Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 5. Martyngały z czasem ciągłym – MIM UW

Zagadnienia

5. Martyngały z czasem ciągłym

Tak jak podczas poprzedniego wykładu, jeśli nie zaznaczymy inaczej, będziemy zakładać, że T jest lewostronnie domkniętym przedziałem.

5.1. Definicje i przykłady

Definicja 5.1

Mówimy, że (X_{{t}})_{{t\in T}} jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem) względem filtracji ({\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} lub, że (X_{{t}},{\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} jest martyngałem (odp. podmartyngałem, nadmartyngałem), jeśli
a) dla wszystkich t\in T, X_{{t}} jest {\mathcal{F}}_{{t}}-mierzalny i {\mathbb{E}}|X_{{t}}|<\infty,
b) dla dowolnych s,t\in T,s<t, {\mathbb{E}}(X_{{t}}|{\mathcal{F}}_{{s}})=X_{{s}} p.n. (odp. \geq dla podmartyngału i \leq dla nadmartyngału).

Przykład 5.1

Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, a {\mathcal{F}}_{{t}} dowolną filtracją to X_{{t}}:={\mathbb{E}}(X|{\mathcal{F}}_{{t}}) jest martyngałem.
Sprawdzamy dla t>s,

{\mathbb{E}}(X_{{t}}|{\mathcal{F}}_{{s}})={\mathbb{E}}({\mathbb{E}}(X|{\mathcal{F}}_{{t}})|{\mathcal{F}}_{{s}})={\mathbb{E}}(X|{\mathcal{F}}_{{s}})=X_{s}\quad\mbox{ p.n.}.
Przykład 5.2

(W_{{t}})_{{t\geq 0}} jest martyngałem względem naturalnej filtracji {\mathcal{F}}_{{t}}=\sigma(W_{{s}}\colon s\leq t).
Istotnie dla t>s mamy z niezależności przyrostów

{\mathbb{E}}(W_{{t}}|{\mathcal{F}}_{{s}})={\mathbb{E}}(W_{{s}}|{\mathcal{F}}_{{s}})+{\mathbb{E}}(W_{{t}}-W_{{s}}|{\mathcal{F}}_{{s}})=W_{{s}}+{\mathbb{E}}(W_{{t}}-W_{{s}})=W_{{s}}\quad\mbox{ p.n.}.
Przykład 5.3

(W_{{t}}^{{2}})_{{t\geq 0}} jest podmartyngałem, a (W_{{t}}^{{2}}-t)_{{t\geq 0}} martyngałem względem naturalnej filtracji {\mathcal{F}}_{{t}}=\sigma(W_{{s}}\colon s\leq t).
Liczymy dla t>s,

\displaystyle{\mathbb{E}}(W_{{t}}^{{2}}|{\mathcal{F}}_{{s}}) \displaystyle={\mathbb{E}}(W_{{s}}^{{2}}|{\mathcal{F}}_{{s}})+{\mathbb{E}}(2W_{{s}}(W_{{t}}-W_{{s}})|{\mathcal{F}}_{{s}})+{\mathbb{E}}((W_{{t}}-W_{{s}})^{{2}}|{\mathcal{F}}_{{s}})
\displaystyle=W_{{s}}^{{2}}+2W_{{s}}{\mathbb{E}}(W_{{t}}-W_{{s}})+{\mathbb{E}}(W_{{t}}-W_{{s}})^{{2}}=W_{{s}}^{{2}}+t-s\quad\mbox{ p.n.}.
Uwaga 5.1

W ostatnich dwu przykładach filtrację ({\mathcal{F}}_{t}^{W}) można zastąpić filtracją ({\mathcal{F}}_{{t+}}^{W}).

Stwierdzenie 5.1

Załóżmy, że (X_{{t}},{\mathcal{F}}_{{t}}) jest martyngałem (odp. podmartyngałem), zaś f\colon{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}} funkcją wypukłą (odp. wypukłą i niemalejącą) taką, że {\mathbb{E}}|f(X_{{t}})|<\infty dla wszystkich t. Wówczas (f(X_{{t}}),{\mathcal{F}}_{{t}}) jest podmartyngałem.

