Zagadnienia

11.1 Rodzaje zmienności
11.2 Zmienność historyczna
11.3 Metody wyznaczania zmienności dziennej
11.4 Zmienność implikowana
11.5 Uśmiech zmienności
11.6 Struktura zmienności implikowanej opcji walutowych
11.7 Wyznaczenie zmienności dla opcji o danej cenie wykonania
11.8 Zmienność dla opcji dowolnym czasie trwania i cenie wykonania
11.9 Struktura zmienności implikowanej opcji na akcje/indeksy
11.10 Zmienność lokalna
11.11 Zmienność stochastyczna

11. Zmienność

11.1. Rodzaje zmienności

W inżynierii finansowej funkcjonuje wiele rodzajów zmienności. Mamy

zmienność historyczną,
zmienność implikowaną,
zmienność lokalną,
zmienność stochastyczną.

Wszystkie one są używane w roli zmienności $\sigma$ , która występuje w podstawowym modelu opisującym proces cen (w świecie wolnym od ryzyka)

$\text{d}S_{t}=rS_{t}\text{d}t+\sigma S_{t}\text{d}W_{t},$

(11.1)

gdzie $W_{t}$ jest procesem Wienera, a $r$ jest stopą wolną od ryzyka. Zmienność historyczna jest również używana w niektórych metodach szacowania ryzyka (rynkowego) portfeli instrumentów finansowych (na przykład w tak zwanej metodzie delta-normalnej wyznaczania wartości zagrożonej).

Z równania (11.1) wynika, że jeśli $\sigma$ jest stała, to

$S_{t}=S_{0}\exp\left((r-\frac{1}{2}\sigma^{2})t+\sigma W_{t}\right).$

(11.2)

Konsekwencje przyjętego modelu (wzorów (11.1) – (11.2)):

$S_{t}$ ma rozkład log-normalny, bowiem $W_{t}$ ma rozkład normalny (o średniej zero i wariancji $t$ ),
log-normalność $S_{t}$ umożliwia wyprowadzenie formuł Blacka-Scholesa (BS) na wycenę europejskich opcji waniliowych.

Uwaga 11.1 (proste uogólnienie modelu Blacka-Scholesa)

Wzór (11.2) zachodzi również w przypadku, gdy $\sigma$ zależy od czasu $t$ , ale z małą jego modyfikacją. Mianowicie w miejsce zmienności $\sigma$ należy wstawić we wzorze (11.2) średnią wartość zmienności na przedziale czasu $[0,t]$ :

$\sigma _{{\text{avg}}}=\sqrt{\frac{1}{t}\int _{0}^{t}\sigma^{2}(u)\text{d}u}.$

W tym przypadku formuły BS na wycenę opcji pozostają w mocy z $\sigma=\sigma _{{\text{avg}}}$ .

11.2. Zmienność historyczna

Z (11.2) wynika, że

$\text{Var}\left(\ln\left(\frac{S_{t}}{S_{0}}\right)\right)=\sigma^{2}t,$

czyli że $\sigma$ jest zannualizowanym odchyleniem standardowym (logarytmicznej) stopy zwrotu z $S$ . W związku z tym obliczając cenę opcji z modelu BS, w określonych przypadkach za $\sigma$ przyjmuje się wartość obliczoną statystycznym estymatorem odchylenia standardowego logarytmicznych stóp zwrotu. Tak obliczoną zmienność nazywamy zmiennością historyczną i na potrzeby naszego wykładu oznaczamy ją symbolem $\hat{\sigma}$ .

Obliczanie zmienności historycznej

Zwykle najpierw oblicza się zmienność w skali jednego dnia $\sigma _{{\text{1d}}}$ , po czym ta jednodniowa zmienność jest skalowana do zmienności rocznej wzorem

$\hat{\sigma}=\sqrt{252}\,\sigma _{{\text{1d}}}.$

(11.3)

U w a g i:

Magiczna liczba 252 we wzorze (11.3) wynika z założenia, że rok ma 252 dni handlowe. W zasadzie liczba ta zależy od kraju (waluty). W pobieżnych szacunkowych obliczeniach można zmienność dzienną skalować do rocznej mnożąc $\sigma _{{\text{1d}}}$ przez 16.
Skalowanie ,,pierwiastkiem z czasu”, takie jak na przykład w (11.3), jest poprawne pod pewnymi warunkami (szereg czasowy zaobserwowanych wartości $S$ jest realizacją ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie), które w praktyce rzadko kiedy można uznać, że są spełnione.
Ponadto, zakładamy, że stopa zwrotu w skali rocznej jest sumą dziennych stóp zwrotu. Jeżeli stopy są zdefiniowane wzorem (11.5), to tak oczywiście jest. Natomiast proste stopy zwrotu określone w (11.7) nie są ,,addytywne”.
Ze względu na założenia wymienione w punkcie 2, skalowanie ,,pierwiastkiem z czasu” dziennych zmienności wyznaczonych modelami typu GARCH (patrz poniżej) nie ma sensu (bo te modele zakładają, że rozkład zmiennej losowej w danym dniu zależy od rozkładu z poprzedniego dnia!).

