Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 14. Stochastyczne Równania Różniczkowe – MIM UW

Zagadnienia

14. Stochastyczne Równania Różniczkowe

Z całką stochastyczną wiąże się pojęcie równania stochastycznego. Podamy kryteria istnienia i jednoznaczności rozwiązań takich równań oraz omówimy kilka przykładów.

14.1. Jednorodne równania stochastyczne

Definicja 14.1

Załóżmy, że b,\sigma\colon{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}} są funkcjami ciągłymi, a \xi zmienną losową {\mathcal{F}}_{s}-mierzalną. Mówimy, że proces X=(X_{t})_{{t\in[s,T)}} rozwiązuje jednorodne równanie stochastyczne

dX_{t}=b(X_{t})dt+\sigma(X_{t})dW_{t},\quad X_{s}=\xi, (14.1)

jeśli

X_{t}=\xi+\int _{s}^{t}b(X_{r})dr+\int _{s}^{t}\sigma(X_{r})dW_{r},\quad t\in[s,T).
Uwaga 14.1

Przyjeliśmy, że b i \sigma są funkcjami ciągłymi, by uniknąć problemów związanych z mierzalnością i lokalną ograniczonością procesów b(X_{r}) i \sigma(X_{r}). Rozważa się jednak również stochastyczne równania różniczkowe z nieciągłymi współczynnikami.

Uwaga 14.2

Wprowadzając nowy proces \tilde{X}_{t}:=X_{{t+s}}, t\in[0,T-s) oraz filtrację \tilde{{\mathcal{F}}}_{t}:={\mathcal{F}}_{{t+s}} zamieniamy równanie różniczkowe (14.1) na podobne równanie dla \tilde{X} z warunkiem początkowym \tilde{X}_{0}=\xi.

Definicja 14.2

Proces X rozwiązujący równanie (14.1) nazywamy dyfuzją startująca z \xi. Funkcję \sigma nazywamy współczynnikiem dyfuzji, a funkcję b współczynnikiem dryfu.

Przypomnijmy, że funkcja f\colon{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}} jest lipschitzowska ze stałą L, jeśli |f(x)-f(y)|\leq L|x-y| dla wszystkich x,y. Lipschitzowskość implikuje też, że

|f(x)|\leq|f(0)|+L|x|\leq\tilde{L}\sqrt{1+x^{2}}

gdzie można przyjąć np. \tilde{L}=2\max\{|f(0)|,L\}.

Twierdzenie 14.1

Załóżmy, że funkcje b i \sigma są lipschitzowskie na {\mathbb{R}}, wówczas równanie stochastyczne (14.1) ma co najwyżej jedno rozwiązanie (z dokładnością do nierozróżnialności).

Bez straty ogólności możemy zakładać, że s=0 oraz \sigma,b są lipschitzowskie z tą samą stałą L.

Załóżmy, że X i Y są rozwiązaniami (14.1), wówczas

X_{t}-Y_{t}=\int _{0}^{t}(b(X_{r})-b(Y_{r}))dr+\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r})-\sigma(Y_{r}))dW_{r},\quad 0\leq t<T.

Krok I. Załóżmy dodatkowo, że funkcja u\mapsto{\mathbb{E}}|X_{u}-Y_{u}|^{2} jest skończona i ograniczona na przedziałach [0,t], t<T.

Mamy

\displaystyle{\mathbb{E}}(X_{t}-Y_{t})^{2} \displaystyle\leq 2{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}(b(X_{r})-b(Y_{r}))dr\Big)^{2}+2{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r})-\sigma(Y_{r})dW_{r}\Big)^{2}
\displaystyle=:I_{1}+I_{2}.

Z warunku Lipschitza i nierówności Schwarza,

I_{1}\leq 2L^{2}{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}|X_{r}-Y_{r}|dr\Big)^{2}\leq 2L^{2}t\int _{0}^{t}{\mathbb{E}}(X_{r}-Y_{r})^{2}dr.

By oszacować I_{2} zauważmy, że |\sigma(X_{r})-\sigma(Y_{r})|\leq L|X_{r}-Y_{r}|, więc \sigma(X_{r})-\sigma(Y_{r})\in{\mathcal{L}}_{t}^{2}. Stąd

I_{2}=2{\mathbb{E}}\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r})-\sigma(Y_{r}))^{2}dr\leq 2L^{2}\int _{0}^{t}{\mathbb{E}}(X_{r}-Y_{r})^{2}dr.

