Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 15. Twierdzenie Girsanowa – MIM UW

Zagadnienia

15. Twierdzenie Girsanowa

W czasie tego wykładu przyjmujemy jak zwykle, że (\Omega,{\cal F},{\mathbb{P}}) jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Będziemy konstruowali inne miary probabilistyczne na przestrzeni (\Omega,{\cal F}) względem których proces Wienera z dryfem ma taki rozkład jak zwykły proces Wienera. Przez {\mathbb{E}}X będziemy rozumieli zawsze wartość oczekiwaną względem {\mathbb{P}}, wartość oczekiwaną X względem innej miary {\mathbb{Q}} będziemy oznaczać {\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}}}X. Zauważmy, że jeśli d{\mathbb{Q}}=Zd{\mathbb{P}}, tzn. {\mathbb{Q}}(A)=\int _{A}Zd{\mathbb{P}}, to

{\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}}}X=\int Xd{\mathbb{Q}}=\int XZd{\mathbb{P}}={\mathbb{E}}(XZ).

15.1. Przypadek dyskretny

Załóżmy, że zmienne Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_{n} są niezależne i mają standardowy rozkład normalny {\cal N}(0,1). Wprowadźmy nową miarę {\mathbb{Q}} na (\Omega,{\cal F}) wzorem d{\mathbb{Q}}=\exp(\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2})d{\mathbb{P}}, tzn.

{\mathbb{Q}}(A)=\int _{A}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\mu _{i}Z_{i}(\omega)-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big)d{\mathbb{P}}(\omega)\quad\mbox{ dla }A\in{\cal F}.

Zauważmy, że

{\mathbb{Q}}(\Omega)={\mathbb{E}}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big)=\prod _{{i=1}}^{n}{\mathbb{E}}\exp\Big(\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\mu _{i}^{2}\Big)=1,

więc {\mathbb{Q}} jest miarą probabilistyczną na (\Omega,{\mathcal{F}}). Ponadto dla dowolnego zbioru \Gamma\in{\mathcal{B}}({\mathbb{R}}^{n}),

\displaystyle{\mathbb{Q}} \displaystyle((Z_{1},\ldots,Z_{n})\in\Gamma)={\mathbb{E}}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{{n}}\mu _{i}Z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big){\mathrm{I}}_{{\{(Z_{1},\ldots,Z_{n})\in\Gamma\}}}
\displaystyle=\frac{1}{(2\pi)^{{n/2}}}\int _{{\Gamma}}\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}z_{i}-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}^{2}\Big)\exp\Big(-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}z_{i}^{2}\Big)dz_{1}\ldots dz_{n}
\displaystyle=\frac{1}{(2\pi)^{{n/2}}}\int _{{\Gamma}}\exp\Big(-\frac{1}{2}\sum _{{i=1}}^{n}(z_{i}-\mu _{i})^{2}\Big)dz_{1}\ldots dz_{n}.

Zatem względem miary {\mathbb{Q}} zmienne Z_{i}-\mu _{i} są niezależne oraz mają rozkład {\cal N}(0,1).

Definiując S_{k}=Z_{1}+\ldots+Z_{k} widzimy, że względem {\mathbb{Q}} zmienne (S_{k}-\sum _{{i=1}}^{k}\mu _{i})_{{k\leq n}} są sumami niezależnych standardowych zmiennych normalnych (czyli mają ten sam rozkład co (S_{k})_{k} względem {\mathbb{P}}). Podczas dalszej części wykładu pokażemy, że można podobny fakt sformułować w przypadku ciągłym, gdy S_{k} zastąpimy procesem Wienera, a sumy \sum _{{i=1}}^{k}\mu _{i} całką \int _{0}^{t}Y_{s}ds.

15.2. Twierdzenie Girsanowa dla procesu Wienera

Załóżmy, że T<\infty, proces Y=(Y_{t})_{{t<T}} jest prognozowalny oraz \int _{0}^{T}Y_{t}^{2}<\infty p.n., wówczas Y\in\Lambda^{2}_{T}, proces M_{t}=\int YdW jest martyngałem lokalnym na [0,T) oraz \langle M\rangle=\int Y^{2}dt. Co więcej można też określić wartość M i Z w punkcie T. Zatem jak wiemy (zob. Stwierdzenie 14.1) proces

Z_{t}:=\exp\Big(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}\Big)=\exp\Big(\int _{{0}}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}ds\Big)

jest martyngałem lokalnym na [0,T].

