Zagadnienia

12.1 Proste instrumenty pochodne stopy procentowej
12.2 Caplet / Floorlet
12.3 Związek capletów / floorletów z opcjami na obligacje zerokuponowe
12.4 Cap / Floor
12.5 Binary cap / binary floor
12.6 Swapcje – opcje na kontrakty IRS
12.7 Niespójność modelu Blacka'76
12.8 Finansowe produkty strukturalne z wbudowanymi opcjami na stopę procentową
12.9 Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

12. Instrumenty pochodne stopy procentowej

12.1. Proste instrumenty pochodne stopy procentowej

Instrumenty pochodne, których wypłaty zależą od struktury stóp procentowych, są na ogół instrumentami o znacznej złożoności. Ich wycena wymaga dużo bardziej zaawansowanych metod i modeli niż model Blacka-Scholesa, a zabezpieczanie takich instrumentów jest bardzo skomplikowane. Instrumenty pochodne stopy procentowej, w pewnym sensie, są wyeksponowane na wiele wzajemnie oddziaływujących czynników ryzyka. Podstawą do rozumienia inżynierii takich instrumentów są proste pochodne stopy procentowej (pochodne pierwszej generacji), które zależą jedynie od poziomu pewnych stóp procentowych. Na tym wykładzie omówimy najważniejsze takie instrumenty pochodne, mianowicie:

opcje na górny / dolny poziom stopy procentowej – caplet / floorlet
cap (seria capletów) / floor (seria floorletów)
binarne opcje stopy procentowej
opcje na kontrakty IRS – swapcje (swaptions)
opcje na obligacje zerokuponowe

i pokażemy w jaki sposób te instrumenty są wbudowywane w złożone produkty finansowe, na przykład:

inverse floater note,
range accrual note.

Mimo potencjalnych trudności z wyceną tych instrumentów pochodnych, w praktyce rynkowej przyjęty został prosty model – tzw. model Blacka (analogiczny do modelu Blacka – Scholesa), w którym zakłada się że instrument podstawowy opcji (stopa procentowa, cena obligacji) ma w terminie wygaśnięcia opcji rozkład log-normalny. Jak już wiemy przy takim założeniu waniliowe opcje europejskie można w prosty sposób wycenić (o ile znamy parametry tych rozkładów; patrz Lemat 9.3) – otrzymujemy tzw. formuły Blacka'76.

12.2. Caplet / Floorlet

Caplet / Floorlet to pojedyncza opcja kupna / sprzedaży stopy rynkowej $L=L(T,T_{M})$ (typu LIBOR), której okres depozytowy zaczyna się w terminie wygaśnięcia opcji $T$ i kończy się w $T_{M}$ . Wypłata tych opcji wynosi

$\frac{\max\big(\omega(L-K),0\big)\cdot\Delta}{1+\Delta\cdot L}\cdot N,$

(12.1)

gdzie

$\omega=1$ dla capleta i $\omega=-1$ dla floorleta,
$K$ jest ceną wykonania (określającą poziom stopy procentowej),
$\Delta=\Delta(T,T_{M})$ jest długością okresu depozytowego stopy $L=L(T,T_{M})$ ,
$N$ jest nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy $L$ .

Struktura wypłaty (12.1) jest bardzo podobna do wypłaty kontraktu FRA do tego stopnia, że

kupiony caplet $+$ sprzedany floorlet $=$ kupiony FRA.

(12.2)

Stąd wynika parytet dla capletów – floorletów, mianowicie

$V_{{\text{caplet}}}-V_{{\text{floorlet}}}=V_{{\text{long FRA}}}=N\big({DF}(T)-{DF}(T_{M})(1+\Delta\cdot K)\big),$

(12.3)

gdzie $V_{{\text{caplet}}}$ oraz $V_{{\text{floorlet}}}$ oznaczają bieżące ceny capleta oraz floorleta. Posiadacz capleta jest zabezpieczony przed wzrostem stopy procentowej powyżej stopy będącej ceną wykonania tej opcji. Dlatego capleta określa się jako opcję na górny poziom stopy procentowej. Podobnie floorlet jest opcją na dolny poziom stopy procentowej, która zabezpiecza posiadacza przed spadkiem stopy procentowej poniżej stopy będącej ceną wykonania tej opcji.