Ustalmy t_{0}<T, wówczas z powyższych oszacowań wynika, że

{\mathbb{E}}(X_{t}-Y_{t})^{2}\leq C\int _{0}^{t}{\mathbb{E}}(X_{r}-Y_{r})^{2}dr\quad\mbox{dla }t\leq t_{0},

gdzie C=C(t_{0})=2L^{2}(t_{0}+1). Iterując powyższą nierówność dostajemy dla t\leq t_{0},

\displaystyle{\mathbb{E}}(X_{t}-Y_{t})^{2} \displaystyle\leq C\int _{0}^{t}{\mathbb{E}}(X_{{r_{1}}}-Y_{{r_{1}}})^{2}dr_{1}\leq C^{2}\int _{0}^{t}\int _{0}^{{r_{1}}}{\mathbb{E}}(X_{{r_{2}}}-Y_{{r_{2}}})^{2}dr_{2}dr_{1}
\displaystyle\leq\ldots\leq C^{k}\int _{0}^{t}\int _{0}^{{r_{1}}}\cdots\int _{0}^{{r_{{k-1}}}}{\mathbb{E}}(X_{{r_{k}}}-Y_{{r_{k}}})^{2}dr_{k}\ldots dr_{1}
\displaystyle\leq C^{k}\sup _{{r\leq t}}{\mathbb{E}}(X_{{r}}-Y_{{r}})^{2}\int _{0}^{t}\int _{0}^{{r_{1}}}\cdots\int _{0}^{{r_{{k-1}}}}dr_{k}\ldots dr_{1}
\displaystyle=C^{k}\sup _{{r\leq t}}{\mathbb{E}}(X_{{r}}-Y_{{r}})^{2}\frac{t^{k}}{k!}\stackrel{k\mapsto\infty}{\longrightarrow}0.

Stąd dla wszystkich t<T, {\mathbb{E}}(X_{t}-Y_{t})^{2}=0, czyli X_{t}=Y_{t} p.n., a więc z ciągłości obu procesów, X i Y są nieodróżnialne.

Krok II.X i Y dowolne. Określmy

\tau _{n}:=\inf\{ t\geq s\colon|X_{t}|+|Y_{t}|\geq n\}

i zauważmy, że |X_{t}|{\mathrm{I}}_{{(0,\tau _{n}]}},|X_{t}^{{\prime}}|{\mathrm{I}}_{{(0,\tau _{n}]}}\leq n. Ponieważ w zerze oba procesy się pokrywają, więc |X^{{\tau _{n}}}_{{t}}-Y^{{\tau _{n}}}_{t}|\leq 2n, stąd |\sigma(X_{t}^{{\tau _{n}}})-\sigma(Y_{t}^{{\tau _{n}}})|\leq 2Ln i \sigma(X^{{\tau _{n}}})-\sigma(Y^{{\tau _{n}}})\in{\mathcal{L}}^{2}_{t} dla t<T. Mamy

\displaystyle X_{{t\wedge\tau _{n}}}-Y_{{t\wedge\tau _{n}}} \displaystyle=\int _{{0}}^{{t\wedge\tau _{n}}}(b(X_{r})-b(Y_{r}))dr+\int _{{0}}^{{t\wedge\tau _{n}}}(\sigma(X_{r})-\sigma(Y_{r}))dW_{r}
\displaystyle=\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}(b(X_{{r}}^{{\tau _{n}}})-b(Y_{r}^{{\tau _{n}}}))dr+\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}(\sigma(X_{{r}}^{{\tau _{n}}})-\sigma(Y_{r}^{{\tau _{n}}}))dW_{r}.

Naśladując rozumowanie z kroku I dostajemy X_{{t\wedge\tau _{n}}}=Y_{{t\wedge\tau _{n}}} p.n., przechodząc z n\rightarrow\infty mamy X_{t}=Y_{t} p.n..

Twierdzenie 14.2

Załóżmy, że funkcje b i \sigma są lipschitzowskie na {\mathbb{R}} oraz {\mathbb{E}}\xi^{2}<\infty, wówczas równanie stochastyczne (14.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie X=(X_{t})_{{t\geq s}}. Co więcej {\mathbb{E}}X_{t}^{2}<\infty oraz funkcja t\rightarrow{\mathbb{E}}X_{t}^{2} jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Jak w poprzednim twierdzeniu zakładamy, że s=0. Jednoznaczność rozwiązania już znamy. By wykazać jego istnienie posłużymy się konstrukcją z użyciem metody kolejnych przybliżeń. Określamy X_{t}^{{(0)}}(\omega):=\xi(\omega) oraz indukcyjnie

X_{t}^{{(n)}}:=\xi+\int _{0}^{t}b(X_{r}^{{(n-1)}})dr+\int _{0}^{t}\sigma(X_{r}^{{(n-1)}})dW_{r}. (14.2)

Definicja jest poprawna (tzn. całki są dobrze określone), gdyż X_{t}^{{(n)}} są procesami ciągłymi, adaptowalnymi. Ponadto indukcyjnie pokazujemy, że funkcja r\rightarrow{\mathbb{E}}|X_{r}^{{(n)}}|^{2} jest ograniczona na przedziałach skończonych:

