Zagadnienia

15.1 Wstęp.
15.2 Ogólne własności modelu GARCH(1,1).
15.3 Ograniczenia na parametry modelu GARCH(1,1).
15.4 Stacjonarność modeli GARCH.

15. Nieliniowe szeregi czasowe

Modele uwzględniające heteroskedastyczność - GARCH. (1 wykład)

15.1. Wstęp.

Zmienność odchyleń standardowych (heteroscedasticity) zwrotów finansowych powoduje, że do ich opisu należy stosować bardziej skomplikowane modele stochastyczne niż model błądzenia przypadkowego, na przykład modele z rodziny GARCH. Są to modele nieliniowe. Ponadto, oprócz badanej wielkości, np. przyrostów logarytmicznych kursów walutowych, wprowadza się zmienne pomocnicze, których nie można bezpośrednio mierzyć.

Najprostszy model z tej rodziny, GARCH(1,1), jest opisany następująco:
Rozważamy dwa ciągi zmiennych losowych $r_{t}$ i $h_{t}$ . Wartość $r_{t}$ poznajemy w momencie $t$ , a $h_{t}$ jest zmienną pomocniczą. Są one związane wzorami

$r_{t}=\sqrt{h_{t}}\cdot\varepsilon _{t},$

$h_{t}=a+bh_{{t-1}}+cr_{{t-1}}^{2},\;\;\; t\in\mathbb{Z},$

gdzie $a,b,c$ są parametrami modelu a $\varepsilon _{t}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1.
$\sqrt{h_{t}}$ można interpretować jako zmienne odchylenie standardowe zmiennych losowych $r_{t}$ .

Indeksy 1,1 w nazwie modelu oznaczają, że $h_{t}$ zależy liniowo od $h_{{t-1}}$ i $r_{{t-1}}^{2}$ . W literaturze są badane również modele GARCH(p,q)

$r_{t}=\sqrt{h_{t}}\cdot\varepsilon _{t},\;\;\; t\in\mathbb{Z},$

$h_{t}=a+b_{1}h_{{t-1}}+\dots+b_{p}h_{{t-p}}+c_{1}r_{{t-1}}^{2}+\dots+c_{q}r_{{t-q}}^{2}.$

15.2. Ogólne własności modelu GARCH(1,1).

Model GARCH pozwala w prosty sposób wyliczać warunkową wartość oczekiwaną i warunkowe momenty zmiennej $r_{t}$ . Dla uproszczenia przyjmiemy, że inowacje $\varepsilon _{t}$ mają rozkład normalny

$\forall t\;\;\;\varepsilon _{t}\sim N(0,1).$

Oznaczmy przez $E_{t}(\cdot)$ wartość oczekiwaną wyznaczoną gdy znane są już wartości $r_{i}$ dla $i\leq t$ . Zauważmy, że dla każdego $t$ $h_{t}$ i $\varepsilon _{t}$ są niezależne zatem

$E_{t}(r_{{t+k}}^{{2m-1}})=E_{t}(h_{{t+k}}^{{m-1/2}})\cdot E_{t}(\varepsilon _{{t+k}}^{{2m-1}})=0,$

$E_{t}(r_{{t+k}}^{{2m}})=E_{t}(h_{{t+k}}^{{m}})\cdot E_{t}(\varepsilon _{{t+k}}^{{2m}})=1\cdot 3\cdot\dots\cdot(2m-1)\cdot E_{t}(h_{{t+k}}^{{m}}).$

Wynika, to z założenia, $\varepsilon _{t}$ nie zależą od historii i mają rozkład normalny $N(0,1)$

$E_{t}(\varepsilon _{{t+k}}^{{m}})=E(\varepsilon _{{t+k}}^{{m}})=\left\{\begin{array}[]{cl}0&m=1,3,5,7,\dots\\ 1\cdot 3\cdot 5\cdot\dots\cdot(m-1)&m=2,4,6,\dots\end{array}\right.$

(patrz [12] str.60 lub [11] §18.8-3.)

Zauważmy, że $h_{{t+1}}$ jest wyznaczone przez $h_{1}$ i wartości historyczne $r_{i}$ , $i\leq t$ . Zatem przy prognozowaniu o jeden krok naprzód, mamy

$E_{t}(r_{{t+1}}^{{2m}})=h_{{t+1}}^{m}\cdot 1\cdot 3\cdot\dots(2m-1)$

gdzie $h_{{t+1}}=a+bh_{t}+cr_{t}^{2}$ .

