Zagadnienia

7.1 Model dwumianowy
7.2 Świat wolny od ryzyka
7.3 Wycena instrumentów pochodnych
7.4 Alternatywne wyprowadzenie wzorów na wycenę instrumentu pochodnego
7.5 Wyznaczanie wartości współczynników $U$ i $D$
7.6 Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

7. Model dwumianowy – jednookresowy

7.1. Model dwumianowy

Model dwumianowy jest prostym modelem za pomocą którego

opiszemy proces stochastyczny ceny aktywa,
skonstruujemy portfele replikujące instrumenty pochodne,
sformułujemy i uzasadnimy metodę wyceny instrumentów pochodnych.

Model opiszemy w dwóch etapach:

zaczniemy od modelu jednookresowego (Wykład 7),

który następnie rozszerzymy na

model wielookresowy (Wykład 8).

W modelu jednookresowym rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie

dziś – $t=0$ w którym znamy stan rynku,
jutro – $t=T$ w którym stan rynku z dzisiejszej perspektywy nie jest znany – ceny aktywów w $T$ są zmiennymi losowymi.

Na rynku mamy dwa aktywa

obligację zerokuponową (rachunek bankowy na którym lokaty/depozyty są oprocentowane według stopy zerokuponowej) $\longrightarrow$ proces (zmienna) deterministyczna,
aktywo obarczone ryzykiem (np. akcja), które nie przynosi dochodu w okresie $[0,T]$ $\longrightarrow$ proces stochastyczny.

$\blacktriangleright$ Proces wartości obligacji zerokuponowej (rachunku bankowego) – $B_{t}$

$B_{0}=1$ ,
$B_{T}={DF}(0,T)^{{-1}}=1+L\tau=\text{e}^{{R\tau}}$ , gdzie $\tau=\Delta(0,T)$ .

$\blacktriangleright$ Proces ceny aktywa – $S_{t}$

$S_{0}$ dane, znana wartość,
$S_{T}$ jest zmienną losową o następującym rozkładzie

$S_{T}=\left\{\begin{array}[]{ll}S_{0}\, U,&\hbox{z prawdopodobieństwem $p$ (stan ,,up''),}\\ S_{0}\, D,&\hbox{z prawdopodobieństwem $1-p$ (stan ,,down'').}\end{array}\right.$

gdzie $U$ i $D$ są dane, przy czym $0<D<U$ . Później pokażemy jak te wielkości powiązać z innymi parametrami aktywa, w szczególności ze zmiennością aktywa. Okaże się również, że wartość prawdopodobieństwa $p$ nie będzie istotna przy wycenie instrumentów pochodnych wystawionych na $S$ (istotna będzie miara prawdopodobieństwa w tzw. świecie wolnym od ryzyka).

Zmienną $S_{T}$ możemy zapisać w postaci

$S_{T}=S_{0}\, Z,$

gdzie $Z$ jest następującą zmienną losową

$Z=\left\{\begin{array}[]{ll}U,&\hbox{z prawdopodobieństwem $p$,}\\ D,&\hbox{z prawdopodobieństwem $1-p$.}\end{array}\right.$

$\blacktriangleright$ Europejski instrument pochodny $X$ , wystawiony na ryzykowne aktywo $S$ , to instrument finansowy, którego wartość wypłaty w chwili zapadalności $T$ jest zmienną losową postaci

$X_{T}=\Phi(S_{T}),$

gdzie $\Phi$ jest pewną funkcją.

Na przykład, dla europejskiej opcji kupna akcji $S$ z ceną wykonania $K$ , która wygasa w $T$ , mamy

$X_{T}=\Phi(S_{T})=\max(S_{T}-K,0)=\max(S_{0}Z-K,0)=\left\{\begin{array}[]{ll}S_{0}U-K,&\hbox{w stanie ,,up'',}\\ 0,&\hbox{w stanie ,,down''.}\end{array}\right.$

przy założeniu, że $S_{0}\, D<K<S_{0}\, U$ .

