Zagadnienia

2.1 Podstawowe stopy procentowe
2.2 Obligacje zerokuponowe, czynniki dyskontowe
2.3 Wartość strumienia przepływów pieniężnych
2.4 Zerokuponowe stopy procentowe (spotowe, natychmiastowe)
2.5 Struktura stóp procentowych
2.6 Chwilowa stopa natychmiastowa
2.7 Stopy forward
2.8 Chwilowa stopa forward
Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

2. Stopy procentowe

2.1. Podstawowe stopy procentowe

Na rynku obserwujemy wiele różnych stóp procentowych, z których każda na swój sposób określa cenę pieniądza w czasie i ewentualnie premię za ryzyko kredytowe:

stopy skarbowe – stopy po których rządy państw pożyczają pieniądze w swoim kraju – rentowności bonów skarbowych (w przypadku amerykańskich bonów skarbowych (T-bills) stopa dyskonta), stopy dochodowości obligacji skarbowych (T-bonds),
stopy repo – stopy transakcji repo (ang. repurchase agreement), to jest transakcji, która polega na sprzedaży papieru wartościowego z przyrzeczeniem odkupu (różnica między ceną odkupu a ceną sprzedaży to odsetki),
stopy międzybankowe – stopy lokat i depozytów na rynku międzybankowym – w tym stopy referencyjne typu LIBOR, WIBOR, EURIBOR.

Dla transakcji o takim samym czasie trwania mamy następującą nierówność

$r_{{\text{Trate}}}<r_{{\text{Repo}}}<r_{{\text{LIBOR}}},$

przy założeniu, że stopy te zostały sprowadzone do tej samej ,,bazy” (są wyrażone w tej samej konwencji – o tym będzie mowa później). Nierówność powyższa wynika z różnych poziomów ryzyka kredytowego, zawartego w transakcjach którym te stopy odpowiadają.

Prócz tych stóp mamy jeszcze na rynku międzybankowym

stopy swapowe – stopy kontraktów wymiany procentowej IRS,
stopy FRA – to są de facto stopy forward.

Wyżej wymienione stopy są bezpośrednio obserwowane na rynku, to znaczy są kwotowane lub są ogłaszane. Jest też grupa instrumentów finansowych, których (kwotowane) ceny implikują odpowiedniego rodzaju stopy procentowe. Na przykład mamy

stopy dochodowości obligacji skarbowych, papierów komercyjnych (bonów, obligacji emitowanych przez podmioty gospodarcze) (ang. yield to maturity, internal rate of return),
stopy forward implikowane przez kontrakty futures na depozyty (Eurodollar futures).

W matematyce finansowej i w inżynierii finansowej używa się również wielu stóp teoretycznych, które nie są obserwowalne na rynku.

Mówiąc o stopie procentowej na ogół odnosimy ją do okresu czasu, w którym ,,żyje” instrument finansowy związany z tą stopą. Oznaczenia dla czasu będziemy często stosować w podwójnych znaczeniach:

raz zmienne czasowe, np. $t$ , $T$ , będą oznaczać daty (dni),
innym razem $t$ , $T$ będą punktami (liczbami rzeczywistymi) na osi czasu, które odpowiadają odległości chwil $t$ , $T$ od pewnego ustalonego dnia (początku osi czasu), przy czym odległości te będą liczone według pewnego sposobu (konwencji).

Zwykle będziemy przyjmować, że bieżący dzień jest początkiem osi czasu.

Odległość między dwoma chwilami czasu mierzymy w latach, bowiem stopy procentowe będziemy zawsze podawać zannualizowane, tzn. w skali roku (rok jest jednostką czasu). Należy jeszcze zwrócić uwagę na sprecyzowanie co to znaczy ,,rok”. I tak, odległość między $T_{1}$ a $T_{2}$ , którą będziemy oznaczać symbolem $T_{2}-T_{1}$ , może być zdefiniowana

w konwencji ACT/365 jako

$T_{2}-T_{1}=\frac{\text{liczba\ dni\ od\ }T_{1}\text{ do }T_{2}}{365},$
w konwencji ACT/360 jako

$T_{2}-T_{1}=\frac{\text{liczba dni od }T_{1}\text{ do }T_{2}}{360},$
w konwencji 30/360 jako

$T_{2}-T_{1}=\frac{\max(30-d_{1},0)+\min(d_{2},30)+30(m_{2}-m_{1}-1)+360(y_{2}-y_{1})}{360},$

gdzie $T_{1}$ potraktowane jako data zapisaliśmy w postaci $d_{1}/m_{1}/y_{1}$ , i analogicznie $T_{2}$ w postaci $d_{2}/m_{2}/y_{2}$ – w tej konwencji liczba dni między dwoma dniami jest liczona przy założeniu, że każdy miesiąc ma 30 dni.

Przyjmijmy następujące oznaczenia

$t$ – chwila czasu (dzień), w której instrument finansowy (stopa z nim związana) jest ,,obserwowany”,
$T$ – data zapadalności instrumentu (stopy),
$T-t$ – czas trwania (czas do zapadalności).

2.2. Obligacje zerokuponowe, czynniki dyskontowe

Obligacja zerokuponowa o terminie zapadalności $T$ to instrument finansowy, który gwarantuje posiadaczowi wypłatę w wysokości 1 (w danej walucie) w chwili czasu $T$ . Niech

$B(t,T)$

oznacza wartość tego instrumentu w chwili $t$ , gdzie $0\leq t\leq T$ .

Tak zdefiniowane obligacje zerokuponowe są teoretycznym instrumentem finansowym i w rzeczywistości występują na rynku rzadko. Na przykład, bony skarbowe są obligacjami zerokuponowymi i w danej chwili na rynku jest tylko skończona liczba tych bonów o czasach trwania, które nie przekraczają roku. Obligacje zerokuponowe są fundamentalnym pojęciem używanym w teorii stóp procentowych, które pozwala powiązać lub wyznaczyć większość stóp procentowych: te występujące na rynku, oraz stopy teoretyczne, nieobserwowalne na rynku.

