Spis treści  2. Stopy procentowe »  

Zagadnienia

1. Wprowadzenie

1.1. Wstęp i podstawowe pojęcia

Inżynieria finansowa to dyscyplina, która zajmuje się analizą właściwości instrumentów finansowych, w szczególności instrumentów pochodnych.

Instrument pochodnyX to instrument finansowy (kontrakt, umowa), którego wartość wypłaty (wypłat) zależy od wartości, które przyjmą (lub przyjęły) w określonych umową chwilach czasu inne instrumenty finansowe. O instrumentach finansowych, od wartości których zależy wypłata (zależą wypłaty) instrumentu pochodnego X, mówimy że są tak zwanymi instrumentami podstawowymi instrumentu pochodnego (ang. underlyings). W szczególności, instrumentem podstawowym instrumentu pochodnego może być inny instrument pochodny.

1.2. Zasadnicze kategorie instrumentów pochodnych

Kontrakty forward

  • FX forward

  • FX swap = FX spot + FX forward

  • terminowy zakup/sprzedaż obligacji

  • transakcje repo (buy sell back) i reverse repo (sell buy back) na papierach wartościowych

Kontrakty futures

  • futures na obligacje skarbowe

  • futures na stopę procentową (Eurodollar futures)

  • futures na indeksy/akcje

  • futures na towary

Kontrakty wymiany stóp procentowych

  • FRA – Forward Rate Agreement

  • OIS – OverNight Indexed Swap

  • IRS – Interest Rate Swap

  • CCIRS – Cross Currency Interest Rate Swap

Kontrakty opcyjne

  • opcje walutowe (waniliowe, azjatyckie, barierowe, binarne)

  • opcje na stopę procentową (cap/floor)

  • opcje na kontrakt IRS (swapcje)

  • opcje na obligacje

  • opcje na indeksy/akcje

  • opcje na towary

Kontrakty wymiany cen towarów

Kredytowe instrumenty pochodne

  • opcje na default

  • swap default-owy – credit default swap (CDS)

Instrumenty powstałe w drodze sekurytyzacji (długu)

  • obligacje MBS – Mortgage Backed Securities

  • obligacje CMO – Collateralized Mortgage Obligations

  • obligacje CDO – Collateralized Debt Obligations

Kilka przykładów wypłat opcyjnych instrumentów pochodnych (opcji)

Uwaga: Szczegółowe charakterystyki tych instrumentów będą podane na przyszłych wykładach.

  1. europejska opcja kupna

    \max(S_{T}-K,0),

    gdzie S_{T} jest wartością akcji w chwili zapadalności opcji T, a K jest ceną wykonania (dlaczego instrument o takiej wypłacie nazywamy opcją?)

  2. europejska opcja kupna na średnią arytmetyczną (opcja azjatycka o europejskim typie wykonania)

    \max(\bar{S}_{T}-K,0),

    gdzie \bar{S}_{T}=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}S_{{t_{i}}} przy czym t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n}=T

  3. europejska opcja kupna akcji droższej z dwóch

    \max\big(\max(S^{{(1)}}_{T},S^{{(2)}}_{T})-K,0\big)

  4. europejska opcja wymiany akcji A na akcję B

    \max\big(S^{{(B)}}_{T}-S^{{(A)}}_{T},0\big)

  5. europejska binarna opcja kupna (sprzedaży)

    1_{{S_{T}\geq K}}\quad(1_{{S_{T}<K}})

  6. europejska barierowa opcja kupna typu up-and-out

    \max(S_{T}-K,0)\, 1_{{\{\max _{{t\in[0,T]}}S_{t}<H\}}},

    gdzie H\geq K jest tak zwaną barierą.

Uwagi

  • Wypłaty opcji 1), 3), 4) i 5) zależą tylko od wartości instrumentów podstawowych w chwili zapadalności opcji – o takich opcjach mówimy że nie zależą od ,,drogi” (trajektorii procesu cen instrumentów podstawowych).

  • W opcjach 3) i 4) mamy dwa instrumenty podstawowe.

  • Wypłaty opcji 2) i 6) zależą od ,,drogi” instrumentu podstawowego, każda na swój specyficzny sposób.

  • Wypłaty opcji 5) są funkcjami nieciągłymi ceny instrumentu podstawowego w chwili zapadalności opcji. Zarządzanie ryzykiem opcji o nieciągłych wypłatach jest zdecydowanie trudniejsze niż w przypadku opcji których wypłaty są ciągłe.