\displaystyle{\mathbb{E}}|X_{t}^{{(n)}}|^{2} \displaystyle\leq 3\Big[{\mathbb{E}}\xi^{2}+{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}|b(X_{r}^{{(n-1)}})|dr\Big)^{2}+{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}\sigma(X_{r}^{{(n-1)}})dW_{r}\Big)^{2}\Big]
\displaystyle\leq 3\Big[{\mathbb{E}}\xi^{2}+t{\mathbb{E}}\int _{0}^{t}|b(X_{r}^{{(n-1)}})|^{2}dr+{\mathbb{E}}\int _{0}^{t}|\sigma(X_{r}^{{(n-1)}})|^{2}dr\Big]
\displaystyle\leq 3\Big[{\mathbb{E}}\xi^{2}+\tilde{L}^{2}(1+t)\sup _{{0\leq r\leq t}}{\mathbb{E}}|X_{r}^{{(n-1)}}|^{2}\Big].

Zatem X^{{(n)}}\in{\mathcal{L}}^{2}_{t}, a więc również \sigma(X^{{(n)}})\in{\mathcal{L}}^{2}_{t}.

Zauważmy, że wobec nierówności (a+b)^{2}\leq 2a^{2}+2b^{2} i niezależności \xi i W_{t}, dla t\leq t_{0} zachodzi

\displaystyle{\mathbb{E}}|X_{t}^{{(1)}}-X_{t}^{{(0)}}|^{2} \displaystyle={\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}b(\xi)dr+\int _{0}^{t}\sigma(\xi)dW_{r}\Big)^{2}={\mathbb{E}}(b(\xi)t+\sigma(\xi)W_{t})^{2}
\displaystyle\leq 2t^{2}{\mathbb{E}}b(\xi)^{2}+2{\mathbb{E}}\sigma(\xi)^{2}{\mathbb{E}}W_{t}^{2})\leq 2\tilde{L}^{2}(1+{\mathbb{E}}\xi^{2})(t+t^{2})\leq C,

gdzie C=C(t_{0})=2\tilde{L}^{2}(1+{\mathbb{E}}\xi^{2})(t_{0}+t_{0}^{2}). Podobnie szacujemy dla t\leq t_{0},

\displaystyle{\mathbb{E}} \displaystyle|X_{t}^{{(n+1)}}-X_{t}^{{(n)}}|^{2}
\displaystyle={\mathbb{E}}\Big[\int _{0}^{t}(b(X_{r}^{{(n)}})-b(X_{r}^{{(n-1)}}))dr+\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}}))dW_{r}\Big]^{2}
\displaystyle\leq 2{\mathbb{E}}\Big[\int _{0}^{t}|b(X_{r}^{{(n)}})-b(X_{r}^{{(n-1)}})|dr\Big]^{2}+2{\mathbb{E}}\Big[\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}}))dW_{r}\Big]^{2}
\displaystyle\leq 2{\mathbb{E}}\Big[\int _{0}^{t}L|X_{r}^{{(n)}}-X_{r}^{{(n-1)}}|dr\Big]^{2}+2{\mathbb{E}}\int _{0}^{t}|\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}})|^{2}dr
\displaystyle\leq 2L^{2}(t+1){\mathbb{E}}\int _{0}^{t}|X_{r}^{{(n)}}-X_{r}^{{(n-1)}}|^{2}dr\leq C_{1}\int _{0}^{t}{\mathbb{E}}|X_{r}^{{(n)}}-X_{r}^{{(n-1)}}|^{2}dr,

gdzie C_{1}=C_{1}(t_{0})=2L^{2}(t_{0}+1). Iterując to szacowanie dostajemy

\displaystyle{\mathbb{E}}|X_{t}^{{(n+1)}}-X_{t}^{{(n)}}|^{2} \displaystyle\leq C_{1}^{2}\int _{0}^{t}\int _{0}^{{r_{1}}}{\mathbb{E}}|X_{{r_{2}}}^{{(n-1)}}-X_{{r_{2}}}^{{(n-2)}}|^{2}dr_{2}dr_{1}
\displaystyle\leq\cdots\leq C_{1}^{n}\int _{0}^{t}\int _{0}^{{r_{1}}}\cdots\int _{0}^{{r_{{n-1}}}}{\mathbb{E}}|X_{{r_{n}}}^{{(1)}}-X_{{r_{n}}}^{{(0)}}|^{2}dr_{n}\ldots dr_{1}
\displaystyle\leq C_{1}^{n}C\int _{0}^{t}\int _{0}^{{r_{1}}}\cdots\int _{0}^{{r_{{n-1}}}}dr_{n}\ldots dr_{1}=CC_{1}^{n}\frac{t^{n}}{n!}.

