Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 4. Filtracje, momenty zatrzymania – MIM UW

Zagadnienia

4. Filtracje, momenty zatrzymania

Pokażemy jak zmodyfikować definicje omawiane podczas kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa z przypadku czasu dyskretnego na czas ciągły.

Będziemy zakładać, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem (typowo T=[0,\infty)), choć większość definicji i wyników można uogólnić na szerszą klasę zbiorów.

4.1. Filtracje z czasem ciągłym

Definicja 4.1

Filtracją({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} przestrzeni probabilistycznej (\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{P}}) nazywamy rosnącą rodzinę \sigma-ciał zawartych w {\mathcal{F}}, tzn. {\mathcal{F}}_{{t}}\subset{\mathcal{F}}_{{s}}\subset{\mathcal{F}} dla t\leq s,\  t,s\in T.

Zdarzenia z \sigma-ciała {\mathcal{F}}_{{t}} możemy interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili t.

Definicja 4.2

Niech X=(X_{{t}})_{{t\in T}} będzie procesem stochastycznym. Filtracją generowaną przez X nazywamy rodzinę ({\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}})_{{t\in T}} daną wzorem {\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}}=\sigma(X_{{s}}\colon s\leq t).

Stwierdzenie 4.1

Proces X_{t} ma przyrosty niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych t<s, t,s\in T przyrost X_{s}-X_{t} jest niezależny od \sigma-ciała {\mathcal{F}}_{t}^{X}.

\Rightarrow: Rodzina {\mathcal{A}} zdarzeń niezależnych od X_{s}-X_{t} tworzy \lambda-układ, ponadto, z niezależności przyrostów X, zawiera \pi-układ zdarzeń postaci \{ X_{{t_{1}}}\in A_{1},\ldots,X_{{t_{n}}}\in A_{n}\} dla t_{1}<\ldots<t_{n}\leq t, który generuje \sigma-ciało {\mathcal{F}}_{t}^{X}. Zatem, na mocy twierdzenia o \pi- i \lambda-układach, {\mathcal{A}}\supset{\mathcal{F}}_{t}^{X}.

\Leftarrow: Ustalmy t_{1}<\ldots<t_{n} oraz zbiory borelowskie A_{1},\ldots,A_{n}. Zdarzenie \{ X_{{t_{1}}}\in A_{1},X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},\ldots,X_{{t_{{n-1}}}}-X_{{t_{{n-2}}}}\in A_{{n-1}}\} należy do \sigma-ciała {\mathcal{F}}_{{t_{{n-1}}}}^{X}, więc jest niezależne od zmiennej X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}}. Stąd

\displaystyle{\mathbb{P}}( \displaystyle X_{{t_{1}}}\in A_{1},X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},\ldots,X_{{t_{{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{{n}})
\displaystyle={\mathbb{P}}(X_{{t_{1}}}\in A_{1},\ldots,X_{{t_{{n-1}}}}-X_{{t_{{n-2}}}}\in A_{{n-1}}){\mathbb{P}}(X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{n}).

Iterując to rozumowanie pokazujemy, że

\displaystyle{\mathbb{P}}(X_{{t_{1}}}\in \displaystyle A_{1},X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},\ldots,X_{{t_{{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{{n}})
\displaystyle={\mathbb{P}}(X_{{t_{1}}}\in A_{1}){\mathbb{P}}(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}}\in A_{2},)\cdots{\mathbb{P}}(X_{{t_{n}}}-X_{{t_{{n-1}}}}\in A_{n}).
Definicja 4.3

Proces X=(X_{{t}}) nazywamy zgodnym z filtracją ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}, {\mathcal{F}}_{{t}}-adaptowalnym lub adaptowanym do filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}, jeśli dla wszystkich t\in T, X_{{t}} jest {\mathcal{F}}_{{t}} mierzalne.

Uwaga 4.1

Oczywiście proces X jest zgodny z filtracją ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} wtedy i tylko wtedy, gdy {\mathcal{F}}_{t}^{X}\subset{\mathcal{F}}_{t} dla t\in T. W szczególności każdy proces X jest zgodny z filtracją przez siebie generowaną.