Głównymi celami inżynierii finansowej są:

wycena instrumentów pochodnych

  • wycena z modelu – ang. mark-to-model, którą stosuje się, gdy nie jest możliwa

  • wycena do rynku – ang. mark-to-market.

konstrukcja strategii zabezpieczających instrumenty pochodne,

analiza i pomiar ryzyka instrumentów pochodnych,

konstrukcje złożonych strukturalnych produktów finansowych dopasowanych do potrzeb rynku.

1.3. Rynki finansowe

Rynki finansowe to świat (miejsce), w którym żyją (na którym są handlowane) instrumenty finansowe. Rynki finansowe dzielą się na segmenty, które odpowiadają różnym aspektom instrumentów finansowych na nich handlowanych oraz podmiotom dopuszczonym do handlu. I tak na przykład mamy

  • Rynek kapitałowy (papiery wartościowe, akcje)

  • Rynek pieniężny (kasowy) – instrumenty dłużne (lokaty/depozyty, bony, obligacje)

  • Rynek instrumentów pochodnych

  • Rynek walutowy – transakcje wymiany walut

Rynki możemy też podzielić na:

Rynki regulowane – giełdy

  • produkty wystandaryzowane

  • z systemami zabezpieczeń mającymi wyeliminować ryzyko kredytowe (rozliczeniowe i przedrozliczeniowe transakcji)

Rynki pozagiełdowe – klientowskie, OTC (Over The Counter)

  • rynek międzybankowy (instytucji finansowych)

  • rynek dużych wiarygodnych klientów (korporacji)

Bieżący obraz statystyczny rynków finansowych

Na podstawie danych opracowanych przez Bank for International Settlements (Bazylea) – patrz Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and Derivatives Market Activity in April 2007; Preliminary global results; September 2007 (opracowanie dostępne na stronie http://www.bis.org).

\blacktriangleright Struktura rynków OTC instrumentów pochodnych ze względu na rodzaj czynnika ryzyka instrumentu podstawowego.

Tabela poniżej przedstawia strukturę tych rynków w dwóch ujęciach - udziały procentowe nominałów (Nominał) oraz udziały procentowe wartości (Wartość) niezapadłych (na koniec grudnia 2006) transakcji na tych instrumentach na rynku OTC.

Rodzaj ryzyka Nominał Wartość
Stopy procentowe 70.3 49.9
Kursy wymiany walut 9.7 13.0
Akcje/Indeksy 1.8 8.8
Ryzyko kredytowe (CDS) 6.9 4.8
Towary 1.7 6.9
Inne 9.6 16.6
Tabela 1.1. Procentowe udziały ryzyk

Jak widać z powyższej tabeli najważniejszymi czynnikami są stopy procentowe oraz kursy wymiany walut. Dlatego poniżej skoncentrujemy się głównie na pochodnych których instrumentami podstawowymi są czynniki ryzyka z tych grup.

Dane są prezentowane dla dwóch segmentów rynków finansowych

Rynek walutowy – tradycyjne transakcje wymiany walut

  • transakcje FX spot

  • transakcje FX forward

  • transakcje FX swap

Rynek OTC instrumentów pochodnych:

  • pochodne kursów walutowych, głównie

    • walutowe kontrakty wymiany procentowej (CCIRS)

    • opcje walutowe (waniliowe i egzotyczne)

  • pochodne stopy procentowej, głównie

    • kontrakty na przyszłą stopę procentową (FRA)

    • kontrakty wymiany procentowej (IRS)

    • opcje na stopę procentową (waniliowe i egzotyczne)

\blacktriangleright\quad Średni dzienny obrót na rynkach: walutowym oraz pochodnych OTC

Instrument 2001 2004 2007
FX spot 387 621_{{\, 60\%}} 1005_{{\, 62\%}}
FX fwd 131 208_{{\, 59\%}} 362_{{\, 74\%}}
FX swap 656 944_{{\, 44\%}} 1714_{{\, 82\%}}
Total – FX 1200 1880_{{\, 57\%}} 3210_{{\, 71\%}}
CCIRS 7 21_{{\, 200\%}} 80_{{\, 281\%}}
Opcje walutowe 60 117_{{\, 95\%}} 212_{{\, 81\%}}
Inne 0 2 0
Total – Pochodne walutowe 67 140_{{\, 109\%}} 291_{{\, 108\%}}
FRA 129 233_{{\, 81\%}} 258_{{\, 11\%}}
IRS 331 621_{{\, 88\%}} 1210_{{\, 95\%}}
Opcje na stopę 29 171_{{\, 490\%}} 215_{{\, 26\%}}
Total – Pochodne stopy 489 1025_{{\, 110\%}} 1686_{{\, 65\%}}
Tabela 1.2. Średnie dzienne obroty na rynkach FX i OTC (w mld USD)

