Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 63 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 65 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 67 Notice: Undefined index: mode in /home/misc/mst/public_html/common.php on line 69 Notice: Undefined variable: base in /home/misc/mst/public_html/lecture.php on line 36 Wstęp do analizy stochastycznej – 9. Własności całki izometrycznej. Uogólnienie definicji całki stochastycznej – MIM UW

Zagadnienia

9. Własności całki izometrycznej. Uogólnienie definicji całki stochastycznej

Poprzednio zdefiniowaliśmy całkę \int XdW dla X\in{\mathcal{L}}^{2}_{T}. Czasami jednak potrzeba zdefiniować całkę względem procesu Wienera z procesu ciągłego X dla którego \int{\mathbb{E}}X_{t}^{2}dt=\infty. Podczas tego wykładu pokażemy jak określić taką całkę.

9.1. Twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej

Zacznijmy od prostej obserwacji.

Stwierdzenie 9.1

Jeśli X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}, to dla dowolnego u<T, {\mathrm{I}}_{{[0,u]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} i

\int _{{0}}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)X_{s}\, dW_{s}=\int _{{0}}^{{t\wedge u}}X_{s}\, dW_{s}\quad\mbox{ dla }0\leq t\leq T.

Funkcja (t,\omega)\rightarrow{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(t) jest deterministyczna, więc prognozowalna, zatem proces {\mathrm{I}}_{{[0,u]}}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, stąd {\mathrm{I}}_{{[0,u]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}.

Jeśli X jest procesem elementarnym postaci X=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{k}\xi _{k}{\mathrm{I}}_{{(t_{{k-1}},t_{k}]}}, to X{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{k}\xi _{k}{\mathrm{I}}_{{(t_{{k-1}}\wedge u,t_{k}\wedge u]}}\in{\mathcal{E}} oraz

\int _{{0}}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)X_{s}\, dW_{s}=\sum\xi _{k}(W_{{t_{k}\wedge u\wedge t}}-W_{{t_{{k-1}}\wedge u\wedge t}})=\int _{{0}}^{{t\wedge u}}X_{s}\, dW_{s}.

Dla X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} weźmy X^{{(n)}}\in{\mathcal{E}} takie, że X^{{(n)}}\rightarrow X w {\mathcal{L}}_{T}^{2}. Wówczas oczywiście również X^{{(n)}}{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}\rightarrow X{\mathrm{I}}_{{[0,u]}} w {\mathcal{L}}_{T}^{2}. Stąd

\int _{{0}}^{{t}}X_{s}{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)dW_{s}\leftarrow\int _{{0}}^{{t}}X_{s}^{{(n)}}{\mathrm{I}}_{{[0,u]}}(s)dW_{s}=\int _{{0}}^{{t\wedge u}}X_{s}^{{(n)}}dW_{s}\rightarrow\int _{{0}}^{{t\wedge u}}X_{s}dW_{s}.

Uogólnieniem faktu jest ważne twierdzenie o zatrzymaniu całki stochastycznej.

Twierdzenie 9.1

Niech X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} oraz \tau będzie momentem zatrzymania. Wówczas {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} oraz

\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)X_{s}\, dW_{s}=\int _{{0}}^{{t\wedge\tau}}X_{s}\, dW_{s}\quad\mbox{ dla }0\leq t\leq T. (9.1)

Biorąc \tau\wedge T zamiast T możemy zakładać, że \tau\leq T p.n..

Proces {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(t) jest lewostronnie ciągły i adaptowalny, a zatem jest prognozowalny, czyli {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X jest prognozowalny (iloczyn funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną). Stąd {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}.

Wzór (9.1) udowodnimy w trzech krokach.

Krok 1.X\in{\mathcal{E}}, \tau przyjmuje skończenie wiele wartości.