Własności $B(t,T)$

$B(t,T)<1$ dla $0\leq t<T$ ,
$B(T,T)=1$ ,
obserwując w chwili $t\geq 0$ :
- $B(t,T_{1})>B(t,T_{2})$ dla każdych $t\leq T_{1}<T_{2}$ , tj. funkcja $B(t,\cdot)$ jest malejąca,
- $B(t,\cdot)$ jest różniczkowalna (to jest założenie),
dla każdego $T$ : $(0,T)\ni t\rightarrow B(t,T)$ jest procesem stochastycznym.

Czynniki dyskontowe

Czynnik dyskontowy, który sprowadza do chwili $t$ wartość przepływu pieniężnego następującego w $T$ , będziemy oznaczać symbolem ${DF}(t,T)$ . Wartość (cena) w chwili $t$ obligacji zero-kuponowej o terminie zapadalności $T\geq t$ może być używana do dyskontowania na chwilę $t$ wartości przepływu pieniężnego następującego w chwili $T$ . Zatem, w szczególności, jeżeli istnieje obligacja zerokuponowa zapadalna w $T$ , to ${DF}(t,T)=B(t,T)$ i wówczas te dwa pojęcia możemy używać wymiennie. By zaznaczyć walutę (CUR) w której dyskontowany jest przepływ pieniężny będziemy czasami stosować notację ${DF}_{{\text{CUR}}}(t,T)$ . Wartości czynników dyskontowych można wyznaczyć również na podstawie kwotowań innych instrumentów finansowych, na przykład na podstawie stóp depozytowych, stóp kontraktów FRA oraz stóp kontraktów IRS (patrz Wykłady 3 i 4).

Uwaga 2.1

W teorii modeli stóp procentowych definiuje się również stochastyczny czynnik dyskontowy

$D(t,T)=\exp\left(-\int _{t}^{T}r_{u}\text{d}u\right),$

gdzie $r_{t}$ jest krótkoterminową (chwilową) stopą natychmiastową (o tej stopie będziemy mówić w dalszej części wykładu). W ramach tej teorii pokazuje się, że

$B(t,T)=\textbf{E}^{Q}\left(D(t,T)|\,\mathcal{F}_{t}\right),$

gdzie $\mathcal{F}_{t}$ jest tzw. filtracją (zasobem informacji dostępnej do chwili $t$ włącznie).

2.3. Wartość strumienia przepływów pieniężnych

Niech $C(t_{i})$ oznacza przepływ pieniężny, który następuje w chwili $t_{i}\geq t$ . Wartość strumienia (portfela) przepływów $\{ C(t_{i})\} _{{i=1,\ldots,n}}$ (następujących w tej samej walucie) w chwili $t$ wynosi

$P(t)=\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(t,t_{i})C(t_{i}).$

(2.1)

Jeśli $t=0$ (chwila bieżąca), $P(0)$ nazywamy wartością bieżącą strumienia $\{ C(t_{i})\} _{{i=1,\ldots,n}}$ . Ponieważ wiele instrumentów finansowych można przedstawić w postaci strumienia przepływów pieniężnych, wzór (2.1) jest podstawowym modelem wyceny takich instrumentów. Nawet jeśli instrumenty tego typu mają cenę rynkową i formalnie nie ma potrzeby dokonywania wyceny na podstawie modelu (wzorem (2.1)), model wyceny jest niezbędny od wyznaczania miar ryzyka takiego instrumentu – na przykład duracji (inaczej: średniego czasu trwania), czy też BPV (ang. Basis Point Value) – patrz Zadanie 2.8.

2.4. Zerokuponowe stopy procentowe (spotowe, natychmiastowe)

Zerokuponowa stopa prosta dla okresu $[t,T]$ to wewnętrzna stopa zwrotu obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili $T$ wyznaczona jako stopa o tzw. prostej kapitalizacji odsetek

$B(t,T)=\frac{1}{1+(T-t)L(t,T)},$

(2.2)

skąd

$L(t,T)=\frac{1}{T-t}\cdot\frac{1-B(t,T)}{B(t,T)}.$

(2.3)

Wzór (2.2) jest tożsamy z warunkiem

$\tag{2.2'}1+(T-t)L(t,T)=\frac{1}{B(t,T)},$

(2.4)

który można zinterpretować jako założenie braku arbitrażu. Lewa strona (2.4) jest kumulacją kapitału (kapitałem wraz z odsetkami) złożonego na lokacie, której oprocentowanie wynosi $L(t,T)$ , na okres od $t$ do $T$ . Prawa strona jest wypłatą w chwili $T$ z inwestycji polegającej na zakupie w chwili $t$ $1/B(t,T)$ jednostek zerokuponowej obligacji, która zapada w $T$ . By nie było arbitrażu, obie te inwestycje muszą dać ten sam dochód. Stąd musi zachodzić (2.4).

Zerokuponowa stopa kapitalizowana w sposób ciągły dla okresu $[t,T]$ to wewnętrzna stopa zwrotu obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili $T$ wyznaczona jako stopa o tzw. ciągłej kapitalizacji odsetek

$B(t,T)=\frac{1}{\exp\big((T-t)R(t,T)\big)},$

(2.5)

skąd

$R(t,T)=-\frac{\ln B(t,T)}{T-t}.$

(2.6)

Wzór (2.5) jest tożsamy z warunkiem

$\tag{2.4'}\exp\big((T-t)R(t,T)\big)=\frac{1}{B(t,T)},$

(2.7)

który znów można zinterpretować jako założenie braku arbitrażu, przy czym tym razem kumulacja kapitału jest wyrażona przez stopę kapitalizowaną w sposób ciągły.

Zerokuponowa stopa kapitalizowana $m$ -krotnie w ciągu roku dla okresu $[t,T]$ to wewnętrzna stopa zwrotu obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili $T$ wyznaczona jako stopa o tzw. $m$ -krotnej (w ciągu roku) kapitalizacji odsetek

$B(t,T)=\frac{1}{\left(1+\frac{Y_{m}(t,T)}{m}\right)^{{m(T-t)}}},$

(2.8)

skąd

$Y_{m}(t,T)=m\left(\frac{1}{B(t,T)^{{1/(m(T-t))}}}-1\right).$

(2.9)

Wzór (2.8) jest tożsamy z warunkiem

$\tag{2.6'}\left(1+\frac{Y_{m}(t,T)}{m}\right)^{{m(T-t)}}=\frac{1}{B(t,T)},$

(2.10)

który znów można zinterpretować jako założenie braku arbitrażu, przy czym kumulacja kapitału jest wyrażona przez stopę kapitalizowaną $m$ -krotnie w ciągu roku.

