Klasyczny jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny -cd. Przykład: Modele produkcji - funkcja Cobba-Douglasa. (1 wykład)
Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności wielkości produkcji od nakładów na czynniki produkcji.
W dalszym ciągu ograniczymy sie do trzech czynników
pracy
, kapitału
i paliwa
.
![]() |
Współczynnik zależy od efektywności konkretnej firmy.
Funkcja Cobba-Douglasa jest chętnie wykorzystywana w modelowaniu, gdyż dobrze przedstawia następujące fakty stylizowane: monotoniczność;
jest rosnąca ze względu na każdy
,
![]() |
wklęsłość;
jest wklęsła ze względu na każdy
,
![]() |
Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji. wzrost przychodów przy zwiększaniu nakładów na dwa czynniki produkcji;
![]() |
stała elastyczność ze względu na każdy czynnik produkcji;
![]() |
Elastyczność mówi nam o ile wzrośnie produkcja gdy zwiększymy nakłady na czynnik produkcji
![]() |
Zmniejszamy albo zwiększamy proporcjonalnie wszystkie
![]() |
Wówczas nowa wielkość produkcji wyniesie:
![]() |
Czyli
![]() |
Zauważmy, że gdy to
![]() |
![]() |
Wniosek: opłaca się zwiększyć nakłady i produkcję.
Gdy to
![]() |
![]() |
Wniosek: opłaca się zmniejszyć nakłady i produkcję.
Podsumowując, jeśli obserwujemy ,,stan równowagi” to .
Mówimy wówczas o braku efektów skali.
Koszty całkowite produkcji można wyrazić za pomocą kosztów jednostkowych dla poszczególnych czynników produkcji
![]() |
Zadanie: Zminimalizować koszty dla zadanego poziomu produkcji ,
.
![]() |
Powyższe zadanie optymalizacyjne posiada dokladnie jedno rozwiązanie.
![]() |
gdzie .
Dowód. Połóżmy,
![]() |
Jak łatwo zauważyć
![]() |
Połóżmy
![]() |
Ponieważ zbiór
![]() |
jest niepusty, domknięty i ograniczony, zatem badane zadanie optymalizacyjne posiada rozwiązanie.
Rozważmy warunek konieczny istnienia lokalnego ekstremum – .
![]() |
Równoległość gradientów implikuje istnienie stałej takiej, że
![]() |
A zatem
![]() |
Po podstawieniu do warunku otrzymujemy
![]() |
gdzie . Wyznaczamy
![]() |
Teraz możemy wyznaczyć
![]() |
M.Nerlove przeprowadził badania dotyczące produkcji energii elektrycznej w USA w 1955 roku.
Dane zostały zebrane dla 145 spółek w 44 stanach.
Dotyczą one: całkowitych kosztów
(mln USD),
wielkości produkcji
(mld kWh),
średnich zarobków (koszt pracy)
,
ceny kapitału (stopy procentowe)
,
ceny paliwa
.
Warunki działania spółek: dostawa energii zgodnie z zapotrzebowaniem,
cena energii ustalana administracyjnie dla regionu,
firmy nie mają bezpośredniego wpływu na
,
i
.
i
kształtuje rynek, a
długoterminowe umowy ze związkami zawodowymi.
Model ekonometryczny:
![]() |
(6.1) |
![]() |
zawiera część losową zależną od firmy,
![]() |
Logarytmujemy równanie 6.1 i przechodzimy do modelu liniowego
![]() |
(6.2) |
Dodatkowo rozważamy model ograniczony, w którym spełniona jest zależność .
Podstawiamy
i otrzymujemy
![]() |
(6.3) |
Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.
![]() |
Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła .
Uwaga: Test wskazuje na statystyczną nieistotność parametru
.
Estymujemy parametry strukturalne metodą MNK. Otrzymujemy następujące równanie regresji. W nawiasach podane są odchylenia standardowe estymatorów.
![]() |
Ponadto suma kwadratów składnika resztowego wyniosła .
Uwaga: Test wskazuje na statystyczną nieistotność parametru
.
Testujemy hipotezę wobec
na poziomie istotności
.
Mamy ,
stopni swobody.
Wyznaczamy statystykę
.
![]() |
Wartość krytyczną wyznaczamy z rozkładu Snedecora
otrzymujemy
![]() |
Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy .
Testujemy hipotezę wobec
na poziomie istotności
.
Mamy stopni swobody.
Wyznaczamy statystykę
![]() |
Wartość krytyczną wyznaczamy z rozkładu Studenta
otrzymujemy
![]() |
Zatem odrzucamy hipotezę .
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.