Wycena capleta / floorleta

Przy założeniu, że stopa $L=L(T,T_{M})$ w chwili $T$ ma rozkład log-normalny taki, że

odchylenie standardowe $\ln(L(T,T_{M}))$ wynosi $\sigma\sqrt{T}$ ,
wartość oczekiwana stopy $L(T,T_{M})$ jest równa aktualnie obserwowanej stopie forward $F=F(0,T,T_{M})$ na okres czasu $[T,T_{M}]$ ,

bieżąca cena capleta ( $\omega=1$ ) / floorleta ( $\omega=-1$ ) o cenie wykonania $K$ wynosi

$V=N\,{DF}(T_{M})\,\omega\big(F\Phi(\omega d_{1})-K\Phi(\omega d_{2})\big)\,\Delta(T,T_{M}),$

(12.4)

gdzie

$d_{1}=\frac{\ln(F/K)+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T},$

(12.5)

a ${DF}(T_{M})$ jest czynnikiem, który dyskontuje z chwili $T_{M}$ na chwilę bieżącą. Czynnik ten możemy oczywiście zapisać w postaci $\text{e}^{{-r(T_{M})T_{M}}}$ , gdzie $r(T_{M})$ jest stopą wolną od ryzyka.

12.3. Związek capletów / floorletów z opcjami na obligacje zerokuponowe

Rozpatrzmy opcję sprzedaży obligacji zerokuponowej, która wypłaca jednostkowy nominał w chwili $T_{M}$ . Opcja wygasając w chwili $T$ , wypłaca

$N_{B}\max(P_{K}-P(T),0),$

(12.6)

gdzie $P_{K}$ jest ceną wykonania, $P(T)$ obserwowaną w chwili wygaśnięcia opcji ceną obligacji, a $N_{B}$ jest nominałem opcji. Jeżeli cenę wykonania i cenę obligacji wyrazimy w terminach stóp procentowych, mianowicie

$P_{K}=\frac{1}{1+\Delta\cdot K}\quad\text{ oraz}\quad P(T)=\frac{1}{1+\Delta\cdot L},$

gdzie $\Delta=\Delta(T,T_{M})$ oraz $L=L(T,T_{M})$ , to po przekształceniu wyrażenia na wypłatę (12.6) otrzymamy następującą formułę

$\frac{\max(L-K,0)\cdot\Delta}{1+\Delta\cdot L}\cdot N_{B}\cdot P_{K},$

która będzie identyczna z (12.1) w przypadku $\omega=1$ , czyli capleta, o ile $N=N_{B}P_{K}$ . Analogiczny rezultat otrzymamy dla opcji kupna obligacji zerokuponowej i floorleta.

12.4. Cap / Floor

Cap / Floor to seria capletów / floorletów na stopy procentowe dla kolejnych jednakowych okresów depozytowych łącznie obejmujących czas trwania capa / floora, wszystkie z tą samą ceną wykonania $K$ i jednakowym nominałem $N$ . Standardowo capy / floory są kwotowane dla okresów czasu będących pełnymi krotnościami roku, przy czym stopą tych kontraktów jest 3M lub 6M stopa typu LIBOR.

Rozpatrzmy $n$ -letni cap / floor na 3M stopę LIBOR. Ponieważ dla pierwszego 3M okresu stopa LIBOR jest ustalona przez rynek, $n$ -letni cap / floor składa się z $4n-1$ trzymiesięcznych capletów / floorletów. Podobnie, $n$ -letni cap / floor na 6M stopę LIBOR składa się z $2n-1$ sześciomiesięcznych capletów / floorletów. Cena capa / floora jest sumą cen poszczególnych (żyjących) capletów / floorletów. I tak, jeśli wycena odbywa się przed terminem zapadalności pierwszego capleta / floorleta, to

$V_{{\text{cap}\, nY}}=\sum _{{j=2}}^{{f\cdot\, n}}V_{{\text{caplet}\, j}},$

(12.7)

gdzie $f$ oznacza liczbę capletów / floorletów przypadającą na okres jednego roku.

Rynek kwotuje ceny capów / floorów podając wartość zmienności implikowanej $\bar{\sigma}(T,K)$ , gdzie $T$ oznacza długość kontraktu (w latach, to jest, $T=nY$ ) a $K$ jest ceną wykonania. Jest to tak zwana płaska zmienność implikowana (ang. flat implied volatility). Ta wartość jest używana do obliczenia ceny capa / floora za pomocą wzoru (12.7), przy czym każdy caplet / floorlet wchodzący w skład jednego capa / floora jest wyceniany formułą (12.4) z tą samą wartością zmienności $\bar{\sigma}(T,K)$ . Ceny gotówkowe capów i floorów są zwykle podawane jako procent nominału wyrażony w punktach bazowych (bp).