Z nierówności Jensena mamy {\mathbb{E}}(f(X_{{t}})|{\mathcal{F}}_{{s}})\geq f({\mathbb{E}}(X_{{t}}|{\mathcal{F}}_{{s}})) p.n., a ostatnia zmienna jest równa f(X_{{s}}) w przypadku martyngału i nie mniejsza niż f(X_{{s}}) dla podmartyngału.

Przypomnijmy definicję funkcji harmonicznych.

Definicja 5.2

Funkcję f\colon{\mathbb{R}}^{{n}}\rightarrow{\mathbb{R}} nazywamy podharmoniczną (odp. harmoniczną, nadharmoniczną) jeśli jest ograniczona na zbiorach zwartych oraz

\forall _{{x\in{\mathbb{R}}^{{n}}}}\ \forall _{{r\geq 0}}\  f(x)\leq\frac{1}{|S^{{n-1}}|}\int _{{S^{{n-1}}}}f(x+ry)d\sigma(y)\quad\mbox{(odp.\ $=$, $\geq$)},

gdzie \sigma(y) jest miarą powierzchniową na sferze, a |S_{{n-1}}|=\int _{{S^{{n-1}}}}d\sigma(y)=2\pi^{{n/2}}(\Gamma(n/2))^{{-1}}.

Uwaga 5.2

Funkcja gładka jest harmoniczna (odp. pod-,nad-) wtedy i tylko wtedy, gdy \Delta f=0 (odp. \geq, \leq). Dla n=1 warunek podharmoniczności jest równoważny wypukłości. Funkcja f(x)=-\ln|x-x_{{0}}| jest nadharmoniczna na {\mathbb{R}}^{{2}}, a funkcja f(x)=|x-x_{{0}}|^{{2-d}} nadharmoniczna na {\mathbb{R}}^{{d}} dla d>2.

Stwierdzenie 5.2

Niech W_{{t}}=(W_{{t}}^{{(1)}},\ldots,W_{{t}}^{{(d)}}) będzie d-wymiarowym procesem Wienera, {\mathcal{F}}_{{t}}^{{W}}=\sigma(W_{{s}}\colon s\leq t), zaś f\colon{\mathbb{R}}^{{d}}\rightarrow{\mathbb{R}} funkcją harmoniczną (odp. nad-, pod-) taką, że {\mathbb{E}}|f(W_{{t}})|<\infty dla t\geq 0. Wówczas (f(W_{{t}}),{\mathcal{F}}_{{t}}^{{W}}) jest martyngałem (odp. nad-, pod-).

Liczymy dla t>s korzystając z niezależności przyrostów procesu Wienera oraz wprowadzając współrzędne sferyczne,

\displaystyle{\mathbb{E}}(f(W_{{t}})|{\mathcal{F}}_{{s}}^{W}) \displaystyle={\mathbb{E}}(f(W_{{s}}+(W_{{t}}-W_{{s}}))|{\mathcal{F}}_{{s}}^{W})
\displaystyle=(2\pi(t-s))^{{-d/2}}\int _{{{\mathbb{R}}^{{d}}}}f(W_{{s}}+x)e^{{-\frac{|x|^{{2}}}{2(t-s)}}}dx
\displaystyle=(2\pi(t-s))^{{-d/2}}\int _{{0}}^{{\infty}}r^{{d-1}}e^{{-\frac{r^{{2}}}{2(t-s)}}}\Big(\int _{{S^{{d-1}}}}f(W_{{s}}+y)d\sigma(y)\Big)dr
\displaystyle=(2\pi(t-s))^{{-d/2}}|S^{{d-1}}|f(W_{{s}})\int _{{0}}^{{\infty}}r^{{d-1}}e^{{-\frac{r^{{2}}}{2(t-s)}}}dr
\displaystyle=(2\pi)^{{-d/2}}|S^{{d-1}}|\int _{{0}}^{{\infty}}r^{{d-1}}e^{{-\frac{r^{{2}}}{2}}}drf(W_{{s}})=c_{{d}}f(W_{{s}})\quad\mbox{ p.n.}.

By zauważyć, że c_{{d}}=1 przeprowadzamy albo bezpośredni rachunek, albo podstawiamy powyżej f\equiv 1.