\blacktriangleright\quad Udziały walut na rynku walutowym

Waluta 2001 2004 2007
USD 90.3 88.7 86.3
EUR 37.6 37.2 37.0
JPY 22.7 20.3 16.5
GBP 13.2 16.9 15.0
PLN 0.5 0.4 0.8
Tabela 1.3. Udziały walut (w \%)

Symbole walut: PLN – Złoty Polski, EUR – Euro, USD – dolar USA, GBP – funt brytyjski, JPY – jen japoński. Ponieważ w każdej transakcji wymiany walutowej biorą udział dwie waluty, udziały (po wszystkich walutach) powinny sumować się do 200\%.

\blacktriangleright\quad Udziały par walutowych (kursów wymiany) na rynku walutowym

Kurs wymiany 2001 2004 2007
USD/EUR 30 28 27
USD/JPY 20 17 13
USD/GBP 11 14 12
USD/CHF 5 4 5
USD/CAD 4 4 4
USD/AUD 4 5 6
USD/Inne 17 16 19
EUR/JPY 3 3 2
EUR/GBP 2 2 2
Tabela 1.4. Udziały par walutowych (w \%)

\blacktriangleright\quad Główne centra obrotu na rynku tradycyjnych transakcji walutowych (FX), na rynku pochodnych OTC oraz dane dla Polski dla tych segmentów rynku

Tabela poniżej przedstawia geograficzną strukturę aktywności rynków tradycyjnych transakcji wymiany walut (FX spot, FX fwd, FX swap oznaczonych w tabeli symbolem FX) i rynku pochodnych OTC.

Kraj FX OTC
Wielka Brytania 34.1 42.5
Stany Zjednoczone 16.6 23.8
Japonia 6.0 3.5
Singapur 5.8 2.7
Niemcy 2.5 3.7
Irlandia 0.3 3.4
Hong Kong 4.4 0.9
Szwajcaria 6.1 2.9
Australia 4.2 1.2
Francja 3.0 7.2
Polska 0.2 0.1
Tabela 1.5. Udział w % dziennego obrotu

1.4. Zmienne rynkowe – ceny

Podstawowe zmienne rynkowe, które często pełnią role instrumentów podstawowych instrumentów pochodnych

  • ceny akcji spółek giełdowych, wartości indeksów giełdowych,

  • kursy wymiany walut,

  • stopy procentowe (depozytowe, kontraktów IRS, referencyjne (typu LIBOR), etc.),

  • ceny obligacji,

  • kontrakty futures,

  • ceny towarów (surowce, metale, ropa, produkty rolne, etc.).

Wartość instrumentów pochodnych staramy się wyrazić jako funkcje

  • wartości instrumentów podstawowych (cen spot – to jest cen ,,natychmiastowej” dostawy) lub struktury cen forward),

  • bieżącej struktury stóp procentowych,

  • zmienności instrumentów podstawowych, a w niektórych przypadkach i korelacji między nimi.

Zmienne rynkowe są opisywane (modelowane) matematycznie przez procesy stochastyczne o odpowiednich właściwościach. Na przykład niech

  • S oznacza proces ceny akcji spółki giełdowej,

  • w chwili bieżącej t_{0} obserwujemy na rynku cenę S_{0}, która jest realizacją zmiennej losowej S_{{t_{0}}},

  • dla przyszłych chwil czasu t, tj. dla t>t_{0}, S_{t} jest zmienną losową.

Często będziemy postulować, że proces stochastyczny opisujący zmienną rynkową spełnia pewne stochastyczne równanie (na szczęście na ogół dość proste), na przykład

dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},

gdzie \mu, \sigma są pewnymi stałymi (liczbami rzeczywistymi), a W_{t} jest tzw. procesem Wienera (o tym więcej później).