11.3. Metody wyznaczania zmienności dziennej

Estymacja zmienności średnią ruchomą (MA)

Załóżmy, że na koniec dnia $t_{{n-1}}$ dysponujemy szeregiem czasowym zrealizowanych wartości procesu cen

$\ldots,S_{{t_{{n-m}}}},\ldots,S_{{t_{{n-2}}}},S_{{t_{{n-1}}}}.$

Prognozowana (estymowana) dzienna wariancja dla następnego dnia $t_{n}$ obliczana jest w następujący sposób:

$\sigma _{{n}}^{2}=\frac{1}{m-1}\sum _{{i=1}}^{m}(r_{{n-i}}-\bar{r})^{2},$

(11.4)

gdzie

$r_{i}=\ln\left(\frac{S_{{t_{i}}}}{S_{{t_{{i-1}}}}}\right)$

(11.5)

są zrealizowanymi ,,jednodniowymi” (w okresie od $t_{{i-1}}$ do $t_{i}$ ) stopami zwrotu, a

$\bar{r}=\frac{1}{m}\sum _{{i=1}}^{m}r_{{n-i}}$

(11.6)

jest estymatorem średniej (wartości oczekiwanej).

Aspekty praktyczne

Jak należy wybrać długość szeregu czasowego zrealizowanych cen $S_{{t_{i}}}$ do estymacji zmienności?
- a) Czasami $m$ wybiera się tak, by szereg czasowy pokrywał okres o tej samej długości jak czas trwania opcji. Nie zawsze to ma sens – w skrajnym przypadku opcji o kilkudniowym czasie trwania statystyczne własności estymatora obliczonego na podstawie krótkiego szeregu czasowego są złe.
- b) Ta uwaga jest adresowana do tych, którzy już wiedzą czym jest wartość zagrożona VaR (Value at Risk) i którzy wcześniej zetknęli się z analizą portfelową. Zmienność historyczną używa się także do obliczania VaR portfela. Mianowicie, w metodzie RiskMetrics obliczania VaR zakłada się, że zmienna losowa opisująca P&L portfela ma rozkład normalny o średniej zero. Wówczas, VaR portfela przy poziomie ufności $c$ dane jest wzorem
  
  $\text{VaR}=-\Phi^{{-1}}(1-c)\,\sigma,$
  
  gdzie $\Phi$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego a $\sigma$ jest odchyleniem standardowym (zmiennością) P&L tego portfela. Na przykład, przy poziomie ufności $c=95\%$ mamy $\text{VaR}\simeq 1.65\sigma$ . Zwykle przy obliczaniu odchylenia standardowego $\sigma$ , na jednym z etapów obliczeń, estymowana jest macierz kowariancji pomiędzy czynnikami ryzyka od których zależy wartość portfela. Wówczas $m$ powinno być takie samo dla wszystkich czynników ryzyka oraz powinno być dostatecznie duże – przy $m$ zbyt małym w stosunku do liczby czynników ryzyka wyestymowana macierz kowariancji może nie być dodatnio określona.
Czasami we wzorze (11.4) na zmienność historyczną
- a) pomijana jest wartość średnia $\bar{r}$ , to znaczy zakłada się iż jest ona zaniedbywanie mała,
- b) zamiast $m-1$ bierzemy $m$ ,
- c) zamiast logarytmicznej stopy zwrotu (11.5) bierzemy prostą stopę zwrotu
  
  $r_{i}=\frac{S_{{t_{i}}}-S_{{t_{{i-1}}}}}{S_{{t_{{i-1}}}}}$ (11.7)
i wtedy wariancję dzienną obliczamy ze wzoru

$\sigma _{{n}}^{2}=\frac{1}{m}\sum _{{i=1}}^{m}r_{i}^{2}.$ (11.8)

Estymacja zmienności według EWMA (stosowana przez J.P. Morgan w RiskMetrics)

W tym modelu zakłada się, że

$\sigma _{n}^{2}=(1-\lambda)r_{{n-1}}^{2}+\lambda\sigma _{{n-1}}^{2},$

(11.9)

gdzie $0<\lambda<1$ określa proporcje wkładu (kwadratu) bieżącej zmiany ceny i (kwadratu) zmienności za poprzedni dzień do bieżącej wartości (kwadratu) zmienności. Ze wzoru (11.9) wynika, że

$\begin{split}\sigma _{n}^{2}&=(1-\lambda)\sum _{{i=1}}^{{m}}\lambda^{{i-1}}r_{{n-i}}^{2}+\lambda^{{m}}\sigma _{{n-m}}^{2}=\\ &=(1-\lambda)\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\lambda^{{i-1}}r_{{n-i}}^{2}\simeq(1-\lambda)\sum _{{i=1}}^{{m}}\lambda^{{i-1}}r_{{n-i}}^{2}.\end{split}$

(11.10)

Wzór (11.10) wyjaśnia dlaczego model ten nazywa się EWMA (wykładniczo ważona średnia ruchoma) i pokazuje, czym różni się ten sposób estymacji zmienności od estymatora (11.8).