Pokazaliśmy zatem, że \| X_{t}^{{(n+1)}}-X_{t}^{{(n)}}\| _{{L_{2}}}^{2}\leq CC_{1}^{n}\frac{t^{n}}{n!} dla t\leq t_{0}. Ponieważ szereg \sum _{n}(CC_{1}^{n}\frac{t^{n}}{n!})^{{1/2}} jest zbieżny, więc (X_{t}^{{(n)}})_{{n\geq 0}} jest ciągiem Cauchy'ego w L_{2}, czyli jest zbieżny. Z uwagi na jednostajność szacowań wykazaliśmy istnienie X_{t} takiego, że

X_{t}^{{(n)}}\rightarrow X_{t}\mbox{ w $L_{2}$ jednostajnie na przedziałach ograniczonych.}

Stąd też wynika, że t\mapsto{\mathbb{E}}X_{t}^{2} jest ograniczona na przedziałach ograniczonych.

Wykażemy teraz, że X_{t}^{{(n)}} z prawdopodobieństwem 1 zbiega do X_{t} niemal jednostajnie. Zauważmy, że dla t_{0}<\infty,

\displaystyle{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\leq t_{0}}} \displaystyle|X_{t}^{{(n+1)}}-X_{t}^{{(n)}}|\geq\frac{1}{2^{n}}\Big)
\displaystyle\leq \displaystyle{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\leq t_{0}}}\int _{0}^{t}|b(X_{r}^{{(n)}})-b(X_{r}^{{(n-1)}})|dr\geq\frac{1}{2^{{n+1}}}\Big)
\displaystyle+{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\leq t_{0}}}|\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}}))dW_{r}|\geq\frac{1}{2^{{n+1}}}\Big)=:I_{1}+I_{2}.

Mamy

\displaystyle I_{1} \displaystyle\leq{\mathbb{P}}\Big(\int _{0}^{{t_{0}}}|b(X_{r}^{{(n)}})-b(X_{r}^{{(n-1)}})|dr\geq\frac{1}{2^{{n+1}}}\Big)
\displaystyle\leq 4^{{n+1}}{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{{t_{0}}}|b(X_{r}^{{(n)}})-b(X_{r}^{{(n-1)}})|dr\Big)^{2}
\displaystyle\leq 4^{{n+1}}L^{2}{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{{t_{0}}}|X_{r}^{{(n)}}-X_{r}^{{(n-1)}}|dr\Big)^{2}\leq 4^{{n+1}}L^{2}t_{0}{\mathbb{E}}\int _{0}^{{t_{0}}}|X_{r}^{{(n)}}-X_{r}^{{(n-1)}}|^{2}dr
\displaystyle\leq 4^{{n+1}}L^{2}t_{0}\int _{0}^{{t_{0}}}CC_{1}^{{n-1}}\frac{r^{{n-1}}}{(n-1)!}dr=4^{{n+1}}L^{2}CC_{1}^{{n-1}}t_{0}^{{n+1}}\frac{1}{n!}.

Z nierównośći Dooba dla martyngału \int(\sigma(X^{{(n)}})-\sigma(X^{{(n-1)}}))dW dostajemy

\displaystyle I_{2} \displaystyle\leq 4^{{n+1}}{\mathbb{E}}\sup _{{t\leq t_{0}}}\Big|\int _{0}^{t}(\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}}))dW_{r}\Big|^{2}
\displaystyle\leq 4^{{n+2}}{\mathbb{E}}\Big|\int _{0}^{{t_{0}}}(\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}}))dW_{r}\Big|^{2}
\displaystyle=4^{{n+2}}{\mathbb{E}}\int _{0}^{{t_{0}}}(\sigma(X_{r}^{{(n)}})-\sigma(X_{r}^{{(n-1)}}))^{2}dr\leq 4^{{n+2}}L^{2}{\mathbb{E}}\int _{0}^{{t_{0}}}|X_{r}^{{(n)}}-X_{r}^{{(n-1)}}|^{2}dr
\displaystyle\leq 4^{{n+2}}L^{2}CC_{1}^{{n-1}}t_{0}^{{n}}\frac{1}{n!}.

Przyjmując

A_{n}:=\Big\{\sup _{{t\leq t_{0}}}|X_{t}^{{(n+1)}}-X_{t}^{{(n)}}|\geq\frac{1}{2^{n}}\Big\}

dostajemy

\sum _{{n}}{\mathbb{P}}(A_{n})\leq\sum _{n}4^{{n+1}}(4+t_{0})L^{2}CC_{1}^{{n-1}}t_{0}^{{n}}\frac{1}{n!}<\infty,

więc {\mathbb{P}}(\limsup A_{n})=0. Zatem dla t_{0}<\infty, ciąg procesów X^{{(n)}} zbiega jednostajnie na [0,t_{0}] z prawdopodobieństwem 1, czyli z prawdopodobieństwem 1 zbiega niemal jednostajnie na [0,\infty). Ewentualnie modyfikując X i X^{{(n)}} na zbiorze miary zero widzimy, że X jest granicą niemal jednostajną X^{{(n)}}, czyli X ma trajektorie ciągłe.