Mając do dyspozycji ceny (płaskie zmienności implikowane) dla serii capów / floorów o czasach trwania różniących się tenorem stopy (na przykład, każdy kolejny cap jest dłuższy od poprzedniego o 3M), można wyliczyć wartości zmienności implikowanej dla poszczególnych capletów / floorletów. Wartość zmienności implikowanej $\sigma(j,K)$ $j$ -tego capleta / floorleta dla ceny wykonania $K$ wyznaczamy z warunku

$V_{{\text{cap}}}\, j\Delta(\bar{\sigma}(j\Delta,K))=V_{{\text{cap}}}\,(j-1)\Delta(\bar{\sigma}((j-1)\Delta,K))+V_{{\text{caplet}}}\, j\,(\sigma(j,K)),$

(12.8)

gdzie $\Delta$ oznacza czas trwania capleta / floorleta. W rzeczywistości, rynek kwotuje capy / floory dla czasów trwania, które są pełnymi krotnościami roku i wówczas aby móc wyznaczyć zmienności implikowane $\sigma(j,K)$ korzystając z wzoru (12.8) trzeba przyjąć dodatkowe założenia, na przykład zinterpolować brakujące ceny capów / floorów zapadających pomiędzy pełnymi kolejnymi latami.

Ponieważ dla capletów i floorletów zachodzi związek (12.2), to dla capów i floorów mamy analogicznie

$\text{kupiony cap $+$ sprzedany floor $=$ forward IRS (pay fixed)},$

(12.9)

gdzie kontrakt forward IRS zaczyna się w tej samej chwili czasu w której zapada pierwszy caplet / floorlet i kończy się w chwili w której teoretycznie byłaby płacona stopa LIBOR ostatniego capleta / floorleta. Ze związku (12.9) wynika natychmiast następujący parytet cap – floor

$V_{{\text{cap}}}-V_{{\text{floor}}}=V_{{\text{fwd IRS(pay fixed)}}}=N\left({DF}(T_{1})-{DF}(T_{M})-K\sum _{{t=T_{2}}}^{{T_{M}}}\Delta _{t}{DF}(t)\right),$

(12.10)

gdzie $T_{1}$ i $T_{2}$ są odpowiednio początkiem i końcem pierwszego capleta / floorleta, $T_{M}$ jest końcem ostatniego capleta / floorleta, a $\Delta _{t}$ oznacza długość okresu capleta / floorleta który wygasa w chwili $t$ .

Collar jest strategią złożoną z kupionego capa z ceną wykonania $K_{{\text{cap}}}$ i sprzedanego floora z ceną wykonania $K_{{\text{floor}}}<K_{{\text{cap}}}$ , przy czym oba kontrakty opiewają na ten sam nominał. Kupując taką strategię inwestor zapewnia sobie finansowanie po stopie $R$ nie większej niż $K_{{\text{cap}}}$ ale jednocześnie by obniżyć koszt tego zabezpieczenia (to jest, koszt strategii collar) akceptuje, że poziom stopy po której się będzie finansował będzie wynosić co najmniej $K_{{\text{floor}}}$ . Taki klient zwykle określa maksymalny poziom kosztu finansowania wyrażony stopą $K_{{\text{cap}}}$ oraz koszt zabezpieczenia $P_{{\text{hedge}}}$ i do tych wartości dobiera się cenę wykonania floora $K_{{\text{floor}}}$ tak by

$V_{{\text{cap}}}(K_{{\text{cap}}})-V_{{\text{floor}}}(K_{{\text{floor}}})=P_{{\text{hedge}}}.$

Typowy collar jest tak konstruowany by w chwili jego zawarcia jego wartość wynosiła zero.