Aspekty praktyczne

Wartość parametru $\lambda$ można wyestymować metodą największej wiarogodności (patrz Hull, 5-th Ed., strony 378–382[1]).
J.P. Morgan w swoim modelu RiskMetrics przyjmuje $\lambda=0.94$ . Według nich estymatory zmienności obliczone przy tej wartości parametru $\lambda$ są bliskie zrealizowanej zmienności wyliczonej jako średnia z 25 kolejnych ,,przyszłych” (w stosunku do dnia estymacji) wielkości $r_{i}^{2}$ .

Estymacja zmienności według GARCH(1,1)

W tym modelu zakłada się, że

$\sigma _{n}^{2}=\gamma v_{{\infty}}+\alpha r_{{n-1}}^{2}+\beta\sigma _{{n-1}}^{2},$

(11.11)

gdzie

$\gamma+\alpha+\beta=1,$

przy czym zwykle zakłada się, że

$\alpha>0,$

$\beta>0,$

$\alpha+\beta\leq 1.$

Wielkość $v_{{\infty}}$ w (11.11) jest długoterminową średnią wariancją w tym sensie, że jeżeli $\alpha+\beta<1$ , to w średniej

$\sigma _{n}^{2}\rightarrow v_{{\infty}}\quad\text{gdy}\quad n\rightarrow\infty.$

Gdy $\gamma=0$ , $\alpha=1-\lambda$ , $\beta=\lambda$ , GARCH(1,1) redukuje się do EWMA.

Aspekty praktyczne

Wartości parametrów $\alpha$ , $\beta$ i $\omega=\gamma v_{{\infty}}$ można wyestymować metodą największej wiarogodności.
Proces estymacji parametrów można uprość przyjmując za $v_{{\infty}}$ długoterminową średnią obliczoną na przykład wzorem (11.4). Ustalenie $v_{{\infty}}$ umożliwia wyznaczenie parametru $\omega$ przy danych $\alpha$ i $\beta$ , bowiem $\omega=(1-\alpha-\beta)v_{{\infty}}$ .
Jeżeli stosujemy model GARCH(1,1) do wyznaczania zmienności, macierz kowariancji powinna być wyznaczana również w analogiczny sposób.

11.4. Zmienność implikowana

Formuła Blacka-Scholesa (BS) jest wyprowadzona przy silnych założeniach, o których na ogół możemy z góry powiedzieć, że nie są w rzeczywistości spełnione.
Tym niemniej, formuła BS przyjęła się w praktyce, choć jest używana inaczej niż było jej pierwotne przeznaczenie.
W uproszczeniu, można powiedzieć, że formuła BS jest narzędziem do ,,interpolacji” rynkowej ceny opcji. Przy tej interpolacji kluczową rolę odgrywa zmienność implikowana.

Przypomnijmy podstawowe oznaczenia:

$S$ – bieżąca wartość instrumentu podstawowego,
$\sigma$ – zmienność,
$K$ – cena wykonania,
$T$ – czas trwania opcji,
$C_{{\text{BS}}}(S,\sigma,K,T)$ – cena BS waniliowej opcji call,
$P_{{\text{BS}}}(S,\sigma,K,T)$ – cena BS waniliowej opcji put,
$C_{{\text{mkt}}}(S,K,T)$ – cena rynkowa waniliowej opcji call,
$P_{{\text{mkt}}}(S,K,T)$ – cena rynkowa waniliowej opcji put.

Definicja 11.1

Zmienność implikowana (ang. implied volatility) $\sigma _{{\text{imp}}}$ to liczba, która spełnia równanie

$C_{{\text{BS}}}(S,\sigma _{{\text{imp}}},K,T)=C_{{\text{mkt}}}(S,K,T)$

(11.12)

dla danych $S$ , $K$ , $T$ (zależność od stóp procentowych jest zaniedbywana).

Jak widać z (11.12),

$\sigma _{{\text{imp}}}=\sigma _{{\text{imp}}}(S,K,T).$

Sens zmienności implikowanej

$\sigma _{{\text{imp}}}$ kalibruje formułę BS dla opcji o czasie trwania $T$ i cenie wykonania $K$ do ceny rynkowej. Inaczej, zmienność implikowana to specjalna liczba, która wstawiona do niewłaściwej (bo obowiązującej przy założeniach, o których z góry można powiedzieć, że nie są spełnione) formuły (Blacka-Scholesa) daje właściwą (prawdziwą, rynkową) wartość opcji.

