Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 7. Całka Stieltjesa – MIM UW

Zagadnienia

7. Całka Stieltjesa

Podstawowy problem jakim się zajmiemy podczas najbliższych wykładów polega na ścisłym zdefiniowaniu całek \int _{0}^{t}f(s)dW_{s}, \int _{0}^{t}X_{s}dW_{s} lub ogólniej \int _{0}^{t}X_{s}dY_{s}, gdzie f(s) jest ,,porządną” funkcją, a X_{s}, Y_{s} są ,,porządnymi” procesami stochastycznymi.

Najprostsze podejście polega na zdefiniowaniu osobno całki dla każdej trajektorii, tzn. określeniu dla ustalonego \omega\in\Omega, \int _{0}^{s}Y_{s}(\omega)dX_{s}(\omega). Sposób takiej konstrukcji daje całka Stieltjesa, uogólniająca całkę Riemanna.

7.1. Całka Riemanna-Stieltjesa

W tej części podamy tylko podstawowe fakty i definicje, bez dowodów. Więcej informacji oraz kompletne dowody można znaleźć w [2, 9] i [7].

Definicja 7.1

Podziałem przedziału[a,b] nazywamy niemalejący ciąg liczb \Pi=(t_{0},t_{1},\ldots,t_{k}) taki, że a=t_{0}\leq t_{1}\leq\ldots\leq t_{k}=b. Średnicę podziału \Pi definiujemy wzorem \mathrm{diam}(\Pi)\colon=\max _{{i}}|t_{{i+1}}-t_{{i}}|.
Mówimy, że podział \Pi^{{\prime}} jest podpodziałem \Pi (ozn. \Pi^{{\prime}}\prec\Pi) jeśli wszystkie punkty \Pi są punktami \Pi^{{\prime}}.
Ciąg \Pi^{n}=(t_{0}^{n},\ldots,t_{{k_{n}}}^{n}) nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeśli \mathrm{diam}(\Pi^{n})\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0 oraz \Pi^{{n+1}}\prec\Pi^{n}.

Definicja 7.2

Niech f,g\colon[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}. Powiemy że \int _{a}^{b}g\, df istnieje oraz, że g jest całkowalna względem f, jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów \Pi^{n}=(t_{0}^{n},\ldots,t_{{k_{n}}}^{n}) oraz punktów s_{0}^{n},\ldots,s_{{k_{n}-1}}^{n} takich, że t_{j}^{k}\leq s_{j}^{k}\leq t_{{j+1}}^{k} istnieje skończona granica

\lim _{{n\rightarrow\infty}}\sum _{{j=1}}^{{k_{n}}}g(s_{{j-1}}^{k})[f(t_{j}^{k})-f(t_{{j-1}}^{k})],

która nie zależy od wybranego ciągu punktów i podziałów. Granicę tą oznaczamy \int _{{a}}^{{b}}g(t)\, df(t) i nazywamy całką Riemanna-Stjeltjesa.

Uwaga 7.1

Można udowodnić, że całka \int _{a}^{b}g\, df istnieje oraz jest równa S, jeśli dla dowolnego \varepsilon>0 istnieje \delta>0 taka, że dla dowolnego podziału \Pi^{n}=(t_{0}^{n},\ldots,t_{{k_{n}}}^{n}) o średnicy nie większej niż \delta oraz punktów s_{0}^{n},\ldots,s_{{k_{n}-1}}^{n} takich, że t_{j}^{k}\leq s_{j}^{k}\leq t_{{j+1}}^{k},

\Big|S-\sum _{{j=1}}^{{k_{n}}}g(s_{{j-1}}^{k})[f(t_{j}^{k})-f(t_{{j-1}}^{k})]\Big|\leq\varepsilon.
Uwaga 7.2

i) W przypadku f(t)=t całka Riemanna-Stieltjesa jest całką Riemanna.
ii) Jeśli f\in C^{1}[a,b], to f(t_{{j+1}}^{n})-f(t_{j}^{n})=f^{{\prime}}(\Theta _{j}^{n}) dla pewnego t_{j}^{{n+1}}\leq\Theta _{j}^{n}\leq t_{j}^{n}, stąd można prosto udowodnić, że w tym przypadku \int _{{a}}^{{b}}g(t)\, df(t)=\int _{{a}}^{{b}}g(t)f^{{\prime}}(t)\, dt.

Wprost z definicji natychmiast wynika.

Stwierdzenie 7.1

i) Jeśli g_{1} i g_{2} są całkowalne względem f, to dla dowolnych liczb c_{1} i c_{2} funkcja c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2} jest całkowalna względem f oraz

\int _{a}^{b}(c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2})df=c_{1}\int _{a}^{b}g_{1}df+c_{2}\int _{a}^{b}g_{2}df.

ii) Jeśli g jest całkowalna względem f_{1} i f_{2}, to dla dowolnych liczb c_{1} i c_{2}, g jest całkowalna względem c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2} oraz

\int _{a}^{b}gd(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})=c_{1}\int _{a}^{b}gdf_{1}+c_{2}\int _{a}^{b}gdf_{2}.
Uwaga 7.3

Może się zdarzyć, że dla a<b<c całki \int _{a}^{b}gdf i \int _{b}^{c}gdf istnieją, a całka \int _{a}^{c}gdf nie istnieje. Jeśli jednak wszystkie trzy całki istnieją, to \int _{a}^{c}gdf=\int _{a}^{b}gdf+\int _{b}^{c}gdf.

