Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 8. Całka izometryczna względem procesu Wienera – MIM UW

Zagadnienia

8. Całka izometryczna względem procesu Wienera

Podczas kolejnych wykładów zdefiniujemy całkę względem procesu Wienera - zaczniemy od całkowania funkcji deterministycznych, by później przejść do konstrukcji izometrycznej całki stochastycznej Itô.

Konstrukcja całki stochastycznej ma pewne podobieństwa do konstrukcji całki Lebesgue'a. Najpierw określa się, w naturalny sposób, całki najprostszych funkcji/procesów (funkcje schodkowe, procesy elementarne), później pokazuje się własności tak określonej całki (oparte na liczeniu drugich momentów), które pozwalają uogólnić definicję na bardziej złożone funkcje/procesy.

Należy zwrócić uwagę, że całkę stochastyczną definiujemy globalnie na całej przestrzeni probabilistycznej, a nie dla każdej trajektorii z osobna.

Dla uproszczenia notacji będziemy definiowali całki \int _{0}^{t}X_{s}dW_{s}. Całkę \int _{u}^{t}X_{s}dW_{s} dla 0<u<t można wówczas określić na kilka sposobów - albo uogólniając w naturalny sposób odpowiednie definicje albo np. jako całkę \int _{0}^{t}X_{s}{\mathrm{I}}_{{[u,\infty)}}(s)dW_{s}.

Będziemy zakładać, że 0<T\leq\infty oraz ({\mathcal{F}}_{t})_{{t\geq 0}} jest filtracją spełniającą zwykłe warunki taką, że W_{t} jest {\mathcal{F}}_{t}-mierzalne oraz W_{s}-W_{t} jest niezależne od {\mathcal{F}}_{t} dla s\geq t (za {\mathcal{F}}_{t} można przyjąć uzupełnienie {\mathcal{F}}_{{t+}}^{W}).

8.1. Całka Paleya-Wienera

Definiowanie całki stochastycznej względem procesu Wienera zaczniemy od najprostszego przypadku funkcji deterministycznych.

Dla funkcji schodkowej postaci

h=\sum _{{i=1}}^{k}\alpha _{i}{\mathrm{I}}_{{(t_{{i-1}},t_{i}]}},\quad 0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{k}=t,\,\alpha _{i}\in{\mathbb{R}},

określamy

I(h)=\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}:=\sum _{{i=1}}^{{k}}\alpha _{i}(W(t_{i})-W(t_{{i-1}})).

Z podstawowych własności procesu Wienera natychmiast otrzymujemy następujące własności przekształcenia I:

Stwierdzenie 8.1

Przy powyżej wprowadzonych oznaczeniach mamy
i) {\mathbb{E}}I(h)=0,
ii) \mathrm{Var}(I(h))={\mathbb{E}}I(h)^{2}=\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds,
iii) I(h) ma rozkład normalny {\mathcal{N}}(0,\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds),
iii) I(c_{1}h_{1}+c_{2}h_{2})=c_{1}I(h_{1})+c_{2}I(h_{2}) dla c_{1},c_{2}\in{\mathbb{R}}.

Oznaczając przez E_{1} zbiór funkcji schodkowych na [a,b] widzimy, że przekształcenie I definiuje liniową izometrię L_{2}([0,t])\supset E_{1}\rightarrow L_{2}(\Omega). Ponieważ funkcje schodkowe są gęste w L_{2} izometrię w jednoznaczny sposób możemy rozszerzyć na całe L_{2}([0,t]).

Definicja 8.1

Rozszerzenie powyższej izometrii do izometrii na L_{2}([0,t]) nazywamy całką Paleya-Wienera z funkcji h i oznaczamy \int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}.

Stwierdzenie 8.2

Dla dowolnej funkcji h\in L_{2}([0,t]),
i) {\mathbb{E}}(\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s})=0,
ii) \mathrm{Var}(\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s})={\mathbb{E}}(\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s})^{2}=\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds,
iii) \int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s} ma rozkład normalny {\mathcal{N}}(0,\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds).