Uwaga: Równanie tego typu służy do wyprowadzenia formuły na wycenę instrumentu pochodnego. Natomiast nie jest ono używane do prognozowania przyszłych wartości zmiennej rynkowej.

Rodzaje cen instrumentów finansowych

  • transakcyjne – odzwierciedlają rzeczywisty stan rynku

  • kwotowane – bardziej odzwierciedlają oczekiwania rynku, lub też zamiary kwotującego w stosunku do własnego portfela

  • fixingi, kursy zamknięcia – oficjalne ceny odniesienia, często stosowane przy rozliczaniu transakcji, na ogół są średnimi cen kwotowanych – np. kursy walutowe NBP fixing, stopy WIBOR, LIBOR – ustalane przez odpowiednie niezależne organizacje.

Ceny mają strony, mianowicie

  • cena kupna (ile skłonny jest zapłacić kwotujący) – BID Price,

  • cena sprzedaży (za ile kwotujący jest skłonny sprzedać) – OFFER Price,

  • cena średnia – MID Price.

Oczywiście musi zachodzić relacja

cena kupna < cena sprzedaży.

Uwagi:

  • Ceny natychmiastowe (spotowe) to ceny dla transakcji zawartych w chwili bieżącej i rozliczanych lub w ramach których dostawa nastąpi natychmiast, przy czym to co znaczy natychmiast zależy od zasad przyjętych na danym rynku (z uwzględnieniem specyfiki waluty).

  • Cena instrumentu finansowego nie zawsze jest tożsama z sumą pieniędzy, którą trzeba zapłacić za ten instrument. Będziemy rozróżniać między ceną instrumentu a jego wartością, czyli kwotą pieniędzy, którą trzeba za dany instrument zapłacić.

Ceny akcji, wartości indeksów

Akcje

  • S_{t} – cena za 1 akcję, wyrażona w walucie lokalnej, w chwili t,

  • dostawa natychmiastowa \rightarrow dostawa i jej rozliczenie następuje w tym samym dniu kiedy zawarto transakcję kupna (sprzedaży), konwencja t+0

  • akcje na ogół płacą dywidendę, zwykle raz lub dwa razy w roku,

  • t_{{\text{cum}}} – ostatni dzień, w którym kupujący akcję nabiera prawa do najbliższej dywidendy,

  • t_{{\text{ex}}} – pierwszy dzień, w którym kupujący akcję nie otrzymuje prawa do najbliższej dywidendy,

  • D_{0} – wartość bieżąca (na dzień cum-dividend) najbliższej dywidendy,

  • r_{{\text{tax}}} – stopa podatku od przychodów z inwestycji kapitałowych,

  • jeśli inne czynniki nie wpływałyby na cenę akcji, musiałoby zachodzić

    S_{{t_{{\text{cum}}}}}=S_{{t_{{\text{ex}}}}}+D_{0}(1-r_{{\text{tax}}})

    tak więc następuje deterministyczna ale skokowa zmiana (spadek) ceny akcji.

  • czasami akcje są poddawane podziałowi (ang. split) na m części, wtedy w dniu splitu S_{t} zostaje zastąpione przez S_{t}/m.

Indeksy

  • Są w pewnym przybliżeniu syntetycznym portfelem wybranej grupy spółek giełdowych

  • Odzwierciedlają stan i zmiany wartości portfela spółek wchodzących w jego skład

  • Indeks możemy traktować jak syntetyczną spółkę, z tym że nie można dostarczyć fizycznie akcji tej syntetycznej spółki.

  • Indeksy ,,płacą” dywidendę w sposób ciągły, a nie w sposób dyskretny tak jak zwykłe akcje.

Kursy wymiany walut

ang. FX rate (Foreign eXchange rate)

  • S_{t} – wartość kursu natychmiastowej wymiany waluty CUR_{1} na CUR_{2} w chwili t

  • wymiana natychmiastowa (ang. FX spot) \rightarrow wymiana (dostawa, rozliczenie) następuje w dniu spot, to jest (zwykle) za 2 dni handlowe od t, konwencja t+2

  • wymiana walut \rightarrow jedną walutę kupujemy, a drugą sprzedajemy

  • kurs wymiany można podawać na dwa sposoby:

    • jako ilość waluty CUR_{1} za jednostkę waluty CUR_{2} \rightarrow S_{t}

    • jako ilość waluty CUR_{2} za jednostkę waluty CUR_{1} \rightarrow 1/S_{t}

  • waluta bazowa \rightarrow w odniesieniu do kwotowanego kursu ta waluta za jednostkę, której podajemy ilość drugiej waluty

