy M_{t}=N_{t}-t, gdzie N jest procesem Poissona z parametrem 1, to M_{t}^{2}-t jest martyngałem, a oczywiście M nie jest procesem Wienera.

Można też udowodnić wielowymiarową wersję twierdzenia Levy'ego.

Twierdzenie 13.4

Załóżmy, że M^{{(1)}},\ldots,M^{{(d)}} są ciągłymi martyngałami lokalnymi takimi, że M^{{(i)}}_{0}=0 oraz M^{{(i)}}_{t}M^{{(j)}}_{t}-\delta _{{i,j}}t są martyngałami lokalnymi dla 1\leq i,j\leq d. Wówczas M=(M^{{(1)}},\ldots,M^{{(d)}}) jest d-wymiarowym procesem Wienera.

13.3. Charakteryzacja procesu Wienera za pomocą martyngałów wykładniczych

Twierdzenie 13.5

Załóżmy, że proces M jest ciągły, adaptowalny oraz M_{0}=0. Wówczas M jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich \lambda\in{\mathbb{R}}, \exp(\lambda M_{t}-\lambda^{2}t/2) jest martyngałem lokalnym.

To, że \exp(\lambda W_{t}-\lambda^{2}t/2) jest martyngałem jest prostym i dobrze znanym faktem. Wystarczy więc udowodnić implikację ”\Leftarrow”.

Określmy \tau _{n}:=\inf\{ t>0\colon|M_{t}|\geq n\}\wedge n, wówczas \tau _{n}\nearrow\infty oraz dla wszystkich \lambda proces X_{t}(\lambda)=\exp(\lambda M_{{t\wedge\tau _{n}}}-\lambda^{2}t\wedge\tau _{n}/2) jest ograniczonym martyngałem lokalnym (z dołu przez 0, z góry przez e^{{|\lambda|n}}), a więc martyngałem. Stąd

{\mathbb{E}}[X_{{t}}(\lambda){\mathrm{I}}_{A}]={\mathbb{E}}[X_{s}(\lambda){\mathrm{I}}_{A}]\quad\mbox{ dla }s<t,\  A\in{\mathcal{F}}_{s}.

Zauważmy, że X_{t}(0)=1 oraz

\Big|\frac{dX_{t}(\lambda)}{d\lambda}\Big|=|X_{t}(\lambda)(M_{{t\wedge\tau _{n}}}-\lambda t\wedge\tau _{n})|\leq e^{{\lambda _{0}n}}(n+\lambda _{0}n)\quad\mbox{ dla }|\lambda|\leq\lambda _{0}.

Stąd, z Twierdzenia Lebesque'a o zbieżności zmajoryzowanej dla t<s, A\in{\mathcal{F}}_{s},

\displaystyle{\mathbb{E}} \displaystyle[X_{t}(\lambda)(M_{{t\wedge\tau _{n}}}-\lambda t\wedge\tau _{n}){\mathrm{I}}_{A}]=\lim _{{h\rightarrow 0}}{\mathbb{E}}\Big[\frac{1}{h}(X_{t}(\lambda+h)-X_{t}(\lambda)){\mathrm{I}}_{A}\Big]
\displaystyle=\lim _{{h\rightarrow 0}}{\mathbb{E}}\Big[\frac{1}{h}(X_{s}(\lambda+h)-X_{s}(\lambda)){\mathrm{I}}_{A}\Big]={\mathbb{E}}[X_{s}(\lambda)(M_{{s\wedge\tau _{n}}}-\lambda s\wedge\tau _{n}){\mathrm{I}}_{A}].

Biorąc \lambda=0 dostajemy {\mathbb{E}}[M_{{t\wedge\tau _{n}}}{\mathrm{I}}_{A}]={\mathbb{E}}[M_{{s\wedge\tau _{n}}}{\mathrm{I}}_{A}], czyli M^{{\tau _{n}}} jest martyngałem, a więc M\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{{{\rm loc}}}.