Ewentualnie powiększając ciąg t_{i} możemy zakładać, że \tau przyjmuje wartości 0=t_{0}\leq t_{1}\leq\ldots\leq t_{m}\leq T oraz X=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}+\sum _{{k=0}}^{{m-1}}\xi _{k}{\mathrm{I}}_{{(t_{k},t_{{k+1}}]}}. Mamy

\displaystyle{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(t) \displaystyle=\sum _{{k=0}}^{{m}}{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}{\mathrm{I}}_{{[0,t_{k}]}}(t)=\sum _{{k=0}}^{m}\Big(\Big(\sum _{{j=0}}^{{k-1}}{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}(t)\Big)+{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}\Big)
\displaystyle={\mathrm{I}}_{{\Omega}}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}(t)+\sum _{{j=0}}^{{m-1}}\sum _{{k=j+1}}^{m}{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}(t)
\displaystyle={\mathrm{I}}_{{\Omega}}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}(t)+\sum _{{j=0}}^{{m-1}}{{\mathrm{I}}_{{\{\tau>t_{j}\}}}}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}(t),

zatem

{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(t)X=\xi _{0}{\mathrm{I}}_{{\{ 0\}}}(t)+\sum _{{j=0}}^{{m-1}}\xi _{j}{\mathrm{I}}_{{\{\tau>t_{j}\}}}{\mathrm{I}}_{{(t_{j},t_{{j+1}}]}}(t),

czyli {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(t)X\in{\mathcal{E}}. Liczymy

\displaystyle\int _{{0}}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)X_{s}\, dW_{s} \displaystyle=\sum _{{j=0}}^{{m-1}}\xi _{j}{\mathrm{I}}_{{\{\tau>t_{j}\}}}(W_{{t_{{j+1}}\wedge t}}-W_{{t_{j}\wedge t}})
\displaystyle=\sum _{{j=0}}^{{m-1}}\sum _{{k=j+1}}^{{m}}\xi _{j}{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}(W_{{t_{{j+1}}\wedge t}}-W_{{t_{j}\wedge t}})
\displaystyle=\sum _{{k=1}}^{{m}}{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}\sum _{{j=0}}^{{k-1}}\xi _{j}(W_{{t_{{j+1}}\wedge t}}-W_{{t_{j}\wedge t}})
\displaystyle=\sum _{{k=1}}^{{m}}{\mathrm{I}}_{{\{\tau=t_{k}\}}}\int _{0}^{{t\wedge t_{k}}}X_{s}\, dW_{s}=\int _{0}^{{t\wedge\tau}}X_{s}\, dW_{s}.

Krok 2.\tau dowolne oraz X\in{\mathcal{E}}.

Weźmy ciąg momentów zatrzymania \tau _{n} przyjmujących skończenie wiele wartości taki, że \tau _{n}\searrow\tau. Na mocy kroku 1, para (\tau _{n},X) spełnia (9.1). Z ciągłości trajektorii całki stochastycznej, \int _{{0}}^{{t\wedge\tau _{n}}}X_{s}\, dW_{s}\rightarrow\int _{0}^{{t\wedge\tau}}X_{s}\, dW_{s} p.n.. Mamy

\displaystyle{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}(s)X_{s}\, dW_{s}-\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)X_{s}\, dW_{s}\Big)^{2} \displaystyle={\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{(\tau,\tau _{n}]}}(s)X_{s}\, dW_{s}\Big)^{2}
\displaystyle={\mathbb{E}}\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{(\tau,\tau _{n}]}}(s)X_{s}^{2}\, ds\rightarrow 0.

Zbieżność wynika z twierdzenia Lebesgue'a, gdyż proces {\mathrm{I}}_{{(\tau,\tau _{n}]}}(s)X_{s}^{2} dąży punktowo do zera i jest majoryzowany przez X_{s}^{2}. Stąd

\int _{0}^{{t\wedge\tau}}X\, dW\stackrel{p.n.}{\longleftarrow}\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}X\, dW=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW\stackrel{L_{2}(\Omega)}{\longrightarrow}\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\, dW,

czyli spełnione jest (9.1).

