W inżynierii finansowej funkcjonuje wiele rodzajów zmienności. Mamy
zmienność historyczną,
zmienność implikowaną,
zmienność lokalną,
zmienność stochastyczną.
Wszystkie one są używane w roli zmienności , która występuje
w podstawowym modelu opisującym proces cen (w świecie wolnym od
ryzyka)
![]() |
(11.1) |
gdzie
jest procesem Wienera, a
jest stopą wolną od ryzyka. Zmienność
historyczna jest również używana w niektórych metodach szacowania
ryzyka (rynkowego) portfeli instrumentów finansowych (na przykład w
tak zwanej metodzie delta-normalnej wyznaczania wartości
zagrożonej).
Z równania (11.1) wynika, że jeśli jest
stała, to
![]() |
(11.2) |
Konsekwencje przyjętego modelu (wzorów (11.1) – (11.2)):
ma rozkład log-normalny, bowiem
ma rozkład normalny
(o średniej zero i wariancji
),
log-normalność umożliwia wyprowadzenie formuł
Blacka-Scholesa (BS) na wycenę europejskich opcji waniliowych.
Wzór (11.2) zachodzi również w przypadku, gdy
zależy od czasu
, ale z małą jego modyfikacją. Mianowicie w
miejsce zmienności
należy wstawić we wzorze (11.2)
średnią wartość zmienności na przedziale czasu
:
![]() |
W
tym przypadku formuły BS na wycenę opcji pozostają w mocy z
.
Z (11.2) wynika, że
![]() |
czyli że jest zannualizowanym odchyleniem standardowym
(logarytmicznej) stopy zwrotu z
. W związku z tym obliczając cenę
opcji z modelu BS, w określonych przypadkach za
przyjmuje
się wartość obliczoną statystycznym estymatorem odchylenia
standardowego logarytmicznych stóp zwrotu. Tak obliczoną zmienność
nazywamy zmiennością historyczną i na potrzeby naszego wykładu
oznaczamy ją symbolem
.
Obliczanie zmienności historycznej
Zwykle najpierw oblicza się zmienność w skali jednego dnia
, po czym ta jednodniowa zmienność jest
skalowana do zmienności rocznej wzorem
![]() |
(11.3) |
U w a g i:
Magiczna liczba 252 we wzorze (11.3) wynika z założenia, że rok ma
252 dni handlowe. W zasadzie liczba ta zależy od kraju (waluty). W
pobieżnych szacunkowych obliczeniach można zmienność dzienną
skalować do rocznej mnożąc przez 16.
Skalowanie ,,pierwiastkiem z czasu”, takie jak na przykład w (11.3), jest poprawne
pod pewnymi warunkami (szereg czasowy zaobserwowanych wartości
jest realizacją ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie), które w praktyce rzadko kiedy można uznać, że są
spełnione.
Ze względu na założenia wymienione w punkcie 2, skalowanie ,,pierwiastkiem z czasu” dziennych zmienności wyznaczonych modelami typu GARCH (patrz poniżej) nie ma sensu (bo te modele zakładają, że rozkład zmiennej losowej w danym dniu zależy od rozkładu z poprzedniego dnia!).
Estymacja zmienności średnią ruchomą (MA)
Załóżmy, że na koniec dnia dysponujemy szeregiem czasowym
zrealizowanych wartości procesu cen
![]() |
Prognozowana
(estymowana) dzienna wariancja dla następnego dnia obliczana
jest w następujący sposób:
![]() |
(11.4) |
gdzie
![]() |
(11.5) |
są zrealizowanymi ,,jednodniowymi” (w okresie od do
) stopami zwrotu, a
![]() |
(11.6) |
jest estymatorem średniej (wartości oczekiwanej).