By skorzystać z twierdzenia Levy'ego i zakończyć dowód musimy jeszcze wykazać, że M_{t}^{2}-t\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{{{\rm loc}}}. Szacujemy dla |\lambda|\leq\lambda _{0},

\Big|\frac{d^{2}X_{t}(\lambda)}{d\lambda^{2}}\Big|=|X_{t}(\lambda)[(M_{{t\wedge\tau _{n}}}-t\wedge\tau _{n})^{2}-t\wedge\tau _{n}]|\leq e^{{\lambda _{0}n}}[(n+\lambda _{0}n)^{2}+n],

skąd w podobny sposób jak dla pierwszych pochodnych dowodzimy, że dla t<s, A\in{\mathcal{F}}_{s},

{\mathbb{E}}[X_{t}(\lambda)((M_{{t\wedge\tau _{n}}}-\lambda t\wedge\tau _{n})^{2}-t\wedge\tau _{n}){\mathrm{I}}_{A}]={\mathbb{E}}[X_{s}(\lambda)((M_{{s\wedge\tau _{n}}}-\lambda s\wedge\tau _{n})^{2}-s\wedge\tau _{n}){\mathrm{I}}_{A}].

Podstawiając \lambda=0 dostajemy

{\mathbb{E}}[(M_{{t\wedge\tau _{n}}}^{2}-t\wedge\tau _{n}){\mathrm{I}}_{A}]={\mathbb{E}}[(M_{{s\wedge\tau _{n}}}^{2}-s\wedge\tau _{n}){\mathrm{I}}_{A}],

czyli (M^{2}_{t}-t)^{{\tau _{n}}} jest martyngałem, więc M_{t}^{2}-t\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{{{\rm loc}}}.

13.4. Zadania

Ćwiczenie 13.1

Korzystając ze wzoru Itô oblicz \langle W_{t}^{2}\rangle oraz \langle W_{t},e^{{W_{t}}}\rangle.

Ćwiczenie 13.2

Niech Z_{{t}}=\exp(\lambda W_{{t}}-\lambda^{{2}}t/2). Wykaż, że dZ_{{t}}=\lambda Z_{{t}}dW_{{t}} tzn. Z_{{t}}=1+\lambda\int _{{0}}^{{t}}Z_{{s}}dW_{{s}}.

Ćwiczenie 13.3

Niech f będzie funkcją klasy C^{{2}} na {\mathbb{R}}^{{2}}, korzystając z wzoru Itô oblicz df(t,W_{{t}}).

Ćwiczenie 13.4

Niech M będzie ciągłym martyngałem lokalnym. Wykaż, że proces N_{t}=\exp(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}) jest ciągłym martyngałem lokalnym oraz nadmartyngałem. Ponadto jeśli M jest ograniczony, to N jest martyngałem.

Ćwiczenie 13.5

Niech g\colon{\mathbb{R}}^{{d}}\rightarrow{\mathbb{R}} będzie funkcją klasy C^{{2}}, G zbiorem otwartym ograniczonym w {\mathbb{R}}^{{d}} oraz x\in G. Określmy \tau:=\inf\{ t\colon W_{{t}}+x\notin G\}. Korzystając ze wzoru Itô wykaż, że jeśli g jest harmoniczna w G, to h(W_{{t}}^{{\tau}}+x) jest martyngałem. Pokaż, że wystarczy zakładać, iż g jest klasy C^{{2}} w pewnym otoczeniu domknięcia G.

Ćwiczenie 13.6

Wykaż, że dla 3-wymiarowego ruchu Browna W_{{t}} i a\in{\mathbb{R}}^{{3}},a\neq 0 proces X_{{t}}=|W_{{t}}-a|^{{-1}} jest martyngałem lokalnym, ale nie jest martyngałem. Ponadto X_{{t}} jest nadmartyngałem oraz zbiega do 0 w L_{1} i prawie na pewno.