Krok 3.\tau oraz X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} dowolne.

Weźmy X^{{(n)}}\in{\mathcal{E}} takie, że X^{{(n)}}\rightarrow X w {\mathcal{L}}_{T}^{2}. Z kroku 2, para (\tau,\, X^{{(n)}}) spełnia (9.1). Mamy

\displaystyle{\mathbb{E}}\Big(\int _{{0}}^{{t\wedge\tau}}(X_{s}-X_{s}^{{(n)}})\, dW_{s}\Big)^{2} \displaystyle\leq{\mathbb{E}}\Big(\int _{{0}}^{{T}}(X-X^{{(n)}})\, dW\Big)^{2}
\displaystyle={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}(X-X^{{(n)}}_{s})^{2}\, ds\rightarrow 0,

gdzie pierwsza nierówność wynika z nierówności Jensena oraz Twierdzenia Dooba 6.3 dla martyngału (\int(X-X^{{(n)}})\, dW). Ponadto

\displaystyle{\mathbb{E}}\Big(\int _{{0}}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)(X_{s}-X_{s}^{{(n)}})\, dW_{s}\Big)^{2} \displaystyle={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)(X_{s}-X_{s}^{{(n)}})^{2}\, ds
\displaystyle\leq{\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}(X_{s}-X_{s}^{{(n)}})^{2}\, ds\rightarrow 0.

Stąd

\int _{0}^{{t\wedge\tau}}X_{s}\, dW_{s}\stackrel{L_{2}(\Omega)}{\longleftarrow}\int _{{0}}^{{t\wedge\tau}}X_{s}^{{(n)}}\, dW_{s}=\int _{{0}}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X_{s}^{{(n)}}\, dW_{s}\stackrel{L_{2}(\Omega)}{\longrightarrow}\int _{0}^{{t}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X_{s}\, dW_{s},

czyli (9.1) spełnione jest i w tym przypadku.

Wniosek 9.1

Dla X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}, proces M:=((\int _{0}^{t}X\, dW)^{2}-\int _{0}^{t}X^{2}\, ds)_{{t\leq T}} jest martyngałem.

Dla X\equiv 1 otrzymujemy znany fakt, że W_{t}^{2}-t jest martyngałem.

Dowód wniosku oparty jest na następującej prostej obserwacji.

Stwierdzenie 9.2

Załóżmy, że M jest adaptowalnym, prawostronnie ciągłym procesem takim, że M_{0}=0 i dla wszystkich t, {\mathbb{E}}|M_{t}|<\infty. Wówczas M jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy {\mathbb{E}}M_{{\tau}}=0 dla wszystkich ograniczonych momentów zatrzymania \tau.

\Rightarrow: Z Twierdzenia Dooba 6.3, {\mathbb{E}}M_{{\tau}}={\mathbb{E}}M_{0}=0.

\Leftarrow: Musimy pokazać, że dla s<t, {\mathbb{E}}(M_{t}|{\mathcal{F}}_{s})=M_{s} p.n., czyli {\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{A}={\mathbb{E}}M_{s}{\mathrm{I}}_{A} dla wszystkich A\in{\mathcal{F}}_{s}. Określmy

\tau:=\left\{\begin{array}[]{ll}s\mbox{ dla }\omega\in A,\\
t\mbox{ dla }\omega\not\in A.\end{array}\right.