  • waluta niebazowa, kwotowana \rightarrow ta druga waluta, w tej walucie wyrażamy wartość jednostki waluty bazowej

  • notacja: CUR_{1}/CUR_{2}, gdzie CUR_{1} – waluta bazowa, a CUR_{2} – waluta niebazowa, i zwykle (ang. direct quotation) oznacza ilość waluty CUR_{2} za jednostkę waluty CUR_{1} (odwrotnie niż się oznacza miana w fizyce!); zdarza się jednak, że pod takim oznaczeniem kryje się kwotowanie odwrotne (ang. indirect quotation) – ilość waluty CUR_{1} za jednostkę waluty CUR_{2} - tak na przykład jest kwotowany kurs funta brytyjskiego GBP do dolara amerykańskiego USD – wtedy USD/GBP oznacza ilość USD za 1 GBP. Dlatego dobrze jest się upewnić jak kwotowany jest kurs, nim się zacznie go używać.

  • w danym kraju podaje się głównie kursy walut obcych do waluty lokalnej

  • kurs krosowy \rightarrow kurs między dwoma obcymi walutami, musi w stosunku do waluty lokalnej (np. PLN) spełniać warunek

    S_{{CUR_{1}/CUR_{2}}}=\frac{S_{{CUR_{1}/PLN}}}{S_{{CUR_{2}/PLN}}}=S_{{CUR_{1}/PLN}}S_{{PLN/CUR_{2}}}

  • Warunek ten wynika z założenia braku arbitrażu na lokalnym rynku walutowym

  • Cena kupna (BID Price) – ale którą walutę ,,kupujemy”? Reguła ,,trzech B” (Buy, Base, Bid) – kupujemy (Buy) walutę bazową (Base) po cenie BID (tej niższej)

  • Przykład: nasze kwotowanie 4.1390/490 USD/PLN oznacza, że jesteśmy gotowi kupić USD po 4.1390 PLN za 1 USD, lub sprzedać USD po 4.1490 PLN za 1 USD.

  • Ta zasada jest spójna z zasadami kwotowania cen kupna/sprzedaży akcji – w powyższym przykładzie USD ,,gra rolę akcji”.

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 1.1 (Wycena pozycji a wynik na tej pozycji na przykładzie portfela akcji)

Dealer Banku Miejskiego utworzył portfel akcji spółki wuwu.com w następujący sposób:

  • w poniedziałek kupił 200 akcji po 10 PLN,

  • we wtorek dokupił 300 akcji po 9 PLN,

  • w środę kupił jeszcze 500 akcji po 9.50 PLN.

Od czwartku zaczął stopniowo zamykać pozycję:

  • we czwartek sprzedał 300 akcji po 9.75 PLN,

  • w piątek sprzedał 400 akcji po 10.25 PLN.

Wyceń portfel tych akcji oraz oblicz wynik na tym portfelu

  • (a) we czwartek,

  • (b) w piątek.

Wynik podziel na wynik zrealizowany i wynik niezrealizowany. Licząc wynik zastosuj

  • (i) kolejkę FIFO (ang. First In First Out),

  • (ii) metodę średniej ceny.

Portfel akcji był finansowany (ang. cost of carry) stopą ON (ang. Over Night), która wynosiła

  • w poniedziałek – 6\%,

  • we wtorek – 6.25\%,

  • we środę – 6.50\%,

  • we czwartek – 6.20\%,

  • w piątek – 6.10\%.

Skoryguj wynik na tym portfelu o koszty finansowania pozycji.

Uwagi i wyjaśnienia:

  1. W metodzie średniej ceny wynik liczony jest względem średniej ceny akcji w portfelu wyliczonej dla dnia realizacji zysku/straty.

  2. Koszt finansowania pozycji z dany dzień to odsetki od kwoty ,,pożyczonych” funduszy użytych dla otwarcia pozycji, zbilansowanych wpływami z zamkniętych części portfela, i uwzględniających narosłe do danego dnia koszty finansowania. Koszty finansowania nalicza się na bazie dziennej.