Można też udowodnić następujące proste własności całki Paleya-Wienera:

Stwierdzenie 8.3

i) Jeżeli h\in C^{1}([0,t]), to

\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}=h(t)W_{t}-\int _{{0}}^{{t}}h^{{\prime}}(s)W_{s}\, ds.

Ponadto dla dowolnego h\in L_{2}[0,t],
ii) {\mathbb{E}}|\int _{{0}}^{{t}}h(s)\, dW_{s}|^{p}={\mathbb{E}}|W_{1}|^{p}(\int _{{0}}^{{t}}h^{2}(s)\, ds)^{{p/2}}
oraz
iii) \int _{0}^{u}h(s)dW_{s}=\int _{0}^{t}h(s){\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)ds p.n. dla dowolnych 0<u<t.

Dowód pozostawiamy Czytelnikowi (zob. Ćwiczenia 8.2-8.4).

8.2. Procesy elementarne

Starając się przenieść konstrukcję Paleya-Wienera na przypadek całki z procesów, musimy określić stochastyczny odpowiednik funkcji schodkowych - są to tak zwane procesy elementarne.

Definicja 8.2

Powiemy, że proces X=(X_{t})_{{t\in[0,T)}} należy do {\mathcal{E}} - rodziny procesów elementarnych (elementarnych procesów prognozowalnych), jeśli X jest postaci

X_{t}=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=1}}^{{m}}\xi _{{k-1}}{\mathrm{I}}_{{(t_{{k-1}},t_{k}]}}(t), (8.1)

gdzie 0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{m}<T, zaś \xi _{{k}} są ograniczonymi zmiennymi losowymi, {\mathcal{F}}_{{t_{{k}}}}-mierzalnymi.

Oczywiście {\mathcal{E}} jest przestrzenią liniową.

Definicja 8.3

Dla X\in{\mathcal{E}} definiujemy proces

I(X)=(I(X)_{t})_{{t\leq T}}=\Big(\int _{{0}}^{{t}}X_{s}\, dW_{s}\Big)_{{t\leq T}}

wzorem

I(X)_{t}:=\sum _{{k=1}}^{{m}}\xi _{{k-1}}(W_{{t_{k}\wedge t}}-W_{{t_{{k-1}}\wedge t}}).
Uwaga 8.1

Definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od reprezentacji X\in{\mathcal{E}}.

Stwierdzenie 8.4

Jeśli X jest procesem elementarnym, to proces I(X)=(\int _{{0}}^{{t}}X_{s}\, dW_{s})_{{t\leq T}} jest martyngałem względem ({\mathcal{F}}_{t})_{{0\leq t\leq T}}, o ciągłych trajektoriach takim, że I(X)_{0}=0 oraz

{\mathbb{E}}\Big|\int _{{0}}^{{T}}X_{s}\, dW_{s}\Big|^{2}={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}X_{s}^{2}\, ds.

Przyjmijmy, że X_{t} jest postaci (8.1). Ciągłość trajektorii i I(X)_{0}=0 wynika natychmiast z określenia I(X). Jeżeli t_{j}\leq t\leq t_{{j+1}}, to zmienna

I(X)_{t}=\xi _{0}(W_{{t_{1}}}-W_{{t_{0}}})+\xi _{1}(W_{{t_{2}}}-W_{{t_{1}}})+\ldots+\xi _{j}(W_{t}-W_{{t_{j}}})

jest {\mathcal{F}}_{t} mierzalna. Ponadto I(X)_{t}=I(X)_{{t_{m}}} dla t_{m}\leq t\leq T.