Dla $k>1$ korzystamy ze wzoru

$h_{{t+1}}=a+bh_{t}+ch_{t}\varepsilon _{t}^{2}.$

Co daje nam

$E_{t}(h_{{t+k}})=a+(b+c)E_{t}(h_{{t+k-1}}).$

Oznaczmy przez $A_{k}$ warunkową wartość oczekiwaną $E_{t}(h_{{t+k}})$ . Zależność rekurencyjna

$A_{k}=a+(b+c)A_{{k-1}},\;\; k=2,3,\dots,\;\;\; A_{1}=h_{{t+1}}>0$

wyznacza jednoznacznie $A_{k}$ .
Jeśli $b+c=1$ to

$A_{k}=(k-1)a+A_{1};$

gdy $b+c\neq 1$ to

$A_{k}=\frac{a}{1-b-c}+(b+c)^{{k-1}}(A_{1}-\frac{a}{1-b-c}).$

Zauważmy, że w przypadku gdy $b+c=1$ i $a=0$ ciąg $A_{k}$ jest stały, a gdy $b+c=1$ i $a>0$ rozbieżny liniowo do nieskończoności.
Gdy $|b+c|<1$ to ciąg $A_{k}$ jest zbieżny do

$A_{{\infty}}=\frac{a}{1-b-c},$

a gdy $|b+c|>1$ to ciąg $A_{k}$ jest rozbieżny wykładniczo.

Aby wyznaczyć czwarty moment $r_{t}$ , czyli drugi $h_{t}$ , korzystamy ze wzoru

$h_{{t+1}}^{2}=a^{2}+2a(b+c\varepsilon _{t}^{2})\cdot h_{t}+(b+c\varepsilon _{t}^{2})^{2}h_{t}^{2}.$

Otrzymujemy

$E_{t}(h_{{t+k}}^{2})=a^{2}+2a(b+cE_{t}(\varepsilon _{{t+k-1}}^{2}))\cdot E_{t}(h_{{t+k-1}})+(b^{2}+2bcE_{t}(\varepsilon _{{t+k-1}}^{2})+c^{2}E_{t}(\varepsilon _{{t+k-1}}^{4})\cdot E_{t}(h_{{t+k-1}}^{2}).$

Oznaczmy przez $B_{k}$ warunkowy moment $E_{t}(h_{{t+k}}^{2})$ . Wówczas mamy zależność

$B_{k}=a^{2}+2a(b+c)A_{{k-1}}+((b+c)^{2}+2c^{2})B_{{k-1}},\;\; B_{1}=h^{2}_{{t+1}}\neq 0.$

Gdy $b+c=1$ to

$B_{k}=a^{2}+2a((k-1)a+A_{1})+(1+2c^{2})B_{{k-1}}.$

Zatem gdy $c\neq 0$ to ciąg $B_{k}$ jest rozbieżny. W szczególności model wzorowany na Risk Metrics ( $a=0$ , $b=0,94$ i $c=0,06$ ) jest rozbieżny.

Zauważmy, że ograniczność czwartego momentu jest zagwarantowana gdy
$(b+c)^{2}+2c^{2}<1$ . Wówczas $B_{k}$ zbiega do

$B_{{\infty}}=\frac{a^{2}(1+b+c)}{(1-b-c)(1-(b+c)^{2}-2c^{2})}.$

Otrzymujemy w ten sposób następujący wzór na asymptotyczną kurtozę:

$\frac{3B_{{\infty}}}{A_{{\infty}}^{2}}=\frac{3(1-(b+c)^{2})}{1-(b+c)^{2}-2c^{2}}=3+\frac{6c^{2}}{1-(b+c)^{2}-2c^{2}}.$

15.3. Ograniczenia na parametry modelu GARCH(1,1).

Ograniczenia na parametry modelu wynikają z naturalnych założeń dotyczących ograniczoności procesu. Zakładamy, że istnieją granice warunkowych wartości oczekiwanych