Jedna z metod wyceny instrumentów pochodnych będzie polegała na konstrukcji portfela replikującego dany instrument pochodny, to znaczy portfela którego wartość w terminie zapadalności instrumentu pochodnego będzie taka sama jak wypłata, którą da instrument pochodny. Sformalizujemy pojęcie portfela w następujący sposób.

$\blacktriangleright$ Portfel na rynku, na którym dostępne są obligacja (rachunek bankowy) i jedno ryzykowne aktywo, to para $h=(x,y)$ , gdzie $x$ oznacza kwotę pieniędzy zainwestowaną w obligacje (złożoną na rachunku bankowym), a $y$ oznacza ilość ryzykownego aktywa w portfelu.

Założenia

krótka sprzedaż jest dozwolona $\longrightarrow$ $x$ i $y$ mogą być ujemne,
jest nieskończona podzielność aktywów $\longrightarrow$ $x$ i $y$ nie muszą być całkowite,
nie ma widełek kupna-sprzedaży,
jest pełna płynność obu aktywów.

$\blacktriangleright$ Wartość portfela $h$ :

w chwili $t=0$ utworzenia portfela wynosi $V^{h}_{0}=xB_{0}+yS_{0}$ i jest znaną wartością, jeśli $x$ i $y$ są dane,
w przyszłej chwili $t=T$ jest zmienną losową $V^{h}_{T}=xB_{T}+yS_{T}=x(1+L\tau)+yS_{0}\, Z$ .

Sprawiedliwa cena instrumentu pochodnego będzie ceną, przy której arbitraż nie będzie możliwy. Sprecyzujemy pojęcie portfela arbitrażowego.

$\blacktriangleright$ Portfel arbitrażowy to portfel $h$ , który spełnia następujące warunki:

$V^{h}_{0}=0$ $\longrightarrow$ nie ponosimy żadnych kosztów początkowych by utworzyć portfel,
$P(V^{h}_{T}\geq 0)=1$ ,
$P(V^{h}_{T}>0)>0$ .

W jakich warunkach nasz model rynku nie dopuszcza arbitrażu? Odpowiedź na to pytanie zawarta jest w następującym lemacie:

Lemat 7.1

Model jednookresowy rynku z parametrami $(U,D,L,T)$ nie dopuszcza arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy

$D<1+L\tau<U,$

(7.1)

gdzie $\tau=\Delta(0,T)$ .

( $\Rightarrow$ ) Przypuśćmy, że (7.1) nie zachodzi. Wówczas, $D\geq 1+L\tau$ lub $1+L\tau\geq U$ . Rozpatrzmy przypadek $1+L\tau\geq U$ . Wtedy mamy także $1+L\tau>D$ . Skąd wynika, że zawsze (niezależnie od stanu rynku) inwestycja w obligację (lokatę na rachunku bankowym) nie będzie mniej opłacalna niż inwestycja w aktywo. Tak więc, tworzymy portfel $h=(S_{0},-1)$ , to znaczy krótko sprzedajemy aktywo i pieniądze uzyskane ze sprzedaży aktywa inwestujemy w obligację. Jasne, że $V^{h}_{0}=0$ oraz że

$V^{h}_{T}=xB_{T}+yS_{T}=S_{0}(1+L\tau)-S_{0}\, Z=S_{0}\big((1+L\tau)-Z\big)\geq 0$

w każdym stanie rynku. Ponadto, w stanie ,,down” $S_{0}\big((1+L\tau)-Z\big)=S_{0}\big((1+L\tau)-D\big)>0$ . Tak więc $h$ jest portfelem arbitrażowym. Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić w przypadku gdy $D\geq 1+L\tau$ .