Korzystając z definicji (2.2), (2.5), oraz (2.8) możemy wyprowadzić formuły wiążące wzajemnie stopy $L(t,T)$ , $R(t,T)$ , oraz $Y_{m}(t,T)$ . Wszystkie te stopy wyrażają to samo, tj. koszt pieniądza w czasie, z tym że każda na swój sposób.

Określenie stopy $R(t,T)$ jako stopa kapitalizowanej w sposób ciągły jest uzasadnione przez następujący fakt (Zadanie na Ćwiczenia). Mianowicie, jeśli granica $\lim _{{m\rightarrow\infty}}Y_{m}(t,T)$ istnieje, to

$\lim _{{m\rightarrow\infty}}Y_{m}(t,T)=R(t,T).$

Odnosząc się do stopy procentowej, należy jeszcze zwrócić uwagę na to w jaki sposób obliczana jest długość okresu czasu (wielkość $T-t$ ). Stopom procentowym o tym samym schemacie kapitalizacji odsetek można (i tak bywa dla różnych walut) przypisać różne konwencje, według których obliczana jest długość okresu czasu $T-t$ .

Które z tych stóp widać na rynku ?

Stopy proste $L(t,T)$ są bezpośrednio obserwowalne na rynku – stopy lokat / depozytów na rynku międzybankowym.
Stopy $Y_{m}(t,T)$ są czasem widoczne jako stopy implikowane – na przykład, jako stopy dochodowości obligacji zerokuponowych. Dla obligacji amerykańskich standardem jest stopa kapitalizowana co pół roku, tj. dla $m=2$ .
Stopy $R(t,T)$ kapitalizowane w sposób ciągły nie są bezpośrednio widoczne na rynku. Są one natomiast bardzo użyteczne w matematyce finansowej.

2.5. Struktura stóp procentowych

Struktura stóp procentowych to nic innego jak funkcja

$(t,+\infty)\ni T\rightarrow Y(t,T),$

gdzie $Y(t,T)$ oznacza jedną ze stóp $L(t,T)$ , $R(t,T)$ , $Y_{m}(t,T)$ . Wykres tej funkcji nazywamy krzywą stóp procentowych.

Bywa, że określając strukturę stóp procentowych używa się dwóch rodzajów stóp, na przykład

$(t,+\infty)\ni T\rightarrow\left\{\begin{array}[]{ll}L(t,T),&\hbox{dla $t<T\leq t+1$,}\\ Y_{1}(t,T),&\hbox{dla $T>t+1$.}\end{array}\right.$

Często mówiąc o strukturze stóp procentowych, mamy na myśli de facto strukturę czynników dyskontowych, to jest funkcję

$[\, t,+\infty)\ni T\rightarrow{DF}(t,T)=B(t,T).$

Aspekty praktyczne

Mamy dwa podstawowe typy struktur czynników dyskontowych

krzywą obligacyjną (,,bondową”), ang. government curve $\rightarrow$ wygenerowaną z cen obligacji (skarbowych),
krzywą międzybankową (,,swapową”), ang. swap (intermarket) curve $\rightarrow$ wygenerowaną na podstawie stóp na rynku międzybankowym (stóp typu LIBOR, stóp FRA, stóp IRS, cen kontraktów Futures na depozyty – patrz Wykłady 3 i 4).

Krzywa swapowa jest określona przez

wartości czynników dyskontowych ${DF}(t,T_{i})$ dla chwil czasu $T_{i}$ ( $i=1,\ldots,p$ ), które odpowiadają czasom trwania instrumentów użytych do ich wygenerowania,
metody interpolacji i ekstrapolacji, przy pomocy których wyznacza się wartości ${DF}(t,T)$ dla $T$ leżących pomiędzy punktami węzłowymi $T_{i}$ ; na przykład dla $T_{i}\leq T\leq T_{{i+1}}$ (interpolacja) określamy

${DF}(t,T)=\Big({DF}(t,T_{i})\Big)^{{1-\tau}}\Big({DF}(t,T_{{i+1}})\Big)^{{\tau}}$ (2.11)

$\tau=\frac{T-T_{{i}}}{T_{{i+1}}-T_{i}},$

${DF}(t,T)=\Big({DF}(t,T_{i})\Big)^{{T/T_{i}}},\quad\text{gdzie }i=1\text{ lub }p.$

Uwaga: Nie jest to jedyny możliwy sposób interpolacji czynników dyskontowych (patrz Zadanie 2.5). Ten sposób interpolacji ma pewne zalety (patrz Zadanie 2.3.(a) oraz Zadanie 2.4) ale ma też i wady (Zadanie 2.3.(b)).

2.6. Chwilowa stopa natychmiastowa

W matematycznym modelowaniu stóp procentowych operuje się również pewnymi abstrakcyjnymi stopami procentowymi. Jedną z takich stóp jest krótkoterminowa (chwilowa) stopa natychmiastowa (ang. spot short interest rate), zdefiniowana w następujący sposób

$r(t)=\lim _{{T\rightarrow t^{+}}}R(t,T).$

Dla oznaczenia tej stopy będziemy również używać symbolu $r_{t}$ .