Uwagi

Ponieważ vega opcji $\mathcal{V}_{C}=\frac{\partial C_{{\text{BS}}}}{\partial\sigma}>0$ , zmienność $\sigma _{{\text{imp}}}$ istnieje i jest jednoznaczne wyznaczona przez (11.12), o ile $0<C_{{\text{mkt}}}(S,K,T)<S$ .
$\sigma _{{\text{imp}}}$ spełnia również równanie

$\tag{11.12a}P_{{\text{BS}}}(S,\sigma _{{\text{imp}}},K,T)=P_{{\text{mkt}}}(S,K,T),$ (11.13)

bowiem jak wynika z parytetu opcji call-put (który jest spełniony bez żadnych modelowych założeń),

$P_{{\text{BS}}}-P_{{\text{mkt}}}=C_{{\text{BS}}}-C_{{\text{mkt}}}.$

Inaczej: zmienność implikowana ITM (OTM) call jest taka sama jak zmienność OTM (ITM) put.
Jeśli zmienność implikowana nie jest bezpośrednio kwotowana na rynku, a kwotowane są ceny opcji, to zmienność implikowaną oblicza się rozwiązując równanie (11.12) lub równanie (11.13) ze względu na $\sigma _{{\text{imp}}}$ , zwykle korzystając, na przykład, z algorytmu Newtona rozwiązywania równań nieliniowych.

11.5. Uśmiech zmienności

Terminologia

Zależność $\sigma _{{\text{imp}}}$ od czasu trwania opcji $T$ nazywamy strukturą terminową zmienności implikowanej (dla ustalonych $S$ i $K$ ).
Zależność $\sigma _{{\text{imp}}}$ od ceny wykonania $K$ (czy od ilorazu $K/S$ , czy też od ,,delty” opcji) nazywamy uśmiechem zmienności implikowanej (dla ustalonego $T$ ).

Sposób prezentacji uśmiechu zmienności

w zależności od ceny wykonania $K$ – dla opcji na akcje/indeksy, dla zestawu opcji na stopę procentową (dla cap/floor), dla opcji na kontrakt IRS (dla swapcji),
w zależności od ,,delty” (to jest wielkości blisko związanej z deltą opcji) – dla opcji walutowych,
w zależności od wielkości

$x=\ln\left(\frac{K}{S\text{e}^{{(r-\delta)T}}}\right),$

która określa ,,poziom (stopień) bycia w pieniądzu” opcji (ang. log-moneyness) – w rozważaniach teoretycznych. I tak dla
- $x<0$ – opcja call (put) jest ITM (OTM),
- $x=0$ – opcja call (put) jest ATM-F (at the money forward),
- $x>0$ – opcja call (put) jest OTM (ITM).

U w a g i:

Czasami $x$ (log-moneyness) jest definiowane ,,z przeciwnym znakiem”. Jest to kwestia przyjęcia pewnej konwencji.
Wyjaśnienia wymaga pojęcie ,,delty” używane do opisu uśmiechu zmienności opcji walutowych. W tym kontekście ,,deltą” jest liczba przeciwna do delty forward opcji put, czyli wielkość

$\widehat{\Delta}=\Phi(-d_{1}),$

gdzie $\Phi$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Delta forward to (zwykła) delta przeniesiona na termin wygaśnięcia opcji czynnikiem $\text{e}^{{+r_{f}T}}$ , gdzie $r_{f}$ jest stopą waluty bazowej a $T$ terminem zapadalności opcji. W szczególności, na przykład, będziemy mówić o opcji (czy też zmienności implikowanej) 25-delta put (co oznaczymy symbolem 25P) mając oczywiście na myśli opcję put (zmienność implikowaną opcji put), której delta forward wynosi -0.25.
Oś ,,delt” przy prezentacji uśmiechu zmienności bywa różnie oznaczana. Na przykład tak:
- 10P, 25P, ATM, 25C, 10C
lub
- 10P, 25P, 50P, 75P, 90P.

Kwotowanie uśmiechu zmienności dla opcji walutowych

W wersji podstawowej uśmiech zmienności jest wyznaczany przez trzy punkty wykresu:

zmienność opcji 25-delta put $--$ $\sigma _{{\text{25 P}}}$ ,
zmienność opcji ATM $--$ $\sigma _{{\text{ATM}}}$ ,
zmienność opcji 25-delta call $--$ $\sigma _{{\text{25 C}}}$ , przy czym dwie ostatnie wielkości są kwotowane pośrednio przez
zmienność strategii 25-delta risk reversal (oznaczenie: 25-RR)

$\sigma _{{\text{25 RR}}}=\sigma _{{\text{25 C}}}-\sigma _{{\text{25 P}}},$ (11.14)
zmienność strategii 25-delta butterfly (oznaczenie: 25-BF)

$\sigma _{{\text{25 BF}}}=\frac{1}{2}(\sigma _{{\text{ 25 C}}}+\sigma _{{\text{ 25 P}}})-\sigma _{{\text{ATM}}}.$ (11.15)

Z tych kwotowań wyliczamy

$\begin{split}\sigma _{{\text{25 C}}}&=+\frac{1}{2}\sigma _{{\text{25 RR}}}+\sigma _{{\text{25 BF}}}+\sigma _{{\text{ATM}}}\\ \sigma _{{\text{25 P}}}&=-\frac{1}{2}\sigma _{{\text{25 RR}}}+\sigma _{{\text{25 BF}}}+\sigma _{{\text{ATM}}}.\end{split}$