Aspekty praktyczne
Jak należy wybrać długość szeregu czasowego zrealizowanych cen
do estymacji zmienności?
a) Czasami wybiera się tak, by szereg czasowy pokrywał
okres o tej samej długości jak czas trwania opcji. Nie zawsze to ma
sens – w skrajnym przypadku opcji o kilkudniowym czasie trwania
statystyczne własności estymatora obliczonego na podstawie krótkiego
szeregu czasowego są złe.
b) Ta uwaga jest adresowana
do tych, którzy już wiedzą czym jest wartość zagrożona VaR
(Value at Risk) i którzy wcześniej zetknęli się z analizą
portfelową. Zmienność historyczną używa się także do obliczania VaR
portfela. Mianowicie, w metodzie RiskMetrics obliczania VaR zakłada
się, że zmienna losowa opisująca P&L portfela ma rozkład normalny
o średniej zero. Wówczas, VaR portfela przy poziomie ufności
dane jest wzorem
![]() |
gdzie
jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego a
jest odchyleniem standardowym (zmiennością) P&L tego
portfela. Na przykład, przy poziomie ufności
mamy
. Zwykle przy obliczaniu odchylenia
standardowego
, na jednym z etapów obliczeń, estymowana jest
macierz kowariancji pomiędzy czynnikami ryzyka od których zależy
wartość portfela. Wówczas
powinno być takie samo dla wszystkich
czynników ryzyka oraz powinno być dostatecznie duże – przy
zbyt
małym w stosunku do liczby czynników ryzyka wyestymowana macierz
kowariancji może nie być dodatnio określona.
Estymacja zmienności według EWMA (stosowana przez J.P. Morgan w RiskMetrics)
W tym modelu zakłada się, że
![]() |
(11.9) |
gdzie określa proporcje wkładu (kwadratu) bieżącej
zmiany ceny i (kwadratu) zmienności za poprzedni dzień do bieżącej
wartości (kwadratu) zmienności. Ze wzoru (11.9) wynika, że
![]() |
(11.10) |
Wzór (11.10) wyjaśnia dlaczego model ten nazywa się EWMA (wykładniczo ważona średnia ruchoma) i pokazuje, czym różni się ten sposób estymacji zmienności od estymatora (11.8).
Aspekty praktyczne
Wartość parametru można wyestymować metodą
największej wiarogodności (patrz Hull, 5-th Ed., strony
378–382[1]).
J.P. Morgan w swoim modelu RiskMetrics przyjmuje . Według
nich estymatory zmienności obliczone przy tej wartości parametru
są bliskie zrealizowanej zmienności wyliczonej jako
średnia z 25 kolejnych ,,przyszłych” (w stosunku do dnia estymacji)
wielkości
.
Estymacja zmienności według GARCH(1,1)
W tym modelu zakłada się, że
![]() |
(11.11) |
gdzie
![]() |
przy czym zwykle zakłada się, że
![]() |
![]() |
![]() |
Wielkość w (11.11) jest długoterminową średnią
wariancją w tym sensie, że jeżeli
, to w średniej
![]() |
Gdy ,
,
,
GARCH(1,1) redukuje się do EWMA.
Aspekty praktyczne
Wartości parametrów ,
i
można wyestymować metodą największej wiarogodności.
Proces estymacji parametrów można uprość przyjmując za
długoterminową średnią obliczoną na przykład wzorem (11.4).
Ustalenie
umożliwia wyznaczenie parametru
przy
danych
i
, bowiem
.
Jeżeli stosujemy model GARCH(1,1) do wyznaczania zmienności, macierz kowariancji powinna być wyznaczana również w analogiczny sposób.
Formuła Blacka-Scholesa (BS) jest wyprowadzona przy silnych założeniach, o których na ogół możemy z góry powiedzieć, że nie są w rzeczywistości spełnione.
Tym niemniej, formuła BS przyjęła się w praktyce, choć jest używana inaczej niż było jej pierwotne przeznaczenie.
W uproszczeniu, można powiedzieć, że formuła BS jest narzędziem do ,,interpolacji” rynkowej ceny opcji. Przy tej interpolacji kluczową rolę odgrywa zmienność implikowana.
Przypomnijmy podstawowe oznaczenia:
– bieżąca wartość instrumentu podstawowego,
– zmienność,
– cena wykonania,
– czas trwania opcji,
– cena BS waniliowej opcji call,
– cena BS waniliowej opcji put,
– cena rynkowa waniliowej opcji call,
– cena rynkowa waniliowej opcji put.
Zmienność implikowana (ang. implied volatility)
to liczba, która spełnia równanie
![]() |
(11.12) |
dla danych ,
,
(zależność od stóp procentowych jest
zaniedbywana).