$\lim _{{k\rightarrow\infty}}E_{t}(h_{{t+k}}),\;\;\mbox{ i }\;\;\lim _{{k\rightarrow\infty}}E_{t}(h_{{t+k}}^{2}).$

Pierwsza granica istnieje gdy $b+c<1$ i zachodzi wówczas

$\lim _{{k\rightarrow\infty}}E_{t}(h_{{t+k}})=\frac{a}{1-b-c}.$

Druga gdy $(b+c)^{2}+2c^{2}<1$ , wówczas

$\lim _{{k\rightarrow\infty}}E_{t}(h_{{t+k}}^{2})=\frac{a^{2}(1+b+c)}{(1-b-c)(1-(b+c)^{2}-2c^{2})}.$

Natomiast założenie o rozkładzie $\varepsilon _{t}$ możemy osłabić. Istotne są tylko następujące warunki

$E(\varepsilon _{t})=0,\;\;\; E(\varepsilon _{t}^{2})=1,\;\;\; E(\varepsilon _{t}^{3})=0,\;\;\; E(\varepsilon _{t}^{4})=3.$

15.4. Stacjonarność modeli GARCH.

Nie dla wszystkich modeli GARCH istnieją rozwiązania stacjonarne. Potrzebne są dodatkowe warunki na parametry (patrz [14] §3.3.1). Przykładowo dla modelu GARCH(1,1) zachodzi:

Twierdzenie 15.1

Następujące warunki są równoważne:
1. Model GARCH(1,1) z parametrami $a,b,c$ ma dokładnie jedno nieujemne rozwiązanie stacjonarne $(r_{t},h_{t})$ .
2. Parametry $a,b,c$ są nieujemne i spełnione jest oszacowanie

$E(ln(b\varepsilon _{t}^{2}+c))<0.$

Momenty rozwiązania stacjonarnego można stosunkowo łatwo wyznaczyć.

Twierdzenie 15.2

Niech $(r_{t},h_{t})$ będzie stacjonarnym procesem GARCH(1,1) z parametrami $a,b,c$ . Przy założeniu

$E(\varepsilon _{t})=0,\;\;\; E(\varepsilon _{t}^{2})=1,\;\;\; E(\varepsilon _{t}^{3})=0,\;\;\; E(\varepsilon _{t}^{4})=3,$

otrzymujemy:
A. Gdy $b+c<1$ to

	$\displaystyle 1.$		$\displaystyle E(h_{t})=\frac{a}{1-b-c};$
	$\displaystyle 2.$		$\displaystyle E(r_{t})=0;$
	$\displaystyle 3.$		$\displaystyle D^{2}(r_{t})=E(r_{t}^{2})=\frac{a}{1-b-c};$
	$\displaystyle 4.$		$\displaystyle cov(r_{t},r_{{t+k}})=0\;\;\; k=1,2,\dots.$

B. Gdy ponadto $(b+c)^{2}+2c^{2}<1$ to

	$\displaystyle 5.$		$\displaystyle E(h_{t}^{2})=\frac{a^{2}(1+b+c)}{(1-b-c)(1-(b+c)^{2}-2c^{2})};$
	$\displaystyle 6.$		$\displaystyle D^{2}(h_{t})=\frac{2a^{2}c^{2}}{(1-b-c)^{2}(1-(b+c)^{2}-2c^{2})};$
	$\displaystyle 7.$		$\displaystyle cov(h_{t},h_{{t+k}})=(b+c)^{k}D^{2}(h_{t})\;\;\;\; k=1,2,\dots;$
	$\displaystyle 8.$		$\displaystyle E(r_{t}^{4})=3E(h_{t}^{2});$
	$\displaystyle 9.$		$\displaystyle D^{2}(r_{t}^{2})=\frac{2a^{2}(1-b^{2}-bc)}{(1-b-c)^{2}(1-(b+c)^{2}-2c^{2})};$
	$\displaystyle 10.$		$\displaystyle cov(r_{t}^{2},r_{{t+1}}^{2})=\frac{c(1-b^{2}-bc)}{1-b^{2}-2bc}D^{2}(r_{t}^{2});$
	$\displaystyle 11.$		$\displaystyle cov(r_{t}^{2},r_{{t+k}}^{2})=(b+c)^{{k-1}}cov(r_{t}^{2},r_{{t+1}}^{2})\;\;\; k=2,3,\dots.$