( $\Leftarrow$ ) Niech $h$ będzie dowolnym portfelem takim, że $V^{h}_{0}=0$ . Wówczas $h=(-yS_{0},y)$ , a jego wartość w $T$ wynosi

$V^{h}_{T}=\left\{\begin{array}[]{ll}yS_{0}\big(U-(1+L\tau)\big),&\hbox{w stanie ,,up'',}\\ yS_{0}\big(D-(1+L\tau)\big),&\hbox{w stanie ,,down''.}\end{array}\right.$

Przypuśćmy, że arbitraż jest możliwy. W przypadku $y>0$ $h$ jest portfelem arbitrażowym wtedy i tylko wtedy, gdy $U\geq 1+L\tau$ oraz $D\geq 1+L\tau$ , i przynajmniej jedna z tych nierówności jest ostra. Wtedy mamy sprzeczność z (7.1). W przypadku $y<0$ do sprzeczności dochodzimy w podobny sposób.

∎

Warunek z Lematu 7.1 możemy przeformułować w następujący sposób:

Lemat 7.2

(7.1) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy istnieją dodatnie $q_{d}$ , $q_{u}$ , $q_{d}+q_{u}=1$ , takie że

$1+L\tau=q_{d}D+q_{u}U.$

(7.2)

( $\Leftarrow$ ) Oczywiste.

( $\Rightarrow$ ) Definiujemy (rozwiązujemy równanie (7.2) przy warunku $q_{d}+q_{u}=1$ ):

$q_{d}=\frac{U-(1+L\tau)}{U-D}\quad\text{ oraz}\quad q_{u}=\frac{(1+L\tau)-D}{U-D}.$

(7.3)

Łatwo sprawdzić, że są to szukane wartości.

∎

7.2. Świat wolny od ryzyka

$(q_{d},q_{u})$ zadają nowe prawdopodobieństwo $Q$ na przestrzeni stanów rynku w $t=T$ . Niech $E^{Q}$ oznacza wartość oczekiwaną względem miary prawdopodobieństwa $Q$ . Wówczas, jak łatwo można pokazać

$E^{Q}(S_{T})=q_{d}S_{0}D+q_{u}S_{0}U=(1+L\tau)S_{0},$

(7.4)

czyli w świecie z miarą $Q$ oczekiwany zwrot z ryzykownego aktywa jest równy zwrotowi z aktywa wolnego od ryzyka. Z tego powodu miarę $Q$ określa się terminem miara wolna od ryzyka, a przestrzeń stanów rynku z tą miarą nazywamy światem wolnym od ryzyka.

Wzór (7.4) możemy przepisać w następującej postaci

$S_{0}=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(S_{T})=\frac{1}{B_{T}}E^{Q}(S_{T})$

(7.5)

i wtedy oznacza on, że bieżąca cena ryzykownego aktywa jest równa zdyskontowanej po stopie wolnej od ryzyka wartości oczekiwanej (względem miary $Q$ ) przyszłej ceny $S_{T}$ . Niech

$S^{*}_{t}=\frac{S_{t}}{B_{t}}$

będzie procesem zdyskontowanej ceny aktywa. Wówczas (7.5) możemy przeformułować w następujący sposób:

$S^{*}_{0}=E^{Q}(S^{*}_{T}),$

co matematycznie możemy wyrazić mówiąc iż zdyskontowany proces cen jest martyngałem. Dlatego też o mierze $Q$ mówimy że jest to wolna od ryzyka miara martyngałowa.

Równanie (7.4) można zinterpretować również w inny sposób. Mianowicie, (7.4) stwierdza, że wartość oczekiwana ceny aktywa $S_{T}$ (w mierze wolnej od ryzyka) jest równa cenie forward $F_{0}$ tego aktywa (bowiem $F_{0}={DF}(0,T)^{{-1}}S_{0}$ ).