5.2. Nierówności maksymalne

Zacznijmy od przypomnienia podstawowego lematu dla martyngałów z czasem dyskretnym, pochodzącego od Dooba.

Lemat 5.1

Załóżmy, że (X_{{n}},{\mathcal{F}}_{{n}})_{{0\leq n\leq N}} jest martyngałem (odp. nad-, pod-), zaś 0\leq\tau\leq\sigma\leq N dwoma momentami zatrzymania. Wówczas

{\mathbb{E}}(X_{{\sigma}}|{\mathcal{F}}_{{\tau}})=X_{{\tau}}\quad\mbox{ p.n. (odp. $\leq$, $\geq$).}

Musimy pokazać, że dla A\in{\mathcal{F}}_{{\tau}}, {\mathbb{E}}X_{{\tau}}{\mathrm{I}}_{{A}}={\mathbb{E}}X_{{\sigma}}{\mathrm{I}}_{{A}}. Połóżmy A_{{k}}:=A\cap\{\tau=k\} dla k=0,1,\ldots,N. Mamy

(X_{{\sigma}}-X_{{\tau}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}}}=(X_{{\sigma}}-X_{{k}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}}}=\sum _{{i=k}}^{{\sigma-1}}(X_{{i+1}}-X_{{i}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}}}=\sum _{{i=k}}^{{N}}(X_{{i+1}}-X_{{i}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}\cap\{\sigma>i\}}},

zatem

{\mathbb{E}}[(X_{{\sigma}}-X_{{\tau}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}}}]=\sum _{{i=k}}^{{N}}{\mathbb{E}}[(X_{{i+1}}-X_{{i}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}\cap\{\sigma>i\}}}]=0,

gdyż A_{{k}}\cap\{\sigma>i\}\in{\mathcal{F}}_{{i}}. Stąd

{\mathbb{E}}[(X_{{\sigma}}-X_{{\tau}}){\mathrm{I}}_{{A}}]=\sum _{{k=0}}^{{N}}{\mathbb{E}}[(X_{{\sigma}}-X_{{\tau}}){\mathrm{I}}_{{A_{{k}}}}]=0.
Uwaga 5.3

Lemat 5.1 nie jest prawdziwy, jeśli nie założymy ograniczoności momentów zatrzymania, np. biorąc X_{{n}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}\varepsilon _{{n}}, gdzie \varepsilon _{{n}} niezależne zmienne losowe takie, że {\mathbb{P}}(\varepsilon _{{n}}=\pm 1)=1/2, {\mathcal{F}}_{{n}}=\sigma(\varepsilon _{{1}},\ldots,\varepsilon _{{n}}), \tau=0, \sigma=\inf\{ n\colon X_{{n}}=1\} widzimy, że {\mathbb{E}}X_{{\tau}}=0\neq 1={\mathbb{E}}X_{{\sigma}}.

Przed sformułowaniem kolejnego lematu przypomnijmy, że przez X^{+} i X^{-} oznaczamy odpowiednio część dodatnią i ujemną zmiennej X, tzn. X^{{+}}:=\max{X,0} oraz X^{{-}}:=\max{-X,0}.

Lemat 5.2

Niech (X_{{n}},{\mathcal{F}}_{{n}})_{{0\leq n\leq N}} będzie podmartyngałem, wówczas dla wszystkich \lambda\geq 0 mamy

\mathrm{a)}\ \ \lambda{\mathbb{P}}\Big(\max _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\geq\lambda\Big)\leq{\mathbb{E}}X_{{N}}{\mathrm{I}}_{{\{\max _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\geq\lambda\}}}\leq{\mathbb{E}}X_{{N}}^{{+}},\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
\mathrm{b)}\ \ \lambda{\mathbb{P}}\Big(\min _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\leq-\lambda\Big)\leq{\mathbb{E}}X_{{N}}{\mathrm{I}}_{{\{\min _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}>-\lambda\}}}-{\mathbb{E}}X_{{0}}\leq{\mathbb{E}}X_{{N}}^{{+}}-{\mathbb{E}}X_{{0}}.\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}

a) Niech \tau:=\inf\{ n\colon X_{{n}}\geq\lambda\}, z Lematu 5.1 dostajemy (wobec \tau\wedge N\leq N)