Sprawdzimy teraz, że I(X) jest martyngałem, czyli dla s<t\leq T mamy {\mathbb{E}}(I(X)_{t}|{\mathcal{F}}_{s})=I(X)_{s}. Wystarczy pokazać to dla t_{j}\leq s<t\leq t_{{j+1}}, ale wtedy

{\mathbb{E}}(I(X)_{t}-I(X)_{s}|{\mathcal{F}}_{s})={\mathbb{E}}(\xi _{j}(W_{t}-W_{s})|{\mathcal{F}}_{s})=\xi _{j}{\mathbb{E}}(W_{t}-W_{s}|{\mathcal{F}}_{s})=0,

wykorzystujemy tu założenie, że \xi _{{j}} jest {\mathcal{F}}_{{t_{j}}}\subset{\mathcal{F}}_{s} mierzalne. By zakończyć dowód liczymy

\displaystyle{\mathbb{E}}I(X)^{2}_{T}= \displaystyle\sum _{{k=1}}^{{m}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}^{2}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})^{2}]
\displaystyle+2\sum\limits _{{j<k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})(W_{{t_{j}}}-W_{{t_{{j-1}}}})] \displaystyle=:I_{1}+I_{2}.

Wykorzystując mierzalność \xi _{j} oraz niezależność przyrostów procesu Wienera mamy

I_{1}=\sum _{{k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}^{2}{\mathbb{E}}((W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})^{2}|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]=\sum _{{k}}{\mathbb{E}}\xi _{{k-1}}^{2}(t_{k}-t_{{k-1}})={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}X_{s}^{2}\, ds

oraz

\displaystyle I_{2} \displaystyle=2\sum _{{j<k}}{\mathbb{E}}[(\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}{\mathbb{E}}((W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})(W_{{t_{j}}}-W_{{t_{{j-1}}}})|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]
\displaystyle=2\sum _{{j<k}}{\mathbb{E}}[\xi _{{k-1}}\xi _{{j-1}}(W_{{t_{j}}}-W_{{t_{{j-1}}}}){\mathbb{E}}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}}|{\mathcal{F}}_{{t_{{k-1}}}})]=0,

bo {\mathbb{E}}(W_{{t_{k}}}-W_{{t_{{k-1}}}})=0.

Uwaga 8.2

Jedyne własności procesu Wienera jakie wykorzystywaliśmy w dowodzie, to {\mathbb{E}}(W_{t}-W_{s}|{\mathcal{F}}_{s})=0 oraz {\mathbb{E}}((W_{t}-W_{s})^{2}|{\mathcal{F}}_{s})=t-s dla 0\leq s<t. Własności te można formalnie wyprowadzić z faktu, że procesy (W_{t}) i (W_{t}^{2}-t) są martyngałami względem ({\mathcal{F}}_{t}).

8.3. Martyngały ciągłe, całkowalne z kwadratem

Definicja 8.4

Przez {\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}} oznaczamy przestrzeń martyngałów (M_{t})_{{0\leq t\leq T}} względem filtracji ({\mathcal{F}}_{t})_{{t\in[0,T]}} o trajektoriach ciągłych takich, że {\mathbb{E}}M_{T}^{2}<\infty.

Uwaga 8.3

i) Jeśli M\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}, to z nierówności Jensena wynika, że {\mathbb{E}}M_{t}^{2}\leq{\mathbb{E}}M_{T}^{2}<\infty, więc (M_{t}^{2})_{{0\leq t\leq T}} jest podmartyngałem.
ii) Przestrzeń {\mathcal{M}}_{{T}}^{{2,c}} można utożsamić z przestrzenią martyngałów ciągłych (M_{t})_{{0\leq t<T}} takich, że \sup _{{t<T}}{\mathbb{E}}M_{t}^{2}<\infty. Możemy bowiem określić M_{{T}} jako granicę p.n. M_{t} przy t\rightarrow T (zob. Twierdzenie 6.5 dla p=2).
iii) Z nierówności Dooba (Twierdzenie 5.1) wynika, że dla M=(M_{t})\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}},