4.2. Momenty zatrzymania

Definicja 4.4

Momentem zatrzymania (momentem Markowa, czasem zatrzymania) względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} nazywamy zmienną losową o wartościach w T\cup\{\infty\} taką, że \{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}} dla wszystkich t\in T.

Moment zatrzymania to strategia przerwania eksperymentu losowego (np. zakończenia udziału w pewnej grze losowej) taka, że decyzję o przerwaniu do chwili t podejmujemy tylko na podstawie obserwacji dostępnych w tym czasie.

Dla zbioru A\subset{\mathbb{R}} i procesu stochastycznego (X_{{t}})_{{t\in T}} określmy

\tau _{{A}}=\inf\{ t\in T\colon X_{{t}}\in A\}.
Stwierdzenie 4.2

Jeśli (X_{{t}})_{{t\in T}} jest {\mathcal{F}}_{{t}}-adaptowalnym procesem o ciągłych trajektoriach, zaś A zbiorem domkniętym, to \tau _{{A}} jest momentem zatrzymania względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}}).

Niech T_{{0}}\subset T będzie gęstym podzbiorem T zawierającym lewy koniec. Z domkniętości zbioru A i ciągłości X dostajemy dla t\in T,

\{\tau _{{A}}\leq t\}=\{\exists _{{s\leq t}}\  X_{{s}}\in A\}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty}}\bigcup _{{s\leq t,s\in T_{{0}}}}\{ X_{{s}}\in A_{{1/n}}\}\in{\mathcal{F}}_{{t}},

gdzie

A_{{\varepsilon}}:=\{ x\in{\mathbb{R}}^{{n}}\colon d(x,A)<\varepsilon\}\quad\mbox{ ($\varepsilon$-otoczka zbioru $A$)}.
Uwaga 4.2

Jeśli w powyższym przykładzie A będzie zbiorem otwartym, to \tau _{{A}} nie musi być momentem zatrzymania względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}, ale musi być momentem zatrzymania względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t+}})_{{t\in T}}, gdzie dla t<\sup T

{\mathcal{F}}_{{t+}}:=\bigcap _{{s>t}}{\mathcal{F}}_{{s}},

a jeśli t jest największym elementem T, to kładziemy {\mathcal{F}}_{{t+}}={\mathcal{F}}_{t}.

Powyższa uwaga motywuje poniższą definicję, która ma nieco techniczny charakter, ale jest powszechnie używana w teorii procesów.

Definicja 4.5

Filtrację ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} nazywamy prawostronnie ciągłą, jeśli {\mathcal{F}}_{{t+}}={\mathcal{F}}_{{t}} dla wszystkich t\in T. Mówimy, że filtracja ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} spełnia zwykłe warunki, jeśli
a) jest prawostronnie ciągła,
b) dla wszystkich t, {\mathcal{F}}_{{t}} zawiera wszystkie zbiory miary zero, tzn. jeśli A\in{\mathcal{F}}, {\mathbb{P}}(A)=0, to A\in{\mathcal{F}}_{{t}}.

Definicja 4.6

Niech \tau będzie momentem zatrzymania względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}. Definiujemy \sigma-ciało zdarzeń obserwowalnych do chwili \tau wzorem

{\mathcal{F}}_{{\tau}}:=\Big\{ A\in{\mathcal{F}}_{{\infty}}:=\sigma\Big(\bigcup _{{t\in T}}{\mathcal{F}}_{{t}}\Big)\colon\forall _{{t\in T}}\  A\cap\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}\Big\}.
Stwierdzenie 4.3

a) Zbiór {\mathcal{F}}_{{\tau}} jest \sigma-ciałem.
b) Jeśli \tau\leq\sigma, to {\mathcal{F}}_{{\tau}}\subset{\mathcal{F}}_{{\sigma}}.
c) Zmienna losowa \tau jest {\mathcal{F}}_{{\tau}} mierzalna.

