Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 3. Ciągłość trajektorii – MIM UW

Zagadnienia

3. Ciągłość trajektorii

Wiemy już kiedy istnieje proces o zadanych skończenie wymiarowych rozkładach. Nasuwa się pytanie – kiedy taki proces ma ciągłe trajektorie? Zanim jednak zastanowimy się nad odpowiedzią wprowadzimy dwa ważne sposoby porównywania procesów.

3.1. Procesy stochastycznie równoważne i nierozróżnialne

Definicja 3.1

Niech X=(X_{{t}})_{{t\in T}} oraz Y=(Y_{{t}})_{{t\in T}} będą dwoma procesami stochastycznymi, określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Powiemy, że:
a) X jest modyfikacją Y (lub X jest stochastycznie równoważny Y), jeśli

\forall _{{t\in T}}\ {\mathbb{P}}(X_{{t}}=Y_{{t}})=1;

b) X i Y są nierozróżnialne, jeśli

{\mathbb{P}}(\forall _{{t\in T}}\  X_{{t}}=Y_{{t}})=1.

Zauważmy, że procesy nierozróżnialne są oczywiście stochastycznie równoważne. Ponadto dwa procesy stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład. Poniższy przykład pokazuje, że z rozkładu procesu nie można wnioskować o własnościach trajektorii.

Przykład 3.1

Niech Z\geq 0 będzie dowolną zmienną losową o rozkładzie bezatomowym tzn. {\mathbb{P}}(Z=z)=0 dla wszystkich z\in{\mathbb{R}}. Zdefiniujmy dwa procesy na T=[0,\infty):

X_{{t}}\equiv 0\quad\mbox{ oraz }\quad Y_{{t}}(\omega)=\left\{\begin{array}[]{ll}0&\mbox{ dla }t\neq Z(\omega),\\
1&\mbox{ dla }t=Z(\omega).\end{array}\right.

Wówczas Y jest modyfikacją X, bo {\mathbb{P}}(X_{{t}}\neq Y_{{t}})={\mathbb{P}}(Z=t)=0. Zauważmy jednak, że wszystkie trajektorie Y są nieciągłe. W szczególności {\mathbb{P}}(\forall _{{t\geq 0}}\  X_{{t}}=Y_{{t}})=0, a zatem procesy X i Y nie są nierozróżnialne.

Stwierdzenie 3.1

Załóżmy, że T jest przedziałem oraz procesy X=(X_{{t}})_{{t\in T}} i Y=(Y_{{t}})_{{t\in T}} mają prawostronnie ciągłe trajektorie. Wówczas, jeśli X jest modyfikacją Y, to X i Y są nierozróżnialne.

Wybierzmy przeliczalny podzbiór T_{{0}}\subset T, gęsty w T, zawierający dodatkowo \sup T, jeśli T jest przedziałem prawostronnie domkniętym. Niech

A=\{\forall _{{t\in T_{{0}}}}\  X_{{t}}=Y_{{t}}\},

wówczas {\mathbb{P}}(A)=1, jako przeliczalne przecięcie zbiorów pełnej miary. Ponadto, jeśli \omega\in A, to dla dowolnego t\in T,

X_{{t}}(\omega)=\lim _{{s\rightarrow t+,s\in T_{{0}}}}X_{{s}}(\omega)=\lim _{{s\rightarrow t+,s\in T_{{0}}}}Y_{{s}}(\omega)=Y_{{t}}(\omega),

czyli

{\mathbb{P}}(\forall _{{t\in T}}\  X_{{t}}=Y_{{t}})\geq{\mathbb{P}}(A)=1.

3.2. Twierdzenie o ciągłej modyfikacji

Najważniejsze twierdzenie tego wykładu podaje kryterium istnienia modyfikacji procesu, która ma ciągłe trajektorie. Zanim sformułujemy dokładny wynik przypomnijmy definicję funkcji hölderowskiej.

Definicja 3.2

Funkcja f\colon[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} jest hölderowsko ciągła z wykładnikiem \gamma, jeśli dla pewnej stałej C<\infty,

|f(s)-f(t)|\leq C|t-s|^{{\gamma}}\mbox{ dla wszystkich }s,t\in[a,b].
Twierdzenie 3.1

Załóżmy, że X=(X_{{t}})_{{t\in[a,b]}} jest procesem takim, że

\forall _{{t,s\in[a,b]}}\ {\mathbb{E}}|X_{{t}}-X_{{s}}|^{{\alpha}}\leq C|t-s|^{{1+\beta}} (3.1)

dla pewnych stałych dodatnich \alpha,\beta,C. Wówczas istnieje proces \widetilde{X}=(\widetilde{X}_{{t}})_{{t\in[a,b]}}, będący modyfikacją procesu X, którego wszystkie trajektorie są ciągłe. Co więcej trajektorie każdej modyfikacji X o ciągłych trajektoriach są, z prawdopodobieństwem 1, hölderowsko ciągłe z dowolnym wykładnikiem \gamma<\frac{\beta}{\alpha}.

Zainteresownych dowodem odsyłamy np. do [4] lub [8].

Wniosek 3.1

Twierdzenie 3.1 jest prawdziwe, gdy przedział [a,b] zastąpimy nieskończonym przedziałem, o ile hölderowskość trajektorii zastąpimy lokalną hölderowskością (tzn. hölderowskością na każdym przedziale skończonym). Co więcej, wystarczy, by warunek (3.1) zachodził dla |s-t|\leq\delta, gdzie \delta jest ustaloną liczbą dodatnią.