{\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}M_{t}^{2}\leq 4{\mathbb{E}}M_{T}^{2}.
Twierdzenie 8.1

Przestrzeń {\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}} jest przestrzenią Hilberta (tzn. zupełną przestrzenią euklidesową) z iloczynem skalarnym

(M,N)=(M,N)_{T}={\mathbb{E}}M_{T}N_{T},\quad M,N\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}

oraz normą

\| M\| _{T}=\sqrt{(M,M)_{T}}=\sqrt{{\mathbb{E}}M_{T}^{2}}=\| M_{T}\| _{{L_{2}(\Omega)}}.
Uwaga 8.4

i) Przy rozważaniach dotyczących całki stochastycznej utożsamiamy procesy nieodróżnialne. Formalnie rzecz biorąc elementy {\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}} to klasy abstrakcji martyngałów ciągłych względem relacji nieodróżnialności.
ii) Przekształcenie M\rightarrow M_{T} jest izometrycznym włożeniem przestrzeni {\mathcal{M}}_{{T}}^{{2,c}} w L_{2}(\Omega,{\mathcal{F}},{\mathbb{P}}).

Dowód Twierdzenia

Oczywiście {\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}} jest przestrzenią liniową, zaś (M,N) jest iloczynem skalarnym, bo jest dwuliniowy, symetryczny, (M,M)\geq 0 oraz jeśli (M,M)=0, to {\mathbb{E}}M_{T}^{2}=0, czyli M_{T}=0 p.n., co z własności martygału implikuje, że M_{t}=0 p.n., więc z ciągłości M, {\mathbb{P}}(\forall _{{t\leq T}}\  M_{t}=0)=1.

Musimy jeszcze udowodnić zupełność. Niech M^{{(n)}}=(M_{t}^{{(n)}})\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}} będzie ciągiem Cauchy'ego, czyli

\| M^{{(n)}}-M^{{(m)}}\| _{T}^{2}={\mathbb{E}}(M_{T}^{{(n)}}-M_{T}^{{(m)}})^{2}\rightarrow 0\quad\mbox{ dla }m,n\rightarrow\infty.

Wówczas M_{T}^{{(n)}} jest ciągiem Cauchy'ego w L_{2}(\Omega,{\mathcal{F}}_{T},{\mathbb{P}}), zatem z zupełności L_{2} istnieje całkowalna z kwadratem zmienna M_{T} taka, że {\mathbb{E}}|M_{T}^{{(n)}}-M_{T}|^{2}\rightarrow 0 przy n\rightarrow\infty.

Możemy położyć \tilde{M}_{t}:={\mathbb{E}}(M_{T}|{\mathcal{F}}_{t}), ale taka definicja nie gwarantuje ciągłości \tilde{M}. Udowodnimy, że można znaleźć martyngał M, który jest ciągłą modyfikację \tilde{M}.

Zauważmy, że na mocy nierówności Dooba,

{\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}(M_{t}^{{(n)}}-M_{t}^{{(m)}})^{2}\leq 4{\mathbb{E}}|M_{T}^{{(n)}}-M_{T}^{{(m)}}|^{2},

więc możemy wybrać podciąg n_{{k}} taki, że

\forall _{{l>k}}\ {\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}(M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{l})}})^{2}\leq 8^{{-k}}.

Wówczas

{\mathbb{P}}\Big(\sup _{{t\leq T}}|M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{{k+1}})}}|\geq 2^{{-k}}\Big)\leq 2^{{-k}}.

Zatem, jeśli określimy

A_{{k}}:=\{\sup _{{t\leq T}}|M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{{k+1}})}}|\geq 2^{{-k}}\},

to \sum _{{k}}{\mathbb{P}}(A_{{k}})<\infty, czyli na mocy lematu Borela-Cantelli, {\mathbb{P}}(\limsup A_{k})=0.