7.3. Wycena instrumentów pochodnych

Niech

$\Pi _{t}(X)$

oznacza cenę instrumentu pochodnego $X$ w chwili czasu $t$ . Jasne, że w chwili zapadalności $t=T$ instrumentu $X$ jego cena pokrywa się z wartością wypłaty, czyli że $\Pi _{T}(X)=X_{T}=\Phi(S_{T})$ .

Jak natomiast wyznaczyć sprawiedliwą cenę $X$ w chwili bieżącej $t=0$ ? Zrobimy to tak:

zreplikujemy instrument pochodny $X$ portfelem $h(X)$ złożonym z obligacji zerokuponowej (lokaty/depozytu) i aktywa $S$ ,
za cenę instrumentu pochodnego $X$ przyjmiemy wartość portfela replikującego, to znaczy przyjmiemy, że

$\Pi _{t}(X)=V^{{h(X)}}_{t}.$

W szczególności, będziemy mieli (zasada wyceny instrumentów pochodnych)

$\Pi _{0}(X)=V^{{h(X)}}_{0},$

(7.6)

bowiem każda inna cena prowadziłaby do arbitrażu.

Będzie to dobry model wyceny, jeżeli będziemy wiedzieli, że każdy instrument pochodny możemy tak wycenić, czyli gdy każdy instrument pochodny będziemy w stanie zreplikować w naszym modelu rynku. W tym kontekście wprowadzimy następujące definicje:

Instrument pochodny $X$ jest osiągalny, jeżeli istnieje portfel $h(X)$ taki że

$V^{{h(X)}}_{T}=X_{T}\quad\text{ z prawdopodobieństwem 1.}$

Portfel $h(X)$ nazywamy portfelem replikującym, a $-h(X)$ portfelem zabezpieczającym.
Jeżeli każdy instrument pochodny $X$ jest osiągalny na danym rynku, to mówimy, że rynek jest zupełny.

W naszym prostym przypadku mamy następujące

Twierdzenie 7.1

Jeżeli model jednookresowy jest wolny od arbitrażu, to ten model rynku jest zupełny, to znaczy, każdy instrument pochodny na tym rynku jest osiągalny.

Niech $X=\Phi(S)$ będzie dowolnym instrumentem pochodnym zapadalnym w $T$ , którego instrumentem podstawowym jest aktywo $S$ . Pokażemy, że istnieje portfel $h(X)$ taki, że

$\begin{split} V^{{h(X)}}_{T}&=\Phi(S_{0}U)\quad\text{w stanie ,,up''},\\ V^{{h(X)}}_{T}&=\Phi(S_{0}D)\quad\text{w stanie ,,down''}.\\ \end{split}$

Niech $h(X)=(x,y)$ . Wówczas z powyższego warunku wynika następujący układ równań na niewiadome $x$ , $y$ :

$\begin{split}(1+L\tau)x+S_{0}Uy&=\Phi(S_{0}U)\quad\text{w stanie ,,up''}\\ (1+L\tau)x+S_{0}Dy&=\Phi(S_{0}D)\quad\text{w stanie ,,down''}\\ \end{split}$

Ponieważ $U>D$ , układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie

$\begin{split} x&=\frac{1}{1+L\tau}\frac{U\,\Phi(S_{0}D)-D\,\Phi(S_{0}U)}{U-D}\\ y&=\frac{1}{S_{0}}\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{U-D}=\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{S_{0}U-S_{0}D}\\ \end{split}$

(7.7)

A więc istnieje portfel $h(X)$ replikujący $X=\Phi(S)$ .