Lemat 15.1

Jeśli M jest ciągłym martyngałem lokalnym na [0,T], to proces Z_{t}=\exp(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t}) jest martyngałem na przedziale skończonym [0,T] wtedy i tylko wtedy, gdy {\mathbb{E}}Z_{T}=1.

Implikacja ”\Rightarrow” jest oczywista, bo {\mathbb{E}}Z_{T}={\mathbb{E}}Z_{0}=1. Wystarczy więc udowodnić ”\Leftarrow”.

Wiemy, że Z jest nieujemnym martyngałem lokalnym, zatem jest nadmartyngałem (Stwierdzenie 9.6). Ustalmy t\in[0,T], wówczas Z_{t}\geq{\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{t}) p.n.. Ponadto 1={\mathbb{E}}Z_{0}\geq{\mathbb{E}}Z_{t}\geq{\mathbb{E}}Z_{T}, czyli, jeśli {\mathbb{E}}Z_{T}=1, to {\mathbb{E}}Z_{t}=1 i

{\mathbb{E}}(Z_{t}-{\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{t}))={\mathbb{E}}Z_{t}-{\mathbb{E}}Z_{T}=0,

a więc Z_{t}={\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{t}) p.n..

Twierdzenie 15.1

Załóżmy, że T<\infty, proces Y jest prognozowalny oraz \int _{0}^{T}Y_{s}^{2}ds<\infty p.n.. Niech Z_{t}=\exp(\int _{{0}}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}ds), wówczas, jeśli {\mathbb{E}}Z_{T}=1 (czyli Z jest martyngałem na [0,T]), to proces

V_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds,\quad t\in[0,T]

jest procesem Wienera na zmodyfikowanej przestrzeni propabilistycznej (\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{Q}}_{T}), gdzie d{\mathbb{Q}}_{T}=Z_{T}d{\mathbb{P}}, tzn.

{\mathbb{Q}}_{T}(A)=\int _{A}Z_{T}d{\mathbb{P}},\quad A\in{\mathcal{F}}.

Zmienna Z_{T} jest nieujemna i {\mathbb{E}}Z_{T}=1, więc {\mathbb{Q}}_{T} jest miarą probabilistyczną. Zauważmy też, że jeśli {\mathbb{P}}(A)=0, to {\mathbb{Q}}_{T}(A)=0, czyli zdarzenia, które zachodzą {\mathbb{P}} prawie na pewno, zachodzą też {\mathbb{Q}}_{T} prawie na pewno. Proces V jest ciągły, adaptowalny względem {\mathcal{F}}_{t} oraz V_{0}=0. Wystarczy zatem, na mocy Twierdzenia 13.5 wykazać, że dla \lambda\in{\mathbb{R}}, proces U_{t}=U_{t}(\lambda):=\exp(\lambda V_{t}-\frac{1}{2}\lambda^{2}t) jest martyngałem lokalnym względem {\mathbb{Q}}_{T}. Zauważmy, że

\displaystyle U_{t}Z_{t} \displaystyle=\exp\Big(\lambda V_{t}-\frac{1}{2}\lambda^{2}t\Big)\exp\Big(\int _{{0}}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}Y_{s}^{2}ds\Big)
\displaystyle=\exp\Big(\lambda W_{t}+\int _{0}^{t}Y_{s}dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}(2\lambda Y_{s}+\lambda^{2}+Y_{s}^{2})ds\Big)
\displaystyle=\exp\Big(\int _{0}^{t}(\lambda+Y_{s})dW_{s}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}(\lambda+Y_{s})^{2}ds\Big)=\exp\Big(N_{t}-\frac{1}{2}\langle N\rangle _{t}\Big),

gdzie N=\int(\lambda+Y)dW\in{\mathcal{M}}^{c}_{{{\rm loc}}}. Zatem proces UZ jest martyngałem lokalnym względem {\mathbb{P}}, czyli istnieją \tau _{n}\nearrow T takie, że U^{{\tau _{n}}}Z^{{\tau _{n}}} jest martyngałem. Ustalmy n, wtedy dla dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania \tau,