Jeśli \omega\notin\limsup A_{k}, to \omega\notin A_{k} dla k\geq k_{0}=k_{0}(\omega), czyli \sup _{{t\leq T}}|M_{t}^{{(n_{k})}}-M_{t}^{{(n_{{k+1}})}}|\leq 2^{{-k}} dla k\geq k_{0}. Ciąg (M_{t}^{{n_{k}}}(\omega))_{{0\leq t\leq T}} jest zatem zbieżny jednostajnie na [0,T] do pewnej funkcji M_{t}(\omega). Kładziemy dodatkowo M(\omega)=0 dla \omega\in\limsup A_{k}.

Z ciągłości M^{{(n_{k})}} wynika ciągłość M. Ponieważ M_{{T}}^{{(n_{k})}}\rightarrow M_{{T}} w L_{2} więc również w L_{1}, czyli M_{{t}}^{{(n_{{k}})}}={\mathbb{E}}(M_{{T}}^{{(n_{k})}}|{\mathcal{F}}_{{t}})\rightarrow{\mathbb{E}}(M_{{T}}|{\mathcal{F}}_{{t}}) w L_{1}, a że M_{{t}}^{{(n_{{k}})}}\rightarrow M_{{t}} p.n., więc M_{{t}}={\mathbb{E}}(M_{{T}}|{\mathcal{F}}_{{t}})=\tilde{M}_{t} p.n., czyli (M_{t})_{{0\leq t\leq T}} jest martyngałem ciągłym.

8.4. Całka izometryczna Itô. Procesy prognozowalne

Każdemu procesowi elementarnemu X przyporządkowaliśmy martyngał ciągły I(X), co więcej przekształcenie I

L_{2}([0,T]\times\Omega,{\mathcal{B}}([0,T])\otimes{\mathcal{F}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})\hookleftarrow{\mathcal{E}}\stackrel{I}{\longrightarrow}{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}

jest liniową izometrią. Przekształcenie I możemy więc rozszerzyć do liniowej izometrii (którą też będziemy oznaczać literą I) z \overline{{\mathcal{E}}} w {\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}, gdzie \overline{{\mathcal{E}}} oznacza domknięcie przestrzeni procesów elementarnych w L_{2}([0,T]\times\Omega,{\mathcal{B}}([0,T])\otimes{\mathcal{F}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).

Definicja 8.5

Tak zdefiniowane przekształcenie I przyporządkowujące każdemu procesowi X=(X_{t})_{{0\leq t\leq T}} z przestrzeni \overline{{\mathcal{E}}} ciągły, całkowalny z kwadratem martyngał I(X) nazywamy izometryczną całką stochastyczną Itô z procesu X i oznaczamy

I(X)_{t}=:\int _{0}^{t}X_{s}dW_{s},\quad 0\leq t\leq T.

Oczywiście natychmiast powstaje pytanie jak wygląda przestrzeń \overline{{\mathcal{E}}}, czyli jakie procesy stochastyczne umiemy całkować.

Definicja 8.6

\sigma-ciało zbiorów prognozowalnych {\mathcal{P}}, to \sigma-ciało podzbiorów [0,T)\times\Omega generowane przez zbiory postaci \{ 0\}\times A, (s,t]\times A, s<t<T, A\in{\mathcal{F}}_{s}.

Proces X=(X_{t})_{{0\leq t<T}} jest prognozowalny, jeśli traktowany jako funkcja X:[0,T)\times\Omega\rightarrow{\mathbb{R}} jest mierzalny względem {\mathcal{P}}.

Z definicji natychmiast wynika, że X_{t}(\omega)={\mathrm{I}}_{A}(\omega){\mathrm{I}}_{{(u,v]}}(t) jest prognozowalny, jeśli A\in{\mathcal{F}}_{u} oraz u\leq v<T.