\displaystyle{\mathbb{E}}X_{{N}} \displaystyle\geq{\mathbb{E}}X_{{\tau\wedge N}}={\mathbb{E}}X_{{\tau}}{\mathrm{I}}_{{\{\max _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\geq\lambda\}}}+{\mathbb{E}}X_{{N}}{\mathrm{I}}_{{\{\max _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}<\lambda\}}}
\displaystyle\geq\lambda{\mathbb{P}}(\max _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\geq\lambda)+{\mathbb{E}}X_{{N}}{\mathrm{I}}_{{\{\max _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}<\lambda\}}}

i po przeniesieniu wartości oczekiwanych na jedną stronę dostajemy postulowaną nierówność.

b) Definiujemy \tau:=\inf\{ n\colon X_{{n}}\leq-\lambda\}, z Lematu 5.1 dostajemy (wobec \tau\wedge N\geq 0)

\displaystyle{\mathbb{E}}X_{{0}} \displaystyle\leq{\mathbb{E}}X_{{\tau\wedge N}}={\mathbb{E}}X_{{\tau}}{\mathrm{I}}_{{\{\min _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\leq-\lambda\}}}+{\mathbb{E}}X_{{N}}{\mathrm{I}}_{{\{\min _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}>-\lambda\}}}
\displaystyle\leq-\lambda{\mathbb{P}}(\min _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}\leq-\lambda)+{\mathbb{E}}X_{{N}}{\mathrm{I}}_{{\{\min _{{0\leq n\leq N}}X_{{n}}>-\lambda\}}}

i znów wystarczy pogrupować wartości oczekiwane.

Wniosek 5.1

Jeśli (X_{{n}},{\mathcal{F}}_{{n}})_{{0\leq n\leq N}} jest martyngałem, bądź nieujemnym podmartyngałem, to

\mathrm{a)}\ \ \forall _{{p\geq 1}}\ \forall _{{\lambda\geq 0}}\ \lambda^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|\geq\lambda\Big)\leq{\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}},\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
\mathrm{b)}\ \ \forall _{{p>1}}\ {\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}}\leq{\mathbb{E}}\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|^{{p}}\leq\Big(\frac{p}{p-1}\Big)^{{p}}{\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}}.\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}

a) Funkcja f(t)=|t|^{{p}} jest wypukła, niemalejąca na {\mathbb{R}}_{{+}}, stąd na mocy Stwierdzenia 5.1 |X_{{n}}|^{{p}} jest nieujemnym podmartyngałem, zatem z Lematu 5.2 mamy

\displaystyle\lambda^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|\geq\lambda\Big) \displaystyle=\lambda^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|^{p}\geq\lambda^{p}\Big)
\displaystyle\leq{\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}}{\mathrm{I}}_{{\{\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|^{{p}}\geq\lambda^{{p}}\}}}\leq{\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}}.

b) Niech X^{{*}}:=\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|, z rachunku przeprowadzonego powyżej dla p=1,

\lambda{\mathbb{P}}(X^{{*}}\geq\lambda)\leq{\mathbb{E}}|X_{{N}}|{\mathrm{I}}_{{\{ X^{{*}}\geq\lambda\}}}.

Stosując kolejno wzór na całkowanie przez części, twierdzenie Fubiniego i nierówność Höldera dostajemy

\displaystyle{\mathbb{E}}\max _{{0\leq n\leq N}}|X_{{n}}|^{{p}} \displaystyle=p\int _{{0}}^{{\infty}}\lambda^{{p-1}}{\mathbb{P}}(X^{{*}}\geq\lambda)d\lambda\leq p\int _{{0}}^{{\infty}}\lambda^{{p-2}}{\mathbb{E}}|X_{{N}}|{\mathrm{I}}_{{\{ X^{{*}}\geq\lambda\}}}d\lambda
\displaystyle=p{\mathbb{E}}|X_{{N}}|\int _{{0}}^{{X^{{*}}}}\lambda^{{p-2}}d\lambda\leq\frac{p}{p-1}{\mathbb{E}}|X_{{N}}|(X^{{*}})^{{p-1}}
\displaystyle\leq\frac{p}{p-1}({\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}})^{{1/p}}({\mathbb{E}}(X^{{*}})^{{p}})^{{(p-1)/p}}.