a) Zbiór \Omega\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}, bo \Omega\cap\{\tau\leq t\}=\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}. Jeśli A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}, to A^{{\prime}}\cap\{\tau\leq t\}=\{\tau\leq t\}\setminus(A\cap\{\tau\leq t\})\in{\mathcal{F}}_{{t}}, czyli A^{{\prime}}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}. Jeśli A_{{n}}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}, to (\bigcup _{{n}}A_{{n}})\cap\{\tau\leq t\}=\bigcup _{{n}}(A_{{n}}\cap\{\tau\leq t\})\in{\mathcal{F}}_{{t}}, zatem \bigcup _{{n}}A_{{n}}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}.

b) Weźmy A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}, wówczas dla t\in T, A\cap\{\sigma\leq t\}=A\cap\{\tau\leq t\}\cap\{\sigma\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}, czyli A\in{\mathcal{F}}_{{\sigma}}.

c) Wystarczy pokazać, że \{\tau\leq s\}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}, ale \{\tau\leq s\}\cap\{\tau\leq t\}=\{\tau\leq s\wedge t\}\in{\mathcal{F}}_{{s\wedge t}}\subset{\mathcal{F}}_{{t}}.

Stwierdzenie 4.4

Załóżmy, że \tau i \sigma są momentami zatrzymania. Wówczas {\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}={\mathcal{F}}_{{\tau}}\cap{\mathcal{F}}_{{\sigma}} oraz zdarzenia \{\tau<\sigma\},\{\sigma<\tau\},\{\tau\leq\sigma\},\{\sigma\leq\tau\},\{\tau=\sigma\} należą do {\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}.

Zauważmy, że \tau\wedge\sigma jest momentem zatrzymania oraz \tau\wedge\sigma\leq\tau i \tau\wedge\sigma\leq\sigma, zatem na mocy Stwierdzenia 4.3 dostajemy {\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}\subset{\mathcal{F}}_{{\tau}}\cap{\mathcal{F}}_{{\sigma}}. Na odwrót, jeśli A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}\cap{\mathcal{F}}_{{\sigma}}, to A\cap\{\tau\wedge\sigma\leq t\}=A\cap(\{\tau\leq t\}\cup\{\sigma\leq t\})=(A\cap\{\tau\leq t\})\cup(A\cap\{\sigma\leq t\})\in{\mathcal{F}}_{{t}}, czyli A\in{\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}. Dalszą część stwierdzenia pozostawiamy do samodzielnego udowodnienia w ramach prostego ćwiczenia.

4.3. Progresywna mierzalność

Okazuje się, że adaptowalność procesu nie gwarantuje np. mierzalności zmiennych X_{{\tau}} dla wszystkich momentów zatrzymania \tau. Dlatego wprowadzimy jeszcze jedną techniczną definicję.

Definicja 4.7

Proces X=(X_{{t}})_{{t\in T}} nazywamy progresywnie mierzalnym względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}, jeśli dla każdego t\in T, funkcja (s,\omega)\rightarrow X_{{s}}(\omega) traktowana jako funkcja ze zbioru T\cap(-\infty,t]\times\Omega w {\mathbb{R}} jest mierzalna względem \sigma-algebry {\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}. Równoważnie

\forall _{{t\in T}}\ \forall _{{A\in{\mathcal{B}}({\mathbb{R}})}}\ \{(s,\omega)\in T\times\Omega\colon s\leq t,X_{{s}}(\omega)\in A\}\in{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}.
Stwierdzenie 4.5

Załóżmy, że T jest przedziałem oraz dany jest proces X=(X_{{t}})_{{t\in T}} oraz filtracja ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}.
a) Jeśli proces X jest progresywnie mierzalny względem ({\mathcal{F}}_{{t}}), to jest {\mathcal{F}}_{{t}}-adaptowalny.
b) Jeśli proces X jest {\mathcal{F}}_{{t}}-adaptowalny oraz ma prawostronnie ciągłe trajektorie, to jest progresywnie mierzalny względem ({\mathcal{F}}_{{t}}).

a) Zbiór \{\omega\colon X_{{t}}(\omega)\in A\} jest przekrojem zbioru \{(s,\omega)\in T\times\Omega\colon s\leq t,X_{{s}}(\omega)\in A\}, a zatem należy do {\mathcal{F}}_{{t}}.