Ćwiczenie 13.7

Wykaż, że 2-wymiarowego ruchu Browna W_{{t}} i a\in{\mathbb{R}}^{{2}},a\neq 0 proces X_{{t}}=\ln|W_{{t}}-a| jest martyngałem lokalnym. Wywnioskuj stąd, że z prawdopodobieństwem 1 proces W_{{t}} omija punkt a, ale trajektoria procesu jest dowolnie bliska punktu a.

Ćwiczenie 13.8

Załóżmy, że W=(W^{{(1)}},W^{{(2)}},W^{{(3)}}) jest trójwymiarowym procesem Wienera oraz

X_{t}:=\int _{0}^{t}\sin(W_{t}^{{(3)}})dW_{t}^{{(1)}}+\int _{0}^{t}\cos(W_{t}^{{(3)}})dW_{t}^{{(2)}}.

Wykaż, że X jest procesem Wienera.

Ćwiczenie 13.9

Udowodnij Twierdzenie 13.4.

Ćwiczenie 13.10

Niech T<\infty oraz X=(X_{{t}})_{{0\leq t<T}} będzie procesem prognozowalnym takim, że dla pewnej liczby całkowitej m\geq 1 zachodzi

{\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}X^{{2m}}(s)ds<\infty.

Wykaż, że X\in{\mathcal{L}}^{{2}}_{{T}} oraz M=\int XdW jest martyngałem takim, że

{\mathbb{E}}M_{{T}}^{{2m}}\leq(m(2m-1))^{{m}}T^{{m-1}}{\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}X_{{s}}^{{2m}}ds.
Wskazówka: 

Zastosuj wzór Itô i nierówność Höldera.

Ćwiczenie 13.11

Niech W=(W^{{1}},\ldots,W^{{d}}) będzie d-wymiarowym ruchem Browna, a R_{{t}}=\| W_{{t}}\|. Wykaż, że
a) B_{{t}}:=\sum _{{j=1}}^{{d}}\int _{{0}}^{{t}}\frac{W_{{s}}^{{(i)}}}{R_{{s}}}dW_{{s}}^{{i}} jest jednowymiarowym procesem Wienera;
b) R_{{t}}=\int _{{0}}^{{t}}\frac{d-1}{2R_{{s}}}ds+B_{{t}} (R_{{t}} jest nazywane procesem Bessela).

Ćwiczenie 13.12

Niech Z=Z_{{0}}+A+M,Y=Y_{{0}}+B+N będą ciągłymi semimartyngałami. Definiujemy całkę Stratonowicza wzorem

\int _{{0}}^{{t}}Y_{{s}}\circ dZ_{{s}}:=\int _{{0}}^{{t}}Y_{{s}}dZ_{{s}}+\frac{1}{2}\langle M,N\rangle.

Pokazać, że jeśli f jest funkcją klasy C^{{3}} na {\mathbb{R}}, to

f(Z_{{t}})=f(Z_{{0}})+\int _{{0}}^{{t}}f^{{\prime}}(Z_{{s}})\circ dZ_{{s}}.
Ćwiczenie 13.13

Pokazać, że przy oznaczeniach poprzedniego zadania oraz dowolnym ciągu \pi _{{n}}=\{ t_{{0}}^{{(n)}},t_{{1}}^{{(n)}},\ldots,t_{{k_{n}}}^{{(n)}}\} podziałów odcinka [0,t] takim, że \mathrm{diam}(\pi _{{n}})\rightarrow 0 zachodzi

\sum _{{j=1}}^{{k_{{n}}}}\frac{Y_{{t_{{j+1}}^{{(n)}}}}+Y_{{t_{{j}}^{{(n)}}}}}{2}(Z_{{t_{{j+1}}^{{(n)}}}}-Z_{{t_{{j}}^{{(n)}}}})\rightarrow\int _{{0}}^{{t}}Y_{{s}}\circ dZ_{{s}}

przy n\rightarrow\infty według prawdopodobieństwa.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.