Z powyższej definicji, oraz z własności funkcji $B(t,\cdot)$ wynika, że

$r_{t}=\lim _{{T\rightarrow t^{+}}}-\frac{\ln B(t,T)-\ln B(t,t)}{T-t}=-\frac{\partial}{\partial T}\ln B(t,T)|_{{T=t}}.$

Można również pokazać (Zadanie na Ćwiczenia), że

$\lim _{{T\rightarrow t^{+}}}L(t,T)=r(t).$

Z tego powodu za rynkowy odpowiednik stopy chwilowej czasami przyjmuje się krótkoterminową stopę lokat / depozytów na rynku międzybankowym. Ze względu na czas trwania najbardziej odpowiednią stopą byłaby stopa ON (ang. OverNight). Jednakże, na wielu rynkach, w tym i na polskim, stopa ON ma zbyt dużą zmienność w stosunku do innych stóp rynkowych i nie jest dostatecznie skorelowana z tymi stopami rynkowymi, by mogła ,,tłumaczyć” ich zachowanie. Czasami za surogat stopy chwilowej bierze się trzymiesięczną stopę typu LIBOR.

Dynamikę struktury stóp procentowych próbuje się modelować formułując stochastyczne równania różniczkowe dla odpowiednio dobranych stóp procentowych. Podstawowa klasa modeli stóp procentowych dotyczy stopy chwilowej $r_{t}=r(t)$ . Jednym z takich modeli jest następujący model Hull-White'a

$\text{d}r_{t}=(\theta(t)-ar_{t})\text{d}t+\sigma\text{d}W_{t},$

gdzie

$a$ i $\sigma$ są stałymi,
$\theta(t)$ pewną funkcją deterministyczną.

Model Hull-White'a jest modelem z powrotem do średniej – stopa krótkoterminowa powraca do średniej $\theta(t)/a$ w tempie $a$ . Parametry modelu (funkcję $\theta$ , stałe $a$ i $\sigma$ ) dobiera się w taki sposób by dopasować go bieżącej struktury stóp procentowych.

2.7. Stopy forward

Określenie stopy forward przy użyciu (prostych) stóp depozytowych

Dla uproszczenia załóżmy, że rozpatrujemy okresy do $1Y$ (wtedy możemy stosować konwencje rynku pieniężnego, to jest stopy proste).

Stopa forward obserwowana w chwili $t$ na okres czasu od $T$ do $S$ , gdzie $t<T<S$ , to stopa $F(t,T,S)$ w okresie od $T$ do $S$ przy której następujące dwie transakcje dają taki sam wynik w chwili $S$ :

Transakcja 1 – w chwili $t$ lokujemy jednostkę pieniężną na okres $[t,S]$ po stopie $L(t,S)$
Transakcja 2 – w chwili $t$ lokujemy jednostkę pieniężną na okres $[t,T]$ po stopie $L(t,T)$ oraz jednocześnie zawieramy umowę na ulokowanie kwoty $1+L(t,T)(T-t)$ na okres czasu $[T,S]$ po stopie $F(t,T,S)$

Te dwie transakcje dają ten sam wynik jeśli

$1+L(t,S)(S-t)=(1+L(t,T)(T-t))\cdot(1+F(t,T,S)(S-T)),$

(2.12)

skąd otrzymamy następujący wzór na stopę forward

$F(t,T,S)=\frac{1}{S-T}\left(\frac{1+L(t,S)(S-t)}{1+L(t,T)(T-t)}-1\right)$

(2.13)

Stopa forward zdefiniowana (z pozoru) inaczej

Stopa forward obserwowana w chwili $t$ na okres czasu od $T$ do $S$ ( $t<T<S$ ) to stopa zwrotu którą można zrealizować w okresie od $T$ do $S$ na transakcji wolnej od ryzyka zawartej w $t$ bez początkowych kosztów. Taką transakcję przeprowadzamy w następujący sposób:

w chwili $t$ sprzedajemy jedną obligację zerokuponową o terminie zapadalności $T$ - otrzymujemy sumę $B(t,T)$ , i jednocześnie,
w chwili $t$ kupujemy obligację zero-kuponową o terminie zapadalności $S$ o nominale $B(t,T)/B(t,S)$ – płacimy sumę $B(t,T)$ .

Następnie,

w chwili $T$ realizujemy zobowiązanie z tytułu sprzedanej obligacji zerokuponowej o terminie zapadalności $T$ – płacimy 1,
w chwili $S$ otrzymujemy wypłatę z obligacji zerokuponowej o terminie zapadalności $S$ – otrzymujemy sumę $B(t,T)/B(t,S)\cdot 1$ .

Zatem w okresie od $T$ do $S$ zrealizujemy wolny od ryzyka zwrot w wysokości

$\frac{B(t,T)}{B(t,S)}-1.$

Z tym zwrotem możemy związać następujące stopy:

Prostą stopę forward $F(t,T,S)$ ustaloną w chwili $t$ na okres czasu $[T,S]$ , która jest określona przez następujący warunek

$1+(S-T)F(t,T,S)=\frac{B(t,T)}{B(t,S)},$

skąd mamy następującą definicję

$F(t,T,S)=\frac{1}{S-T}\cdot\frac{B(t,T)-B(t,S)}{B(t,S)}.$ (2.14)

Uwaga: Jeśli założyć, że miedzy rynkiem depozytowym a rynkiem papierów wartościowych (w tym przypadku obligacji zerokuponowych) nie ma arbitrażu, czyli, że spełniony jest warunek (2.3), to stopy forward określone wzorami (2.13) i (2.14) są identyczne.
Stopę forward kapitalizowaną w sposób ciągły $F^{*}(t,T,S)$ ustaloną w chwili $t$ na okres czasu $[T,S]$ , określoną w następujący sposób

$\exp\Big((S-T)F^{*}(t,T,S)\Big)=\frac{B(t,T)}{B(t,S)},$

skąd mamy następującą definicję

$F^{*}(t,T,S)=-\frac{\ln B(t,S)-\ln B(t,T)}{S-T}.$ (2.15)

Korzystając z definicji (2.15) można łatwo pokazać, że

$F^{*}(t,T,S)=R(t,S)+(R(t,S)-R(t,T))\frac{T-t}{S-T}.$

(2.16)

Z tego wzoru wynika następująca obserwacja:

jeśli w okresie czasu $[T,S]$ krzywa stóp procentowych $R(t,\cdot)$ jest rosnąca (malejąca), to $F^{*}(t,T,S)>R(t,S)$ ( $F^{*}(t,T,S)<R(t,S)$ ).

Które ze stóp forward widać na rynku?