b) Ustalmy t\in T i połóżmy dla s\in T, s\leq t, X_{{s}}^{{(n)}}:=X_{{t-2^{{-n}}k}}, gdzie k jest liczbą całkowitą taką, że t-2^{{-n}}(k+1)<s\leq t-2^{{-n}}k. Wówczas

\displaystyle\{(s,\omega)\in T\times\Omega\colon \displaystyle s\leq t,X_{{s}}^{{(n)}}(\omega)\in A\}
\displaystyle=\bigcup _{{k=0}}^{{\infty}}\Big(T\cap\Big(t-\frac{k+1}{2^{{n}}},t-\frac{k}{2^{{n}}}\Big]\Big)\times\{\omega\colon X_{{t-\frac{k}{2^{{n}}}}}(\omega)\in A\}
\displaystyle\in{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}.

Zatem funkcja X_{{s}}^{{(n)}}(\omega),s\in T\cap(-\infty,t],\omega\in\Omega jest {\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}} mierzalna. Wobec prawostronnej ciągłości X mamy X_{{s}}(\omega)=\lim _{{n\rightarrow\infty}}X_{{s}}^{{(n)}}(\omega), więc funkcja X_{{s}}(\omega),s\in T\cap(-\infty,t],\omega\in\Omega jest {\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}} mierzalna jako granica funkcji mierzalnych.

Jeśli \tau jest momentem zatrzymania, a X=(X_{t})_{{t\in T}} procesem, to zmienna X_{{\tau}} jest dobrze zdefiniowana tylko na zbiorze \{\tau<\infty\}. Musimy zatem określić co mamy na myśli mówiąc, że zmienna X_{{\tau}} jest mierzalna.

Definicja 4.8

Mówimy, że zmienna losowa X określona na zbiorze A jest mierzalna względem \sigma-ciała {\cal G} zawierającego A, jeśli \{\omega\in A\colon\  X(w)\in B\}\in{\cal G} dla dowolnego zbioru borelowskiego B.

Przed sformułowaniem kolejnego stwierdzenia wprowadzimy jeszcze jedną użyteczną definicję.

Definicja 4.9

Jeśli X=(X_{t})_{{t\in T}} jest procesem stochastycznym, a \tau zmienną o wartościach w T\cup\{\infty\}, to definujemy X^{{\tau}}=(X^{{\tau}}_{t})_{{t\in T}}proces X zatrzymany w czasie \tau wzorem X^{{\tau}}_{t}=X_{{\tau\wedge t}}.

Stwierdzenie 4.6

Załóżmy, że X=(X_{{t}})_{{t\in T}} jest procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}}, a \tau jest momentem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa X_{{\tau}} określona na zbiorze \{\tau<\infty\}\in{\mathcal{F}}_{{\tau}} jest {\mathcal{F}}_{{\tau}} mierzalna. Ponadto X^{{\tau}} – proces X zatrzymany w chwili \tau jest progresywnie mierzalny.

Odwzorowanie

(s,\omega)\rightarrow(\tau(\omega)\wedge s,\omega)\colon T\cap(-\infty,t]\times\Omega\rightarrow T\cap(-\infty,t]\times\Omega

jest mierzalne względem \sigma-ciała {\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}}). Jeśli złożymy je z odwzorowaniem

(s,\omega)\rightarrow X_{{s}}(\omega)\quad\mbox{ mierzalnym z }(T\cap(-\infty,t]\times\Omega,{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}})\mbox{ w }{\mathbb{R}},

to otrzymamy odwzorowanie

(s,\omega)\rightarrow X_{{\tau(\omega)\wedge s}}(\omega)\quad\mbox{ mierzalne z }(T\cap(-\infty,t]\times\Omega,{\mathcal{B}}(T\cap(-\infty,t])\otimes{\mathcal{F}}_{{t}})\mbox{ w }{\mathbb{R}}.

Stąd wynika progresywna mierzalność procesu X^{{\tau}}. By zakończyć dowód zauważmy, że

\{ X_{{\tau}}\in A\}\cap\{\tau\leq t\}=\{ X_{{\tau\wedge t}}\in A\}\cap\{\tau\leq t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}}

na mocy progresywnej mierzalności (a właściwie adaptowalności) X^{{\tau}}.