Ze zbieżności X_{r}^{{(n)}} do X_{r} w L_{2}, jednostajnej na [0,t] oraz lipschitzowskości b i \sigma łatwo wynika zbieżność w L_{2}, \int _{0}^{t}b(X_{r}^{{(n)}})dr i \int _{0}^{t}\sigma(X_{r}^{{(n)}})dr do odpowiednio \int _{0}^{t}b(X_{r})dr i \int _{0}^{t}\sigma(X_{r})dW_{r}, zatem możemy przejść w (14.2) do granicy by otrzymać dla ustalonego t<T

X_{t}:=\xi+\int _{0}^{t}b(X_{r})dr+\int _{0}^{t}\sigma(X_{r})dW_{r}\quad\mbox{ p.n..}

Oba procesy X i \xi+\int b(X)dr+\int\sigma(X)dW są ciągłe, zatem są nierozróżnialne.

Przykład 14.1

Stosując wzór Itô łatwo sprawdzić, że proces X_{t}=\xi\exp(\lambda W_{t}-\frac{\lambda^{2}}{2}t) jest rozwiązaniem równania

dX_{t}=\lambda X_{t}dW_{t},\quad X_{0}=\xi.

Jest to jedyne rozwiązanie tego równania, gdyż b=0 oraz \sigma(x)=\lambda x są funkcjami lipschitzowskimi.

Przykład 14.2

Proces

X_{t}=e^{{bt}}\xi+\sigma\int _{{0}}^{{t}}e^{{b(t-s)}}dW_{{s}}

jest rozwiązaniem równania

dX_{t}=bX_{t}dt+\sigma dW_{t},\quad X_{0}=\xi.

Jest to jedyne rozwiązanie, gdyż funkcje b(x)=bx oraz \sigma(x)=s^{2} są lipschitzowskie. Jeśli b<0 oraz \xi ma rozkład {\cal N}(0,-\frac{1}{2b}\sigma^{2}), to proces X jest stacjonarny (proces Ornsteina-Uhlenbecka).

14.2. Równania niejednorodne

Często współczynniki równania zależą nie tylko od x, ale i od czasu.

Definicja 14.3

Załóżmy, że b,\sigma\colon{\mathbb{R}}^{2}\rightarrow{\mathbb{R}} są funkcjami ciągłymi, a \xi zmienną losową {\mathcal{F}}_{s}-mierzalną. Mówimy, że proces X=(X_{t})_{{t\in[s,T)}} rozwiązuje równanie stochastyczne

dX_{t}=b(t,X_{t})dt+\sigma(t,X_{t})dW_{t},\quad X_{s}=\xi, (14.3)

jeśli

X_{t}=\xi+\int _{s}^{t}b(r,X_{r})dr+\int _{s}^{t}\sigma(r,X_{r})dW_{r},\quad t\in[s,T).

Dla równania niejednorodnego naturalne są następujące warunki Lipschitza

\displaystyle|b(t,x)-b(t,y)|\leq L|x-y|,\quad|b(t,x)|\leq\tilde{L}\sqrt{1+x^{2}},
\displaystyle|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leq L|x-y|,\quad|\sigma(t,x)|\leq\tilde{L}\sqrt{1+x^{2}}.
Twierdzenie 14.3

Załóżmy, że funkcje b i \sigma spełniają warunki Lipschitza. Wówczas dla dowolnej zmiennej \xi, {\mathcal{F}}_{s}-mierzalnej takiej, że {\mathbb{E}}\xi^{2}<\infty istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (14.3). Co więcej rozwiązanie to daje się otrzymać metodą kolejnych przybliżeń jak w przypadku jednorodnym.

Przykład 14.3

Równanie

dX_{t}=\sigma(t)X_{t}dW_{t},\quad X_{0}=\xi. (14.4)

spełnia założenia twierdzenia, jeśli \sup _{{t}}|\sigma(t)|<\infty. By znaleźć jego rozwiązanie sformułujmy ogólniejszy fakt.

Stwierdzenie 14.1

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym, zaś Z_{0} zmienną {\mathcal{F}}_{0}-mierzalną. Wówczas proces Z_{t}=\exp(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}) jest martyngałem lokalnym takim, że dZ_{t}=Z_{t}dM_{t}, tzn. Z_{t}=Z_{0}+\int _{0}^{t}Z_{s}dM_{s}.

Proces Z bywa nazywany eksponentą stochastyczną.

Z wzoru Itô dla semimartyngału X_{t}=M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t} dostajemy

dZ_{t}=d(Z_{0}e^{{X_{t}}})=Z_{0}e^{{X_{t}}}dX_{t}+\frac{1}{2}Z_{0}e^{{X_{t}}}d\langle M\rangle _{t}=Z_{0}e^{{X_{t}}}dM_{t}=Z_{t}dM_{t}.