Proste stopy forward – jako kwotowania kontraktów FRA (patrz Wykład 3) oraz jako stopy implikowane z kwotowań kontraktów Futures na depozyty (patrz Wykład 5).

2.8. Chwilowa stopa forward

Chwilowa stopa forward obserwowana w chwili $t$ o terminie zapadalności $T$ jest zdefiniowana jako następująca granica

$f(t,T)=\lim _{{S\rightarrow T^{+}}}F(t,T,S),$

(2.17)

gdzie stopa $F(t,T,S)$ jest określona przez warunek (2.14). Korzystając z (2.14) obliczamy

$\begin{split} f(t,T)=&-\lim _{{S\rightarrow T^{+}}}\frac{1}{B(t,S)}\frac{B(t,S)-B(t,T)}{S-T}\\ =&-\frac{1}{B(t,T)}\frac{\partial}{\partial S}B(t,S)|_{{S=T}}=-\frac{\partial}{\partial S}\ln B(t,S)|_{{S=T}}.\end{split}$

(2.18)

Analogicznie pokazujemy, że

$\lim _{{S\rightarrow T^{+}}}F^{*}(t,T,S)=-\lim _{{S\rightarrow T^{+}}}\frac{\ln B(t,S)-\ln B(t,T)}{S-T}=-\frac{\partial}{\partial S}\ln B(t,S)|_{{S=T}}=f(t,T).$

Ponadto, jeżeli założymy, że funkcja $R(t,\cdot)$ jest różniczkowalna, to przechodząc w równaniu (2.16) do granicy $S\rightarrow T^{+}$ (lub podstawiając w (2.18) wzór (2.6) i wykonując różniczkowanie), otrzymamy następujący związek między stopą chwilową forward $f(t,T)$ a stopami natychmiastowymi kapitalizowanymi w sposób ciągły:

$f(t,T)=R(t,T)+(T-t)\frac{\partial}{\partial S}R(t,S)|_{{S=T}}.$

Całkując (2.18) otrzymujemy następujący związek

$B(t,S)=B(t,T)\exp\left(-\int _{T}^{S}f(t,\tau)\, d\tau\right).$

(2.19)

W szczególności

$B(t,S)=\exp\left(-\int _{t}^{S}f(t,\tau)\, d\tau\right).$

(2.20)

Z (2.20) napisanego dla $S=T$ i z definicji (2.5) stopy $R(t,T)$ wynika następujący związek

$R(t,T)=\frac{1}{T-t}\int _{t}^{T}f(t,\tau)\, d\tau,$

(2.21)

Czyli stopa $R(t,T)$ jest średnią chwilowych stóp forward w okresie czasu $[t,T]$ . Na koniec zauważmy, że

$f(t,t)=r(t).$

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 2.1

Na rynku kwotowane są następujące stopy (proste, ACT/365)

(i) spot L(3M)=5.00%,
(ii) forward F(3M,6M)=5.10%, F(3M,9M)=5.15%, F(6M,1Y)=5.20%.

Oblicz

(a) stopy spot L(6M), L(9M), L(1Y),
(b) stopy forward F(6M,9M), F(9M,1Y),
(c) czynniki dyskontowe ${DF}(3M)$ , ${DF}(6M)$ , ${DF}(9M)$ , ${DF}(1Y)$ .

Załóż, że okres 3M ma 91 dni (od daty spot), 6M 183 dni, 9M 273 dni, oraz 1Y 365 dni.

Ćwiczenie 2.2

Pokazać, że jeśli granica $\lim _{{m\rightarrow\infty}}Y_{m}(t,T)$ istnieje, to $\lim _{{m\rightarrow\infty}}Y_{m}(t,T)=R(t,T).$

Ćwiczenie 2.3

(a) Sprawdzić, że jeżeli ciąg ${DF}(t,T_{i})$ ( $i=1,\ldots,p$ ) jest malejący, to funkcja $T\rightarrow{DF}(t,T)$ określona formułami (2.11) jest malejąca.

(b) Pokazać, że stopy forward kapitalizowane w sposób ciągły dla każdego okresu czasu $[S_{1},S_{2}]$ zawartego w $[T_{i},T_{{i+1}}]$ są takie same.

Ćwiczenie 2.4

Wyprowadzić wzory na interpolację i ekstrapolację stóp $R(t,\cdot)$ , które odpowiadają interpolacji i ekstrapolacji czynników dyskontowych określonym formułami (2.11). Pokazać że, przy tej metodzie interpolacji i ekstrapolacji stóp $R(t,\cdot)$ , przesunięciu równoległemu stóp $R(t,T_{i})$ ( $i=1,\ldots,p$ ) odpowiada równoległe przesunięcie krzywej $T\rightarrow R(t,T)$ . Jak zmienia się struktura czynników dyskontowych przy przesunięciu równoległym stóp procentowych?

Ćwiczenie 2.5

Wyprowadzić wzory na interpolację czynników dyskontowych analogiczne do (2.11a), które odpowiadają liniowej interpolacji stóp $R(t,\cdot)$ , to jest

$R(t,T)=R(t,T_{i})+\frac{T-T_{i}}{T_{{i+1}}-T_{i}}\big(R(t,T_{{i+1}})-R(t,T_{i})\big)$

dla $T_{i}\leq T\leq T_{{i+1}}$ . Przedyskutować problem monotoniczności tak zdefiniowanej krzywej czynników dyskontowych ${DF}(t,T)$ względem zmiennej $T$ .

Wskazówka:

$T_{1}=6/12$ i $R(0,T_{1})=30\%$ , oraz $T_{2}=9/12$ i $R(0,T_{2})=20\%$ . Sprawdź czy dla $T=8/12$ zachodzi ${DF}(0,T)>{DF}(0,T_{2})$ .

Ćwiczenie 2.6

Załóżmy, że krzywa zerokuponowych stóp (kapitalizowanych w sposób ciągły) jest rosnąca. Co jest większe

stopa zerokuponowa dla terminu $T$ ,
wewnętrzna stopa zwrotu z obligacji stałokuponowej o terminie wykupu $T$ ?