∎

Niech $X=\Phi(S)$ będzie instrumentem pochodnym, a $h(X)=(x,y)$ jego portfelem replikującym skład którego dany jest wzorami (7.7). Wówczas zgodnie z zasadą wyceny instrumentów pochodnych (7.6), cena $X$ w $t=0$ dana jest wzorem

$\begin{split}\Pi _{0}(X)&=V^{{h(X)}}_{0}=x+S_{0}y=\\ &=\frac{1}{1+L\tau}\frac{U\,\Phi(S_{0}D)-D\,\Phi(S_{0}U)}{U-D}+\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{U-D}=\\ &=\frac{1}{1+L\tau}\left(\frac{(1+L\tau)-D}{U-D}\,\Phi(S_{0}U)+\frac{U-(1+L\tau)}{U-D}\,\Phi(S_{0}D)\right)=\\ &=\frac{1}{1+L\tau}\left(q_{u}\Phi(S_{0}U)+q_{d}\Phi(S_{0}D)\right)=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(\Phi(S_{T}))=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(X_{T}).\end{split}$

Dotychczasowe rezultaty zbierzemy w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 7.2

Jeżeli model jednookresowy nie dopuszcza arbitrażu, to sprawiedliwa cena instrumentu pochodnego $X=\Phi(S)$ dana jest wzorem

$\Pi _{0}(X)=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(X_{T}),$

gdzie $Q$ jest wolną od ryzyka miarą martyngałową wyznaczoną przez warunek

$S_{0}=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(S_{T}).$

Instrument pochodny $X$ można zreplikować portfelem $h(X)=(x,y)$ , gdzie

$\begin{split} x&=\frac{1}{1+L\tau}\frac{U\,\Phi(S_{0}D)-D\,\Phi(S_{0}U)}{U-D},\\ y&=\frac{1}{S_{0}}\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{U-D}=\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{S_{0}U-S_{0}D}.\\ \end{split}$

7.4. Alternatywne wyprowadzenie wzorów na wycenę instrumentu pochodnego

Rozpatrzmy instrument pochodny $X=\Phi(S)$ wygasający w chwili $T$ , którego instrumentem podstawowym jest aktywo $S$ . Tworzymy portfel który składa się z

$\Delta$ jednostek aktywa,
wystawionego (sprzedanego) instrumentu pochodnego $X$ .

Wartość tego portfela w chwili $T$ wynosi

$\begin{split}&S_{0}U\Delta-\Phi(S_{0}U)\quad\text{w stanie ,,up''},\\ &S_{0}D\Delta-\Phi(S_{0}D)\quad\text{w stanie ,,down''}.\\ \end{split}$

Chcemy by ten portfel był pozbawiony ryzyka, to znaczy, by niezależnie od stanu rynku jego wartość była taka sama, czyli by zachodziła równość

$S_{0}U\Delta-\Phi(S_{0}U)=S_{0}D\Delta-\Phi(S_{0}D).$

Rozwiązując to równanie ze względu na zmienną $\Delta$ otrzymujemy

$\Delta=\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{S_{0}U-S_{0}D}=\frac{1}{S_{0}}\frac{\Phi(S_{0}U)-\Phi(S_{0}D)}{U-D}.$

(7.8)

Zauważmy, że $\Delta=y$ , gdzie $y$ określa ilość aktywa w portfelu replikującym $h(X)$ (patrz (7.7)). Gdy $\Delta$ jest wyznaczone wzorem (7.8), nasz portfel jest pozbawiony ryzyka. Dochód, który da ten portfel, musi być taki sam jak dochód z inwestycji w obligację zerokuponową (lokatę/depozyt) ze stopą $L$ . Ponieważ koszt utworzenia tego portfela w $t=0$ wynosi

$S_{0}\Delta-\Pi _{0}(X),$

w chwili $T$ musi zachodzić

$(1+L\tau)(S_{0}\Delta-\Pi _{0}(X))=S_{0}U\Delta-\Phi(S_{0}U).$

Z tego równania możemy wyliczyć wartość $\Pi _{0}(X)$ . Otrzymamy

$\Pi _{0}(X)=S_{0}\Delta-\frac{1}{1+L\tau}(S_{0}U\Delta-\Phi(S_{0}U)),$

(7.9)

a po podstawieniu do (7.9) formuły (7.8) na $\Delta$ i wykonaniu odpowiednich przekształceń, wzór (7.9) przedstawimy znów w postaci