Jak łatwo sprawdzić \tau jest momentem zatrzymania, stąd

0={\mathbb{E}}M_{{\tau}}={\mathbb{E}}M_{s}{\mathrm{I}}_{A}+{\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{{A^{c}}}={\mathbb{E}}M_{s}{\mathrm{I}}_{A}-{\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{A},

gdzie ostatnia równość wynika z faktu, że

{\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{{A^{c}}}={\mathbb{E}}M_{t}-{\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{A}=0-{\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{A}.
Dowód Wniosku

Jak wiemy \int X\, dW\in M_{T}^{{2,c}}, czyli proces M jest ciągły, adaptowalny i całkowalny oraz M_{0}=0. Dla ograniczonego momentu zatrzymania \tau\leq T otrzymujemy na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej

{\mathbb{E}}\Big(\int _{{0}}^{{\tau}}X\, dW\Big)^{2}={\mathbb{E}}\Big(\int _{{0}}^{{T}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\, dW\Big)^{2}={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{T}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)X_{s}^{2}\, ds={\mathbb{E}}\int _{{0}}^{{\tau}}X_{s}^{2}\, ds.

Zatem

{\mathbb{E}}M_{{\tau}}={\mathbb{E}}\Big[\Big(\int _{{0}}^{{\tau}}X\, dW\Big)^{2}-\int _{{0}}^{{\tau}}X_{s}^{2}\, ds\Big]=0.

Teza Wniosku wynika ze Stwierdzenia 9.2.

9.2. Uogólnienie definicji całki stochastycznej

Definicja 9.1

Dla T\leq\infty określamy przestrzeń procesów prognozowalnych, lokalnie całkowalnych z kwadratem

\Lambda^{2}_{T}=\Big\{(X_{t})_{{t<T}}-\mbox{ prognozowalny}\colon\ \int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, ds<\infty\mbox{  p.n. dla }0<t<T\Big\}.

Zatem proces prognozowalny X należy do przestrzeni \Lambda^{2}_{T} wtedy i tylko wtedy, gdy

{\mathbb{P}}\Big(\forall _{{t<T}}\,\,\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, ds<\infty\Big)=1.

Przestrzeń \Lambda^{2}_{T} jest liniowa, ale nie jest przestrzenią Hilberta.

Lemat 9.1

Dla X\in\Lambda^{2}_{T} określmy

\tau _{n}:=\inf\Big\{ t\geq 0:\,\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, ds\geq n\Big\}\wedge T\wedge n,\,\, n=1,2,\ldots.

Wówczas (\tau _{n}) jest rosnącym ciagiem momentów zatrzymania, \tau _{n}\nearrow T p.n. Ponadto dla wszystkich n, {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}.

\tau _{n} jest momentem zatrzymania gdyż jest definiowany poprzez moment dojścia przez adaptowalny proces ciągły \int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, ds do zbioru domkniętego [n,\infty). Z założenia o skończoności \int X_{s}^{2}\, ds wynika, że \tau _{n}\nearrow T p.n..

Proces {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, ponadto na mocy nierówności Schwarza i definicji \tau _{n},

{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{T}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}(s)X_{s}\, ds\Big)^{2}={\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{{\tau _{n}}}X_{s}\, ds\Big)^{2}\leq{\mathbb{E}}\Big[\tau _{n}\int _{0}^{{\tau _{n}}}X_{s}^{2}\, ds\Big]\leq n^{2}<\infty.

Załóżmy, że mamy dany rosnący ciąg momentów zatrzymania \tau _{n}\nearrow T p.n. taki, że {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} dla wszystkich n. Niech M_{n}(t):=\int _{{0}}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X_{s}\, dW_{s}. Przypomnijmy też, że przez X^{{\tau}} oznaczamy proces X zatrzymany w chwili \tau (zob. Definicja 4.9).

Lemat 9.2

Dla m\geq n, procesy M_{m}^{{\tau _{n}}} i M_{n} są nierozróżnialne, czyli

{\mathbb{P}}(\forall _{{t\leq T}}\  M_{m}(t\wedge\tau _{n})=M_{n}(t))=1.

Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej dla ustalonego t\leq T,

\displaystyle M_{m}(\tau _{n}\wedge t) \displaystyle=\int _{0}^{{\tau _{n}\wedge t}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{m}]}}X\, dW=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{m}]}}X\, dW
\displaystyle=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW=M_{n}(t).