12.5. Binary cap / binary floor

Binarny caplet / floorlet wypłaca kwotę w chwili wygaśnięcia opcji $T$

$\mathcal{H}(\omega(L-K))\cdot\Delta\cdot N,$

(12.11)

gdzie

$\mathcal{H}(x)=1$ jeżeli $x>0$ oraz $\mathcal{H}(x)=0$ jeżeli $x\leq 0$ ,
$\omega=1$ dla capleta i $\omega=-1$ dla floorleta,
$K$ jest ceną wykonania (określającą poziom stopy procentowej),
$\Delta=\Delta(T,T_{M})$ jest długością okresu depozytowego stopy $L=L(T,T_{M})$ ,
$N$ jest nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy $L$ .

W modelu Blacka wycena binarnych capletów ( $\omega=1$ ) / floorletów ( $\omega=-1$ ) dana jest wzorem

$V=N\,{DF}(T)\,\Phi(\omega d_{2})\,\Delta(T,T_{M}),$

(12.12)

gdzie

$d_{2}=\frac{\ln(F/K)-\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}},$

(12.13)

a ${DF}(T)$ jest czynnikiem, który dyskontuje z chwili $T$ na chwilę bieżącą.

Binarny cap / floor jest serią pojedynczych capletów / floorletów i oczywiście cena tych kontraktów jest sumą poszczególnych opcji z których się one składają. Binarne capy / floory są najczęściej elementami składowymi finansowych produktów strukturalnych.

12.6. Swapcje – opcje na kontrakty IRS

Swapcja (ang. swaption) jest opcją na kontrakt IRS, który rozpocznie się w terminie wygaśnięcia opcji.

Swapcja charakteryzuje się dwoma parametrami czasowymi – pierwszy z nich oznacza termin wygaśnięcia (czas trwania) swapcji, a drugi to długość (tenor) kontraktu IRS będącego instrumentem podstawowym swapcji. W terminie wygaśnięcia, o ile będzie to korzystne dla posiadacza swapcji, wejdzie on w kontrakt IRS ze stopą określoną ceną wykonania opcji $K$ . Drugą stroną kontraktu IRS będzie wystawca opcji. Są dwa rodzaje swapcji:

receiver's swaptions – opcje na kontrakt IRS w którym (od strony posiadacza opcji) będziemy otrzymywać stałą stopę kontraktu IRS (stopę $K$ ) i płacić stopę zmienną typu LIBOR;
payer's swaptions – opcje na kontrakt IRS w którym (od strony posiadacza opcji) będziemy płacić stałą stopę kontraktu IRS (stopę $K$ ) i otrzymywać stopę zmienną typu LIBOR.

Jak wynika z określenia tych swapcji w chwili wygaśnięcia zachodzi następujący związek

long payer's swaption $+$ short receiver's swaption $=$ pay fixed fwd IRS,

skąd otrzymujemy parytet dla swapcji w postaci

$V_{{\text{p.swaption}}}-V_{{\text{r.swaption}}}=V_{{\text{p.fwd irs}}}(K),$

(12.14)

gdzie $V_{{\text{p.fwd irs}}}(K)$ jest wartością w chwili wyceny kontraktu forward IRS, który płaci stałą stopą $K$ i zaczyna się w chwili wygaśnięcia opcji.

Związek swapcji z opcjami na obligacje kuponowe

W chwili wygaśnięcia $T$ wartość swapcji na jednostkę nominału kontraktu IRS wynosi

$\max(V_{{\text{irs}}}(K),0)$

gdzie $V_{{\text{irs}}}(K)$ jest wartością w chwili $T$ kontraktu IRS ze stopą $K$ . Kontrakt IRS ze stopą $K$ , w którym płacimy stopę stałą $K$ , można (w sensie wyceny) uznać za kontrakt wymiany obligacji o stałym kuponie oprocentowanym $K$ na obligację o zmiennym oprocentowaniu. Wartość obligacji o zmiennym kuponie na początku (każdego) okresu odsetkowego jest równa wartości nominalnej tej obligacji. W związku z tym, receiver's / payer's swapcja jest równoważna opcji kupna (call) / sprzedaży (put) obligacji o stałym kuponie $K$ , której cena wykonania jest równa wartości nominalnej obligacji (swapcji).

