Modele uwzględniające heteroskedastyczność - GARCH. (1 wykład)
Zmienność odchyleń standardowych (heteroscedasticity) zwrotów finansowych
powoduje, że do ich opisu należy stosować bardziej skomplikowane
modele stochastyczne niż model błądzenia przypadkowego,
na przykład modele z rodziny GARCH.
Są to modele nieliniowe. Ponadto,
oprócz badanej wielkości, np. przyrostów logarytmicznych
kursów walutowych, wprowadza się zmienne pomocnicze,
których nie można bezpośrednio mierzyć.
Najprostszy model z tej rodziny, GARCH(1,1), jest opisany następująco:
Rozważamy dwa ciągi zmiennych losowych i
.
Wartość
poznajemy w momencie
, a
jest zmienną pomocniczą.
Są one związane wzorami
![]() |
![]() |
gdzie są parametrami modelu a
są niezależnymi
zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1.
można interpretować
jako zmienne odchylenie standardowe
zmiennych losowych
.
Indeksy 1,1 w nazwie modelu oznaczają, że zależy liniowo
od
i
. W literaturze
są badane również modele GARCH(p,q)
![]() |
![]() |
Model GARCH pozwala w prosty sposób wyliczać warunkową
wartość oczekiwaną i warunkowe momenty zmiennej . Dla uproszczenia przyjmiemy, że
inowacje
mają rozkład normalny
![]() |
Oznaczmy przez wartość oczekiwaną wyznaczoną gdy znane
są już wartości
dla
. Zauważmy, że dla każdego
i
są niezależne zatem
![]() |
![]() |
Wynika, to z założenia, nie zależą od
historii i mają rozkład normalny
![]() |
Zauważmy, że jest wyznaczone przez
i wartości
historyczne
,
. Zatem przy prognozowaniu o jeden krok
naprzód, mamy
![]() |
gdzie .
Dla korzystamy ze wzoru
![]() |
Co daje nam
![]() |
Oznaczmy przez warunkową wartość oczekiwaną
.
Zależność rekurencyjna
![]() |
wyznacza jednoznacznie .
Jeśli to
![]() |
gdy to
![]() |
Zauważmy, że w przypadku gdy i
ciąg
jest stały,
a gdy
i
rozbieżny liniowo do nieskończoności.
Gdy to ciąg
jest zbieżny do
![]() |
a gdy to ciąg
jest rozbieżny wykładniczo.
Aby wyznaczyć czwarty moment , czyli drugi
,
korzystamy ze wzoru
![]() |
Otrzymujemy
![]() |
Oznaczmy przez warunkowy moment
. Wówczas
mamy zależność
![]() |
Gdy to
![]() |
Zatem gdy to ciąg
jest rozbieżny.
W szczególności model wzorowany na Risk Metrics
(
,
i
) jest rozbieżny.
Zauważmy, że ograniczność czwartego momentu jest zagwarantowana
gdy. Wówczas
zbiega do
![]() |
Otrzymujemy w ten sposób następujący wzór na asymptotyczną kurtozę:
![]() |
Ograniczenia na parametry modelu wynikają z naturalnych założeń dotyczących ograniczoności procesu. Zakładamy, że istnieją granice warunkowych wartości oczekiwanych
![]() |
Pierwsza granica istnieje gdy i zachodzi wówczas
![]() |
Druga gdy , wówczas
![]() |
Natomiast założenie o rozkładzie możemy
osłabić. Istotne są tylko następujące warunki
![]() |
Nie dla wszystkich modeli GARCH istnieją rozwiązania stacjonarne. Potrzebne są dodatkowe warunki na parametry (patrz [14] §3.3.1). Przykładowo dla modelu GARCH(1,1) zachodzi:
Następujące warunki są równoważne:
1. Model GARCH(1,1) z parametrami ma dokładnie jedno nieujemne rozwiązanie stacjonarne
.
2. Parametry są nieujemne i spełnione jest oszacowanie
![]() |
Momenty rozwiązania stacjonarnego można stosunkowo łatwo wyznaczyć.
Niech będzie stacjonarnym procesem GARCH(1,1) z parametrami
.
Przy założeniu
![]() |
otrzymujemy:
A. Gdy to
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
B. Gdy ponadto to
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.