Co można powiedzieć, jeśli krzywa stóp procentowych jest malejąca lub stała?

Ćwiczenie 2.7

Na rynku kwotowane są następujące papiery skarbowe

(i) sześciomiesięczny bon – po 97,
(ii) obligacja kuponowa o kuponie 5.00% płatnym co pół roku zapadająca za rok – po cenie 99,
(iii) obligacja kuponowa o kuponie 5.50% płatnym co rok zapadająca za rok i sześć miesięcy – po cenie (czystej) 96.75,
(iv) obligacja kuponowa o kuponie 6% płatnym raz w roku zapadająca za dwa lata – po cenie 98.

Oblicz

(a) czynniki dyskontowe ${DF}(6M)$ , ${DF}(1Y)$ , ${DF}(18M)$ , ${DF}(2Y)$ ,
(b) stopy R(6M), R(1Y), R(18M), R(2Y),
(c) stopy forward $F^{*}(6M,1Y)$ , $F^{*}(1Y,18M)$ , $F^{*}(18M,2Y)$ (kapitalizowane w sposób ciągły).

W celu uproszczenia obliczeń przyjmij, że ułamek roku dla każdego okresu sześciomiesięcznego wynosi $\frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 2.8

Rozwiąż Zadanie 2.7 mając dane tylko (i), (iii) oraz (iv).

Wskazówka:

Brakujące dane będziesz musiał zastąpić założeniem co do postaci czynnika dyskontowego dla okresu 1Y.

Ćwiczenie 2.9

Dane są dwie obligacje, których czas trwania jest taki sam i wynosi 5 lat (obligacje zapadają za 5 lat od chwili bieżącej). Obie obligacje płacą kupon w dokładnie tych samych terminach, ale w różnych wysokościach. Jedna z nich płaci kupon 7.5% i jej cena bieżąca wynosi 95. Druga, o 5% kuponie, kosztuje 92.50. Oblicz wartość czynnika dyskontowego dla okresu 5Y oraz zero-kuponową stopę procentową $Y_{2}(0,5Y)$ (kapitalizowaną półrocznie) w konwencji ACT/360.

Ćwiczenie 2.10

Na rynku są w obrocie dwie obligacje zerokuponowe

(i) skarbowa w cenie 98,
(ii) korporacyjna (emitowana przez korporację) w cenie 95,

obie zapadające w ciągu 91 dni. Oblicz

(a) wewnętrzne stopy zwrotu tych obligacji.
(b) spread kredytowy papieru komercyjnego, to jest różnicę między wewnętrzną stopą zwrotu papieru komercyjnego a stopą papieru skarbowego (wolnego od ryzyka kredytowego).

Ćwiczenie 2.11

Wewnętrzna stopa zwrotu dwuletniej obligacji, która płaci 6% kupon co pół roku, wynosi 8% (kapitalizacja półroczna, 30/360).

(a) Oblicz cenę tej obligacji.
(b) Wiedząc, że
- 26- i 52-tygodniowe bony skarbowe są sprzedawane i kupowane z dyskontem 5 i odpowiednio 8,
- cena czysta obligacji o czasie trwania 18 miesięcy, która płaci 10% kupon raz w roku, wynosi 90,
oblicz wartość czynnika dyskontowego dla okresu 2Y oraz zerokuponową stopę procentową $Y_{2}(0,2Y)$ (kapitalizowaną półrocznie, ACT/360).

Ćwiczenie 2.12

Dane są następujące wielkości

cena 3M bonu skarbowego – 97,
cena 9M bonu skarbowego – 92,
cena czysta obligacji o czasie trwania 15M z półrocznym 6% kuponem – 95,
cena czysta obligacji o czasie trwania 21M z półrocznym 8% kuponem – 94.

Spółka wuwu.com emituje obligację o czasie trwania 18M, która będzie płacić kupon w wysokości 2.5 kwartalnie. Stopa dochodowości obligacji emitowanych przez spółki z sektora .com jest średnio wyższa o 200 punktów bazowych niż stopa dochodowości papierów skarbowych o podobnej strukturze. Przy tym założeniu wyceń obligację spółki wuwu.com.

Uwagi: (i) Przyjmij że stopy procentowe obligacji, o których mowa w zadaniu, są podane na bazie 30/360. (ii) Przy poprawnym rozwiązywaniu tego zadania zajdzie potrzeba obliczenia stopy dochodowości. W tym celu możesz się posłużyć np. arkuszem kalkulacyjnym. Sprawdź jak by się zmieniła cena obligacji gdybyś ,,uprościł” rozwiązanie tak by nie obliczać stopy dochodowości, a obliczając cenę tej obligacji po prostu nałożył ten spread na strukturę stóp zerokuponowych.

Ćwiczenie 2.13 (Duracja vel średni czas trwania.)

Rozpatrzmy strumień (portfel) przepływów pieniężnych $\{ C(t_{i})\} _{{i=1,\ldots,n}}$ (następujących w tej samej walucie) i załóżmy, że jego wartość w chwili $t$

$P(t)=\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(t,t_{i})C(t_{i})\not=0.$

Wówczas, możemy określić wielkość

$D(t)=\frac{1}{P(t)}\sum _{{i=1}}^{n}(t_{i}-t){DF}(t,t_{i})C(t_{i}),$

którą zwykle określa się jako durację Macaulay'a (ang. Macaulay duration).