Jak widać z (11.12),
![]() |
Sens zmienności implikowanej
kalibruje formułę BS dla opcji o czasie
trwania
i cenie wykonania
do ceny rynkowej. Inaczej,
zmienność implikowana to specjalna liczba, która wstawiona
do niewłaściwej (bo obowiązującej przy założeniach, o
których z góry można powiedzieć, że nie są spełnione) formuły
(Blacka-Scholesa) daje właściwą (prawdziwą, rynkową)
wartość opcji.
Uwagi
Ponieważ vega opcji ,
zmienność
istnieje i jest jednoznaczne
wyznaczona przez (11.12), o ile
.
spełnia również równanie
![]() |
(11.13) |
bowiem jak wynika z parytetu opcji call-put (który jest spełniony bez żadnych modelowych założeń),
![]() |
Inaczej: zmienność implikowana ITM (OTM) call jest taka sama jak zmienność OTM (ITM) put.
Terminologia
Zależność od czasu trwania opcji
nazywamy
strukturą terminową zmienności implikowanej (dla ustalonych
i
).
Zależność od ceny wykonania
(czy od ilorazu
, czy też od ,,delty” opcji) nazywamy uśmiechem zmienności
implikowanej (dla ustalonego
).
Sposób prezentacji uśmiechu zmienności
w zależności od ceny wykonania – dla opcji na akcje/indeksy,
dla zestawu opcji na stopę procentową (dla cap/floor), dla opcji na
kontrakt IRS (dla swapcji),
w zależności od ,,delty” (to jest wielkości blisko związanej z deltą opcji) – dla opcji walutowych,
w zależności od wielkości
![]() |
która określa ,,poziom (stopień) bycia w pieniądzu” opcji (ang. log-moneyness) – w rozważaniach teoretycznych. I tak dla
– opcja call (put) jest ITM (OTM),
– opcja call (put) jest ATM-F (at the money
forward),
– opcja call (put) jest OTM (ITM).
U w a g i:
Czasami (log-moneyness) jest definiowane ,,z przeciwnym znakiem”.
Jest to kwestia przyjęcia pewnej konwencji.
Wyjaśnienia wymaga pojęcie ,,delty” używane do opisu uśmiechu zmienności opcji walutowych. W tym kontekście ,,deltą” jest liczba przeciwna do delty forward opcji put, czyli wielkość
![]() |
gdzie jest dystrybuantą
standardowego rozkładu normalnego. Delta forward to (zwykła) delta
przeniesiona na termin wygaśnięcia opcji czynnikiem
,
gdzie
jest stopą waluty bazowej a
terminem zapadalności
opcji. W szczególności, na przykład, będziemy mówić o opcji (czy też
zmienności implikowanej) 25-delta put (co oznaczymy symbolem 25P)
mając oczywiście na myśli opcję put (zmienność implikowaną opcji
put), której delta forward wynosi -0.25.
Oś ,,delt” przy prezentacji uśmiechu zmienności bywa różnie oznaczana. Na przykład tak:
10P, 25P, ATM, 25C, 10C
lub
10P, 25P, 50P, 75P, 90P.
Kwotowanie uśmiechu zmienności dla opcji walutowych
W wersji podstawowej uśmiech zmienności jest wyznaczany przez trzy punkty wykresu:
zmienność opcji 25-delta put
,
zmienność opcji ATM
,
zmienność opcji 25-delta call
,
przy czym dwie ostatnie wielkości są kwotowane pośrednio przez
zmienność strategii 25-delta risk reversal (oznaczenie: 25-RR)
![]() |
(11.14) |
zmienność strategii 25-delta butterfly (oznaczenie: 25-BF)
![]() |
(11.15) |
Z tych kwotowań wyliczamy
![]() |
(11.16) |
U w a g i:
Zmienność strategii 25-delta risk reversal określa stopień ,,skośności” uśmiechu zmienności.
Zmienność strategii 25-delta butterfly określa stopień ,,wypukłości” uśmiechu zmienności.
Czasami do opisu struktury uśmiechu zmienności używa się również zmienności implikowanych strategii RR i BF przy innych deltach, na przykład 10-delta. Te zmienności, na ogół, nawet jeśli pochodzą z rynku (są kwotowane), są efektem pewnego procesu ,,przybliżania” dokonywanego na podstawie zmienności ATM, 25-RR i 25-BF, przy czym to ,,przybliżanie” może polegać na ocenie rynku przez ,,kwotującego” albo na zastosowaniu pewnych analitycznych metod interpolacji (i ekstrapolacji).