$\Pi _{0}(X)=\frac{1}{1+L\tau}\left(q_{u}\Phi(S_{0}U)+q_{d}\Phi(S_{0}D)\right)=\frac{1}{1+L\tau}E^{Q}(X_{T}).$

Uwaga 7.1

Często do wyrażenia stopy dochodu z inwestycji wolnej od ryzyka, zamiast stopy prostej $L$ , używa się stopy kapitalizowanej w sposób ciągły (stopy logarytmicznego zwrotu) $R$ . Podobnie, zamiast czynnika dyskontowego postaci $1/(1+L\tau)$ , używa się ceny obligacji zerokuponowej zapadalnej w $T$ . Wtedy w odpowiednich wyrażeniach należy zastąpić $1+L\tau$ przez $\exp(R\tau)$ lub $1/B_{T}$ .

Przykład 7.1

Niech cena akcji w chwili $t=0$ wynosi $S_{0}=20$ , a stopa wolna od ryzyka kapitalizowana w sposób ciągły $R=12\%$ . Rozpatrzmy trzymiesięczną opcję kupna z ceną wykonania $K=21$ . Dla uproszczenia obliczeń przyjmijmy, że $T=3/12=0.25$ . Załóżmy, że cena akcji albo wzrośnie o $10\%$ albo zmaleje o $10\%$ , czyli że $U=1.1$ oraz $D=0.9$ . Tak więc w $T=3/12$ , cena akcji wynosi

$S_{T}=22\ \text{(w stanie ,,up'')}\quad\text{albo}\quad S_{T}=18\ \text{(w stanie ,,down'')},$

a wartość wypłaty z opcji

$C_{T}=1\ \text{(w stanie ,,up'')}\quad\text{albo}\quad C_{T}=0\ \text{(w stanie ,,down'')}.$

Wyznaczamy miarę wolną od ryzyka, czyli prawdopodobieństwo

$q_{u}=\frac{\text{e}^{{RT}}-D}{U-D}=0.6523.$

Uwaga: wartość $q_{u}$ możemy również obliczyć z równania

$q_{u}\cdot 22+(1-q_{u})\cdot 18=\text{e}^{{0.12\cdot 0.25}}\cdot 20.$

Zgodnie z zasadą wyceny instrumentów pochodnych cena opcji w $t=0$ wynosi

$C_{0}=\text{e}^{{-RT}}(q_{u}\Phi(S_{0}U)+q_{d}\Phi(S_{0}D))=\text{e}^{{-0.12\cdot 0.25}}(0.6523\cdot 1+0.3477\cdot 0)=0.633.$

Tą samą wartość otrzymamy obliczając wartość portfela replikującego w $t=0$ . Mianowicie, skład portfela replikującego jest następujący

$\begin{split} x&=\text{e}^{{-0.12\cdot 0.25}}\cdot\frac{1.1\cdot 0-0.9\cdot 1}{1.1-0.9}=-4.367,\\ y&=\frac{1}{20}\cdot\frac{1-0}{1.1-0.9}=0.25,\end{split}$

a jego wartość w $t=0$ wynosi

$x+S_{0}y=-4.367+20\cdot 0.25=0.633.$

Wróćmy do świata realnego. Przypuśćmy, że oczekiwana logarytmiczna (kapitalizowana w sposób ciągły) stopa zwrotu z akcji wynosi 16%. Prawdopodobieństwo $p_{u}$ wzrostu ceny akcji w świecie realnym obliczamy z równania

$p_{u}\cdot 22+(1-p_{u})\cdot 18=\text{e}^{{0.16\cdot 0.25}}\cdot 20,$

skąd $p_{u}=0.7041$ . W świecie realnym oczekiwana wypłata z opcji wynosi

$p_{u}\cdot 1+(1-p_{u})\cdot 0=0.7041.$

Jaką stopą $R^{*}$ należy zdyskontować tą oczekiwaną wypłatę opcji, by otrzymać cenę opcji? Obliczamy ją z warunku

$\text{e}^{{-R^{*}\cdot 0.25}}\cdot 0.7041=0.633,$

skąd $R^{*}=42.58\%$ , a więc dużo więcej niż 16%, i słusznie bowiem opcja jest instrumentem bardziej ryzykownym niż akcja.