(11.16)

U w a g i:

Zmienność strategii 25-delta risk reversal określa stopień ,,skośności” uśmiechu zmienności.
Zmienność strategii 25-delta butterfly określa stopień ,,wypukłości” uśmiechu zmienności.
Czasami do opisu struktury uśmiechu zmienności używa się również zmienności implikowanych strategii RR i BF przy innych deltach, na przykład 10-delta. Te zmienności, na ogół, nawet jeśli pochodzą z rynku (są kwotowane), są efektem pewnego procesu ,,przybliżania” dokonywanego na podstawie zmienności ATM, 25-RR i 25-BF, przy czym to ,,przybliżanie” może polegać na ocenie rynku przez ,,kwotującego” albo na zastosowaniu pewnych analitycznych metod interpolacji (i ekstrapolacji).

11.6. Struktura zmienności implikowanej opcji walutowych

Dyskretna struktura zmienności implikowanej jest przedstawiona w postaci dwuwymiarowej tablicy, tzn. jako macierz wartości indeksowanych dwiema zmiennymi:

okresami, które odpowiadają pewnym ,,wystandaryzowanym” czasom trwania opcji,
,,deltami” opcji.

Indeksy czasowe

Standardowo przyjmuje się następujący układ $T_{i}$ ( $i=1,\ldots,8)$ czasów trwania opcji:

1D, 1W, 1M, 2M, 3M, 6M, 9M, 1Y.

Każdego dnia tym okresom są przypisane określone liczby dni odpowiadające czasom trwania opcji, które były by zawarte w danym dniu. Te liczby dni nie są wielkościami stałymi i z dnia na dzień zmieniają się w pewnym zakresie.

Indeksy ,,delta”

Standardowo przyjmuje się następujący układ $\widehat{\Delta}_{k}$ ( $k=1,\ldots,5)$ ,,delt”, określających stopień ,,bycia w pieniądzu lub poza pieniądzem” opcji (put):

0.10, 0.25, 0.50, 0.75, 0.90,

gdzie przypomnijmy znak ujemny delt (forward) opcji put został pominięty.

Dyskretna struktura zmienności implikowanej ma postać następującej tablicy

$\begin{pmatrix}T_{i}\,/\,\widehat{\Delta}_{k}&10&25&50&75&90\\ 1D&\sigma _{{1D,10}}&\sigma _{{1D,25}}&\sigma _{{1D,50}}&\sigma _{{1D,75}}&\sigma _{{1D,90}}\\ 1W&\sigma _{{1W,10}}&\sigma _{{1W,25}}&\sigma _{{1W,50}}&\sigma _{{1W,75}}&\sigma _{{1W,90}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1Y&\sigma _{{1Y,10}}&\sigma _{{1Y,25}}&\sigma _{{1Y,50}}&\sigma _{{1Y,75}}&\sigma _{{1Y,90}}\end{pmatrix}$

Przybliżanie zmienności implikowanej względem czasu

W praktyce rynkowej stosuje się jedną z dwóch metod przybliżania zmienności względem czasu trwania opcji, które różnią się sposobem obliczania liczby dni do wygaśnięcia opcji (ang. expiry):

metoda podstawowa: uwzględnia się rzeczywistą liczbę dni od daty wyceny (włącznie) do daty wygaśnięcia (wyłącznie),
metoda dni handlowych (metoda TD, TD – od ang. Trade Day): przy obliczaniu liczby dni między datą wyceny (włącznie) a datą wygaśnięcia (wyłącznie) dni weekendowe oraz dni świąteczne są uwzględniane z wagami, które mają odzwierciedlić mniejszą zmienność kursu walutowego w tych dniach.

Obliczanie liczby dni w okresie czasu metodą dni handlowych

Niech

$T_{{\text{d}}}$ oznacza liczbę dni handlowych w okresie,
$T_{{\text{w}}}$ oznacza liczbę dni weekendowych w okresie,
$T_{{\text{h}}}$ oznacza liczbę dni świątecznych w okresie,
$\omega _{{\text{w}}}\in[0,1]$ oznacza wagę z jaką uwzględniane będą dni weekendowe w okresie,
$\omega _{{\text{h}}}\in[0,1]$ oznacza wagę z jaką uwzględniane będą dni świąteczne w okresie.

Wówczas liczba dni dla okresu czasu od chwili początkowej (daty wyceny) do chwili $T$ według metody dni handlowych dana jest wzorem

$T^{*}=T_{{\text{d}}}+\omega _{{\text{w}}}T_{{\text{w}}}+\omega _{{\text{h}}}T_{{\text{h}}}.$

Załóżmy, że mamy dane wartości $\sigma _{{ik}}$ zmienności implikowanych dla czasów trwania $T_{i}$ , $i=1,\ldots,8$ i przy których delty opcji (put) wynoszą $\widehat{\Delta}_{k}$ dla pewnego $k$ . Wartość zmienności implikowanej $\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k})$ opcji (put) z deltą $\widehat{\Delta}_{k}$ dla czasu trwania:

$T<T_{{1}}$ przyjmujemy następująco:

$\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k})=\sigma _{{1k}},$ (11.17)
$T_{{i}}<T<T_{{i+1}}$ przybliżamy według następującego wzoru (interpolacja liniowa względem nieannualizowanej wariancji):

$\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k})=\frac{1}{\sqrt{T}}\sqrt{\sigma^{2}_{{ik}}T_{i}+\tau\big(\sigma^{2}_{{i+1,k}}T_{{i+1}}-\sigma^{2}_{{ik}}T_{i}\big)},$ (11.18)

gdzie
- w przypadku metody podstawowej
  
  $\tau=\frac{T-T_{i}}{T_{{i+1}}-T_{i}}$
- w przypadku metody dni handlowych
  
  $\tau=\frac{T^{*}-T_{i}^{*}}{T_{{i+1}}^{*}-T_{i}^{*}}$
  
  z liczbami dni $T^{*}$ , $T_{i}^{*}$ , oraz $T_{{i+1}}^{*}$ obliczonymi według metody dni handlowych,
$T_{{8}}<T$ przyjmujemy następująco:

$\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k})=\sigma _{{8k}}.$ (11.19)

Przybliżenie zmienności względem ,,delt”

Przybliżenia dokonujemy dla ustalonego czasu trwania $T$ , dla którego mamy dane (lub obliczone stosując przybliżenie zmienności względem czasu) wartości

$\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k})$ zmienności implikowanej dla ,,delt” $\widehat{\Delta}_{k}$ ( $k=1,\ldots,5$ ).

Przybliżoną wartość zmienności implikowanej $\sigma(T,\widehat{\Delta})$

dla czasu trwania $T$ ,
która odpowiada zadanej wartości ,,delty” $\widehat{\Delta}$ leżącej pomiędzy $\widehat{\Delta}_{1}$ a $\widehat{\Delta}_{5}$

wyznaczamy stosując jedną z dwóch metod:

interpolację liniową między punktami $(\widehat{\Delta}_{k},\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k}))$ ( $k=1,\ldots,5$ ), to jest

$\sigma(T,\widehat{\Delta})=\sigma(T,\widehat{\Delta}_{{k}})+\big(\sigma(T,\widehat{\Delta}_{{k+1}})-\sigma(T,\widehat{\Delta}_{{k}})\big)\frac{\widehat{\Delta}-\widehat{\Delta}_{k}}{\widehat{\Delta}_{{k+1}}-\widehat{\Delta}_{k}},$ (11.20)

jeśli $\widehat{\Delta}_{{k}}<\widehat{\Delta}<\widehat{\Delta}_{{k+1}}$ ,
interpolację splajnami, to jest

$\sigma(T,\widehat{\Delta})=Sp(\widehat{\Delta}),$ (11.21)

gdzie $Sp$ jest naturalnym splajnem kubicznym wyznaczonym dla układu punktów $(\Delta _{k},\sigma(T,\Delta _{k}))$ ( $k=1,\ldots,5$ ).

Prócz metod interpolacji należy jeszcze określić sposób ekstrapolacji zmienności, czyli wyznaczania zmienności $\sigma(T,\widehat{\Delta})$ w przypadku gdy $\widehat{\Delta}<\widehat{\Delta}_{{1}}$ lub $\widehat{\Delta}_{{5}}<\widehat{\Delta}$ . W najprostszym podejściu stosuje się ekstrapolację stałymi wartościami, to jest:

dla $\widehat{\Delta}<\widehat{\Delta}_{{1}}$ (to jest dla opcji put/call mocno OTM/ITM) kładziemy

	$\sigma(T,\widehat{\Delta})=\sigma(T,\widehat{\Delta}_{1})$		(11.22)
	$\sigma(T,\widehat{\Delta})=\sigma(T,\widehat{\Delta}_{5}).$		(11.22)

Uwaga 11.2

Takie rozwiązanie może niedoszacowywać opcje o skrajnych wartościach delt, szczególnie opcje poza pieniądzem.

11.7. Wyznaczenie zmienności dla opcji o danej cenie wykonania

Załóżmy, że mamy dane wartości $\sigma(T,\widehat{\Delta}_{k})$ zmienności implikowanej dla ,,delt” $\widehat{\Delta}_{k}$ ( $k=1,\ldots,5$ ) i pewnego ustalonego czasu trwania $T$ . Wartość zmienności implikowanej $\sigma(T,K)$ dla opcji o czasie trwania $T$ i cenie wykonania $K$ obliczamy następującym iteracyjnym algorytmem.

Niech

$\epsilon$ oznacza zadaną wartość, która określa dokładność z jaką będziemy wyznaczać zmienność implikowaną.
$N_{{max}}$ oznacza maksymalną liczbę wykonywanych iteracji.

Start

Kładziemy $\sigma^{{(0)}}=\sigma(T,\Delta _{3})$ (bierzemy zmienność implikowaną opcji ATM, czyli takiej której delta forward wynosi 50).