Jeśli {\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}}<\infty, to na mocy nierówności Jensena, {\mathbb{E}}|X_{{n}}|^{{p}}\leq{\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}}<\infty dla 0\leq n\leq N oraz {\mathbb{E}}(X^{{*}})^{{p}}\leq{\mathbb{E}}\sum _{{n=0}}^{{N}}|X_{{n}}|^{{p}}<\infty. Dzieląc więc otrzymaną poprzednio nierówność stronami przez ({\mathbb{E}}(X^{{*}})^{{p}})^{{(p-1)/p}} dostajemy

({\mathbb{E}}(X^{{*}})^{{p}})^{{1/p}}\leq\frac{p}{p-1}({\mathbb{E}}|X_{{N}}|^{{p}})^{{1/p}}.

Udowodnimy teraz nierówność maksymalną Dooba w przypadku ciągłym.

Twierdzenie 5.1

Załóżmy, że (X_{{t}},{\mathcal{F}}_{{t}})_{{t\in T}} martyngałem lub nieujemnym podmartyngałem, o prawostronnie ciągłych trajektoriach. Wówczas

\mathrm{a)}\ \ \forall _{{p\geq 1}}\ \forall _{{\lambda\geq 0}}\ \lambda^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\in T}}|X_{{t}}|\geq\lambda\Big)\leq\sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}},\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
\mathrm{b)}\ \ \forall _{{p>1}}\ \sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}}\leq{\mathbb{E}}\sup _{{t\in T}}|X_{{t}}|^{{p}}\leq\Big(\frac{p}{p-1}\Big)^{{p}}\sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}}.\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa}
Uwaga 5.4

Oczywiście, jeśli T zawiera element maksymalny t_{{{\rm max}}}, to przy założeniach twierdzenia \sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}}={\mathbb{E}}|X_{{t_{{{\rm max}}}}}|^{{p}}.

Jeśli D jest skończonym podzbiorem T, to na podstawie Wniosku 5.1 dostajemy

\lambda^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\in D}}|X_{{t}}|\geq\lambda\Big)\leq\sup _{{t\in D}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}}\leq\sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}}.

Niech T_{{0}} będzie gęstym podzbiorem T zawierającym prawy koniec T (o ile taki istnieje), zaś D_{{n}} wstępującym ciągiem skończonych podzbiorów T_{{0}} takim, że \bigcup _{{n}}D_{{n}}=T_{{0}}. Wówczas dla dowolnego \tilde{\lambda}>0 dostajemy na mocy prawostronnej ciągłości

\displaystyle\tilde{\lambda}^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\in T}}|X_{{t}}|>\tilde{\lambda}\Big) \displaystyle=\tilde{\lambda}^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\in T_{{0}}}}|X_{{t}}|>\tilde{\lambda}\Big)
\displaystyle=\lim _{{n\rightarrow\infty}}\tilde{\lambda}^{{p}}{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\in D_{{n}}}}|X_{{t}}|>\tilde{\lambda}\Big)\leq\sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|^{{p}}.

Biorąc ciąg \tilde{\lambda}_{{n}}\nearrow\lambda dostajemy postulowaną w a) nierówność. Nierówność z punktu b) wynika z Wniosku 5.1 w podobny sposób.

Uwaga 5.5

Punkt b) Twierdzenia 5.1 nie zachodzi dla p=1 – można skonstruować martyngał dla którego \sup _{{t}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|<\infty, ale {\mathbb{E}}\sup _{{t}}|X_{{t}}|=\infty. Zachodzi jednak (przy założeniach Twierdzenia 5.1) nierówność

{\mathbb{E}}\sup _{{t\in T}}|X_{{t}}|\leq\frac{e}{e-1}\Big(1+\sup _{{t\in T}}{\mathbb{E}}|X_{{t}}|\ln^{{+}}|X_{{t}}|\Big).
Wniosek 5.2

Dla dowolnych u,s>0 zachodzi

\ {\mathbb{P}}\Big(\sup _{{0\leq t\leq s}}W_{{t}}\geq u\Big)\leq e^{{-\frac{u^{{2}}}{2s}}}.