Dyskretna struktura zmienności implikowanej jest przedstawiona w postaci dwuwymiarowej tablicy, tzn. jako macierz wartości indeksowanych dwiema zmiennymi:
okresami, które odpowiadają pewnym ,,wystandaryzowanym” czasom trwania opcji,
,,deltami” opcji.
Indeksy czasowe
Standardowo przyjmuje się następujący układ (
czasów trwania opcji:
1D, 1W, 1M, 2M, 3M, 6M, 9M, 1Y.
Każdego dnia tym okresom są przypisane określone liczby dni odpowiadające czasom trwania opcji, które były by zawarte w danym dniu. Te liczby dni nie są wielkościami stałymi i z dnia na dzień zmieniają się w pewnym zakresie.
Indeksy ,,delta”
Standardowo przyjmuje się następujący układ
(
,,delt”, określających stopień ,,bycia w pieniądzu
lub poza pieniądzem” opcji (put):
0.10, 0.25, 0.50, 0.75, 0.90,
gdzie przypomnijmy znak ujemny delt (forward) opcji put został pominięty.
Dyskretna struktura zmienności implikowanej ma postać następującej tablicy
![]() |
Przybliżanie zmienności implikowanej względem czasu
W praktyce rynkowej stosuje się jedną z dwóch metod przybliżania zmienności względem czasu trwania opcji, które różnią się sposobem obliczania liczby dni do wygaśnięcia opcji (ang. expiry):
metoda podstawowa: uwzględnia się rzeczywistą liczbę dni od daty wyceny (włącznie) do daty wygaśnięcia (wyłącznie),
metoda dni handlowych (metoda TD, TD – od ang. Trade Day): przy obliczaniu liczby dni między datą wyceny (włącznie) a datą wygaśnięcia (wyłącznie) dni weekendowe oraz dni świąteczne są uwzględniane z wagami, które mają odzwierciedlić mniejszą zmienność kursu walutowego w tych dniach.
Obliczanie liczby dni w okresie czasu metodą dni handlowych
Niech
oznacza liczbę dni handlowych w okresie,
oznacza liczbę dni weekendowych w okresie,
oznacza liczbę dni świątecznych w okresie,
oznacza wagę z jaką
uwzględniane będą dni weekendowe w okresie,
oznacza wagę z jaką
uwzględniane będą dni świąteczne w okresie.
Wówczas liczba dni dla okresu czasu od chwili początkowej (daty
wyceny) do chwili według metody dni handlowych dana jest wzorem
![]() |
Załóżmy, że mamy dane wartości zmienności
implikowanych dla czasów trwania
,
i przy
których delty opcji (put) wynoszą
dla pewnego
. Wartość zmienności implikowanej
opcji (put) z deltą
dla czasu trwania:
przyjmujemy następująco:
![]() |
(11.17) |
przybliżamy według następującego wzoru
(interpolacja liniowa względem nieannualizowanej wariancji):
![]() |
(11.18) |
gdzie
w przypadku metody podstawowej
![]() |
w przypadku metody dni handlowych
![]() |
z liczbami dni ,
, oraz
obliczonymi według metody dni handlowych,
przyjmujemy następująco:
![]() |
(11.19) |
Przybliżenie zmienności względem ,,delt”
Przybliżenia dokonujemy dla ustalonego czasu trwania , dla
którego mamy dane (lub obliczone stosując przybliżenie zmienności
względem czasu) wartości
zmienności implikowanej dla ,,delt”
(
).
Przybliżoną wartość zmienności implikowanej
dla czasu trwania ,
która odpowiada zadanej wartości ,,delty” leżącej pomiędzy
a
wyznaczamy stosując jedną z dwóch metod:
interpolację liniową między punktami
(
), to jest
![]() |
(11.20) |
jeśli ,
interpolację splajnami, to jest
![]() |
(11.21) |
gdzie jest
naturalnym splajnem kubicznym wyznaczonym dla układu punktów
(
).
