Terminologia:
ang. Forward Rate Agreement – FRA,
kontrakt na przyszłą stopę procentową.
Oznaczenia
oznacza początek okresu
depozytowego, który jest również datą rozliczenia (ang.
settlement date),
oznacza koniec okresu depozytowego,
oznacza datę ustalenia stopy referencyjnej (ang. fixing date)
– to jest, zwykle dwa dni robocze przed początkiem okresu
depozytowego,
oznacza wartość stopy referencyjnej
zaobserwowaną na rynku w dniu ustalenia stopy - najczęściej są to 1,
3 lub 6 miesięczne stopy lokat/depozytów na rynku międzybankowym –
stopy WIBOR lub LIBOR,
oznacza długość okresu
depozytowego kontraktu FRA obliczoną według właściwej dla danej
waluty konwencji (ACT/360 dla USD, EUR; ACT/365 dla PLN, GBP),
oznacza stopę kontraktu FRA, to
jest zakontraktowaną wysokość stopy procentowej, tzw. cena kontraktu
FRA,
oznacza nominał kontraktu,
Symbole używane na rynku do oznaczania kontraktu:
FRAx
lub FRA
v
(na przykład: FRA6x9, gdzie ,,6”
odpowiada
(6 miesięcy od dnia spot), a ,,9” to
).
Kwota rozliczenia (wypłata z kontraktu FRA) od strony nabywcy kontraktu, znana od momentu ustalenia stopy referencyjnej, płatna w dacie rozliczenia, wynosi
![]() |
(3.1) |
Warto zauważyć, że kwota rozliczenia (3.1) nie jest liniową
funkcją stopy , choć ta nieliniowość nie jest silna bowiem
wartości iloczynu
są zwykle małe w stosunku do 1.
W sensie ekonomicznym (w sensie wartości bieżącej na chwilę )
wartość kwoty rozliczenia (3.1) kontraktu FRA płatnej w
chwili
jest równoważna wartości rozliczenia wymiany w
następującej w chwili
odsetek liczonych według stopy zmiennej
na odsetki liczone według stopy kontraktu
, czyli kwoty
![]() |
(3.2) |
Strony kontraktów FRA
Kupno FRA (długi FRA, ang. long FRA) – kupno pieniędzy (pożyczenie pieniędzy) – płacenie odsetek – płacenie stopy kontraktu FRA
Sprzedaż FRA (krótki FRA, ang. short FRA) – sprzedaż pieniędzy (ulokowanie pieniędzy) – otrzymywanie odsetek – otrzymywanie stopy kontraktu FRA
Rola kontraktów FRA
Nabywca kontraktu FRA zapewnia sobie określoną w umowie wysokość referencyjnej stopy procentowej, po której będzie mógł się finansować (pożyczyć pieniądze) przez ustalony w kontrakcie przyszły okres czasu.
Sprzedawca kontraktu FRA zapewnia sobie możliwość ulokowania po stopie kontraktu FRA swoich funduszy na ustalony w kontrakcie okres czasu.
Jak to działa? Wyjaśnimy to od strony kupującego kontrakt FRA.
Zawieramy kontrakt FRA w którym będziemy płacić ustaloną kontraktem
stopę (tzn. kupujemy kontrakt FRA ze stopą
). Zawarcie kontraktu nic nas nie kosztuje.
W chwili zostaje ustalona wartość
stopy rynkowej na
okres od
do
. Przypuśćmy, że
. To
oznacza, że od sprzedawcy kontraktu otrzymujemy kwotę
określoną
w (3.1). Wówczas
kwotę lokujemy po stopie
na okres od
do
, oraz
kwotę pożyczamy po stopie
na ten sam okres.
W chwili
z lokaty dostajemy kwotę , oraz
zwracamy pożyczony kapitał i płacimy należne odsetki w
wysokości
.
W efekcie, po zbilansowaniu płatności, od pożyczonego kapitału
płacimy odsetki po stopie . Gdy
,
musimy wypłacić sprzedawcy kwotę
, którą w tym celu pożyczamy na
rynku po stopie
. Wtedy w
oddajemy kwotę
oraz kwotę
, co znów daje nam efekt taki
sam, jak w poprzednim przypadku.
Kontrakty FRA mogą być i są używane przez spekulantów. Spekulant, który przypuszcza, że stopy procentowe w przyszłości
wzrosną – kupuje kontrakt FRA,
spadną – sprzedaje kontrakt FRA,
bowiem jeśli spełnią się jego spekulacje, to zgodnie ze wzorem (3.1) zyska.
(długiej pozycji FRA, kupiony FRA)
(a) Wartość zapadłego kontraktu FRA – wartość w dacie lub
po dacie ustalenia stopy referencyjnej ()
Wartość kontraktu FRA jest równa wartości zdyskontowanej do momentu wyceny ustalonej kwoty rozliczenia (3.1)
![]() |
(3.3) |
(b) Wartość kontraktu przed datą ustalenia
stopy referencyjnej ()
Pokażemy, że wartość w chwili niezapadłego kontraktu FRA wynosi
![]() |
(3.4) |
W tym celu rozpatrzmy następującą strategię inwestycyjną, która w sposób statyczny replikuje wymianę odsetek
![]() |
która (hipotetycznie)
będzie miała miejsce w chwili i która ekonomicznie jest
równoważna kwocie rozliczenia kontraktu FRA. Ta strategia polega na
sprzedaży w chwili obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili
o nominale
,
kupnie w chwili obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili
o nominale
,
zainwestowaniu w chwili kwoty
(otrzymanej z zapadającej w
obligacji zerokuponowej)
na okres czasu od
do
w lokatę oprocentowaną według
rynkowej stopy
.