Zatem M_{m}^{{\tau}} jest modyfikacją M_{n}. Teza lematu wynika z ciągłości obu procesów.

Definicja 9.2

Niech X\in\Lambda^{2}_{T} oraz \tau _{n} będzie rosnącym do T ciągiem momentów zatrzymania takich, że {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} dla wszystkich n. Całką stochastyczną \int X\, dW dla X\in\Lambda^{2}_{T} nazywamy taki proces (M_{t})_{{t<T}}=(\int _{0}^{t}X\, dW)_{{t<T}}, że M^{{\tau _{n}}}_{t}=\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}X\, dW=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW dla n=1,2,\ldots.

Stwierdzenie 9.3

Proces M zdefiniowany powyżej jest jest ciągły i jednoznacznie określony w klasie procesów nieodróżnialnych.

Na mocy Lematu 9.2 dla każdego m>n istnieje zbiór N_{{n,m}} taki, że {\mathbb{P}}(N_{{n,m}})=0 oraz dla \omega\not\in N_{{n,m}} zachodzi M_{n}(t,\omega)=M_{m}(t\wedge\tau _{{n}}(\omega),\omega) dla wszystkich t<T. Niech N:=\bigcup _{{m>n}}N_{{n,m}}, wówczas {\mathbb{P}}(N)=0 oraz dla \omega\notin N, t\leq\tau _{{n}}(\omega) ciąg (M_{{m}}(t,\omega))_{{m\geq n}} jest stały. Zatem możemy (i musimy) położyć M(t,\omega):=M_{n}(t,\omega) dla t\leq\tau _{n}(\omega).

Stwierdzenie 9.4

Definicja \int X\, dW nie zależy od wyboru ciągu \tau _{n} dla X\in\Lambda _{T}^{2}. Dokładniej, jeśli \tau _{n}, \overline{\tau}_{n} - momenty zatrzymania, \tau _{n}\nearrow T, \overline{\tau}_{n}\nearrow T, {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} i {\mathrm{I}}_{{[0,\overline{\tau}_{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} oraz M,\overline{M} określone jak w Definicji 9.2 za pomocą \tau _{n}, \overline{\tau}_{n} odpowiednio, to procesy M i \overline{M} są nierozróżnialne.

Mamy

M_{{t\wedge\tau _{n}}}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW,\quad\overline{M}_{{t\wedge\overline{\tau}_{n}}}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\overline{\tau}_{n}]}}X\, dW.

Na mocy twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej,

M_{{t\wedge\tau _{n}\wedge\overline{\tau}_{n}}}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\overline{\tau}_{n}]}}X\, dW=\overline{M}_{{t\wedge\tau _{n}\wedge\overline{\tau}_{n}}}.

Ponadto \tau _{n}\wedge\overline{\tau}_{n}\nearrow T, więc {t\wedge\tau _{n}\wedge\overline{\tau}_{n}}=t dla n\geq n(\omega) i stąd M_{t}=\overline{M}_{t} p.n., a że są to procesy ciągłe, to są nierozróżnialne.

Sformułujemy teraz uogólnienie twierdzenia o zatrzymaniu całki stochastycznej.

Twierdzenie 9.2

Jeśli X\in\Lambda^{2}_{T}, to dla dowolnego momentu zatrzymania \tau, {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in\Lambda^{2}_{T} oraz

\int _{0}^{{t\wedge\tau}}X\, dW=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\, dW.

Proces {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X jest prognozowalny jako iloczyn procesów prognozowalnych, jest majoryzowany przez X, stąd {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in\Lambda^{2}_{T}. Proces X\in\Lambda^{2}_{T}, więc istnieje ciąg \tau _{n}\nearrow T taki, że {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}. Wtedy też {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}. Niech

M:=\int X\, dW,\quad N:=\int{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\, dW.

