Udowodnimy twierdzenia o zbieżności martyngałów z czasem ciągłym prawie na pewno i w . Wykażemy też ciągłą wersję twierdzenia Dooba ,,optional sampling”.
Załóżmy, że , oraz . Jeśli jest skończone, to określamy
i dalej indukcyjnie dla
Definiujemy
W przypadku, gdy jest nieskończone kładziemy
Wielkość nazywamy liczbą przejść w dół funkcji przez przedział .
Przypomnijmy fakt z rachunku prawdopodobieństwa wiążący skończoność liczby przejść ciągu przez przedział z istnieniem granicy.
Ciąg liczbowy jest zbieżny do pewnej, niekoniecznie skończonej granicy wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb wymiernych .
Następny lemat jest niewielką modyfikacją poprzedniego.
Jeśli , jest prawostronnie ciągłą funkcją taką, że dla dowolnych liczb wymiernych , , to istnieje (niekoniecznie skończona) granica .
Załóżmy, że postulowana granica nie istnieje, wtedy można znaleźć liczby wymierne takie, że
Stąd wynika, że istnieje rosnący ciąg liczb wymiernych z przedziału taki, że oraz . Przyjmując widzimy, że .
∎Załóżmy, że jest podmartyngałem względem pewnej filtracji, a jest przeliczalnym podzbiorem , wówczas
Przypomnijmy twierdzenie dotyczące zbieżności podmartyngałów z czasem dyskretnym:
Załóżmy, że jest podmartyngałem względem pewnej filtracji takim, że (lub nadmartyngałem takim, że ), wówczas istnieje i jest skończona p.n., ponadto .
Sformułujemy teraz odpowiednik powyższego twierdzenia dla czasu ciągłego.
Załóżmy, że , jest podmartyngałem o prawostronnie ciągłych trajektoriach takim, że . Wówczas istnieje i jest skończony p.n., ponadto .
Dla ustalonego na podstawie Lematu 6.3 mamy
zatem . Niech
wówczas , bo jest przecięciem przeliczalnej liczby zbiorów pełnej miary. Jeśli , to dla dowolnych liczb wymiernych , czyli, na podstawie Lematu 6.2, granica istnieje (choć apriori może być nieskończona). Zauważmy, że , zatem . Z Lematu Fatou
czyli zmienna jest całkowalna, a więc w szczególności skończona p.n..
∎Załóżmy, że jest niedodatnim podmartyngałem (lub nieujemnym nadmartyngałem) o prawostronnie ciągłych trajektoriach, wówczas granica istnieje i jest skończona p.n., ponadto .
Rodzinę zmiennych losowych nazywamy jednostajnie całkowalną, jeśli
Rodzina zmiennych losowych jest jednostajnie całkowalna wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki
a) ,
b) .
: Ustalmy i dobierzmy takie, że . Wówczas
oraz, jeśli , to
: Niech oraz będzie takie, że dla . Wówczas, jeśli , to dla dowolnego , czyli .
∎Podamy teraz kilka przykładów rodzin jednostajnie całkowalnych.
Rodzina jednoelementowa taka, że .
Istotnie, na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej mamy .
Rodzina wspólnie ograniczona przez zmienną całkowalną tzn. rodzina taka, że oraz .
Wynika to ze Stwierdzenia 6.1, poprzedniego przykładu i oczywistej obserwacji .
Rodzina uśrednień ustalonej całkowalnej zmiennej losowej, tzn. rodzina postaci , gdzie , zaś dowolna rodzina -podciał .
Na podstawie nierówności Jensena , a zatem
Zbiór , więc z nierówności Jensena
jeśli tylko dobierzemy odpowiednio małe korzystając z jednostajnej całkowalności .
Jednostajna całkowalność jest jednym z kluczowych narzędzi (obok twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej) pozwalającym ze zbieżności prawie na pewno wywnioskować zbieżność w .
Załóżmy, że , a są zmiennymi losowymi takimi, że rodzina jest jednostajnie całkowalna. Wówczas zbiega do zmiennej w wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega do według prawdopodobieństwa.
Wystarczy udowodnić, że zbieżność według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność w , bo przeciwna implikacja jest zawsze prawdziwa. Załóżmy więc, że , wówczas dla pewnego podciągu , zbiega do p.n., stąd na mocy Lematu Fatou
Zatem rodzina jest jednostajnie całkowalna. Ustalmy i dobierzmy tak, by dla zachodziło oraz . Mamy
a ponieważ , więc dla dużych , czyli
Jeśli rodzina jest jednostajnie całkowalna oraz zbiega prawie na pewno do zmiennej , to dla wszystkich zdarzeń .
Stosujemy Stwierdzenie 6.2 i oczywiste szacowanie .
∎Jesteśmy teraz gotowi do dowodu ciągłej wersji Lematu 5.1.
a) Załóżmy, że jest przedziałem, a martyngałem prawostronnie
ciągłym, zaś i czasami zatrzymania takimi, że
oraz . Wówczas p.n..
b) Jeśli jest prawostronnie ciągłym martyngałem z ostatnim
elementem to dla dowolnych dwu czasów zatrzymania ,
p.n.
