Rozkład współczynników autokowariancji i autokorelacji empirycznych. Statystyki Ljunga-Boxa i Boxa-Pierce'a.
(1 wykład)
Niech skalarny proces stochastyczny (szereg czasowy), stacjonarny, ergodyczny i klasy
. Dodatkowo założymy, że zmienne losowe
nie są stałe (deterministyczne).
Ze stacjonarności wynika, że kowariancja i
zależy tylko od różnicy
.
-tym współczynnikiem autokowariancji nazywamy kowariancję zmiennych losowych
odległych o
![]() |
Jak łatwo zauważyć
![]() |
oraz
![]() |
-tym współczynnikiem autokorelacji nazywamy współczynnik korelacji zmiennych losowych
odległych o
![]() |
Naszym celem jest
estymacja współczynników autokowariancji i autokorelacji na podstawie -elementowej próbki
,
.
Będziemy korzystali z następujących estymatorów:
![]() |
![]() |
Z ergodyczności procesu wynika, że estymatory
i
są zgodne
![]() |
Przy pewnych dodatkowych założeniach można pokazać, że estymatory i
są asymptotycznie normalne.
Niech
![]() |
gdzie jest pewną stałą,
a stacjonarny i ergodyczny proces
jest ciągiem przyrostów martyngałowych takim, że
![]() |
Wówczas dla każdego
![]() |
![]() |
gdzie
![]() |
Dowód.
Zaczniemy od wyznaczenia pierwszego i drugiego momentu oraz kowariancji
i
dla
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Podsumowując
![]() |
![]() |
a zatem
![]() |
Następnie zajmiemy się badaniem procesów iloczynów
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
zatem wszystkie procesy są ciągami przyrostów martyngałowych.
Wyznaczymy wariancję
i kowariancję
i
dla
![]() |
![]() |
![]() |
Oznaczmy przez wektor o wyrazach
dla
od 1 do
![]() |
Proces jest stacjonarnym i ergodycznym ciągiem przyrostów martyngałowych o skończonej sferycznej wariancji
![]() |
Zatem na mocy Centralnego Twierdzenia Granicznego (Tw. 8.6)
![]() |
Zauważmy, że
![]() |
zatem, również
![]() |
Natomiast
![]() |
Ponieważ
![]() |
to
![]() |
W praktycznych zastosowaniach wygodniej jest stosować statystyki 1-wymiarowe.
Przykładem są statystyki :
Boxa-Pierce'a
![]() |
i Ljunga-Boxa
![]() |
Rozważamy model liniowy z wyrazem wolnym
![]() |
spełniający warunki Z̃1 – Z̃5.
Niech będzie estymatorem MNK wyznaczonym na podstawie próbki
-elementowej, a
składnikiem resztowym
![]() |
Przyjmiemy następujące oznaczenia: i
współczynniki autokowariancji i autokorelacji składnika losowego
![]() |
i
współczynniki ”próbkowe” autokowariancji i autokorelacji składnika losowego
![]() |
i
współczynniki próbkowe autokowariancji i autokorelacji składnika losowego
![]() |
Proces jest stacjonarny i ergodyczny zatem dla każdego
![]() |
Niestety, składnik jest nieobserwowalny. Znamy tylko składnik resztowy
,
zatem jako ewentualne estymatory można rozważać
i
.
Pytanie?
Czy można zastąpić w statystyce
współczynniki ”próbkowe” autokorelacji składnika losowego
, przez
współczynniki ”próbkowe” autokorelacji składnika resztowego
, nie psując własności tej statystyki?
Okazuje się, że przy dodatkowych założeniach odpowiedź jest pozytywna.
![]() |
Dowód.
Skorzystamy z zależności
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Natomiast dla mamy
![]() |
![]() |
Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek ścisłej egzogeniczności (Z2)
![]() |
to
![]() |
Dowód.
Zauważmy, że ze ścisłej egzogeniczności wynika, że
![]() |
Niech będzie pewną zmienną losową o rozkładzie
. Wówczas
![]() |
![]() |
![]() |
Zbieżność do zera według rozkładu implikuje zbieżność do 0 według prawdopodobieństwa, zatem
![]() |
Dowód zbieżności dla przebiega analogicznie jak w poprzednim lemacie.
Przy założeniach lematu 11.2
statystyka policzona dla
jest asymptotycznie równoważna statystyce
policzonej dla
, zatem obie zbiegają według rozkładu do
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.