Proces Z jest martyngałem lokalnym na mocy konstrukcji całki stochastycznej.

Wracając do Przykładu 14.3 zauważamy, że M_{t}=\int _{0}^{t}\sigma(s)dW_{s} jest martyngałem lokalnym, więc rozwiązanie równania (14.4) ma postać

X_{t}=\xi\exp\Big(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}\Big)=\xi\exp\Big(\int _{0}^{t}\sigma(s)dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}\sigma(s)^{2}ds\Big).
Przykład 14.4

Rozpatrzmy niejednorodne równanie liniowe postaci

dY_{t}=b(t)Y_{t}dt+\sigma(t)Y_{t}dW_{t},\quad X_{0}=\xi.

Współczynniki b(t,y)=b(t)y i \sigma(t,y)=\sigma(t)y spełniają warunki Lipschitza, jeśli \sup _{{t}}|b(t)|<\infty oraz \sup _{{t}}|\sigma(t)|<\infty. By znaleźć rozwiązanie załóżmy, że jest postaci X_{t}=g(t)Y_{t}, gdzie dY_{t}=\sigma(t)Y_{t}dW_{t}, Y_{0}=\xi, postać Y znamy z Przykładu 3. Wówczas, z dwuwymiarowego wzoru Itô

dX_{t}=g^{{\prime}}(t)Y_{t}dt+g(t)dY_{t}=g^{{\prime}}(t)Y_{t}dt+\sigma(t)X_{t}dW_{t}.

Wystarczy więc rozwiązać zwyczajne równanie różniczkowe

g^{{\prime}}(t)=b(t)g(t),\quad g(0)=1,

by dostać

X_{t}=Y_{t}g(t)=\xi\exp\Big(\int _{0}^{t}\sigma(s)dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}\sigma(s)^{2}ds+\int _{0}^{t}b(s)ds\Big).

14.3. Przypadek wielowymiarowy

Zanim sformułujemy odpowiednik wcześniejszych wyników dla przypadku wielowymiarowego wprowadzimy wygodne ustalenia notacyjne.

Definicja 14.4

Niech W=(W^{{(1)}},\ldots,W^{{(d)}}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera. Dla X=[X^{{(i,j)}}]_{{1\leq i\leq m,1\leq j\leq d}} macierzy m\times d złożonej z procesów z \Lambda^{2}_{T} określamy m-wymiarowy proces

M_{t}=(M_{t}^{{(1)}},\ldots,M_{t}^{{(m)}})=\int _{0}^{t}X_{s}dW_{s},\quad 0\leq t<T

wzorem

M_{t}^{{(i)}}=\sum _{{j=1}}^{d}\int _{0}^{t}X_{s}^{{(i,j)}}dW_{s}^{{(j)}},\quad 1\leq i\leq m.

Przy powyżej wprowadzonej notacji możemy zdefiniować wielowymiarowe równania stochastyczne.

Definicja 14.5

Załóżmy, że b\colon{\mathbb{R}}^{m}\rightarrow{\mathbb{R}}^{m},\sigma\colon{\mathbb{R}}^{{m}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{{m\times d}} są funkcjami ciągłymi, W=(W^{{(1)}},\ldots,W^{{(d)}}) jest d-wymiarowym procesem Wienera, a \xi=(\xi _{1},\ldots,\xi _{m}), m-wymiarowym, {\mathcal{F}}_{s}-mierzalnym wektorem losowym. Mówimy, że m-wymiarowy proces X=(X^{{(1)}}_{t},\ldots,X^{{(m)}}_{t})_{{t\in[s,T)}} rozwiązuje jednorodne wielowymiarowe równanie stochastyczne

dX_{t}=b(X_{t})dt+\sigma(X_{t})dW_{t},\quad X_{s}=\xi,

jeśli

X_{t}=\xi+\int _{s}^{t}b(X_{r})dr+\int _{s}^{t}\sigma(X_{r})dW_{r},\quad t\in[s,T).

Tak jak w przypadku jednowymiarowym dowodzimy:

Twierdzenie 14.4

Załóżmy, że \xi=(\xi _{1},\ldots,\xi _{m}) jest m-wymiarowym, {\mathcal{F}}_{s}-mierzalnym wektorem losowym takim, że {\mathbb{E}}\xi _{j}^{2}<\infty dla 1\leq j\leq m, b\colon{\mathbb{R}}^{m}\rightarrow{\mathbb{R}}^{m},\sigma\colon{\mathbb{R}}^{{m}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{{d\times m}} są funkcjami lipschitzowskimi oraz Wjest d-wymiarowym procesem Wienera. Wówczas równanie

dX_{t}=b(X_{t})dt+\sigma(X_{t})dW_{t},\quad X_{s}=\xi

ma dokładnie jedno rozwiązanie X=(X^{{(1)}}_{t},\ldots,X^{{(m)}}_{t})_{{t\geq s}}. Ponadto

{\mathbb{E}}\sup _{{s\leq t\leq u}}{\mathbb{E}}|X^{{(i)}}_{t}|^{2}<\infty\quad\mbox{ dla }u<\infty.

