Zbieżność ciągów zmiennych losowych. Metoda delty. Asymptotyczna normalność estymatorów. Stacjonarność i ergodyczność. Ciągi przyrostów martyngałowych. Centralne Twierdzenie Graniczne dla przyrostów martyngałowych. (1 wykład)
Omówimy pokrótce trzy pojęcia zbieżności zmiennych losowych.
Niech – przestrzeń probabilistyczna.
Rozważmy ciąg zmiennych losowych
o wartościach w
.
Ciąg zmiennych losowych zbiega prawie napewno do zmiennej losowej
gdy
![]() |
W zapisie skróconym będziemy pisali
![]() |
Ciąg zmiennych losowych zbiega według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej
gdy
![]() |
gdzie oznacza normę w
.
W zapisie skróconym będziemy pisali
![]() |
Ciąg zmiennych losowych zbiega według rozkładu do zmiennej losowej
gdy
ciąg dystrybuant
zbiega do dystrybuanty
w każdym punkcie ciągłości
.
W zapisie skróconym będziemy pisali
![]() |
gdzie jest rozkładem zmiennej losowej
.
Jeśli
ciąg różnic zbiega do 0 według prawdopodobieństwa i
ciąg
zbiega według rozkładu do zmiennej losowej
, to również
zbiega według rozkładu do
![]() |
Trzy powyższe zbieżności są od siebie zależne. Mamy
![]() |
Aby zamknąć powyższy diagram należy dopuścić zmianę przestrzeni probabilistycznej i skorzystać z następującego twierdzenia o reprezentacji prawie napewno.
(Skorochod)
Jeśli ciąg zmiennych losowych zbiega według rozkładu do zmiennej losowej
to istnieje przestrzeń probabilistyczna
i określone na niej zmienne losowe
i
,
takie, że
ma ten sam rozkład co
, a
co
i
ciąg zmiennych losowych
zbiega prawie napewno do zmiennej losowej
.
Sformułujemy teraz kilka przydatnych w ekonometrii twierdzeń o zbieżności zmiennych losowych.
O odwzorowaniu ciągłym.[2, 16]
Niech oznacza zbiór punktów nieciągłości funkcji
![]() |
Wówczas
jeśli ciąg zmiennych losowych zbiega według rozkładu, prawdopodobieństwa lub prawie napewno do zmiennej losowej
takiej, że
![]() |
to
ciąg zmiennych losowych zbiega odpowiednio według rozkładu, prawdopodobieństwa lub prawie napewno do zmiennej losowej
.
(Slutsky)
Niech i
ciagi zmiennych losowych o wartościach macierzowych,
macierzowa zmienna losowa i
macierz (deterministyczna). Wówczas, jeśli
![]() |
to:
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
gdzie to dowolna macierz losowa taka, że
![]() |
gdy .
Dowód.
Ponieważ zbiega do stałej, to
![]() |
Działania są ciągłe zatem z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym (8.2)
otrzymujemy tezę twierdzenia.
W przypadku odwracania macierzy zbiorem punktów nieciągłości jest zbiór macierzy o wyznaczniku 0.
Zatem wystarczy zauważyć, że prawdopodobieństwo, że odwracalna macierz deterministyczna ma zerowy wyznacznik jest równe 0.
Niech i
to wektory kolumnowe, czyli macierze
, a
i
macierze
.
Wówczas, jeśli
![]() |
to
![]() |
Metoda delty.
Niech ciąg zmiennych losowych o wartościach w
, X zmienna losowa o wartościach w
,
punkt z
, a
funkcja różniczkowalna w
.
Wówczas, jeśli
![]() |
to
![]() |
Załóżmy, że proces generujący dane ,
, pochodzi z parametrycznej rodziny procesów
, gdzie zbiór parametrów
jest podzbiorem
![]() |
Ustalmy funkcję
i rodzinę estymatorów
![]() |
wartości funkcji w punkcie
.
Niech
będzie estymatorem
, wyznaczonym na podstawie próbki
rozmiaru
, tzn.
![]() |
Ciąg estymatorów nazywamy nazywamy zgodnym gdy
![]() |
Zgodny ciąg estymatorów nazywamy nazywamy asymptotycznie normalnym gdy
![]() |
Macierz oznaczamy
i nazywamy asymptotyczną wariancją estymatora
.
Niech będzie
-wymiarowym procesem stochastycznym (ciągiem zmiennych losowych)
określonym na przestrzeni probabilistycznej
.
Proces stochastyczny jest (silnie) stacjonarny gdy dla dowolnych
łączne rozkłady
![]() |
są identyczne.