4.4. Zadania

Ćwiczenie 4.1

Załóżmy, że T jest przedziałem i określmy:

{\mathcal{F}}_{{t+}}:=\bigcap _{{s>t}}{\mathcal{F}}_{{s}},\quad{\mathcal{F}}_{{t-}}:=\sigma\Big(\bigcup _{{s<t}}{\mathcal{F}}_{{s}}\Big).

a) Wykaż, że filtracja {\mathcal{F}}_{{t+}} jest prawostronnie ciągła, tzn. {\mathcal{F}}_{{t++}}={\mathcal{F}}_{{t+}}.
b) Udowodnij, że jeśli {\mathcal{F}}_{{t}}={\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}} jest filtracją generowaną przez proces X o lewostronnie ciągłych trajektoriach, to {\mathcal{F}}_{{t-}}={\mathcal{F}}_{{t}}.
c) Niech T=[0,\infty),A\in{\mathcal{F}} oraz X_{{t}}=(t-1)^{{+}}I_{{A}}. Znajdź {\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}}.
d) Dla X jak w punkcie c) określmy \tau:=\inf\{ t\colon X_{{t}}>0\}. Wykaż, że \tau nie jest momentem zatrzymania względem {\mathcal{F}}_{{t}}^{{X}} ale jest momentem zatrzymania względem {\mathcal{F}}_{{t+}}^{{X}}.

Ćwiczenie 4.2

Załóżmy, że T jest przedziałem, wykaż, że:
a) jeśli \tau jest momentem zatrzymania, to \{\tau<t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}} dla wszystkich t;
b) jeśli \{\tau<t\}\in{\mathcal{F}}_{{t}} dla wszystkich t, to \tau jest momentem zatrzymania względem {\mathcal{F}}_{{t+}}.

Ćwiczenie 4.3

Niech T=[0,\infty), a \tau będzie momentem zatrzymania, które ze zmiennych \tau+1,\tau^{{2}},\tau-1 muszą być momentami zatrzymania?

Ćwiczenie 4.4

Niech T=[0,\infty), a X_{{t}} procesem {\mathcal{F}}_{{t}}-adaptowalnym o ciągłych trajektoriach. Wykaż, że dla A otwartego \tau _{{A}}:=\inf\{ t\colon X_{{t}}\in A\} jest momentem zatrzymania względem {\mathcal{F}}_{{t+}}.

Ćwiczenie 4.5

Wykaż, że jeśli \tau i \sigma są momentami zatrzymania, to zdarzenia \{\tau<\sigma\},\{\tau=\sigma\} i \{\tau\leq\sigma\} należą do {\mathcal{F}}_{{\tau}}, {\mathcal{F}}_{{\sigma}} i {\mathcal{F}}_{{\tau\wedge\sigma}}.

Ćwiczenie 4.6

Wykaż, że jeśli \tau jest momentem zatrzymania, to proces X_{{t}}:={\mathrm{I}}_{{[0,\tau)}}(t) jest progresywnie mierzalny.

Ćwiczenie 4.7

Niech \tau będzie momentem zatrzymania względem ({\mathcal{F}}_{t})_{{t\in T}}, a (X_{t}) będzie procesem {\mathcal{F}}_{t}-adaptowalnym. Wykaż, że
a) \tau jest {\mathcal{F}}_{{\tau}}-mierzalne;
b) jeśli \tau przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to X_{\tau} jest {\mathcal{F}}_{{\tau}} mierzalny na zbiorze \tau<\infty.

Ćwiczenie 4.8

Wykaż, że jeśli \sigma jest momentem zatrzymania, \tau\geq\sigma oraz \tau jest {\mathcal{F}}_{{\sigma}} mierzalny, to \tau jest momentem zatrzymania.

Ćwiczenie 4.9

Wykaż, że jeśli proces X_{t} ma niezależne przyrosty i prawostronnie ciągłe trajektorie, to dla s\geq t zmienna X_{s}-X_{t} jest niezależna od {\mathcal{F}}_{{t+}}^{{X}}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.