Iteracje

Dla $n=0,1,\ldots,N_{{max}}-1$ wykonujemy następujące kroki 1-3:
1. Obliczamy ,,deltę” opcji ze zmiennością $\sigma^{{(n)}}$ dla ceny wykonania $K$ i czasu trwania $T$ :
  
  $\Delta^{*}=\widehat{\Delta}(S,K,T,\sigma^{{(n)}}),$ (11.23)
  
  gdzie, przypomnijmy, $\widehat{\Delta}(S,K,T,\sigma^{{(n)}})=\Phi(-d_{1}).$
2. Wyznaczamy nową wartość zmienności implikowanej $\sigma^{{(n+1)}}$ dla opcji z ,,deltą” $\Delta^{*}$ za pomocą jednej z metod przybliżania względem ,,delty”.
3. Jeśli $|\sigma^{{(n+1)}}-\sigma^{{(n)}}|<\epsilon$ , to iteracje zostają zatrzymane.

Koniec.

Jako wartość zmienności implikowanej dla opcji z ceną wykonania $K$ i czasem trwania $T$ przyjmujemy

$\sigma(T,K)=\sigma^{{(n+1)}}.$

11.8. Zmienność dla opcji dowolnym czasie trwania i cenie wykonania

Wyznaczenie wartości zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ i cenie wykonania $K$ przebiega w dwóch etapach:

Etap 1

Wyznaczamy strukturę ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ stosując przybliżenie względem czasu.

Etap 2

Wyznaczamy wartość zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ i cenie wykonania $K$ stosując schemat iteracyjny względem ,,delt” na wyznaczonej w Etapie 1 strukturze ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ .

Tak wyznaczona zmienność jest następnie używana do obliczenia wartości opcji waniliowej z modelu BS.

11.9. Struktura zmienności implikowanej opcji na akcje/indeksy

Podobnie jak poprzednio dyskretna struktura zmienności implikowanej jest przedstawiona w postaci dwuwymiarowej tablicy

$\begin{pmatrix}T_{i}\,/\, K_{j}&K_{1}&K_{2}&K_{3}&\cdots&K_{J}\\ 1D&\sigma _{{1D,1}}&\sigma _{{1D,2}}&\sigma _{{1D,3}}&\cdots&\sigma _{{1D,J}}\\ 1W&\sigma _{{1W,1}}&\sigma _{{1W,2}}&\sigma _{{1W,3}}&\cdots&\sigma _{{1W,J}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\text{d}ots&\vdots\\ 1Y&\sigma _{{1Y,1}}&\sigma _{{1Y,2}}&\sigma _{{1Y,3}}&\cdots&\sigma _{{1Y,J}}\end{pmatrix}$

indeksowanej dwiema zmiennymi:

okresami, które odpowiadają pewnym ,,wystandaryzowanym” czasom trwania opcji,
cenami wykonania opcji $K_{j}$ .

Wśród cen wykonania $K_{j}$ jest cena wykonania opcji ATM, która zwykle znajduje się w środku ciągu cen $K_{1},\ldots,K_{J}$ .

Wyznaczenie wartości zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ i cenie wykonania $K$ przebiega podobnie jak poprzednio w dwóch etapach:

Etap 1 jest identyczny jak w przypadku opcji walutowych:

Dla każdej z cen wykonania $K_{j}$ wyznaczamy strukturę ,,uśmiechu” zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ stosując przybliżenie względem czasu, czyli znajdujemy zmienności $\sigma(T,K_{1}),\,\sigma(T,K_{2}),\,\sigma(T,K_{3}),\ldots,\sigma(T,K_{J})$ .

Etap 2 jest prostszy, niż w przypadku opcji walutowych:

Wartość zmienności dla opcji o czasie trwania $T$ i cenie wykonania $K$ wyznaczamy stosując interpolację (liniową / splajnami) lub ekstrapolację względem zmiennej $K$ na wyznaczonej w Etapie 1 strukturze ,,uśmiechu” zmienności $\sigma(T,K_{j})$ ( $k=1,\ldots,J$ ).

Do czego używamy zmienności implikowanych?

Do wyceny (z modelu BS) opcji waniliowych.
Nie ma uzasadnienia (poza brakiem lepszego pomysłu) dla bezpośredniego używania zmienności implikowanych przy wycenie opcji egzotycznych, bo z definicji zmienności implikowane są skalibrowane tylko do opcji waniliowych. Za teoretyczną cenę opcji egzotycznych przyjmuje się cenę uzyskaną z odpowiedniego modelu BS obliczoną przy zmienności ATM opcji waniliowej.
Współczynniki wrażliwości opcji (szczególnie delta) nie powinny być obliczane z wzorów analitycznych wynikających z formuł BS, bowiem w tych wzorach zakłada się że parametr $\sigma$ nie zależy od $S$ . Na przykład w przypadku obliczania delty, teoretycznie powinniśmy to zrobić w następujący sposób