Ustalmy \lambda>0, wówczas M_{{t}}:=\exp(\lambda W_{{t}}-\frac{\lambda^{{2}}t}{2}) jest martyngałem względem filtracji {\mathcal{F}}_{{t}}^{{W}} generowanej przez proces Wienera (Ćwiczenie 5.2). Stąd na mocy Twierdzenia 5.1 a) z p=1 i nieujemności M_{{t}} dostajemy

\displaystyle{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{0\leq t\leq s}}W_{{t}}\geq u\Big) \displaystyle\leq{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{0\leq t\leq s}}M_{{t}}\geq e^{{\lambda u-\frac{\lambda^{{2}}s}{2}}}\Big)
\displaystyle\leq e^{{-\lambda u+\frac{\lambda^{{2}}s}{2}}}\sup _{{0\leq t\leq s}}{\mathbb{E}}|M_{{t}}|=e^{{-\lambda u+\frac{\lambda^{{2}}s}{2}}}{\mathbb{E}}M_{{0}}=e^{{-\lambda u+\frac{\lambda^{{2}}s}{2}}}.

Zatem

{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{0\leq t\leq s}}W_{{t}}\geq u\Big)\leq\inf _{{\lambda>0}}e^{{-\lambda u+\frac{\lambda^{{2}}s}{2}}}=e^{{-\frac{u^{{2}}}{2s}}}.

5.3. Zadania

Ćwiczenie 5.1

Załóżmy, że (N_{t})_{{t\geq 0}} jest procesem Poissona, tzn. procesem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że N_{0}=0, N ma przyrosty niezależne, oraz N_{t}-N_{s}\sim{\rm Poiss}(t-s) dla t>s. Wykaż, że (N_{{t}}-\lambda t)_{{t\geq 0}} oraz ((N_{{t}}-\lambda t)^{{2}}-\lambda t)_{{t\geq 0}} są martyngałami względem ({\mathcal{F}}_{{t}}^{{N}})_{{t\geq 0}}.

Ćwiczenie 5.2

Wykaż, że (\exp(\lambda W_{{t}}-\frac{\lambda^{{2}}t}{2}),{\mathcal{F}}_{{t}}^{{W}})_{{t\geq 0}} jest martyngałem dla dowolnego \lambda\in{\mathbb{R}}.

Ćwiczenie 5.3 (Prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera)

Wykaż, że
a) \limsup _{{t\rightarrow\infty}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1 p.n.,
b) \liminf _{{t\rightarrow\infty}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=-1 p.n..

Wskazówka: 

i) Niech C>1 oraz u>C^{{1/2}}. Wykaż, że

\sum _{{n}}{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{C^{n}\leq t\leq C^{{n+1}}}}W_{t}\geq u\sqrt{2C^{n}\ln\ln C^{n}}\Big)<\infty

i wywnioskuj stąd, że \limsup _{{t\rightarrow\infty}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln t}}\leq u p.n..
ii) Wykaż, że \limsup _{{t\rightarrow\infty}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln t}}\leq 1 p.n. oraz \liminf _{{t\rightarrow\infty}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln t}}\geq-1 p.n..
iii) Udowodnij, że dla g\sim{\mathcal{N}}(0,1) i t>0,

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{3}}\Big)e^{{-t^{2}/2}}\leq{\mathbb{P}}(g\geq t)\leq\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}e^{{-t^{2}/2}}.

iv) Wykaż, że dla C>1 i u<1

\sum{\mathbb{P}}(W_{{C^{{n}}}}-W_{{C^{{n-1}}}}\geq u\sqrt{1-1/C}\sqrt{2C^{{n}}\ln\ln C^{n}})=\infty

i wywnioskuj stąd i z ii), że \limsup _{{t\rightarrow\infty}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln t}}\geq u(1-1/C)^{{1/2}}-C^{{-1/2}} p.n..

Ćwiczenie 5.4

Udowodnij, że
a) \limsup _{{t\rightarrow 0+}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln(1/t)}}=1 p.n.,
b) \liminf _{{t\rightarrow 0+}}\frac{W_{{t}}}{\sqrt{2t\ln\ln(1/t)}}=-1 p.n..

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.