Na mocy definicji,

M_{{t\wedge\tau _{n}}}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X,dW,\quad N_{{t\wedge\tau _{n}}}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}X\, dW.

Z udowodnionego wcześniej Twierdzenia 9.1 o zatrzymaniu całki izometrycznej,

M_{{t\wedge\tau\wedge\tau _{n}}}=\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW=N_{{t\wedge\tau _{n}}}.

Biorąc n\rightarrow\infty dostajemy M^{{\tau}}_{{t}}=M_{{t\wedge\tau}}=N_{{t}}, czyli M^{{\tau}}=N.

9.3. Martyngały lokalne

Definicja 9.3

Jeżeli dla procesu adaptowalnego M=(M_{{t}})_{{t<T}}, istnieje ciąg momentów zatrzymania \tau _{n}\nearrow T taki, że M^{{\tau _{n}}} jest martyngałem, to M nazywamy martyngałem lokalnym. Jeśli dodatkowo M^{{\tau _{n}}}\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}, to mówimy, że M jest ciągłym martyngałem lokalnym całkowalnym z kwadratem. Klasę takich procesów oznaczamy {\mathcal{M}}_{{T,{\rm loc}}}^{{2,c}} ({\mathcal{M}}_{{{\rm loc}}}^{{2,c}} jeśli wartość T jest jasna z kontekstu).

Uwaga 9.1

M-M_{0}\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{T,{\rm loc}}} wtedy i tylko wtedy, gdy M-M_{0}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{{T,{\rm loc}}}, gdzie {\mathcal{M}}^{{c}}_{{T,{\rm loc}}} oznacza rodzinę ciągłych martyngałów lokalnych.

Stwierdzenie 9.5

Załóżmy, że M=\int XdW dla X\in\Lambda _{{2}}^{T}. Wówczas
i) M jest procesem ciągłym, M_{0}=0,
ii) M\in{\mathcal{M}}_{{T,{\rm loc}}}^{{2,c}},
iii) Przekształcenie X\rightarrow\int XdW jest liniowe.

Punkty i), ii) wynikają z definicji. By udowodnić iii) weźmy X,Y\in\Lambda _{T}^{2}. Istnieją wówczas momenty zatrzymania \tau _{n}\nearrow T i \overline{\tau}_{n}\nearrow T takie, że {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} oraz {\mathrm{I}}_{{[0,\overline{\tau}_{n}]}}Y\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}. Przyjmując \sigma _{n}:=\overline{\tau}_{n}\wedge\tau _{n}\nearrow T otrzymujemy {\mathrm{I}}_{{[0,\sigma _{n}]}}X,\,{\mathrm{I}}_{{[0,\sigma _{n}]}}Y\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}, a zatem {\mathrm{I}}_{{[0,\sigma _{n}]}}(aX+bY)\in{\mathcal{L}}_{T}^{2} dla dowolnych a,b\in{\mathbb{R}}. Stąd na mocy definicji otrzymujemy, że \int _{0}^{{t\wedge\sigma _{n}}}(aX+bY)\, dW=a\int _{0}^{{t\wedge\sigma _{n}}}X\, dW+b\int _{0}^{{t\wedge\sigma _{n}}}Y\, dW i biorąc granicę n\rightarrow\infty, \int(aX+bY)\, dW=a\int XdW+b\int YdW.

Uwaga 9.2

Martyngał lokalny M=\int X\, dW dla X\in\Lambda _{T}^{2} nie musi być martyngałem, M_{t} nie musi być nawet całkowalne. Ale, jeśli {\mathbb{E}}\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\, ds<\infty dla wszystkich t<T, to M jest martyngałem, bo możemy przyjąć \tau _{n}=t_{n}, gdzie t_{n} jest ciągiem rosnącym zbieżnym do T i wtedy M_{{t\wedge\tau _{n}}}=M_{{t\wedge t_{n}}}\in{\mathcal{M}}_{T}^{{2,c}}.