$\Delta _{{\text{mkt}}}=\Delta _{{\text{BS}}}+\frac{\partial C_{{\text{BS}}}}{\partial\sigma _{{\text{imp}}}}\cdot\frac{\partial\sigma _{{\text{imp}}}}{\partial S}=\Delta _{{\text{BS}}}+\mathcal{V}\cdot\frac{\partial\sigma _{{\text{imp}}}}{\partial S}.$ (11.24)

Problem polega na tym, że na ogół nie znamy postaci funkcji $\sigma _{{\text{imp}}}(S)$ i nie umiemy policzyć analitycznie jej pochodnej. Zwykle ratujemy się w ten sposób, że obliczamy deltę jako symetryczny iloraz różnicowy

$\Delta _{{\text{mkt}}}=\frac{C_{{\text{BS}}}(S+\vartriangle S,\sigma _{{\text{ imp}}}(S+\vartriangle S))-C_{{\text{BS}}}(S-\vartriangle S,\sigma _{{\text{imp}}}(S-\vartriangle S))}{2\vartriangle S}$ (11.25)

dla odpowiednio małej wielkości $\vartriangle S$ , o ile dysponujemy metodą (numeryczną), która umożliwia modelowanie uśmiechu zmienności jako funkcji od ceny bieżącej.
Płaszczyzna zmienności jest używana jako ,,input” do zbudowania modelu wyceny opcji egzotycznych spójnej z wyceną opcji waniliowych. W tych modelach wprowadza się nowe rodzaje zmienności:
- lokalną (Derman-Kani),
- stochastyczną (Hull-White, Heston),
- kombinację powyższych (model zaimplementowany w J.P. Morgan).

Cechy charakterystyczne uśmiechów zmienności

$\blacktriangleright\quad$ Dla opcji walutowych

(a) Dla par walutowych z rozwiniętych rynków

Ma symetryczny kształt z ramionami skierowanymi ku górze.

(b) Dla par walutowych, w których jedna waluta jest walutą rozwiniętego rynku, a druga jest walutą wschodzącego rynku

W tym przypadku spotyka się ,,sprzeczne” opinie i obserwacje:

Ma często kształt podobny do uśmiechu zmienności, który jest obserwowany dla opcji na akcje?
Kształt uśmiechu zmienności podlega częstym zmianom?

$\blacktriangleright\quad$ Dla opcji na akcje (indeksy)

Uśmiech zmienności ma zwykle wyraźną skośność.
Zmienność maleje wraz ze wzrostem ceny wykonania.
Kształt uśmiechu jest bardziej wyraźny dla opcji o krótkim czasie trwania. Dla opcji o dłuższym czasie trwania uśmiech zmienności jest ,,płytki”.

11.10. Zmienność lokalna

Zmienność lokalna to deterministyczna (niestochastyczna) funkcja $\sigma=\sigma(S,t)$ , która występuje w równaniu opisującym proces $S_{t}$ cen instrumentu podstawowego

$\text{d}S_{t}=r(S_{t},t)S_{t}\text{d}t+\sigma(S_{t},t)S_{t}\text{d}W_{t}.$

(11.26)

Uwagi

Jeśli $S_{t}$ spełnia (11.26), to na ogół (po za kilkoma szczególnymi przypadkami) nie umiemy podać analitycznego rozwiązania na $S_{t}$ i w związku z tym nie mamy wzorów będących odpowiednikami formuł BS.
Natomiast możemy wciąż powiedzieć, że cena instrumentu pochodnego wystawionego na $S_{t}$ , spełnia równanie Blacka-Scholesa

$\frac{\partial C}{\partial t}+(r-\delta)S\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}(S,t)S^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial S^{2}}=rC,$ (11.27)

które możemy próbować rozwiązywać numerycznie
- po ,,wyspecyfikowaniu” funkcji $\sigma(S,t)$ w sposób zgodny z rynkiem,
- po postawieniu warunków brzegowych, które ,,specyfikują” instrument pochodny.
Zwykle nie rozwiązujemy równania (11.27) bezpośrednio, a raczej przekształcamy je tak, by otrzymać inne równanie na inną funkcję (przez którą $C$ się wyraża), które się łatwiej rozwiązuje.
Teoretycznie jeśli znamy (z rynku) zależność ceny opcji waniliowych od $T$ i $K$ możemy wyznaczyć funkcję $\sigma(S,t)$ przez przejście do równania dualnego do (11.27) – tzw. równania Fokkera-Plancka. Z tego równania wyznaczamy zmienność lokalną w następujący sposób

$\sigma^{2}(K,T)=2\,\frac{\frac{\partial C}{\partial T}+(r-\delta)K\frac{\partial C}{\partial K}+\delta C}{K^{2}\frac{\partial^{2}C}{\partial K^{2}}}.$

W praktyce są z tym problemy, bo mamy zbyt mało danych z rynku, by w sposób dostatecznie dobry wyliczyć pochodne $C$ po $T$ i $K$ , które występują w równaniu Fokkera-Plancka.
Wykres funkcji $\sigma=\sigma(S,t)$ nazywa się płaszczyzną lokalnej zmienności (nie mylić z płaszczyzną zmienności implikowanej).