Wycena swapcji

Rozpatrzmy payer's swaption o wartości nominalnej 1. Wówczas, wartość, w chwili $T$ , kontraktu IRS będącego instrumentem podstawowym opcji wynosi

$V_{{\text{p.irs}}}(K)=1-P_{K},$

(12.15)

gdzie $P_{K}$ jest ceną obligacji, której kupon wynosi $K$ . Z drugiej strony, kontrakty IRS zawierane w chwili $T$ mają stopę $R(T)$ taką, że obligacja o kuponie $R(T)$ jest at par, to znaczy $P_{{R(T)}}=1$ . Zatem

$V_{{\text{p.irs}}}(K)=P_{{R(T)}}-P_{K}=(R(T)-K)\sum _{{j=1}}^{J}\Delta _{j}{DF}_{T}(T_{j}),$

(12.16)

gdzie $\Delta _{j}$ jest długością $j$ -tego okresu odsetkowego nogi stałej kontraktu IRS, a ${DF}_{T}(T_{j})$ czynnikiem, który dyskontuje z końca tego okresu $T_{j}$ do chwili początkowej kontraktu IRS (według struktury stóp obowiązującej w chwili $T$ ). Z (12.16) wynika, że payer's swapcja będzie wykonywana jeżeli stopa kontraktów IRS w chwili wygaśnięcia opcji jest większa niż cena wykonania swapcji. Ponadto, wzór (12.16) pozwala nam uważać payer's swapcję za zestaw $J$ opcji kupna na stopę $R(T)$ zapadalnych w chwili $T$ o tej samej cenie wykonania $K$ , wpłata których jest proporcjonalna do długości kolejnych okresów odsetkowych nogi stałej kontraktu IRS – dokładniej, wartość wypłaty $j$ -tej takiej opcji w $T$ wynosi

$\max\big((R(T)-K),0\big)\,\Delta _{j}{DF}_{T}(T_{j}).$

(12.17)

Struktura wypłaty (12.17) jest niemal analogiczna jak wypłata capleta dana wzorem (12.1) dla $\omega=1$ .

Zatem, jeżeli założymy, że stopa $R(T)$ kontraktu IRS w chwili $T$ ma rozkład log-normalny taki, że

odchylenie standardowe $\ln(R(T))$ wynosi $\sigma\sqrt{T}$ ,
wartość oczekiwana stopy $R(T)$ jest równa aktualnie obserwowanej stopie $F_{0}=F_{{\text{fwd irs}}}(0,T)$ kontraktu forward IRS który zaczynie się w $T$ ,

to każdą z $J$ opcji, które dają wypłatę payer's swapcji, można wycenić wzorem Blacka'76

${DF}(T_{j})\big(F_{0}\Phi(d_{1})-K\Phi(d_{2})\big)\,\Delta _{j},$

(12.18)

gdzie

$d_{1}=\frac{\ln(F_{0}/K)+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}\quad\text{ oraz}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T},$

(12.19)

a ${DF}(T_{j})$ jest czynnikiem, który dyskontuje z chwili $T_{j}$ na chwilę bieżącą.

Tak więc wartość payer's swapcji wynosi

	$V_{{\text{p.swaption}}}=\left(\sum _{{j=1}}^{J}{DF}(T_{j})\,\Delta _{j}\right)\cdot\big(F_{0}\Phi(d_{1})-K\Phi(d_{2})\big).$		(12.20)
	$V_{{\text{r.swaption}}}=\left(\sum _{{j=1}}^{J}{DF}(T_{j})\,\Delta _{j}\right)\cdot\big(-F_{0}\Phi(-d_{1})+K\Phi(-d_{2})\big).$		(12.20)

Wzory (12.20) możemy, podobnie jak w przypadku poprzednio omawianych opcji, zapisać jedną formułą – mianowicie wartość payer's ( $\omega=1)$ / receiver's ( $\omega=-1)$ swapcji dana jest wzorem

$V_{{\text{swaption}}}=\left(\sum _{{j=1}}^{J}{DF}(T_{j})\,\Delta _{j}\right)\cdot\omega\cdot\big(F_{0}\Phi(\omega d_{1})-K\Phi(\omega d_{2})\big).$

(12.21)

Stopę kontraktu forward IRS, który zacznie się w chwili $T$ i skończy się w $T_{J}$ , obserwowaną w chwili wyceny swapcji obliczamy następującym wzorem:

$F_{0}=\frac{{DF}(T)-{DF}(T_{J})}{\sum _{{j=1}}^{J}{DF}(T_{j})\,\Delta _{j}}.$

(12.22)

Rynek kwotuje swapcje dla głównych walut (USD, EUR, GBP, JPY) podając wartości zmienności $\sigma$ , które wstawione do formuł Blacka'76 prowadzą do ceny gotówkowej. Kwotuje się głównie swapcje ATM, to znaczy swapcje z cenami wykonania równymi stopom odpowiednich kontraktów forward IRS.