Oczywiście naturalnie jest zapytać dla jakich funkcji f i g istnieje całka \int gdf. By odpowiedzieć na to pytanie musimy zdefiniować funkcje o wahaniu skończonym.

Definicja 7.3

Jeśli f\colon[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}, to liczbę

\mathrm{Wah}_{{[a,b]}}(f)\colon=\sup\limits _{{n\in\mathbb{N}}}\,\sup _{{a=t_{0}<\ldots<t_{n}=b}}\,\sum _{{i=1}}^{{n}}|f(t_{i})-f(t_{{i-1}})|

nazywamy wahaniem funkcji f w przedziale [a,b]. Mówimy, że f ma wahanie skończone na [a,b], jeśli \mathrm{Wah}_{{[a,b]}}(f)<\infty.

Oczywiście 0\leq\mathrm{Wah}_{{[a,b]}}(f)\leq\infty Wahanie jest addytywną funkcją przedziału, tzn. \mathrm{Wah}_{{[a,c]}}(f)=\mathrm{Wah}_{{[a,b]}}(f)+\mathrm{Wah}_{{[b,c]}}(f) dla a<b<c.

Przykład 7.1

Funkcje lipschitzowskie, funkcje monotoniczne mają wahanie skończone na ograniczonych przedziałach. Kombinacja liniowa funkcji o wahaniu skończonym ma wahanie skończone.

Przykład 7.2

Funkcja f(x)=x\sin(\frac{1}{x}) oraz f(0)=0 jest ciągła, ale nie ma wahania skończonego na [0,1].

Twierdzenie 7.1

Jeżeli f,g\colon[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}, przy czym g jest ciągła, a f ma wahanie skończone, to \int _{{a}}^{{b}}g\, df istnieje.

Twierdzenie to można odwrócić.

Twierdzenie 7.2

Jeśli całka Riemanna-Stieltjesa \int _{a}^{b}gdf istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej g, to funkcja f ma wahanie skończone na [a,b].

7.2. Całka Lebesgue'a-Stieltjesa

Stwierdzenie 7.2

Jeśli f ma wahanie skończone na [a,b], to istnieją funkcje niemalejące f_{1},f_{2} takie, że f_{1}(a)=f_{2}(a)=0 oraz f(t)=f(a)+f_{1}(t)-f_{2}(t). Co więcej f ma w każdym punkcie granice jednostrone. Ponadto jeśli f jest ciągła (odp. prawostronnie ciągła), to f_{1} i f_{2} można wybrać ciągłe (odp. prawostronnie ciągłe).

Szkic dowodu

Określamy f_{1}(t)=\frac{1}{2}(\mathrm{Wah}_{{[a,t]}}(f)+f(t)-f(a)) oraz f_{2}(t)=\frac{1}{2}(\mathrm{Wah}_{{[a,t]}}(f)-f(t)+f(a)).

Definicja 7.4

Załóżmy, że f jest prawostronnie ciągłą funkcją na [a,b] o wahaniu skończonym. Niech f_{1} i f_{2} będą prawostronnie ciągłymi funkcjami niemalejącymi takimi, że f_{1}(a)=f_{2}(a)=0 oraz f(t)=f(a)+f_{1}(t)-f_{2}(t). Istnieją wtedy skończone miary borelowskie \mu _{1} i \mu _{2} na [a,b] takie, że \mu _{i}[a,t]=f_{i}(t) dla i=1,2. Dla ograniczonych funkcji mierzalnych g na [a,b] określamy całkę Lebesgue'a-Stieltjesa g względem f wzorem

\int _{{[a,b]}}gdf=\int gd\mu _{1}-\int gd\mu _{2}.
Uwaga 7.4

Można wykazać, że dla funkcji ciągłych g całki Riemanna-Stieltjesa i Lebesgue'a-Stieltjesa g względem f są sobie równe.

7.3. Nieskończone wahanie ciągłych martyngałów

Niestety proces Wienera ma z prawdopodobieństwem jeden nieskończone wahanie na każdym przedziale. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy fakt.

Twierdzenie 7.3

Załóżmy, że (M_{t})_{{t\in[a,b]}} jest ciągłym martyngałem oraz

A=\{\omega\colon M_{t}(\omega)\mbox{ ma wahanie skończone na [a,b]}\}.

Wówczas M_{t} ma z prawdopodobieństwem 1 trajektorie stałe na A, tzn.

{\mathbb{P}}(\forall _{{t\in[a,b]}}\  M_{t}{\mathrm{I}}_{A}=M_{a}{\mathrm{I}}_{A})=1.