7.5. Wyznaczanie wartości współczynników $U$ i $D$

Chcemy powiązać wartości współczynników $U$ i $D$ z podstawowymi parametrami procesu cen aktywa $S$ . Tymi parametrami będą

$\mu$ – logarytmiczna stopa oczekiwanego zwrotu z aktywa, czyli liczba taka, że

$E(S_{T})=S_{0}\,\text{e}^{{\mu\tau}},$
$\sigma$ – odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu z aktywa – tzw. zmienność aktywa – liczba taka, że

$\text{Var}(S_{T})=S_{0}^{2}\,\text{e}^{{2\mu\tau}}\left(\text{e}^{{\sigma^{2}\tau}}-1\right),$ (7.10)

przy czym obie wielkości są podane w skali roku (zannualizowane). Oczywiście, w przypadku tworzenia drzewa dwumianowego w celu wyceny instrumentu pochodnego przyjmujemy $\mu=R$ , gdzie $R$ jest stopą wolną od ryzyka (bowiem wycena odbywa się w świecie wolnym od ryzyka).

Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywa w modelu dwumianowym rynku w którym stopa oczekiwanego zwrotu wynosi $\mu$ . Wówczas, parametry modelu muszą być tak dobrane by

	$E(S_{T})=S_{0}Up+S_{0}D(1-p)=S_{0}\text{e}^{{\mu\tau}}.$		(7.11)
	$E((S_{T})^{2})-(E(S_{T}))^{2}=(S_{0}U)^{2}p+(S_{0}D)^{2}(1-p)-(S_{0}Up+S_{0}D(1-p))^{2}.$
	$\text{Var}(S_{T})\simeq S_{0}^{2}\sigma^{2}\tau.$
	$U^{2}p+D^{2}(1-p)-(Up+D(1-p))^{2}=\sigma^{2}\tau.$

Równania (7.11) tworzą układ dwóch równań na trzy niewiadome $p$ , $U$ , oraz $D$ . Musimy więc dołożyć dodatkowy warunek, który umożliwi nam rozwiązanie układu. Przedstawimy dwa rozwiązania, które uzyskamy przy dwóch różnych warunkach dodatkowych.

$\blacktriangleright$ Rozwiązanie I (Model CRR – Cox, Ross, Rubinstein)

Warunek dodatkowy jest następujący – zakładamy, że

$UD=1.$

(7.12)

Ten warunek upraszcza tworzenie procesu cen aktywa na wielookresowym drzewie dwumianowym. Wówczas rozwiązanie układu równań (7.11), (7.12) ma następującą postać:

$p=\frac{\text{e}^{{\mu\cdot\tau}}-D}{U-D},$

(7.13)

co wynika wprost z (7.11a), oraz

$U=\text{e}^{{+\sigma\sqrt{\tau}}},\quad D=\text{e}^{{-\sigma\sqrt{\tau}}},$

(7.14)

przy czym wielkości $U$ i $D$ spełniają równanie (7.11b) z dokładnością od wyrażeń rzędu $\tau$ .