Ponieważ każdą ograniczoną zmienną \xi, {\mathcal{F}}_{u}–mierzalną można aproksymować jednostajnie przez zmienne postaci \sum a_{i}{\mathrm{I}}_{{A_{i}}}, A_{i}\in{\mathcal{F}}_{u}, więc proces \xi(\omega){\mathrm{I}}_{{(u,v]}}(t) jest prognozowalny dla dowolnej ograniczonej zmiennej \xi, {\mathcal{F}}_{u}–mierzalnej.

Zatem dowolny proces Y\in{\mathcal{E}} jest prognozowalny, czyli {\mathcal{E}}\subset L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}), stąd

\overline{{\mathcal{E}}}\subset L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).

W szczególności każdy proces z \overline{{\mathcal{E}}} jest nieodróznialny od procesu prognozowalnego. Okazuje się, że zachodzi również odwrotne zawieranie.

Stwierdzenie 8.5

Mamy \overline{{\mathcal{E}}}=L^{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).

Wobec poprzednich rozważań musimy tylko pokazać, że \overline{{\mathcal{E}}}\supset L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}). Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I: T<\infty.

Najpierw pokażemy, że jeśli \Gamma\in{\mathcal{P}}, to {\mathrm{I}}_{{\Gamma}}\in\overline{{\mathcal{E}}}. W tym celu określmy {\mathcal{A}}:=\{\Gamma\in{\mathcal{P}}\colon\,{\mathrm{I}}_{{\Gamma}}\in\overline{{\mathcal{E}}}\} oraz

{\mathcal{B}}:=\{\{ 0\}\times A\colon\, A\in{\mathcal{F}}_{0}\}\cup\{(u,v]\times A\colon\, 0\leq u<v<T,\, A\in{\mathcal{F}}_{u}\}.

Łatwo sprawdzić, że {\mathcal{B}} jest \pi-układem, ponadto jeśli \Gamma\in{\mathcal{B}}, to {\mathrm{I}}_{{\Gamma}}\in{\mathcal{E}}\subset\overline{{\mathcal{E}}}, a zatem {\mathcal{B}}\subset{\mathcal{A}}. Co więcej {\mathcal{A}} jest \lambda-układem dla T<\infty, bo
i) \Gamma=[0,T)\times\Omega\in{\mathcal{A}}, czyli {\mathrm{I}}_{{\Gamma}}=1\in\overline{{\mathcal{E}}}, gdyż biorąc ciąg T_{n}\nearrow T, otrzymujemy {\mathcal{E}}\ni{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}\times\Omega}}+{\mathrm{I}}_{{(0,T_{n}]\times\Omega}}={\mathrm{I}}_{{[0,T_{n}]\times\Omega}}\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}{\mathrm{I}}_{{[0,T)\times\Omega}}\in\overline{{\mathcal{E}}}.
ii) \Gamma _{1},\Gamma _{2}\in{\mathcal{A}}, \Gamma _{1}\subset\Gamma _{2}, {\mathrm{I}}_{{\Gamma _{2}\setminus\Gamma _{1}}}={\mathrm{I}}_{{\Gamma _{2}}}-{\mathrm{I}}_{{\Gamma _{1}}}\in\overline{{\mathcal{E}}} z liniowości \overline{{\mathcal{E}}}, czyli \Gamma _{2}\setminus\Gamma _{1}\in{\mathcal{A}}.
iii) \Gamma _{n}\in{\mathcal{A}} wstępujący, wówczas {\mathrm{I}}_{{\Gamma _{n}}}\stackrel{L_{2}}{\longrightarrow}{\mathrm{I}}_{{\bigcup\Gamma _{n}}}\in\overline{{\mathcal{E}}}, czyli \bigcup\Gamma _{n}\in{\mathcal{A}}.

Zatem dla T<\infty, z twierdzenia o \pi- i \lambda-układach {\mathcal{A}}\supset\sigma({\mathcal{B}})={\mathcal{P}}.