Załóżmy najpierw, że istnieje stała C<\infty taka, że dla wszystkich \omega\in\Omega, \mathrm{Wah}_{{[a,b]}}(M_{t}(\omega))\leq C oraz \sup _{{t\in[a,b]}}|M_{t}(\omega)|\leq C. Ustalmy 0\leq u\leq b-a i rozpatrzmy zmienne losowe

X_{n}=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}(M_{{a+(k+1)u/n}}-M_{{a+ku/n}})^{2}.

Dla s<t mamy

{\mathbb{E}}M_{{s}}M_{{t}}={\mathbb{E}}{\mathbb{E}}(M_{{s}}M_{{t}}|{\mathcal{F}}_{s})={\mathbb{E}}(M_{s}{\mathbb{E}}(M_{t}|{\mathcal{F}}_{s}))={\mathbb{E}}M_{s}^{2},

stąd

{\mathbb{E}}X_{n}=\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\mathbb{E}}(M^{2}_{{a+(k+1)u/n}}-M^{2}_{{a+ku/n}})={\mathbb{E}}M^{2}_{{a+u}}-{\mathbb{E}}M^{2}_{a}.

Szacujemy

\displaystyle|X_{n}| \displaystyle\leq\sup _{{0\leq k\leq n-1}}|M_{{a+(k+1)u/n}}-M_{{a+ku/n}}|\sum _{{k=0}}^{{n-1}}|M_{{a+(k+1)u/n}}-M_{{a+ku/n}}|
\displaystyle\leq\sup _{{|s-t|\leq u/n}}|M_{t}-M_{s}|\mathrm{Wah}_{{[a,b]}}(M_{t}),

stąd |X_{n}|\leq 2C^{2} oraz, z ciągłości M, \lim _{{n\rightarrow\infty}}X_{n}=0. Zatem z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej \lim _{{n\rightarrow\infty}}{\mathbb{E}}X_{n}=0, czyli {\mathbb{E}}M^{2}_{{a+u}}={\mathbb{E}}M^{2}_{a}. Zauważmy jednak, że

\displaystyle{\mathbb{E}}M_{{a+u}}^{2} \displaystyle={\mathbb{E}}{\mathbb{E}}((M_{a}+(M_{{a+u}}-M_{a}))^{2}|{\mathcal{F}}_{a})
\displaystyle={\mathbb{E}}M_{a}^{2}+{\mathbb{E}}(M_{{a+u}}-M_{a})^{2}+2{\mathbb{E}}[M_{a}{\mathbb{E}}((M_{{a+u}}-M_{a})|{\mathcal{F}}_{a})
\displaystyle={\mathbb{E}}M_{a}^{2}+{\mathbb{E}}(M_{{a+u}}-M_{a})^{2}.

Stąd M_{{a+u}}=M_{a} p.n., czyli M_{t}=M_{a} p.n. dla dowolnego t\in[a,b]. Z ciągłości M wynika, że {\mathbb{P}}(\forall _{{t}}\  M_{t}=M_{a})=1.

W przypadku ogólnym zdefiniujmy ciąg czasów zatrzymania

\tau _{n}=\inf\{ t\geq a\colon\sup _{{a\leq s\leq t}}|M_{s}|\geq n\}\wedge\inf\{ t\geq a\colon\mathrm{Wah}_{{[0,t]}}\geq n\},

wówczas martyngał M^{{\tau _{n}}} spełnia założenia pierwszej części dowodu (z C=n), więc M^{{\tau _{n}}} ma stałe trajektorie p.n.. Wystarczy zauważyć, że dla \omega\in A, \tau _{n}(\omega)=\infty dla dostatecznie dużych n.

7.4. Zadania

Ćwiczenie 7.1

Załóżmy, że h jest niemalejącą funkcją ciągłą na przedziale [a,b]. Udowodnij, że
a) Jeśli g ma wahanie skończone, to g\circ h też ma wahanie skończone.
b) Jeśli \int _{{h(a)}}^{{h(b)}}fdg istnieje, to

\int _{a}^{b}f(h(t))dg(h(t))=\int _{{h(a)}}^{{h(b)}}f(s)dg(s).
Ćwiczenie 7.2

Załóżmy, że f,g,h\colon[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}, przy czym f i g są ciągłe, a h ma wahanie skończone. Udowodnij, że
a) H(x)=\int _{a}^{x}g(t)dh(t) ma wahanie skończone na [a,b],
b) \int _{a}^{b}fdH=\int _{a}^{b}fgdh.

Ćwiczenie 7.3

Wykaż, że dla dowolnej funkcji ciągłej f o wahaniu skończonym na [a,b] zachodzi \int _{{a}}^{{b}}f(s)df(s)=\frac{1}{2}(f^{{2}}(b)-f^{{2}}(a)).

Ćwiczenie 7.4

Oblicz granice w L_{{2}}(\Omega) przy n\rightarrow\infty,
a) \sum _{{k=0}}^{{n-1}}W_{{tk/n}}(W_{{t(k+1)/n}}-W_{{tk/n}}),
b) \sum _{{k=0}}^{{n-1}}W_{{t(k+1)/n}}(W_{{t(k+1)/n}}-W_{{tk/n}}).

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.