Przyjmujemy założenia Z̃1 – Z̃6. Wówczas dwa poniższe ciągi mają tą samą granicę:
![]() |
Zatem dla pojedynczej współrzędnej otrzymujemy
![]() |
Oznaczenie. Błąd standardowy estymatora będziemy oznaczać przez
![]() |
Testujemy hipotezę wobec hipotezy alternatywnej
, gdzie
ustalona liczba rzeczywista.
Jako statystykę testową przyjmujemy stosunek odchylenia estymatora od wartości testowej i błędu standardowego estymatora
![]() |
Przy założeniach Z̃1 – Z̃6 i
![]() |
Dowód.
Ponieważ zbiega według rozkładu do
a
prawie napewno do
, to otrzymujemy
![]() |
Reguła decyzyjna dla zadanego poziomu istotności .
1. Na podstawie próbki wyznaczamy realizację statystyki testowej
.
2. Wyznaczamy wartość krytyczną jako kwantyl rozkładu normalnego
![]() |
gdzie oznacza dystrybuantę rozkładu
.
3. Jeżeli to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
.
Jeżeli to odrzucamy
na rzecz
.
Uwaga.
Powyższa reguła jest zgodna z regułami przedstawionymi w rozdziale 5.1, gdyż rozkład t-Studenta wraz ze wzrostem liczby stopni swobody zbiega do standardowego rozkładu normalnego
![]() |
Zajmiemy sie teraz testowaniem hipotezy, że nieznany parametr spełnia
niezależnych warunków liniowych.
Czyli, że należy do podprzestrzeni afinicznej kowymiaru
.
Niech macierz o współczynnikach rzeczywistych wymiaru
, rzędu
, gdzie
,
a
wektor kolumnowy wymiaru
.
Testujemy hipotezę
![]() |
wobec
![]() |
Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę Walda
![]() |
Przy założeniach Z̃1 – Z̃6 i
![]() |
gdzie oznacza rozkład chi-kwadrat z
stopniami swobody.
Dowód.
Zapiszemy statystykę jako
![]() |
gdzie
![]() |
Hipoteza zerowa implikuje, że
i
![]() |
Zatem (Tw. 9.1 b.)
![]() |
Natomiast zbiega do pewnej macierzy deterministycznej
(Tw. 9.1 d.)
![]() |
Ponieważ asymptotyczna macierz wariancji jest dodatnio określona, a wiersze macierzy
są liniowo niezależne (macierz
ma rząd
),
to
macierz
jest odwracalna (jest to macierz Grama wierszy macierzy
).
Zatem przechodząc do granicy otrzymujemy
![]() |
Zauważmy, że statystyka Walda daje się wyrazić przez F-statystykę stosowaną w modelu klasycznym (Tw. 5.2)
![]() |
W przypadku gdy spełnione są zarówno aksjomaty modelu klasycznego jak i modelu dużej próbki, to
oba podejścia są zgodne. Rzeczywiście gdy , to
![]() |
a zatem
![]() |
Podobnie jak w modelu klasycznym możemy wyrazić statystykę za pomocą sum kwadratów reszt.
Niech
suma kwadratów reszt dla modelu spełniającego ograniczenie
. Wówczas
![]() |
W modelu z wyrazem stałym () współczynnik determinacji daje się wyrazić za pomocą statystyki
wyznaczonej dla
warunków
,
![]() |
Zatem, po przejściu z do granicy otrzymujemy
![]() |
Metoda delty (Tw. 8.4) pozwala uogólnić test Walda na przypadek zależności nieliniowych.
Niech oznacza submersję
![]() |
tzn. odwzorowanie klasy o maksymalnym rzędzie pochodnej
![]() |
Dla ustalenia uwagi przyjmiemy, że jest wektorem kolumnowym.
Będziemy testować hipotezę
![]() |
wobec hipotezy alternatywnej
![]() |
Jako statystykę testową przyjmujemy statystykę Walda
![]() |
Przy założeniach Z̃1 – Z̃6 i
![]() |
gdzie oznacza rozkład chi-kwadrat z
stopniami swobody.
Dowód.
Z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym (Tw. 8.2) i założenia otrzymujemy, że
![]() |
Zatem możemy zastosować metodę delty (Tw. 8.4)
![]() |
Z założeń modelowych wynika, że
![]() |
a z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym, że
![]() |
Z powyższego wynika, że
![]() |
Ponieważ macierz pochodnych ma rząd to
macierz
jest odwracalna.
Zatem statystyka
jest dobrze zdefiniowana i
![]() |
Rozważamy model liniowy
![]() |
gdzie jest
wymiarowym wektorem wierszowym.
Niech
![]() |
wektor złożony z wybranych elementów macierzy
,
i wyrazu stałego.
Załóżmy, że proces
spełnia warunki Z̃1 – Z̃6 modelu dużej próbki,
w szczególności, że istnieją wektor
i składnik losowy
takie, że
![]() |
Testujemy hipotezę
![]() |
wobec hipotezy alternatywnej
![]() |
W teście White reguła decyzyjna opiera się na fakcie, że przy załóżeniu
![]() |
gdzie współczynnik determinacji wyznaczony dla modelu pomocniczego
![]() |
w którym
składnik losowy zastąpiono składnikiem resztowym
z metody MNK.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.