Prócz metod interpolacji należy jeszcze określić sposób
ekstrapolacji zmienności, czyli wyznaczania zmienności
w przypadku gdy
lub
. W najprostszym podejściu stosuje się
ekstrapolację stałymi wartościami, to jest:
dla (to jest dla opcji put/call mocno OTM/ITM)
kładziemy
![]() |
(11.22) | ||
![]() |
Takie rozwiązanie może niedoszacowywać opcje o skrajnych wartościach delt, szczególnie opcje poza pieniądzem.
Załóżmy, że mamy dane wartości zmienności
implikowanej dla ,,delt”
(
) i pewnego
ustalonego czasu trwania
. Wartość zmienności implikowanej
dla opcji o czasie trwania
i cenie wykonania
obliczamy następującym iteracyjnym algorytmem.
Niech
oznacza
zadaną wartość, która określa dokładność z jaką będziemy wyznaczać
zmienność implikowaną.
oznacza maksymalną liczbę wykonywanych iteracji.
Start
Kładziemy (bierzemy zmienność
implikowaną opcji ATM, czyli takiej której delta forward wynosi 50).
Iteracje
Dla wykonujemy następujące kroki 1-3:
Obliczamy ,,deltę” opcji ze zmiennością dla
ceny wykonania
i czasu trwania
:
![]() |
(11.23) |
gdzie,
przypomnijmy,
Wyznaczamy nową wartość zmienności implikowanej
dla opcji z ,,deltą”
za pomocą jednej z
metod przybliżania względem ,,delty”.
Jeśli , to iteracje zostają
zatrzymane.
Koniec.
Jako wartość zmienności implikowanej dla opcji z ceną wykonania
i czasem trwania
przyjmujemy
![]() |
Wyznaczenie wartości zmienności dla opcji o czasie trwania i
cenie wykonania
przebiega w dwóch etapach:
Etap 1
Wyznaczamy strukturę ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie
trwania stosując przybliżenie względem czasu.
Etap 2
Wyznaczamy wartość zmienności dla opcji o czasie trwania i cenie
wykonania
stosując schemat iteracyjny względem ,,delt” na
wyznaczonej w Etapie 1 strukturze ,,uśmiechu” zmienności dla opcji
o czasie trwania
.
Tak wyznaczona zmienność jest następnie używana do obliczenia wartości opcji waniliowej z modelu BS.
Podobnie jak poprzednio dyskretna struktura zmienności implikowanej jest przedstawiona w postaci dwuwymiarowej tablicy
![]() |
indeksowanej dwiema zmiennymi:
okresami, które odpowiadają pewnym ,,wystandaryzowanym” czasom trwania opcji,
cenami wykonania opcji .
Wśród cen wykonania jest cena wykonania opcji ATM, która
zwykle znajduje się w środku ciągu cen
.
Wyznaczenie wartości zmienności dla opcji o czasie trwania i
cenie wykonania
przebiega podobnie jak poprzednio w dwóch
etapach:
Etap 1 jest identyczny jak w przypadku opcji walutowych:
Dla każdej z cen wykonania wyznaczamy strukturę ,,uśmiechu”
zmienności dla opcji o czasie trwania
stosując przybliżenie
względem czasu, czyli znajdujemy zmienności
.
Etap 2 jest prostszy, niż w przypadku opcji walutowych:
Wartość zmienności dla opcji o czasie trwania i cenie wykonania
wyznaczamy stosując interpolację (liniową / splajnami) lub
ekstrapolację względem zmiennej
na wyznaczonej w Etapie 1
strukturze ,,uśmiechu” zmienności
(
).
Do czego używamy zmienności implikowanych?
Do wyceny (z modelu BS) opcji waniliowych.
Nie ma uzasadnienia (poza brakiem lepszego pomysłu) dla bezpośredniego używania zmienności implikowanych przy wycenie opcji egzotycznych, bo z definicji zmienności implikowane są skalibrowane tylko do opcji waniliowych. Za teoretyczną cenę opcji egzotycznych przyjmuje się cenę uzyskaną z odpowiedniego modelu BS obliczoną przy zmienności ATM opcji waniliowej.