12.7. Niespójność modelu Blacka'76

Model Blacka'76 zakłada, że instrument podstawowy opcji w chwili wygaśnięcia opcji ma rozkład log-normalny. W przypadku

wyceny capów / floorów model zakłada, że stopy forward mają rozkład log-normalny,
wyceny swapcji model zakłada, że stopy kontraktów IRS mają rozkład log-normalny.

Te dwa założenia są wzajemnie niespójne (sprzeczne), bowiem, jak wiemy (patrz Wykład 4), stopa kontraktu IRS jest w przybliżeniu średnia arytmetyczną stóp forward i jeśli te ostatnie mają rozkład log-normalny, to, na ogół, rozkład stopy kontraktu IRS nie jest log-normalny.

12.8. Finansowe produkty strukturalne z wbudowanymi opcjami na stopę procentową

Kredyt o zmiennej ale ograniczonej z góry stopie procentowej

Rozpatrzmy kredyt, w którym kredytobiorca płaci co ustalony okres (na przykład co 3M) odsetki obliczone według zmiennej stopy rynkowej typu LIBOR. Kredytobiorca chce ograniczyć z góry koszt tego kredytu (efektywnie płaconą stopę od pożyczonego kapitału). Niech $K$ oznacza maksymalny poziom stopy rynkowej jaki chce on zaakceptować. W tym celu kupuje capa z ceną wykonania $K$ o strukturze zgodnej z zaciągniętym kredytem (caplety maja czas trwania taki sam jak okresy odsetkowe kredytu) z nominałem identycznym jak kwota pożyczonego kapitału. Zawarty kontrakt cap będzie rekompensował kredytobiorcy potencjalnie wyższe koszty obsługi kredytu. Niech $V_{{\text{cap}}}$ będzie ceną tego capa (na jednostkę nominału). Aby zobaczyć jaki jest efektywny koszt tego kredytu z uwzględnieniem zabezpieczenia, rozkładamy koszt capa na strumień dodatkowych płatności płaconych razem z odsetkami od kredytu. Ten strumień wyrazimy w postaci marży $m$ powyżej płaconej stopy, a więc kredytobiorca płaci

LIBOR $+m$ jeżeli LIBOR $\ <K$
lub
$K+m$ jeżeli LIBOR $\ >K$ .

Jeżeli wystawcą capa jest kredytodawca, to istotnie, zamiast przyjmować premię za capa w chwili zawierania umowy, może on rozłożyć premię capa na strumień płatności marżowych, które będzie otrzymywał razem z odsetkami. Wielkość marży $m$ spełnia równanie

$V_{{\text{cap}}}=m\left(\sum _{{j=1}}^{J}{DF}(T_{j})\,\Delta _{j}\right),$

(12.23)

gdzie $\Delta _{j}$ jest długością $j$ -tego okresu odsetkowego kredytu (czasu trwania $j$ -tego capletu), a $T_{j}$ są terminami płatności odsetkowych. Tak obliczona marża $m$ jest funkcją poziomu zabezpieczenia $K$ .

Musimy obsłużyć jeszcze mały niuans. Jak wiemy, konstrukcja capa zakłada, że pierwszy caplet zaczyna się od pierwszego przyszłego okresu depozytowego (odsetkowego) stopy, która jest instrumentem podstawowym capa, czyli że bieżący okres nie jest objęty zabezpieczeniem. Wówczas, aby usunąć to niedopasowanie między strukturą kredytu a strukturą capa, do struktury capa dołącza się dodatkowego capleta na ten pierwszy bieżący okres o znanym już rozliczeniu, którego wartość bieżąca włącza się do ceny capa. Dalej, marżę $m$ obliczmy z wzoru (12.23), gdzie w cenie capa po lewej stronie uwzględniono wartość bieżącą rozliczenia dodatkowego początkowego capleta.

Należy jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że opisując powyższą strukturę zabezpieczania kredytu zakładaliśmy, że caplety wchodzące w skład tej struktury dają (niezdyskontowane stopą LIBOR) wypłaty na końcu okresów depozytowych stopy LIBOR, a nie na początku, jak to opisaliśmy w (12.1). Ta modyfikacja capa nie wpływa na wycenę capa ani obliczenie marży.