(a) Pokaż, że jeżeli wszystkie przepływy pieniężne $C(t_{i})$ są dodatnie, to

$\min\{ t_{i}-t\}<D(t)<\max\{ t_{i}-t\}.$
(b) Niech $R_{\Delta}(t,\cdot)$ oznacza strukturę stóp procentowych $R(t,\cdot)$ kapitalizowanych w sposób ciągły przesuniętą równolegle o wielkość $\Delta$ , to znaczy $R_{\Delta}(t,T)=R(t,T)+\Delta$ dla każdego $T>t$ . Niech $P_{\Delta}(t)$ oznacza wartość strumienia $\{ C(t_{i})\}$ obliczoną przy tak przesuniętej strukturze stóp, to jest, dla czynników dyskontowych określonych wzorem

${DF}_{\Delta}(t,T)=e^{{-(T-t)R_{\Delta}(t,T)}}=e^{{-(T-t)R(t,T)}}e^{{-(T-t)\Delta}}=e^{{-(T-t)\Delta}}{DF}(t,T).$

Pokaż, że

$P_{\Delta}(t)-P(t)=-D(t)P(t)\Delta+o(\Delta).$

Wskazówka:

Określ funkcję $g(\Delta)=P_{\Delta}(t)-P(t)$ dla ustalonej struktury stóp $R(t,\cdot)$ . Oblicz $g^{\prime}(0)$ .
(c) Rozpatrzmy teraz zależność wartości strumienia od wielkości równoległego przesunięcia stóp $Y(t,T)$ kapitalizowanych rocznie. Niech $Y_{\Delta}(t,\cdot)$ oznacza strukturę stóp procentowych $Y(t,\cdot)$ przesuniętą równolegle o wielkość $\Delta$ , to znaczy $Y_{\Delta}(t,T)=Y(t,T)+\Delta$ dla każdego $T>t$ . Niech $P_{\Delta}(t)$ oznacza wartość strumienia $\{ C(t_{i})\}$ obliczoną przy tak przesuniętej strukturze stóp, to jest, dla czynników dyskontowych określonych wzorem

${DF}_{\Delta}(t,T)=\frac{1}{(1+Y_{\Delta}(t,T))^{{T-t}}}=\frac{1}{(1+Y(t,T)+\Delta)^{{T-t}}}.$

Pokaż, że

$P_{\Delta}(t)-P(t)=-D_{{\text{mod}}}(t)P(t)\Delta+o(\Delta),$

gdzie $D_{{\text{mod}}}(t)$ jest tak zwaną zmodyfikowaną duracją Macaulay'a (ang. modified Macaulay duration) określoną wzorem

$D_{{\text{mod}}}(t)=\frac{1}{P(t)}\sum _{{i=1}}^{n}\frac{1}{1+Y(t,t_{i})}\,(t_{i}-t){DF}(t,t_{i})C(t_{i}).$
(d) Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy struktura stóp procentowych jest płaska, to znaczy kiedy $R(t,T)=R(t)$ dla każdego $T>t$ i analogicznie $Y(t,T)=Y(t)$ dla $T>t$ , gdzie oczywiście $R(t)=\ln(1+Y(t))$ . Pokaż, że wówczas

$D_{{\text{mod}}}=\frac{D}{1+Y(t)}.$

Uwaga: W praktyce duracje obligacji oblicza się względem wewnętrznej stopy zwrotu tej obligacji. Oznacza to, że, na przykład, jeśli do obliczenia wewnętrznej stopy zwrotu przyjęto mechanizm rocznej kapitalizacji, to czynniki dyskontowe ${DF}(t,T)$ w definicji duracji (zmodyfikowanej) są postaci

${DF}(t,T)=\frac{1}{(1+Y_{{\text{IRR}}})^{{T-t}}},$

gdzie $Y_{{\text{IRR}}}$ jest wewnętrzną stopą zwrotu tej obligacji (o rocznej kapitalizacji). Gdy dla wewnętrznej stopy zwrotu przyjęto inny mechanizm kapitalizacji, np. kapitalizację ciągłą lub półroczną (przypadek obligacji amerykańskich), to wówczas należy odpowiednio adaptować definicję czynnika dyskontowego użytego do obliczenia duracji i sam wzór na durację. Jak widać tak określona duracja nie jest pojęciem jednolitym, w tym sensie, że zależy ona od wewnętrznej stopy zwrotu obligacji (łącznie z całym bagażem konwencji użytych do określenia tej stopy). Trudno jest więc porównywać tak liczone duracje dla różnych obligacji, szczególnie tych których wewnętrzne stopy zwrotu różnią się istotnie.
(e) BPV to nic innego jak zmiana wartości strumienia (portfela przepływów pieniężnych) odpowiadająca przesunięciu równoległemu struktury stóp procentowych o 1 punkt bazowy (0.01%, od ang. basis point oznaczany jako bp), zwykle w dół. Tak więc

$\text{BPV}=P(\tilde{y}+\Delta y)-P(\tilde{y}),$

gdzie $\tilde{y}$ oznacza bieżącą strukturę stóp procentowych, a $\Delta y=-1\,\text{bp}=-0.0001$ . Wyprowadź związek pomiędzy BPV a duracją.

Ćwiczenie 2.14 (BPV obligacji zerokuponowej.)

Wyprowadź wzór na BPV obligacji zerokuponowej.

Ćwiczenie 2.15 (Addytywność BPV.)

Niech

$\text{BPV}_{i}=P(\tilde{y}+\Delta _{i}\tilde{y})-P(\tilde{y}),$

gdzie $\Delta _{i}\tilde{y}=[0,\dots,\Delta y,\ldots,0]$ (przesunięcie tylko $i-$ tej stopy, to jest stopy o tenorze $T_{i}$ ). Pokaż, że

$\text{BPV}\simeq\sum _{{i}}\text{BPV}_{i}.$

Ćwiczenie 2.16

W portfelu mamy 100 mln PLN (wartości nominalnej) w obligacji o następujących parametrach: 8% kupon płatny co pół roku, termin wykupu za 2 lata i trzy miesiące, YTM (semi-annual, 30/360) wynosi 8.488%. Oblicz

(a) cenę czystą tej obligacji,
(b) średni czas trwania tej obligacji,
(c) zmodyfikowaną durację,
(d) przybliżoną zmianę wartości portfela przy wzroście YTM o 5 bp.

Ćwiczenie 2.17

Dealer zarządza dwoma portfelami:

portfelem pięcioletnich obligacji zerokuponowych o wartości nominalnej 100 mln PLN,
portfelem dwuletnich obligacji zerokuponowych o wartości nominalnej 150 mln PLN.

Dwuletnia stopa zerokuponowa (o rocznej kapitalizacji) wynosi 4%, a pięcioletnia stopa zerokuponowa (o rocznej kapitalizacji) wynosi 5%.