Udowodnimy część a) (część b) można za pomocą zmiany czasu sprowadzić do a)). Zdefiniujmy
oraz
Wówczas są ograniczonymi czasami zatrzymania przyjmującymi jedynie skończenie wiele wartości. Zatem na mocy Lematu 5.1 mamy p.n., p.n. oraz p.n., w szczególności więc rodziny oraz są jednostajnie całkowalne. Ponieważ oraz , więc z prawostronnej ciągłości oraz Stwierdzenia 6.2, , p.n. i w . Weźmy , wówczas
co oznacza, że p.n..
∎Załóżmy, że jest przedziałem, a jest prawostronnie ciągłym martyngałem względem . Wówczas dla dowolnego momentu zatrzymania proces jest martyngałem zarówno względem , jak i .
Niech oraz , wówczas , więc z Twierdzenia 6.3 mamy p.n., czyli jest martyngałem.
By udowodnić drugą część ustalmy oraz . Nietrudno sprawdzić, że , zatem z poprzednio udowodnionej części wniosku mamy
Ponadto
Dodając powyższe tożsamości stronami otrzymujemy dla , zatem jest martyngałem.
∎Zacznijmy od warunków zbieżności martyngałów z czasem ciągłym w .
Załóżmy, że , jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas
następujące warunki są równoważne:
a) Rodzina jest jednostajnie całkowalna.
b) Istnieje całkowalna zmienna losowa taka, że zbiega
do w , tzn.
.
c) Istnieje całkowalna zmienna losowa mierzalna względem -ciała
taka, że
dla .
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(c), to
p.n..
a)b): jest jednostajnie całkowalny, więc , czyli wobec Twierdzenia 6.2 istnieje zmienna całkowalna taka, że p.n. przy . Z jednostajnej całkowalności i Lematu 6.2 wynika zbieżność w .
b)c): Dla pewnego podciągu , p.n., stąd możemy zakładać, że zmienna jest mierzalna. Ustalmy i , wówczas dla
Zatem p.n..
c)a) Wiemy, że rodzina uśrednień ustalonej zmiennej jest jednostajnie całkowalna.
Ostatnia część twiedzenia wynika z dowodu implikacji a)b).
∎Załóżmy, że jest prawostronnie ciągłym martyngałem. Wówczas
następujące warunki są równoważne:
a) .
b) Rodzina jest jednostajnie całkowalna.
c) Istnieje zmienna losowa taka, że zbiega
do w , tzn.
.
d) Istnieje zmienna losowa mierzalna względem
taka, że
dla .
W przypadku, gdy zachodzą warunki (a)-(d), to
p.n..
W wielu twierdzeniach zakłada się, iż jest prawostronnie ciągłym podmartyngałem. Oczywiście modyfikacja podmartyngału jest podmartyngałem – problem jest tylko z mierzalnością, ale znika on, gdy filtracja spełnia zwykłe warunki. Naturalnie jest więc zapytać kiedy dany podmartyngał możemy zmodyfikować tak, by stał się prawostronnie ciągły. Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta.
Załóżmy, że jest przedziałem, a jest podmartyngałem (odp. nadmartyngałem) względem filtracji spełniającej zwykłe warunki. Wówczas ma prawostronnie ciągłą modyfikację wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jest prawostronnie ciągła.
Które z podanych niżej warunków implikują jednostajną całkowalność
ciągu :
a) ,
b) ,
c) ,
d) zbieżność w ,
e) zbieżność p.n.?
Niech będzie podmartyngałem (z czasem odwróconym!) takim, że . Wykaż, że jest jednostajnie całkowalny.
Wykaż, że martyngał jest zbieżny p.n. i znajdź jego granicę. Czy jest on zbieżny w ?
a) Wykaż, że jeśli jest dwukrotnie różniczkowalna na oraz są ograniczone, to
jest martyngałem względem .
b) Ogólniej, jeśli jest dwukrotnie różniczkowalna na ,
pochodne cząstkowe rzędu mniejszego niż 2 są ograniczone oraz jest
-wymiarowym procesem Wienera, to
jest martyngałem względem .
Niech będzie momentem zatrzymania względem .
a) Wykaż, że jest martyngałem.
b) Udowodnij, że jeśli , to .
c) Wykaż, że jeśli , to i .
Niech będzie jednowymiarowym procesem Wienera oraz
Rozpatrując martyngały i wykaż, że
a) p.n. dla wszystkich ,
b) dla ,
c) dla ,
d) dla ,
e) dla wszystkich .
Rozpatrując martyngały oraz
wykaż, że przy oznaczeniach
poprzedniego zadania, dla wszystkich ,
a) ,
b) .
Niech będzie wymiarowym procesem Wienera,
a oraz .
a) Wykaż, że jest nieujemnym nadmartyngałem.
b) Udowodnij, że zbiega przy do 0 według
prawdopodobieństwa i p.n. oraz wywnioskuj stąd, że
p.n..
c) Wykaż, że dla prawostronnie ciągłego nadmartyngału zachodzi
d) Wykaż, że .
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.