Inverse floating rate note (reverse floater, bull floating rate note)

Inverse floater to papier wartościowy który płaci kupony liczone według stopy

$K-\text{ LIBOR},$

(12.24)

gdzie $K$ jest ustalonym poziomem stopy procentowej, zwykle w chwili emisji papieru istotnie większym niż bieżący poziom stóp rynkowych LIBOR, z dodatkowym warunkiem, że stopa (12.24) nie może stać się ujemna – to znaczy w takiej sytuacji kupon jest zerowy. Jakie instrumenty pochodne są wbudowane w tą strukturę?

Range accrual note

Range accrual note to papier wartościowy który płaci kupon liczony według stopy obliczonej następującym algorytmem

$\frac{d}{D}\cdot R,$

(12.25)

gdzie

$R$ jest z góry ustaloną stopą tego papieru (ta stopa może być różna dla różnych okresów odsetkowych),
$D$ jest liczbą dni handlowych w okresie odsetkowym,
$d$ jest liczbą dni tego okresu odsetkowego w których stopa LIBOR miała wartość w ustalonym zakresie, tzn. kiedy

$R_{d}\leq\text{ LIBOR}\leq R_{u}$ (12.26)

dla pewnych ustalonych $R_{d}<R_{u}$ .

Jakie instrumenty pochodne są wbudowane w tę strukturę?

Uwaga 12.1

W innym wariancie Range accrual note kupon liczony jest od stopy

$\frac{d}{D}\cdot(\text{LIBOR}_{{fix}}+m),$

(12.27)

gdzie

$\text{LIBOR}_{{\text{fix}}}$ jest stopą LIBOR ustaloną na początku okresu odsetkowego, niekoniecznie taką samą, która jest używana do sprawdzania warunku (12.26) celem wyznaczenia liczby $d$ – na przykład, jeśli okresy odsetkowe są sześciomiesięczne to $\text{LIBOR}_{{\text{fix}}}$ jest sześciomiesięczną stopą LIBOR, a stopa LIBOR używana w warunku (12.26) jest stopą trzymiesięczną,
$m$ jest marżą addytywną.

W tym wariancie wycena jest istotnie trudniejsza niż w wariancie ze stała stopą. Zwykle musimy się posiłkować metodami przybliżonymi, na przykład metodami Monte Carlo wraz z odpowiednio skalibrowanym modelem stóp procentowych.

12.9. Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 12.1

Cena capleta 6x9 z górnym poziomem stopy 5% wynosi 15 bp. Oblicz cenę floorleta 6x9 z dolnym poziomem stopy 5% wiedząc, że stopa 6M LIBOR wynosi 4.5% a kwotowanie FRA6x9 wynosi 5.5%. Dla uproszczenia obliczeń można przyjąć, że stopy są na bazie 30/360.

Ćwiczenie 12.2

Firma wuwu.com może zaciągnąć kredyt na okres 3 lat w którym będzie płacić półroczne odsetki od pożyczonej kwoty według stopy rynkowej zmiennej LIBOR plus 150 bp (kwota kredytu będzie spłacona na końcu). Ponieważ firma wuwu.com chce uchronić się przed wysokimi kosztami tego kredytu, to jest, nie chce płacić więcej niż 6% w przypadku wzrostu stóp procentowych, bank, w którym firma zaciąga kredyt, proponuje jej kupno trzyletniego kontraktu cap na stopę 6M LIBOR. Bieżąca struktura stóp procentowych (kapitalizowanych w sposób ciągły) jest płaska i stopy te wynoszą 4%. Zmienność trzyletnich kontraktów cap wynosi 20%. Za wystawienie tej opcji firmie wuwu.com bank zamierza pobrać opłatę w formie prowizji. Oblicz wartość tej prowizji.