Ćwiczenie 1.2 (Portfel bonów skarbowych)

Dealer Banku Miejskiego otworzył portfel bonów skarbowych kupując bony o wartości nominalnej 10 mln PLN po cenie 85. W chwili otwarcia portfela termin wykupu bonów przypadał za 100 dni. Po 10 dniach dealer dokupił 5 mln PLN bonów tej samej emisji po cenie 86. Po kolejnych 20 dniach zamknął część pozycji sprzedając bony o wartości nominalnej 12 mln PLN po cenie 90, po czym założył że będzie trzymał pozostałą pozycję aż do wykupu bonów.

  • (a) Wyceń ten portfel na 50 dni przed terminem wykupu, kiedy cena bonów wynosiła 92.

  • (b) Oblicz wynik na tym portfelu i podziel go na wynik zrealizowany i niezrealizowany.

  • (c) Oblicz koszt finansowania portfela przy założeniu, że stopa ON używana do naliczania kosztów finansowania była stała w tym okresie i wynosiła 5%.

Wyjaśnienie: Wynik zrealizowany na papierze dyskontowym (np. na bonie skarbowym) kupionym po cenie p<100 wynosi

N\frac{100-p}{100}\frac{d}{d_{{\text{mat}}}},

gdzie N jest wartością nominalną papieru, d jest liczbą dni od daty dostawy dla daty zakupu papieru do daty dostawy dla daty wyceny, a d_{{\text{mat}}} jest liczbą dni od daty dostawy dla daty zakupu papieru do daty zapadalności papieru. Takie określenie wyniku zrealizowanego jest zabiegiem księgowym i służy tylko do ,,wygodnej dla księgowych” prezentacji wyniku i w zasadzie nie ma nic wspólnego z rzeczywistą realizacją zysku/straty. Z tego powodu wynik zrealizowany z tytułu rozliczenia dyskonta nie jest uwzględniany przy wyliczaniu kosztu finansowania pozycji.

Ćwiczenie 1.3 (Portfel obligacji)

Dealer Banku Miejskiego kupił obligacje o wartości nominalnej 100 mln PLN. W chwili zawarcia transakcji rezydualny termin do wykupu tych obligacji wynosił 2 lata i 3 miesiące licząc od daty dostawy. Obligacje płacą kupon 8\% (semi-annual, 30/360). Cena czysta obligacji wynosiła 95. Po 4 miesiącach dealer sprzedał 40 mln PLN z tego portfela kiedy cena czysta obligacji wynosiła 96. Oblicz wynik na tym portfelu i podziel go na wynik zrealizowany i wynik niezrealizowany. Oblicz koszty finansowania portfela przy założeniu, że stopa ON była stała w rozpatrywanym okresie i wynosiła 6\%.

Wyjaśnienie: Do wyniku zrealizowanego na obligacji kuponowej, prócz rozliczenia dyskonta lub premii (analogicznie jak w przypadku bonów; jest to znów zabieg księgowy!), zalicza się otrzymane kupony oraz narosłe odsetki AI za bieżący okres odsetkowy (ang. accrued interest). Narosłe odsetki AI oblicza się następującym wzorem

AI=C\,\frac{d}{d_{{\text{cp}}}},

gdzie C oznacza wartość najbliższego kuponu, d_{{\text{cp}}} liczbę dni w bieżącym okresie odsetkowym, a d liczbę dni od początku okresu odsetkowego do daty rozliczenia (dostawy) dla bieżącego dnia.

Ćwiczenie 1.4 (Przykład złożonego instrumentu finansowego (Lokata schodkowa))

Bank oferuje klientom lokatę na następujących warunkach:

  • walutą lokaty jest waluta obca CUR (klient deponuje ustaloną sumę pieniędzy w tej walucie

  • oprocentowanie lokaty jest następujące

    • r_{0} jeśli S_{{\text{CUR/PLN}}}\geq K, przy czym zwrot kapitału i odsetek odbędzie się w PLN przeliczonych po kursie K

    • r_{1} jeśli K_{1}\leq S_{{\text{CUR/PLN}}}<K

    • r_{2} jeśli K_{2}\leq S_{{\text{CUR/PLN}}}<K_{1}

    • r_{3} jeśli K_{3}\leq S_{{\text{CUR/PLN}}}<K_{2}

    • r_{4} jeśli S_{{\text{CUR/PLN}}}<K_{3}

    przy czym w przypadku S_{{\text{CUR/PLN}}}<K wypłata następuje w oryginalnej walucie lokaty oraz r_{0}<r_{1}<r_{2}<r_{3}<r_{4}

  • kursem referencyjnym jest fixing NBP z dnia zakończenia lokaty

Zidentyfikuj opcje wbudowane w strukturę tego instrumentu.