Dalej, jeśli \Gamma _{i}\in{\mathcal{P}}, a_{i}\in{\mathbb{R}}, to \sum _{{i=1}}^{n}a_{i}{\mathrm{I}}_{{\Gamma _{i}}}\in\overline{{\mathcal{E}}} (z liniowości). Ponadto funkcje proste \sum _{{i\leq n}}a_{i}{\mathrm{I}}_{{\Gamma _{i}}} są gęste w L^{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}), czyli \overline{{\mathcal{E}}}=L^{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}).

Przypadek II: T=\infty.

Niech X\in L_{2}([0,\infty)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}) oraz X_{t}^{{(n)}}(\omega):=X_{t}(\omega){\mathrm{I}}_{{[0,n)\times\Omega}}(t,\omega). Wówczas procesy X^{{(n)}} są prognozowalne, należą do L_{2}([0,n)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}}), zatem X^{{(n)}}\in\overline{{\mathcal{E}}} na mocy przypadku I.

Ponadto X^{{(n)}}\rightarrow X w L_{2}([0,\infty)\times\Omega,\lambda\otimes{\mathbb{P}}) (tw. Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej), czyli X\in\overline{{\mathcal{E}}}.

Określiliśmy zatem \int _{0}^{t}X_{s}dW_{s} dla procesów prognozowalnych całkowalnych z kwadratem względem miary \lambda\otimes{\mathbb{P}} na [0,T)\times\Omega. Od tej pory przyjmujemy następujące oznaczenie

\displaystyle{\mathcal{L}}_{2}^{T} \displaystyle=L_{2}([0,T)\times\Omega,{\mathcal{P}},\lambda\otimes{\mathbb{P}})
\displaystyle=\Big\{ X=(X_{t})_{{0\leq t<T}}\mbox{ prognozowalny }\colon\ {\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}ds<\infty\Big\}.

Dobrze by było jeszcze wiedzieć, że klasa procesów prognozowalnych jest dostatecznie duża, wynika to z następującego faktu:

Stwierdzenie 8.6

Jeśli X=(X_{t})_{{t\in[0,T)}} jest procesem adaptowalnym i lewostronnie ciągłym, to X jest prognozowalny.

Dla T<\infty określmy

X_{t}^{{(n)}}:=X_{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=1}}^{{2^{n}-1}}X_{{\frac{k-1}{2^{n}}T}}{\mathrm{I}}_{{(\frac{k-1}{2^{n}}T,\frac{k}{2^{n}}T]}},

zaś w przypadku T=\infty niech

X_{t}^{{(n)}}:=X_{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=1}}^{{n2^{n}}}X_{{\frac{k-1}{2^{n}}}}{\mathrm{I}}_{{(\frac{k-1}{2^{n}},\frac{k}{2^{n}}]}}.

Łatwo zauważyć, że procesy X^{{(n)}} są prognozowalne oraz z lewostronnej ciągłości X wynika, że X_{t}^{{(n)}}\rightarrow X_{t} punktowo. Prognozowalność X wynika z faktu, że granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

Uwaga 8.5

Można udowodnić, że dla ({\mathcal{F}}_{t})-adaptowalnego procesu X=(X_{t})_{{t\in[0,T)}} takiego, że {\mathbb{E}}\int _{0}^{T}X_{s}^{2}ds<\infty istnieje proces prognozowalny Y taki, że X_{t}(\omega)=Y_{t}(\omega) dla \lambda\otimes{\mathbb{P}} prawie wszystkich (t,\omega)\in[0,T)\times\Omega. Pozwala to określić \int XdW dla procesów adaptowalnych z L_{2}([0,T)\times\Omega).

8.5. Zadania

Ćwiczenie 8.1

Oblicz \mathrm{Cov}(\int _{{0}}^{{s}}h_{{1}}(t)dW_{{t}},\int _{{0}}^{{s}}h_{{2}}(t)dW_{{t}}) dla h_{{1}},h_{{2}}\in L_{{2}}([0,s]).