\displaystyle{\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}_{T}}}U_{0} \displaystyle={\mathbb{E}}(U_{0}Z_{T})={\mathbb{E}}(U_{0}{\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{0}))={\mathbb{E}}(U_{0}Z_{0})={\mathbb{E}}(U_{{\tau _{n}\wedge\tau}}Z_{{\tau _{n}\wedge\tau}})
\displaystyle={\mathbb{E}}(U_{{\tau _{n}\wedge\tau}}{\mathbb{E}}(Z_{T}|{\mathcal{F}}_{{\tau _{n}\wedge\tau}})={\mathbb{E}}(U_{{\tau _{n}\wedge\tau}}Z_{T})={\mathbb{E}}_{{{\mathbb{Q}}_{T}}}U_{{\tau _{n}\wedge\tau}},

zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Dooba wynika, że U^{{\tau _{n}}} jest martyngałem względem {\mathbb{Q}}_{T}, czyli U jest {\mathbb{Q}}_{T}-martyngałem lokalnym.

W pewnych zastosowaniach wygodnie jest mieć miarę względem której proces W-\int Yds jest procesem Wienera na całej półprostej [0,\infty).

Twierdzenie 15.2

Załóżmy, że Y\in\Lambda^{2}_{\infty}, zaś proces Z_{t} i miary {\mathbb{Q}}_{T} dla T<\infty są określone jak poprzednio. Wówczas, jeśli {\mathbb{E}}Z_{t}=1 dla wszystkich t (czyli Z jest martyngałem na [0,\infty)), to istnieje dokładnie jedna miara probabilistyczna {\mathbb{Q}} na (\Omega,{\mathcal{F}}_{\infty}^{W}) taka, że {\mathbb{Q}}(A)={\mathbb{Q}}_{T}(A) dla A\in{\mathcal{F}}_{T}^{W} i T<\infty. Proces V=W-\int Yds jest względem {\mathbb{Q}} procesem Wienera na [0,\infty).

Szkic Dowodu.

Na zbiorach postaci A=\{(W_{{t_{1}}},W_{{t_{2}}},\ldots,W_{{t_{k}}})\in\Gamma\}, 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq\ldots\leq t_{k}\leq T, \Gamma\in{\mathcal{B}}({\mathbb{R}}^{k}) kładziemy {\mathbb{Q}}(A);={\mathbb{Q}}_{T}(A). Otrzymujemy w ten sposób zgodną rodzinę miar probabilistycznych, która na mocy twierdzenia Kołmogorowa przedłuża się w spośób jednoznaczny do miary {\mathbb{Q}} na {\mathcal{F}}_{{\infty}}^{W}.

Uwaga 15.1

O ile miara {\mathbb{Q}}_{T} jest absolutnie ciągła względem {\mathbb{P}} (tzn. {\mathbb{Q}}_{T}(A)=0, jeśli {\mathbb{P}}(A)=0), to miara {\mathbb{Q}} zadana przez ostatnie twierdzenie taka być nie musi. Istotnie określmy Y_{t}\equiv\mu\neq 0, czyli V_{t}=W_{t}-\mu t. Niech

\displaystyle A:=\Big\{\omega\colon\limsup\frac{1}{t}W_{t}(\omega)=0\Big\},
\displaystyle B:=\Big\{\omega\colon\limsup\frac{1}{t}V_{t}(\omega)=0\Big\}=\Big\{\omega\colon\limsup\frac{1}{t}W_{t}(\omega)=\mu\Big\}.

Wówczas z mocnego prawa wielkich liczb dla proceseu Wienera {\mathbb{P}}(A)=1 oraz {\mathbb{P}}(B)=0, z drugiej strony {\mathbb{Q}}(B)=1, zatem miary {\mathbb{P}} i {\mathbb{Q}} są wzajemnie singularne na {\mathcal{F}}_{{\infty}}^{W}, mimo, że po odbcięciu do {\mathcal{F}}_{T}^{W} dla T<\infty są względem siebie absolutnie ciągłe. Można pokazać, że albsolutna ciągłość {\mathbb{Q}} względem {\mathbb{P}} wiąże się z jednostajną całkowalnością martyngału Z.

Naturalne jest pytanie kiedy spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, czyli kiedy Z jest martyngałem. Użyteczne jest następujące kryterium.

Twierdzenie 15.3 (Kryterium Nowikowa)

Jeśli Y jest procesem prognozowalnym spełniającym warunek {\mathbb{E}}\exp(\frac{1}{2}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}ds)<\infty, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa, tzn. proces Z=\exp(\int YdW-\frac{1}{2}\int Y^{2}dt) jest martyngałem na [0,T].