14.4. Generator procesu dyfuzji.

W tej części zakładamy, że b=(b_{i})_{{i\leq m}}\colon{\mathbb{R}}^{m}\rightarrow{\mathbb{R}}^{m},\sigma=(\sigma _{{i,j}})_{{i\leq m,j\leq d}}\colon{\mathbb{R}}^{{m}}\rightarrow{\mathbb{R}}^{{m\times d}} są funkcjami ciągłymi, zaś W=(W^{{(1)}},\ldots,W^{{(d)}}) jest d-wymiarowym procesem Wienera.

Definicja 14.6

Generatoremm-wymiarowego procesu dyfuzji spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

dX_{t}=b(X_{t})dt+\sigma(X_{t})dW_{t}

nazywamy operator różniczkowy drugiego rzędu dany wzorem

Lf(x)=\sum _{{i=1}}^{n}b_{i}(x)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)+\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{d}\sigma _{{i,j}}(x)\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(x),\quad f\in C^{{2}}({\mathbb{R}}^{m}).

Definicja ta jest motywowana przez poniższy prosty, ale bardzo ważny fakt.

Stwierdzenie 14.2

Załóżmy, że L jest generatorem procesu dyfuzji spełniającego równanie dX_{t}=b(X_{t})dt+\sigma(X_{t})dW_{t}. Wówczas dla dowolnej funkcji f\in C^{{2}}({\mathbb{R}}^{m}) takiej, że f(X_{0}) jest całkowalne, proces M_{t}^{f}:=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Lf(X_{s})ds jest ciągłym martyngałem lokalnym. Ponadto, jeśli f ma dodatkowo nośnik zwarty, to M_{t}^{f} jest martyngałem.

Ze wzoru Itô łatwo sprawdzić, że

M_{t}^{f}=f(X_{0})+\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{d}\int _{0}^{t}\sigma _{{i,j}}(X_{t})\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(X_{t})dW_{t}^{{(j)}}\in{\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{c}.

Jeśli f\in C^{{2}}_{{{\rm zw}}}({\mathbb{R}}^{m}), to funkcje \sigma _{{i,j}}(x)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x) są ciągłe i mają nośnik zwarty w {\mathbb{R}}^{m}, więc są ograniczone, zatem procesy \sigma _{{i,j}}(X_{t})\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(X_{t}) należą do {\mathcal{L}}^{2}_{T} dla dowolnego T<\infty, więc M_{t}^{f} jest martyngałem (a nawet martyngałem całkowalnym z kwadratem).

Uwaga 14.3

Założenie o zwartym nośniku f można w wielu przykładach istotnie osłabić. Załóżmy, że współczynniki b i \sigma są lipschitzowskie oraz X_{0}\in L_{2}. Wówczas, jak wiemy, X_{t} jest całkowalny z kwadratem oraz \sup _{{t\leq T}}{\mathbb{E}}X_{t}^{2}<\infty dla T<\infty. Stąd nietrudno sprawdzić (używając lipschitzowskości \sigma _{{i,j}}), że jeśli pochodne f są ograniczone, to \sigma _{{i,j}}(X_{t})\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(X_{t})\in{\mathcal{L}}^{2}_{T} dla T<\infty, zatem M_{t}^{f} jest martyngałem.

Przykład 14.5

Generatorem d-wymiarowego procesu Wienera jest operator Lf=\frac{1}{2}\triangle f.
Jeśli X=(X_{1},\ldots,X_{d}) spełnia

dX_{t}^{{(i)}}=bX_{t}^{{(i)}}dt+\sigma dW_{t}^{{(i)}},\quad i=1,\ldots,m,

(m-wymiarowy proces Ornsteina-Uhlenbecka), to Lf(x)=b\langle x,\nabla f(x)\rangle+\frac{1}{2}\sigma^{2}\triangle f.

Wykład zakończymy przykładem pokazującym związek między stochastycznymi równaniami różniczkowymi a równaniami cząstkowymi. Dokładna analiza takich związków jest ważną dziedziną łączącą rozumowania analityczne i probabilistyczne. Nieco więcej na ten temat można się będzie dowiedzieć na przedmiocie Procesy Stochastyczne.

Przykład 14.6

Dla x\in{\mathbb{R}}^{m} niech X_{t}^{x} będzie rozwiązaniem równania stochastycznego

dX_{t}^{x}=b(X_{t}^{x})dt+\sigma(X_{t}^{x})dW_{t},\quad X_{0}^{x}=x,

zaś L odpowiadającym mu generatorem. Załóżmy, że D jest obszarem ograniczonym oraz f spełnia równanie cząstkowe

Lf(x)=0,\  x\in D,\quad f(x)=h(x),\  x\in\partial D.

