Teoria dużej próbki cd. Przykład: Teoria racjonalnych oczekiwań. (1 wykład)
Określenie.
Mówimy, że rynek jest efektywny, gdy w sposób efektywny wykorzytywana jest posiadana informacja.
Ceny na efektywnym rynku ”w pełni” odzwierciedlają dostępne informacje.
Przeanalizujemy przykład E.Fama, aby sprawdzić na ile rynek amerykańskich bonów skarbowych jest efektywny.
Ograniczymy się do bonów jednomiesięcznych.
Charakterystyka instrumentu: czas życia 1 miesiąc,
wypłata 100 USD,
zakup z dyskontem.
Podstawą analizy będą dane miesięczne: – numer kolejny miesiąca;
– cena bonu na początku miesiąca
;
– indeks cen konsumenta (CPI) na początku miesiąca
(por. [10], §1.4).
Na ich podstawie wyznaczamy: – miesięczną stopę zwrotu dla bonów w miesiącu
![]() |
– miesięczną stopę inflacji od początku miesiąca
do początku miesiąca
![]() |
– realną stopę zwrotu w miesiącu
(por.[10], §1.4)
![]() |
Ze względu na małą inflację będziemy stosowali wzór przybliżony
![]() |
Ponadto w analizie uwzględnimy wielkości nieobserwowalne: – prognozowaną (oczekiwaną) na początku miesiąca
stopę inflacji w miesiącu
(
jest prognozą
);
– błąd prognozy inflacji
![]() |
– prognozowaną (oczekiwaną) na początku miesiąca
realną stopę zwrotu z bonów w miesiącu
(
jest prognozą
);
![]() |
– zasób informacji dostępny dla inwestorów na początku miesiąca
a) | ![]() |
|||
b) | ![]() |
Własność b) oznacza, że agenci nie zapominają informacji z poprzednich miesięcy.
modelujemy jako
-ciała, natomiast
modelujemy jako zmienne losowe klasy
mierzalne względem
.
Hipoteza efektywnego rynku opiera się na dwóch założeniach:
E1. Racjonalne oczekiwania inflacyjne
![]() |
E2. Stała oczekiwana realna stopa zwrotu
![]() |
Przeanalizujemy wnioski jakie wynikają z założeń E1 i E2.
a) | ![]() |
|||
b) | ![]() |
|||
c) | ![]() |
Dowód.
Ad a.
![]() |
Punkt b wynika z faktu, że dla zmienna losowa
jest
mierzalna zatem
![]() |
Punkt c wynika z a i b.
![]() |
![]() |
Szczególnie ważne są wnioski dotyczące wielkości obserwowalnych gdyż można je przetestować.
a) | ![]() |
|||
b) | ![]() |
|||
c) | ![]() |
|||
d) | ![]() |
Dowód.
Zauważmy, że z przyjętych założeń wynika co następuje
![]() |
Z drugiej strony
![]() |
zatem
![]() |
Ponieważ stopa jest deterministyczna to
![]() |
Ponadto proces jest ciągiem przyrostów martyngałowych, zatem nie jest on autoskorelowany i to samo dotyczy procesu
.
Punkt d wynika z faktu, że
![]() |
Zatem
![]() |
Fam poddał analizie dane z okresu styczeń 1953 – lipiec 1971 obejmującego 223 miesiące.
W oparciu o próbę z 223 miesięcy wyznaczamy
współczynniki autokorelacji szeregu czasowego , a następnie
statystyki
Ljunga-Boxa dla
współczynników autokorelacji.
Wyniki przedstawione są w tabeli 12.1. W ostatniej kolumnie są przedstawione ”asymptotyczne”
-wartości (
-value)
wyznaczone według wzoru
![]() |
gdzie dystrybuanta rozkładu chi kwadrat z
stopniami swobody (granicznego rozkładu
gdy wielkość próbki rośnie do nieskończoności).
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|
1 | -0,101 | 2,3 | 0,128 |
2 | 0,172 | 9,1 | 0,011 |
3 | -0,019 | 9,1 | 0,027 |
4 | -0,004 | 9,1 | 0,058 |
5 | -0,064 | 10,1 | 0,073 |
6 | -0,021 | 10,2 | 0,117 |
7 | -0,091 | 12,1 | 0,096 |
8 | 0,094 | 14,2 | 0,076 |
9 | 0,094 | 16,3 | 0,061 |
10 | 0,019 | 16,4 | 0,089 |
11 | 0,004 | 16,4 | 0,128 |
12 | 0,207 | 26,5 | 0,009 |
Otrzymane -wartości
należą do przedziału
co można uznać za potwierdzenie hipotezy o braku autokorelacji.
Z założeń modelu wynika, że stopa inflacji i nominalna stopa zwrotu
są związane zależnością liniową
![]() |
gdzie jest stałą, a
można interpretować jako składnik losowy.
Aby zweryfikować powyższą równość wyznaczymy parametry strukturalne modelu regresji z wyrazem wolnym
![]() |
(12.1) |
a następnie przetestujemy prawdziwość hipotezy
![]() |
Sprawdzamy czy dla modelu opisanego równaniem 12.1 spełnione są założenia modelu dużej próbki Z̃1-Z̃6.
Warunek Z̃1.
Kładziemy ,
i
, otrzymujemy
![]() |
Warunek Z̃2.
Stacjonarność i ergodyczność procesu przyjmujemy (,,na wiarę”) po analizie wykresu.
Warunek Z̃3.
![]() |
Zatem
![]() |
Warunek maksymalnego rzędu jest spełniony gdyż
![]() |
Warunek Z̃4.
Kładziemy
![]() |
podobnie
![]() |
Zatem czyli spełniony jest warunek ortogonalności.
Warunek Z̃5.
Zauważmy, że dla każdego zmienna losowa
jest
mierzalna, a więc
![]() |
Zatem
![]() |
czyli proces jest ciągiem przyrostów martyngałowych.
Warunek Z̃6.
Warunkową homoskedastyczność przyjmujemy dla uproszczenia analizy modelu. Tym samym przyjmujemy odwracalność macierzy .
Na podstawie badanej próbki wyznaczamy estymator MNK parametrów i
![]() |
Błąd standardowy wynosi 0,1227 zatem statystyka testowa
![]() |
Zatem -wartość wynosi około 90%, czyli bez problemu możemy zaakceptować hipotezę
.
Omówione powyżej testy potwierdzają hipotezę o efektywności rynku bonów w latach 1953 – 1971.
Obserwacje w latach następnych nie potwiedziły już tej własności rynku. Można to tłumaczyć dużymi skokami inflacji
i zdecydowaną interwencją FED na rynku.
Zauważmy ponadto, że powyższy przykład nie może być modelowany w terminach klasycznego modelu regresji gdyż nie jest spełniony warunek ścisłej egzogeniczności Z2.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.