Uwagi

Można pokazać, że jeżeli $U$ i $D$ są określone równaniami (7.14), a $p$ równaniem (7.13), to spełnianie warunku (7.11b) nie zależy od wartości stopy $\mu$ . To oznacza, że w modelu dwumianowym zmienność aktywa jest taka sama niezależnie od tego czy model opisuje świat realny czy świat wolny od ryzyka (ma to związek z Twierdzeniem Girsanowa).
Jeżeli zamiast przybliżonego równania (7.11b), do wyznaczania wartości współczynników $U$ i $D$ użyć dokładnego równania

$U^{2}p+D^{2}(1-p)-(Up+D(1-p))^{2}=\text{e}^{{2\mu\tau}}\left(\text{e}^{{\sigma^{2}\tau}}-1\right),$

to wartości tych współczynników wyniosą

$\begin{split} U&=\beta+\sqrt{\beta^{2}-1}\\ D&=1/U=\beta-\sqrt{\beta^{2}-1}\\ \end{split}$

gdzie

$\beta=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{{-\mu\tau}}+\text{e}^{{(\mu+\sigma^{2})\tau}}\right).$

Można pokazać, że wówczas

$U=\text{e}^{{\sigma\sqrt{\tau}}}+O\left((\sqrt{\tau})^{3}\right),$

tak więc z dokładnością do wyrazów wyższego rzędu $U\simeq\text{e}^{{\sigma\sqrt{\tau}}}$ , tak jak w oryginalnym rozwiązaniu CRR.

$\blacktriangleright$ Rozwiązanie II – Model ,,równych prawdopodobieństw”

Warunek dodatkowy jest następujący – przyjmujemy, że

$p=\frac{1}{2}.$

(7.15)

Ten warunek upraszcza obliczanie wartości oczekiwanej przy obliczaniu ceny instrumentu pochodnego w wielookresowym modelu dwumianowym. Wówczas rozwiązanie układu równań (7.11), (7.15) ma następującą postać:

$U=\text{e}^{{(\mu-\sigma^{2}/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}}},$

(7.16)

$D=\text{e}^{{(\mu-\sigma^{2}/2)\tau-\sigma\sqrt{\tau}}},$

(7.17)

przy czym wielkości $U$ i $D$ spełniają równanie (7.11) z dokładnością od wyrażeń rzędu $\tau$ .

7.6. Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

W poniższych zadaniach przyjmijmy następujące definicje i określenia

Prosta stopa zwrotu $R$ z aktywa $S$

$R=\frac{1}{\tau}\frac{S_{T}-S_{0}}{S_{0}},$

gdzie $\tau$ jest ułamkiem roku dla okresu $[0,T]$ .
Stopa logarytmicznego zwrotu $r$ z aktywa $S$

$r=\frac{1}{\tau}\ln\left(\frac{S_{T}}{S_{0}}\right),$

gdzie $\tau$ jest ułamkiem roku dla okresu $[0,T]$ .
$E^{{(p)}}(Y)$ – wartość oczekiwana zmiennej $Y$ w modelu dwumianowym, w którym prawdopodobieństwo stanu ,,Up” wynosi $p$ .
$\sigma^{{(p)}}(Y)$ – odchylenie standardowe zmiennej $Y$ w modelu dwumianowym, w którym prawdopodobieństwo stanu ,,Up” wynosi $p$ .

Ćwiczenie 7.1

Pokaż, że

(a) $E^{{(q)}}(R)=L$ ,
(b) $E^{{(p)}}(R)-L=\frac{1}{\tau}(p-q)(U-D)$ ,
(c) $\sigma^{{(p)}}(R)=\sqrt{p(1-p)}\,(U-D)$ ,
(d) $E^{{(p)}}(R)-L=\frac{p-q}{\sqrt{p(1-p)}}\,\sigma^{{(p)}}(R)=\frac{p-q}{\sqrt{q(1-q)}}\,\sigma^{{(q)}}(R)$ ,

gdzie $L$ jest stopą prostą opisującą kumulację kapitału na rachunku bankowym – tzw. stopa wolna od ryzyka, a $q$ jest prawdopodobieństwem (martyngałowym) w tym świecie wolnym od ryzyka.