Załóżmy dodatkowo, że f daje się rozszerzyć do funkcji klasy C^{2} na pewnym otoczeniu D. Wówczas f się rozszerza też do funkcji klasy C^{2}_{{{\rm zw}}}({\mathbb{R}}^{m}). Wybierzmy x\in D i określmy

\tau=\inf\{ t>0\colon X_{t}^{x}\notin D\}.

Wiemy, że proces M_{t}=f(X_{t}^{x})-\int _{0}^{t}Lf(X_{s}^{x})ds jest martyngałem, zatem martyngałem jest również M_{{t\wedge\tau}}, ale

M_{{t\wedge\tau}}=f(X_{{t\wedge\tau}}^{x})-\int _{0}^{{\wedge\tau}}tLf(X_{s}^{x})ds=f(X_{{t\wedge\tau}}^{x}),

w szczegóności

{\mathbb{E}}f(X_{{t\wedge\tau}}^{x})={\mathbb{E}}M_{{t\wedge\tau}}={\mathbb{E}}M_{0}=f(x).

Jeśli dodatkowo \tau<\infty p.n. (to założenie jest spełnione np. dla procesu Wienera), to z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej

f(x)={\mathbb{E}}f(X_{{t\wedge\tau}}^{x})\rightarrow{\mathbb{E}}f(X_{{\tau}}^{x})={\mathbb{E}}h(X_{{\tau}}^{x}).

Otrzynaliśmy więc stochastyczną reprezentację rozwiązania eliptycznego równania cząstkowego.

Podobne rozumowanie pokazuje, że (przy pewnych dodatkowych założeniach) rozwiązanie równania

Lf(x)=g(x),\  x\in D,\quad f(x)=h(x)x\in\partial D

ma postać zadaną wzorem Feynmana-Kaca

f(x)={\mathbb{E}}h(X_{{\tau}}^{x})={\mathbb{E}}\int _{0}^{{\tau}}g(X_{s}^{x})ds,\quad x\in D.

14.5. Zadania

Ćwiczenie 14.1

Zweryfikuj rachunki dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka z Przykładu 14.2.

Ćwiczenie 14.2

i) Wykaż, że dla x,\sigma,b\in{\mathbb{R}} istnieje dokładnie jeden proces X=(X_{t})_{{t\geq 0}} taki, że

X_{t}=x+\sigma\int _{0}^{t}X_{s}dW_{s}+b\int _{0}^{t}X_{s}ds.

Ponadto \sup _{{t\leq u}}{\mathbb{E}}X_{t}^{2}<\infty dla u<\infty.
ii) Oblicz {\mathbb{E}}X_{t}.
iii) Znajdź stochastyczne równania różniczkowe spełnione przez X^{2} i e^{X}.

Ćwiczenie 14.3

Wykaż, że rozwiązanie równania dX=e^{{-X}}dW-\frac{1}{2}e^{{-2X}}dt eksploduje w skończonym czasie.

Wskazówka: 

Rozpatrz proces Y=e^{X}.

Ćwiczenie 14.4

Wykaż, że rozwiązanie równania

dX_{t}=(1+X_{t})(1+X_{t}^{2})dt+(1+X_{t}^{2})dW_{t}

eksploduje w skończonym czasie. Ponadto wartość oczekiwana czasu do eksplozji jest skończona.

Ćwiczenie 14.5

Załóżmy, że A(t) jest ciągłą funkcją na [0,T] o wartościach w macierzach m\times m, \sigma(t) jest ciągłą funkcją na [0,T] o wartościach w macierzach m\times d, zaś a(t) jest ciągłą funkcją na [0,T] o wartościach w {\mathbb{R}}^{{m}}. Niech S(t) będzie jedynym rozwiązaniem równania

\frac{dS(t)}{dt}=A(t)S(t),\quad S(0)=I.

Ponadto niech W będzie d-wymiarowym procesem Wienera, a \xi zmienną losową niezależną od W. Wykaż, że

a)\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}\xi(t):=S(t)\Big(\xi+\int _{{0}}^{{t}}S^{{-1}}(s)a(s)ds\Big)\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}

jest rozwiązaniem równania deterministycznego

\frac{d\xi(t)}{dt}=A(t)\xi(t)+a(t),\quad\xi(0)=\xi,
b)\phantom{aaaaaaaaaaaaaaa}X(t)=S(t)\Big(\xi+\int _{{0}}^{{t}}S^{{-1}}(s)a(s)ds+\int _{{0}}^{{t}}S^{{-1}}(s)\sigma(s)dW_{{s}}\Big)\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaa}

jest jedynym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

dX_{{t}}=(A(t)X_{{t}}+a(t))dt+\sigma(t)dW_{{t}},\quad X_{{0}}=\xi.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.