Uwaga 9.3

Przykłady ciągłych martyngałów lokalnych, które nie są martyngałami są podane w Ćwiczeniach 13.4 i 13.6.

Mimo, że w przypadku ogólnym \int X\, dW nie musi być martyngałem, to zachodzi dla tego procesu nierówność Dooba.

Twierdzenie 9.3 (Nierówność Dooba)

Dla dowolnego procesu X\in\Lambda _{{2}}^{T} oraz momentu zatrzymania \tau\leq T,

{\mathbb{E}}\sup _{{t<\tau}}\Big(\int _{0}^{t}X\, dW\Big)^{2}\leq 4{\mathbb{E}}\int _{0}^{{\tau}}X_{s}^{2}\, ds.

Weźmy \tau _{n}\nearrow T takie, że {\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{L}}_{T}^{2}. Mamy

\displaystyle{\mathbb{E}}\sup _{{t<\tau}} \displaystyle\Big(\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}X\, dW\Big)^{2}={\mathbb{E}}\sup _{{t<\tau}}\Big(\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW\Big)^{2}
\displaystyle={\mathbb{E}}\sup _{{t<T}}\Big(\int _{0}^{{t\wedge\tau}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW\Big)^{2}={\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}\Big(\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW\Big)^{2},

{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{T}, więc t<T można zamienić na t\leq T. Na mocy nierówności Dooba dla martyngałów,

\displaystyle{\mathbb{E}}\sup _{{t\leq T}}\Big(\int _{0}^{t}{\mathrm{I}}_{{[0,T]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW\Big)^{2} \displaystyle\leq 4{\mathbb{E}}\Big(\int _{0}^{T}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X\, dW\Big)^{2}
\displaystyle=4{\mathbb{E}}\int _{0}^{T}({\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau _{n}]}}X_{s})^{2}\, ds=4{\mathbb{E}}\int _{0}^{{\tau\wedge\tau _{n}}}X_{s}^{2}\, ds
\displaystyle\leq 4{\mathbb{E}}\int _{0}^{{\tau}}X_{s}^{2}\, ds.

Wykazaliśmy zatem, że

{\mathbb{E}}\sup _{{t<\tau}}\Big(\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}X\, dW\Big)^{2}\leq 4{\mathbb{E}}\int _{0}^{{\tau}}X_{s}^{2}\, ds.

Ponieważ

\sup _{{t<\tau}}\Big(\int _{0}^{{t\wedge\tau _{n}}}X\, dW\Big)^{2}=\sup _{{t<\tau\wedge\tau _{n}}}\Big(\int _{0}^{{t}}X\, dW\Big)^{2}\nearrow\sup _{{t<\tau}}\Big(\int _{0}^{{t}}X\, dW\Big)^{2},

więc teza wynika z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej.

Stwierdzenie 9.6

a) Każdy ograniczony martyngał lokalny jest martyngałem.
b) Każdy nieujemny martyngał lokalny jest nadmartyngałem.

Załóżmy, że \tau _{n}\nearrow T jest ciągiem momentów zatrzymania takim, że dla każdego n, M^{{\tau _{n}}} jest martyngałem. Ustalmy s<t<T oraz A\in{\mathcal{F}}_{s}.

a) Jeśli M jest ograniczony, to z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej,

{\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{A}\leftarrow{\mathbb{E}}M_{{\tau _{n}\wedge t}}{\mathrm{I}}_{A}={\mathbb{E}}M^{{\tau _{n}}}_{t}{\mathrm{I}}_{A}={\mathbb{E}}M^{{\tau _{n}}}_{s}{\mathrm{I}}_{A}={\mathbb{E}}M_{{\tau _{n}\wedge s}}{\mathrm{I}}_{A}\rightarrow{\mathbb{E}}M_{s}{\mathrm{I}}_{A},

stąd M jest martyngałem.