Jeśli proces stochastyczny jest stacjonarny i
należą do
, to dla wszystkich
![]() |
Stacjonarny proces stochastyczny ma własność mieszania gdy dla dowolnych ograniczonych funkcji borelowskich
i
oraz indeksów
![]() |
Stacjonarny proces stochastyczny jest ergodyczny gdy
![]() |
Twierdzenie ergodyczne.
Jeśli proces stochastyczny jest stacjonarny i
należą do
, to
zachodzdzą implikacje
![]() |
gdzie
a. ma własność mieszania,
b. jest ergodyczny,
c. średnie zbiegają do wartości oczekiwanej
![]() |
Jeśli proces stochastyczny jest stacjonarny i ma własność mieszania a
jest funkcją borelowską to
proces
też jest stacjonarny i ma własność mieszania.
Zatem jeśli należą do
to
![]() |
![]() |
Dla procesów stacjonarnych i ergodycznych średnie próbkowe są zgodnymi estymatorami.
Proces nazywamy gaussowskim białym szumem gdy
![]() |
Biały szum jest stacjonarny i ergodyczny.
Dowód.
Dla dowolnych indeksów i
wektor
ma rozkład
. Rozkład ten nie zależy od
co implikuje stacjonarność.
Aby pokazać własność mieszania zauważmy, że dla zmienne losowe
i
są niezależne.
Zatem dla
odpowiednio dużych
![]() |
![]() |
Powyższe rozumowanie można zastosować dla dowolnego procesu iid tzn. o wyrazach niezależnych i o jednakowym rozkładzie.
Proces autoregresyjny
Niech będzie gaussowskim białym szumem. Dodatkowo założymy, ze
.
Proces
zdefiniujemy rekurencyjnie:
![]() |
![]() |
gdzie rzeczywiste parametry,
,
.
Tak zdefiniowany proces nazywa się autoregresyjnym rzędu 1 (
).
Proces jest stacjonarny i ergodyczny.
Dowód.
Krok 1.
Pokażemy, że wszystkie mają rozkład normalny o parametrach
i
![]() |
Zastosujemy indukcję po .
Jak łatwo zauważyć ma rozkład normalny oraz
![]() |
Załóżmy, że
![]() |
Ponieważ i
mają rozkłady normalne i są niezależne to
ma rozkład normalny.
Ponadto
![]() |
![]() |
Krok 2.
Pokażemy, że .
Zastosujemy indukcję po .
Dla mamy
![]() |
Załóżmy, że
![]() |
Wówczas
![]() |
Krok 3.
Stacjonarność.
Z poprzednich dwóch ”kroków” wynika, że rozkład wektora
nie zależy od
. Rzeczywiście
![]() |
gdzie jest wektorem o
współrzędnych, które są wszystkie równe 1,
,
a
jest macierzą
o wyrazach
, czyli
![]() |
Krok 4.
Ergodyczność.
Dla wektor
ma
-wymiarowy rozkład normalny
![]() |
gdzie macierz otrzymujemy z macierzy
przez wycięcie kolumn i wierszy od
-giego do
-ego.
![]() |
gdzie macierz
nie zależy od
,
![]() |
Zatem
![]() |
W oparciu o powyższą granicę pokażemy własność mieszania.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
-wymiarowy proces stochastyczny
nazywamy martyngałem gdy
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
-wymiarowy proces stochastyczny
nazywamy ciągiem przyrostów martyngałowych gdy
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
Jeśli proces jest martyngałem, to proces
, gdzie
![]() |
jest ciągiem przyrostów martyngałowych.
Jeśli proces jest ciągiem przyrostów martyngałowych a
dowolną stałą, to proces
, gdzie
![]() |
jest martyngałem.
Jeśli proces jest ciągiem przyrostów martyngałowych i
należą do
to są one nieskorelowane
![]() |
Dowód.
Zapiszemy wektory i
,
, jako wektory kolumnowe.
zatem
![]() |
![]() |
Przykład
Biały szum jest ciągiem przyrostów martyngałowych, a błądzenie przypadkowe czyli proces
![]() |
jest martyngałem.
Centralne Twierdzenie Graniczne ([2] Twierdzenie 23.1).
Jeśli stacjonarny i ergodyczny proces jest ciągiem przyrostów martyngałowych i
należą do
, to
![]() |
gdzie .
Powyższe twierdzenie jest uogólnieniem CTG Linderberga-Levy'ego, w którym pominięta została niezależnośc składników.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.