Współczynniki wrażliwości opcji (szczególnie delta) nie powinny być
obliczane z wzorów analitycznych wynikających z formuł BS, bowiem w
tych wzorach zakłada się że parametr nie zależy od
. Na
przykład w przypadku obliczania delty, teoretycznie powinniśmy to
zrobić w następujący sposób
![]() |
(11.24) |
Problem polega na tym, że na ogół nie znamy postaci funkcji
i nie umiemy policzyć analitycznie jej
pochodnej. Zwykle ratujemy się w ten sposób, że obliczamy deltę jako
symetryczny iloraz różnicowy
![]() |
(11.25) |
dla odpowiednio małej wielkości , o ile dysponujemy
metodą (numeryczną), która umożliwia modelowanie uśmiechu zmienności
jako funkcji od ceny bieżącej.
Płaszczyzna zmienności jest używana jako ,,input” do zbudowania modelu wyceny opcji egzotycznych spójnej z wyceną opcji waniliowych. W tych modelach wprowadza się nowe rodzaje zmienności:
lokalną (Derman-Kani),
stochastyczną (Hull-White, Heston),
kombinację powyższych (model zaimplementowany w J.P. Morgan).
Cechy charakterystyczne uśmiechów zmienności
Dla opcji walutowych
(a) Dla par walutowych z rozwiniętych rynków
Ma symetryczny kształt z ramionami skierowanymi ku górze.
(b) Dla par walutowych, w których jedna waluta jest walutą rozwiniętego rynku, a druga jest walutą wschodzącego rynku
W tym przypadku spotyka się ,,sprzeczne” opinie i obserwacje:
Ma często kształt podobny do uśmiechu zmienności, który jest obserwowany dla opcji na akcje?
Kształt uśmiechu zmienności podlega częstym zmianom?
Dla opcji na akcje (indeksy)
Uśmiech zmienności ma zwykle wyraźną skośność.
Zmienność maleje wraz ze wzrostem ceny wykonania.
Kształt uśmiechu jest bardziej wyraźny dla opcji o krótkim czasie trwania. Dla opcji o dłuższym czasie trwania uśmiech zmienności jest ,,płytki”.
Zmienność lokalna to deterministyczna (niestochastyczna) funkcja
, która występuje w równaniu opisującym proces
cen instrumentu podstawowego
![]() |
(11.26) |
Uwagi
Jeśli spełnia (11.26), to na ogół (po za kilkoma szczególnymi przypadkami)
nie umiemy podać analitycznego rozwiązania na
i w związku z
tym nie mamy wzorów będących odpowiednikami formuł BS.
Natomiast możemy wciąż powiedzieć, że cena instrumentu pochodnego
wystawionego na , spełnia równanie Blacka-Scholesa
![]() |
(11.27) |
które możemy próbować rozwiązywać numerycznie
po ,,wyspecyfikowaniu” funkcji w sposób
zgodny z rynkiem,
po postawieniu warunków brzegowych, które ,,specyfikują” instrument pochodny.
Zwykle nie rozwiązujemy równania (11.27) bezpośrednio, a
raczej przekształcamy je tak, by otrzymać inne równanie na inną
funkcję (przez którą się wyraża), które się łatwiej rozwiązuje.
Teoretycznie jeśli znamy (z rynku) zależność ceny opcji waniliowych od
i
możemy wyznaczyć funkcję
przez przejście do
równania dualnego do (11.27) – tzw. równania
Fokkera-Plancka. Z tego równania wyznaczamy zmienność lokalną w
następujący sposób
![]() |
W praktyce są z tym problemy, bo mamy zbyt mało danych z rynku, by w
sposób dostatecznie dobry wyliczyć pochodne po
i
, które
występują w równaniu Fokkera-Plancka.
Wykres funkcji nazywa się płaszczyzną lokalnej
zmienności (nie mylić z płaszczyzną zmienności implikowanej).
Jeśli nie wystarcza nam model (11.26), możemy spróbować skomplikować model jeszcze bardziej, to znaczy założyć że proces cen jest opisany równaniem
![]() |
(11.28) |
gdzie tym razem jest wielkością
stochastyczną, taką, że proces wariancji
![]() |
spełnia równanie
![]() |
(11.29) |
dla pewnych funkcji i
. Zakłada się również, że procesy
Wienera
i
są skorelowane, w tym sensie, że
![]() |
Przykłady modeli dla zmienności
Model Hulla-White'a (1987)
![]() |
gdzie ,
,
, oraz
są stałymi.
Model Hestona (1993)
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.