Ćwiczenie 1.5 (Lokata z wbudowaną opcją)

Bank oferuje klientom lokatę na następujących warunkach:

  • walutą lokaty jest PLN,

  • czas trwania lokaty wynosi T,

  • odsetki z lokaty wynoszą r_{0}T+\alpha\max(r_{{\text{WIG20}}},0) gdzie r_{{\text{WIG20}}}=(S_{T}-S_{0})/S_{0} jest stopą zwrotu z indeksu WIG20 w okresie od rozpoczęcia lokaty do chwili jej zakończenia (S_{0} oznacza wartość indeksu z chwili rozpoczęcia lokaty, a S_{T} wartością indeksu z chwili zakończenia lokaty), a \alpha jest tak zwanym współczynnikiem partycypacji.

  • (a) Zidentyfikuj opcję wbudowaną w ten instrument.

  • (b) Wyznacz wartość współczynnika partycypacji \alpha przy następujących danych liczbowych

    • T=\frac{1}{4} (lokata trzymiesięczna)

    • r_{0}=2\%

    • stopa procentowa dla trzymiesięcznych lokat wynosi r_{{3M}}=4\%

    • wartość indeksu WIG20 w chwili rozpoczęcia lokaty wynosi S_{0}=2400

    • cena trzymiesięcznej opcji kupna na WIG20 z ceną wykonania K=S_{0}=2400 wynosi 60 (w jednostkach indeksu)

    przy którym lokata będzie zawarta na ,,sprawiedliwych” warunkach.

  • (c) Ile kontraktów opcyjnych powinien kupić Bank by zabezpieczyć wypłatę części odsetek zależną od wartości indeksu WIG20 dla lokaty o nominale N=100000 PLN.

Uwaga: Nominał kontraktu opcyjnego na WIG20 wynosi 10, to znaczy jest to opcja na 10 sztuk indeksu. Jednostka indeksu jest warta 10 PLN (można powiedzieć, że indeks WIG20 wynoszący S_{0} (jednostek indeksowych, punktów) jest ,,akcją” o wartości 10S_{0} PLN). Zatem wartość gotówkowa wypłaty jednego kontraktu opcyjnego kupna indeksu wynosi 10\times 10\times\max(S_{T}-K,0) PLN, gdzie K jest ceną wykonania. Cena kontraktu opcyjnego na WIG20 jest podawana w jednostkach indeksowych za jedną sztukę indeksu. Tak więc cena gotówkowa jednego kontraktu opcyjnego, którego kwotowana cena wynosi c_{0} (jednostek indeksowych), wynosi 10\times 10\times c_{0} PLN.

Ćwiczenie 1.6 (Widełki kupna/sprzedaży dla kursu krosowego)

W dniu 5 października 2004 około godziny 15:40 Bank X kwotował

  • GBP/PLN – 6.2538 / 6.2598

  • CHF/PLN – 2.7751 / 2.7791

  • (a) Oblicz kursy kupna/sprzedaży GBP/CHF, które powinien zakwotować Bank X w tym czasie.

  • (b) Przypuśćmy, że w tym samym czasie kwotowanie Banku Y kursu GBP/CHF wynosiło 2.2520 / 2.2580. Czy i w jaki sposób można było tę sytuację wykorzystać by uzyskać wolny od ryzyka dochód.

Ćwiczenie 1.7 (Kredyt hipoteczny)

Utwórz schemat spłat kredytu hipotecznego w którym ,,równe” raty, na które składają się odsetki i spłata kapitału, są płacone co miesiąc przez 10 lat. Jeśli kredyt jest udzielony na stopę stałą, raty są rzeczywiście równe. Jeśli kredyt jest udzielony na stopę zmienną (powiększoną o marżę), raty będą się zmieniały wraz ze zmianą stopy zmiennej. Oblicz jak zmieni się rata takiego kredytu jeśli stopa zmienna wzrośnie o 1 punkt procentowy. Załóż że bieżąca stopa zmienna wynosi 3.5\% a marża banku 1.5\%.

  Spis treści  2. Stopy procentowe »  

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

strona główna | webmaster | o portalu | pomoc

© Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.