Przedział nieskończony T można zapisać jako przeliczalną sumę przedziałów [a_{{n}},a_{{n+1}}], długości nie większej od \delta. Z Twierdzenia 3.1 wynika istnienie modyfikacji \widetilde{X}_{{t}}^{{(n)}} procesu X na przedziale [a_{{n}},a_{{n+1}}], o ciągłych trajektoriach. Niech A_{{n}}=\{\tilde{X}_{{a_{{n+1}}}}^{{(n)}}\neq\tilde{X}^{{(n+1)}}_{{a_{{n+1}}}}\}, wówczas A=\bigcup _{n}A_{{n}} ma miarę zero. Możemy więc położyć:

\widetilde{X}_{{t}}(\omega)=\left\{\begin{array}[]{ll}\widetilde{X}_{{t}}^{{(n)}}(\omega)&\mbox{ dla }t\in[a_{{n}},a_{{n+1}}],\ \omega\notin A,\\
0&\mbox{ dla }\omega\in A.\end{array}\right.
Wniosek 3.2

Istnieje proces Wienera, tzn. proces spełniający warunki (W0)-(W3).

Mamy {\mathbb{E}}|W_{{s}}-W_{{t}}|^{{4}}={\mathbb{E}}|\sqrt{t-s}W_{{1}}|^{{4}}=(s-t)^{{2}}{\mathbb{E}}W_{{1}}^{{4}}=3(s-t)^{{2}} i możemy zastosować Wniosek 3.1 z \beta=1, \alpha=4 i C=3.

Wniosek 3.3

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera są lokalnie hölderowsko ciągłe z dowolnym parametrem \gamma<1/2.

Mamy {\mathbb{E}}|W_{{s}}-W_{{t}}|^{{p}}=(s-t)^{{p/2}}{\mathbb{E}}|W_{{1}}|^{{p}}=C_{{p}}(s-t)^{{p/2}} dla dowolnego p<\infty. Stosując Twierdzenie 3.1 z \beta=p/2-1, \alpha=p dostajemy hölderowską ciągłość trajektorii z dowolnym \gamma<\frac{1}{2}-\frac{1}{p}. Biorąc p\rightarrow\infty dostajemy tezę.

Uwaga 3.1

Prawie wszystkie trajektorie procesu Wienera nie są jednostajnie ciągłe na [0,\infty), nie mogą więc być globalnie hölderowskie z żadnym wykładnikiem.

Uwaga 3.2

Założenia \beta>0 nie można opuścić – wystarczy rozważyć proces Poissona (N_{t})_{{t\geq 0}} (tzn. proces o prawostronnie ciaglych trajektoriach, startujący z zera, o przyrostach niezależnych taki, że N_{t}-N_{s} ma rozkład Poissona z parametrem \lambda(t-s) – zob. np. rozdział 23 w [1]). Wówczas {\mathbb{E}}|N_{{t}}-N_{{s}}|=\lambda|t-s|, a oczywiście proces Poissona przyjmuje wartości całkowite, więc nie ma modyfikacji o ciągłych trajektoriach.

3.3. Uwagi i uzupełnienia

W tym wykładzie koncentrowaliśmy uwagę nad procesami o trajektoriach ciągłych. Warto jednak wspomnieć o innych formach ciągłości procesów stochastycznych.

Definicja 3.3

Niech X=(X_{{t}})_{{t\in T}} będzie procesem stochastycznym. Mówimy, że
a) proces X jest stochastycznie ciągły, jeśli

t_{{n}}\rightarrow t\ \Rightarrow\  X_{{t_{{n}}}}\overset{{\mathbb{P}}}{\rightarrow}X_{{t}}.

b) proces X jest ciągły wg p-tego momentu (ciągły w L_{{p}}), jeśli

t_{{n}}\rightarrow t\ \Rightarrow\ {\mathbb{E}}|X_{{t_{{n}}}}-X_{{t}}|^{{p}}\rightarrow 0.
Uwaga 3.3

Ciągłość trajektorii oraz ciągłość wg p-tego momentu implikują ciągłość stochastyczną procesu. Z pozostałych czterech implikacji między powyższymi pojęciami ciągłości procesu żadna nie jest prawdziwa bez dodatkowych założeń.

3.4. Zadania

Ćwiczenie 3.1

Proces X jest modyfikacją procesu Wienera. Które z następujących własności są spełnione dla procesu X:
a) niezależność przyrostów,
b) stacjonarność przyrostów,
c) ciągłość trajektorii,
d) \lim _{{t\rightarrow\infty}}\frac{X_{{t}}}{t}=0 p.n.,
e) \lim _{{t\rightarrow\infty}}\frac{X_{{t}}}{t}=0 według prawdopodobieństwa?

Ćwiczenie 3.2

Wykaż, że trajektorie procesu Wienera nie są lokalnie 1/2-hölderowskie.

Ćwiczenie 3.3

Scentrowany proces gaussowski nazywamy ułamkowym ruchem Browna, jeśli {\mathbb{E}}|X_{{t}}-X_{{s}}|^{{2}}=|t-s|^{{2\alpha}} (można wykazać, że taki proces istnieje dla 0<\alpha<1). Udowodnij, że ułamkowy ruch Browna ma ciągłą modyfikację. Co można powiedzieć o hölderowskości jej trajektorii?

Ćwiczenie 3.4

Udowodnij tezę Uwagi 3.3.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.