Kryterium Nowikowa jest konsekwencją silniejszego twierdzenia, które przedstawimy bez dowodu.

Twierdzenie 15.4

Załóżmy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym takim, że dla wszystkich t, {\mathbb{E}}\exp(\frac{1}{2}\langle M\rangle _{t})<\infty. Niech Z_{t}=\exp(M_{t}-\frac{1}{2}\langle M\rangle), wówczas {\mathbb{E}}Z_{t}=1 dla wszystkich t, czyli Z jest martyngałem.

Twierdzenie Girsanowa można sformułować też w przypadku wielowymiarowym.

Twierdzenie 15.5

Załóżmy, że Y=(Y^{{(1)}},\ldots,Y^{{(d)}}) proces d-wymiarowy taki, że Y^{{(j)}}\in\Lambda^{2}_{T} oraz T<\infty. Niech W=(W^{{(1)}},\ldots,W^{{(d)}}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera oraz

Z_{t}=\exp\Big(\sum _{{i=1}}^{d}\int Y_{s}^{{(i)}}dW_{t}^{{(i)}}-\frac{1}{2}\int _{0}^{t}|Y_{s}|^{2}ds\Big).

Wówczas, jeśli {\mathbb{E}}Z_{T}=1 (czyli Z_{t} jest martyngałem na [0,T]), to proces

V_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds=\Big(W_{t}^{{(1)}}-\int _{0}^{t}Y^{{(1)}}ds,\ldots,W_{t}^{{(d)}}-\int _{0}^{t}Y^{{(d)}}_{s}ds\Big)

jest procesem Wienera na [0,T] względem miary probabilistycznej {\mathbb{Q}}_{t} takiej, że d{\mathbb{Q}}_{T}=Z_{T}d{\mathbb{P}}.

Kryterium Nowikowa w przypadku d-wymiarowym ma postać

Twierdzenie 15.6

Jeśli Y jest d-wymiarowym procesem prognozowalnym spełniającym warunek {\mathbb{E}}\exp(\frac{1}{2}\int _{0}^{T}|Y_{s}|^{2}ds)<\infty, to spełnione są założenia twierdzenia Girsanowa.

15.3. Zadania

Ćwiczenie 15.1

Znajdź taką miarę probabilistyczną {\mathbb{Q}} na (\Omega,{\mathcal{F}}_{{\leq 1}}^{{W}}), by proces (W_{{t}}+2t^{{4}})_{{0\leq t\leq 1}} był procesem Wienera względem {\mathbb{Q}}.

Ćwiczenie 15.2

Niech T<\infty, U będzie procesem Wienera na (\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{P}}),

Z_{{t}}=\exp\Big(\int _{{0}}^{{t}}b(s,U_{s})dU_{s}-\frac{1}{2}\int _{{0}}^{{t}}b^{{2}}(s,U_{s})ds\Big),\quad W_{{t}}:=U_{t}-\int _{{0}}^{{t}}b(s,U_{s})ds.

Stosując twierdzenie Girsanowa wykaż, że jeśli {\mathbb{E}}Z_{T}=1, to istnieje miara probabilistyczna {\mathbb{Q}}_{T} taka, że na przestrzeni probabilistycznej (\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{Q}}_{T}), (W_{{t}})_{{0\leq t\leq T}} jest procesem Wienera oraz

dU_{t}=b(t,U_{t})dt+dW_{t},\ \  0\leq t\leq T,\ \ \  U_{{0}}=0.
Ćwiczenie 15.3

Niech \mu oznacza miarę Wienera na C([0,1]) (tzn. rozkład wyznaczony przez proces Wienera na [0,1]). Dla h\in C([0,1]) określamy nową miarę \mu _{{h}} wzorem \mu _{{h}}(A):=\mu(h+A). Wykaż, że
a) jeśli h(t)=\int _{{0}}^{{t}}g(s)ds dla 0\leq t\leq 1 oraz g\in L_{{2}}[0,1], to miara \mu _{{h}} jest absolutnie ciągła względem \mu oraz znajdź jej gęstość,
b*) jeśli h nie ma powyższej postaci, to miary \mu i \mu _{{h}} są wzajemnie singularne.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.