Ćwiczenie 8.2

Wykaż, że dla 0\leq u<t i h\in L_{2}([0,t]) zachodzi

\int _{{0}}^{u}h(s)dW_{s}=\int _{{0}}^{{t}}h{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)dW_{s}\quad\mbox{ p.n..}
Ćwiczenie 8.3

Wykaż, że dla h\in C^{{1}}[0,t] zachodzi

\int _{{0}}^{{t}}h(s)dW_{{s}}=h(t)W_{{t}}-\int _{{0}}^{{t}}h^{{\prime}}(s)W_{{s}}ds\quad\mbox{ p.n..}
Ćwiczenie 8.4

Niech C_{{p}}:=({\mathbb{E}}|W_{{1}}|^{{p}})^{{1/p}}. Wykaż, że dla 0<p<\infty, przekształcenie h\rightarrow C_{{p}}^{{-1}}\int _{{0}}^{{T}}h(t)dW_{{t}} jest izometrycznym włożeniem L_{{2}}([0,T]) w L_{{p}}(\Omega).

Ćwiczenie 8.5

Wykaż, że proces

Y_{{t}}=\left\{\begin{array}[]{ll}(1-t)\int _{{0}}^{{t}}\frac{1}{1-s}dW_{{s}}&0\leq t<1,\\
0&t=1\end{array}\right.

ma takie same rozkłady skończenie wymiarowe co proces Z_{{t}}=W_{{t}}-tW_{{1}} (most Browna).

Ćwiczenie 8.6

Wykaż, że jeśli X\in{\cal L}^{{2}}_{{T}},0\leq t\leq s\leq T oraz \xi jest ograniczoną zmienną losową {\cal F}_{{t}} mierzalną to \xi XI_{{(t,s]}}\in{\cal L}^{{2}}_{{T}} oraz \int _{{t}}^{{s}}\xi XdW=\xi\int _{{t}}^{{s}}XdW (Uwaga: \int _{{t}}^{{s}}XdW definiujemy jako \int _{{0}}^{{T}}{\mathrm{I}}_{{(s,t]}}XdW).

Ćwiczenie 8.7

Wykaż, że jeśli 0<t_{{1}}<\ldots<t_{{m}}<T oraz \xi _{{k}} są zmiennymi losowymi w L^{{2}}(\Omega), {\cal F}_{{t_{{k}}}} mierzalnymi to proces X:=\sum _{{k=1}}^{{m-1}}\xi _{{k}}{\mathrm{I}}_{{(t_{{k}},t_{{k+1}}]}} należy do {\cal L}^{{2}}_{{T}} oraz \int _{{0}}^{{t}}XdW=\sum _{{k=1}}^{{m-1}}\xi _{{k}}(W_{{t_{{k+1}}\wedge t}}-W_{{t_{{k}}\wedge t}}).

Ćwiczenie 8.8

Załóżmy, że X jest procesem prognozowalnym, ciągłym w L_{2} (tzn. t\rightarrow X_{{t}} jest ciągła z [0,T] w L_{2}(\Omega)). Wykaż, że wówczas X\in{\cal L}^{{2}}_{{T}} oraz dla dowolnego ciągu podziałów 0=t_{{0}}^{{(n)}}\leq t_{{1}}^{{(n)}}\leq\ldots\leq t_{{k_{{n}}}}^{{(n)}}=T o średnicy zbiegającej do zera zachodzi dla t\leq T,

\sum _{{k=0}}^{{k_{{n}}-1}}X_{{t_{{k}}^{{(n)}}}}(W_{{t_{{k+1}}^{{(n)}}}}-W_{{t_{{k}}^{{(n)}}}})\rightarrow\int _{{0}}^{{T}}XdW

w L_{2}(\Omega) przy n\rightarrow\infty.

Ćwiczenie 8.9

Oblicz \int _{{0}}^{{t}}W_{{s}}dW_{{s}}.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.