Ćwiczenie 12.3 (IRS z ograniczoną stopą zmienną)

Rozpatrzmy $n$ -letni kontrakt wymiany procentowej, w którym wysokość stopy zmiennej jest ograniczona z góry. Noga stała płaci odsetki co rok, a noga zmienna co sześć miesięcy. Odsetki nogi zmiennej (na jednostkę nominału) za $i$ -ty sześciomiesięczny okres odsetkowy w tym kontrakcie wynoszą

$\Delta _{i}\min(L_{i},L_{{\text{max}}}),$

gdzie $L_{i}$ jest 6M stopą rynkową (typu LIBOR) ustalaną na początku okresu odsetkowego, $\Delta _{i}$ jest długością tego okresu, a $L_{{\text{max}}}$ ustaloną kontraktem maksymalną wartością płaconej stopy rynkowej. Stopa $R$ nogi stałej tego kontraktu jest tak dobierana, by w chwili rozpoczęcia kontraktu wartość kontraktu wynosiła zero. Oznaczmy ten kontrakt symbolem IRS ${}^{*}$ .

(a) Przedstaw kontrakt IRS ${}^{*}$ jako portfel złożony pewnego kontraktu IRS oraz odpowiedniego instrumentu pochodnego.
(b) Wyprowadź formułę na wartość stopy $R$ kontraktu IRS ${}^{*}$ jako funkcję od stopy $R_{0}$ standardowego kontraktu IRS (o takim samym czasie trwania i takiej samej strukturze okresów odsetkowych jak w kontrakcie IRS ${}^{*}$ ), ceny odpowiedniego instrumentu pochodnego (patrz (a)), bieżącej wartości $L_{0}$ sześciomiesięcznej stopy rynkowej oraz bieżącej wartości $n$ -letniej zerokuponowej stopy procentowej $R(nY)$ .
(c) Wykonaj obliczenia dla następujących danych liczbowych:
- $n=3$ (to jest dla trzyletniego kontraktu),
- stopa standardowego kontraktu IRS 3Y $R_{0}=6\%$ ,
- 6M stopa (typu LIBOR) $L_{0}=5.70\%$ ,
- górny poziom stopy $L_{{\text{max}}}=5.50\%$ ,
- ${DF}(3Y)=0.84$ ,
- caps (ceny w bp, dla danych cen wykonania)
  
  $\begin{pmatrix}&5.00&5.50&6.00\\ \text{3Y}&210&150&100\end{pmatrix}$
- floors (ceny w bp, dla danych cen wykonania)
  
  $\begin{pmatrix}&5.00&5.50&6.00\\ \text{3Y}&38&78&138\end{pmatrix}$

Ćwiczenie 12.4

Bieżąca struktura stóp procentowych (kapitalizowanych w sposób ciągły) jest płaska i stopy te wynoszą 5%.

(a) Oblicz stopę $R$ pięcioletniego kontraktu IRS o rocznych okresach odsetkowych nogi stałej.
(b) Oblicz premię, którą Bank powinien pobrać od klienta zawierającego z Bankiem kontrakt wymiany procentowej IRS, w którym Bank będzie płacił stałą stopę w wysokości $R$ (obliczoną w punkcie (a)) rocznie przez 5 lat, za danie klientowi możliwości bezkosztowego
- (i) przerwania kontraktu po 3 latach,
- (ii) wydłużenia kontraktu w terminie zapadalności z tą samą stopą o kolejne 2 lata.

Przyjmij, że zmienność swapcji wynosi 20% niezależnie od terminu zapadalności i tenoru kontaktu swap, który jest instrumentem podstawowym swapcji.

Ćwiczenie 12.5

Oblicz cenę trzyletniej opcji kupna po cenie nominalnej pięcioletniej obligacji, która będzie płacić rocznie kupon w wysokości 5%. Bieżąca struktura stóp procentowych (kapitalizowanych w sposób ciągły) jest płaska i stopy te wynoszą 5%. Przyjmij, że zmienność trzyletnich swapcji wynosi 20% niezależnie od tenoru kontaktu swap, który jest instrumentem podstawowym swapcji.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Inżynieria Finansowa

Zagadnienia

12. Instrumenty pochodne stopy procentowej

12.1. Proste instrumenty pochodne stopy procentowej

12.2. Caplet / Floorlet

12.3. Związek capletów / floorletów z opcjami na obligacje zerokuponowe

12.4. Cap / Floor

12.5. Binary cap / binary floor

12.6. Swapcje – opcje na kontrakty IRS

12.7. Niespójność modelu Blacka'76

12.8. Finansowe produkty strukturalne z wbudowanymi opcjami na stopę procentową

Uwaga 12.1

12.9. Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 12.1

Ćwiczenie 12.2

Ćwiczenie 12.3 (IRS z ograniczoną stopą zmienną)

Ćwiczenie 12.4

Ćwiczenie 12.5