(a) Oblicz BPV tych portfeli.
(b) Dealer szacuje, że stopa dwuletnia wzrośnie z dnia na dzień o 25 bp a stopa pięcioletnia wzrośnie o 30 bp. Na którym z portfeli dzienna zmiana wyniku będzie większa? Jaka będzie całkowita zmiana wyniku na obu tych portfelach?
(c) W drugim scenariuszu dealer szacuje, że stopa dwuletnia wzrośnie z dnia na dzień o 15 bp, a stopa pięcioletnia spadnie o 20 bp. Jaka będzie całkowita zmiana wyniku na obu tych portfelach?

Ćwiczenie 2.18

Dealer zarządza portfelem, którego BPV wynosi -1000 PLN, przy czym

BPV odpowiadające zmianie stóp krótkoterminowych (do dwóch lat) wynosi -4000 PLN,
BPV odpowiadające zmianie stóp średnioterminowych (miedzy dwoma a pięcioma latami) wynosi 2000 PLN,
BPV odpowiadające zmianie stóp długoterminowych (powyżej pięciu lat) wynosi 1000 PLN.

Jak zmieni się wynik na tym portfelu jeśli

(a) krzywa stóp procentowych przesunie się równolegle o -25 bp?
(b) krzywa stóp procentowych zmieni kąt nachylenia w ten sposób, że stopy krótkoterminowe wzrosną o 10 bp, stopy średnioterminowe nie zmienią się, a stopy długoterminowe spadną o 15 bp?
(c) krzywa stóp procentowych zmieni wypukłość w ten sposób, że stopy krótkoterminowe spadną o 5 bp, stopy średnioterminowe wzrosną o 10 bp, a stopy długoterminowe spadną o 15 bp?

Ćwiczenie 2.19 (Duracja portfela.)

Wyprowadź wzór na durację portfela w zależności od duracji składowych portfela.

Ćwiczenie 2.20 (Wynik na lokacie/depozycie.)

Wynik na lokacie (i analogicznie na depozycie) zwykle liczy się metodą narosłych odsetek. Załóżmy, że bank zrobił lokatę (udzielił klientowi kredytu) na kwotę $N$ na okres czasu $T$ . Stopa oprocentowania lokaty wynosi $R$ , a odsetki w kwocie $C=RTN$ będą zapłacone wraz ze zwrotem ulokowanej kwoty $N$ w chwili $T$ . Wynik na tej transakcji w chwili czasu $t\in[0,T]$ liczony metodą narosłych odsetek wynosi

$W_{{\text{AI}}}(t)=C\,\frac{d(t)}{d_{{\text{cp}}}},$

gdzie $d_{{\text{cp}}}$ jest liczbą dni na którą lokata została zrobiona, a $d(t)$ jest liczbą dni od początku okresu odsetkowego lokaty do chwili wyceny $t$ . Przy założeniu że stopa $R$ jest na bazie ACT/365, czyli, że $T=d_{{\text{cp}}}/365$ , narosłe odsetki możemy wyrazić w następujący sposób:

$W_{{\text{AI}}}(t)=C\,\frac{d(t)}{d_{{\text{cp}}}}=R\,\frac{d(t)}{365}N=RtN,$

gdzie przyjęliśmy, że $t=d_{{t}}/365$ . Wynik liczony w powyższy sposób przyrasta w czasie liniowo i nie zależy od bieżących stóp procentowych.

Wynik na lokacie (i analogicznie na depozycie) można również liczyć w sposób ekonomiczny, to znaczy jako wynik który byłby zrealizowany w rezultacie zamknięcia tej lokaty po stopach obowiązujących w chwili wyceny $t$ . Tak rozumiany wynik ekonomiczny dany jest wzorem (dlaczego?)

$W_{{\text{E}}}(t)={DF}(t,T)(1+RT)N-N.$

Załóżmy, że ${DF}(t,T)=\frac{1}{1+r(T-t)}$ – tzn. $r$ jest stopą depozytową dla okresu $[t,T]$ .

Pokaż, że

$W_{{\text{E}}}-W_{{\text{AI}}}\simeq(R-r)(T-t)N$

z dokładnością do wyrazów drugiego rzędu. Stąd wynika w szczególności, że jeżeli $R=r$ , to wynik ekonomiczny pokrywa się (w przybliżeniu) z wynikiem liczonym metodą narosłych odsetek.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

	${DF}(t,T)=\Big({DF}(t,T_{i})\Big)^{{1-\tau}}\Big({DF}(t,T_{{i+1}})\Big)^{{\tau}}$		(2.11)
	$\tau=\frac{T-T_{{i}}}{T_{{i+1}}-T_{i}},$
	${DF}(t,T)=\Big({DF}(t,T_{i})\Big)^{{T/T_{i}}},\quad\text{gdzie }i=1\text{ lub }p.$

Inżynieria Finansowa

Zagadnienia

2. Stopy procentowe

2.1. Podstawowe stopy procentowe

2.2. Obligacje zerokuponowe, czynniki dyskontowe

Uwaga 2.1

2.3. Wartość strumienia przepływów pieniężnych

2.4. Zerokuponowe stopy procentowe (spotowe, natychmiastowe)

2.5. Struktura stóp procentowych

2.6. Chwilowa stopa natychmiastowa

2.7. Stopy forward

2.8. Chwilowa stopa forward

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 2.1

Ćwiczenie 2.2

Ćwiczenie 2.3

Ćwiczenie 2.4

Ćwiczenie 2.5

Ćwiczenie 2.6

Ćwiczenie 2.7

Ćwiczenie 2.8

Ćwiczenie 2.9

Ćwiczenie 2.10

Ćwiczenie 2.11

Ćwiczenie 2.12

Ćwiczenie 2.13 (Duracja vel średni czas trwania.)

Ćwiczenie 2.14 (BPV obligacji zerokuponowej.)

Ćwiczenie 2.15 (Addytywność BPV.)

Ćwiczenie 2.16

Ćwiczenie 2.17

Ćwiczenie 2.18

Ćwiczenie 2.19 (Duracja portfela.)

Ćwiczenie 2.20 (Wynik na lokacie/depozycie.)