b) Jeśli M jest nieujemny, to

\displaystyle{\mathbb{E}}M_{s}{\mathrm{I}}_{A} \displaystyle=\lim _{{n\rightarrow\infty}}{\mathbb{E}}M_{s}{\mathrm{I}}_{{A\cap\{\tau _{n}>s\}}}=\lim _{{n\rightarrow\infty}}{\mathbb{E}}M_{{s}}^{{\tau _{n}}}{\mathrm{I}}_{{A\cap\{\tau _{n}>s\}}}=\lim _{{n\rightarrow\infty}}{\mathbb{E}}M_{{t}}^{{\tau _{n}}}{\mathrm{I}}_{{A\cap\{\tau _{n}>s\}}}
\displaystyle\geq{\mathbb{E}}\lim _{{n\rightarrow\infty}}M_{{t}}^{{\tau _{n}}}{\mathrm{I}}_{{A\cap\{\tau _{n}>s\}}}={\mathbb{E}}M_{t}{\mathrm{I}}_{A},

gdzie korzystaliśmy z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, tego, że M^{{\tau _{n}}} jest martyngałem i A\cap\{\tau _{n}>s\}\in{\mathcal{F}}_{s} oraz z lematu Fatou.

9.4. Zadania

Ćwiczenie 9.1

Niech \tau będzie momentem zatrzymania takim, że {\mathbb{E}}\tau<\infty. Wykaż, że {\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}\in{\cal L}^{{2}}_{{\infty}} oraz \int _{{0}}^{{\infty}}{\mathrm{I}}_{{[0,\tau]}}(s)dW_{{s}}=W_{{\tau}}. Wywnioskuj stąd, że {\mathbb{E}}W_{{\tau}}=0 oraz {\mathbb{E}}W_{{\tau}}^{{2}}={\mathbb{E}}\tau.

Ćwiczenie 9.2

Dla a,b>0 określmy \tau:=\inf\{ t:|W_{{t}}|=a\sqrt{b+t}\}. Wykaż, że \tau<\infty p.n. oraz {\mathbb{E}}\tau<\infty wtedy i tylko wtedy gdy a<1. Ponadto dla a<1, {\mathbb{E}}\tau=\frac{a^{{2}}b}{1-a^{{2}}}.

Ćwiczenie 9.3

Wykaż, że dla X\in\Lambda^{{2}}_{{T}}, (\int X\, dW)^{2}-\int X^{2}\, ds jest ciągłym martyngałem lokalnym.

Ćwiczenie 9.4

Niech X\in\Lambda^{{2}}_{{T}}, 0\leq t<s\leq T oraz \xi będzie zmienną losową {\mathcal{F}}_{{t}}-mierzalną (niekoniecznie ograniczoną). Wykaż, że \xi X{\mathrm{I}}_{{(t,s]}}\in\Lambda^{{2}}_{{T}} oraz \int _{{t}}^{{s}}\xi XdW=\xi\int _{{t}}^{{s}}XdW.

Ćwiczenie 9.5

Znajdź proces X\in\Lambda^{{2}}_{T} taki, że \int _{{0}}^{{t}}X_{s}dW_{s} nie jest martyngałem.

Ćwiczenie 9.6

Wykaż, że M-M_{0}\in{\mathcal{M}}^{{c}}_{{\mathrm{loc}}} wtedy i tylko wtedy, gdy M-M_{0}\in{\mathcal{M}}^{{2,c}}_{{\mathrm{loc}}}.

Ćwiczenie 9.7

Niech X będzie martyngałem lokalnym takim, że |X_{{t}}|\leq Y dla wszystkich t oraz {\mathbb{E}}Y<\infty. Wykaż, że X jest martyngałem.

Ćwiczenie 9.8

Podaj przykład nieujemnego całkowalnego ciągłego martyngału lokalnego, który nie jest martyngałem.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.