Jak łatwo sprawdzić, wartość tej strategii w chwili dana jest
wzorem
![]() |
Ponieważ ta strategia replikuje kwotę (hipotetycznego) rozliczenia w
równoważnego rzeczywistemu rozliczeniu kontraktu FRA w chwili
, to z prawa jednej ceny wynika, iż musi zachodzić równość
(3.4).
W dniu zawarcia kontraktu (ang. trade date) wartość kontraktu
wynosi zero. Niech oznacza chwilę zawarcia kontraktu. Stopa
z jaką kontrakt został zawarty musiała być taka, by
![]() |
czyli stopa ta powinna była wynosić
![]() |
(3.5) |
Jak widać ze wzoru (3.5), w dniu zawarcia kontraktu (w dniu
bieżącym ) stopa kontraktu FRA jest równa stopie forward dla
okresu depozytowego kontraktu FRA obserwowanej w chwili
![]() |
(3.6) |
gdzie, przypomnijmy, stopa spełnia warunek
![]() |
(3.7) |
Inne uzasadnienie równości (3.6). Kupiony kontrakt FRA
pozwala na ustalenie stopy procentowej po której będziemy mogli
pożyczać pieniądze na okres czasu od do
. Z drugiej
strony ten sam efekt możemy uzyskać wykonując w chwili
dwie
transakcje: pożyczenie pieniędzy na okres czasu od
do
(sprzedaż obligacji zero-kuponowej o czasie zapadalności
) oraz
jednoczesne ulokowanie tych pieniędzy na okres czasu od
do
(kupno obligacji zero-kuponowej o czasie zapadalności
) -
patrz uzasadnienie definicji stopy forward (Wykład 2). Efektem tych
transakcji na obligacjach zero-kuponowych jest zapewnienie sobie
stopy forward
na okres czasu od
do
przy
zerowych kosztach początkowych. Ekonomicznie transakcja FRA i te
dwie transakcje depozytowe dają ten sam efekt przy tych samych
(zerowych) kosztach. Tak więc, musi zachodzić warunek
(3.6), gdyż w przeciwnym razie moglibyśmy przeprowadzić
transakcję arbitrażową.
Powyższy mechanizm opisany w celu uzasadnienia wzoru (3.6)
przedstawia również sposób replikacji kontraktu FRA przy pomocy
lokaty i depozytu. Kupiony FRA (płacimy stopę FRA) replikujemy
pożyczeniem pieniędzy na okres czasu do chwili po stopie
i ulokowaniem pożyczonych pieniędzy na depozycie do
chwili
po stopie
. W przypadku replikacji
sprzedanego kontraktu FRA postępujemy odwrotnie: pieniądze pożyczamy
na okres do
i robimy depozyt na okres do
. W tym języku
wzór na stopę kontraktu FRA możemy zapisać następująco
![]() |
gdzie
jest długością okresu depozytowego, który zaczyna się w
dacie spot dla chwili bieżącej
i kończy w
(
).
Wartość kontraktu FRA jest równa wartości zdyskontowanej do momentu
wyceny kwoty przyszłego rozliczenia którą, obliczamy wzorem (3.1)
wstawiając w nim zamiast stopy stopę forward
dla okresu od
do
implikowaną przez strukturę stóp
procentowych z chwili wyceny
![]() |
(3.8) |
gdzie
![]() |
(3.9) |
Dlaczego można tak postąpić? Podamy dwa uzasadnienia.
Otóż w chwili możemy bez kosztów początkowych zawrzeć kontrakt
FRA na okres od
do
zamykający nasz oryginalny
(wyceniany) kontrakt. Stopa tego zamykającego kontraktu FRA jak
wiemy musi wynosić
. Ekonomiczny rezultat tego
zamknięcia to wymiana w chwili
stopy
na stopę
wycenianego kontraktu FRA. Bieżąca wartość tej
wymiany, która jest de facto wartością oryginalnego kontraktu FRA,
wynosi zatem
![]() |
(3.10) |
Korzystając ze wzoru (3.9) na stopę forward, wyrażenie po prawej stronie równości (3.10) możemy zapisać w postaci (3.8), co uzasadnia tę metodę wyceny kontraktu FRA.
Jak widać, kontrakt FRA może służyć do zabezpieczania określonych
płatności odsetkowych. Jeśli mamy otrzymać płatność odsetkową za
przyszły okres czasu od do
zależną od stopy rynkowej
, która będzie ustalona na ten okres przez rynek, możemy
sprzedać kontrakt FRA na ten okres czasu ze stopą
. W efekcie, możemy uważać, że bez
żadnych kosztów zamieniliśmy nieznaną w chwili
stopę rynkową na
stopę
ustaloną w
.
Z powyższej analizy wynika, że wyceniając w chwili (licząc
wartość bieżącą na chwilę
) przepływ pieniężny postaci
![]() |
następujący w chwili (
jest
stałą niezależną od
), możemy zastąpić stopę
stopą forward
. Wtedy wartość w chwili
takiego przepływu wynosi
![]() |
W szczególności, dla
przepływu będącego odsetkami za okres od do
![]() |
po skorzystaniu ze wzoru (3.9) na stopę forward, otrzymujemy
![]() |
Jak widać ze wzoru (3.4), wycena kupionego kontraktu FRA jest identyczna jak wycena strumienia pieniężnego
w chwili
,
w chwili
.
Podobnie, ze wzoru (3.10) wynika, że wycena kupionego kontraktu FRA jest identyczna jak wycena strumienia pieniężnego
w chwili
,
w chwili
.
Uwaga: Powyższe przepływy pieniężne (oraz przepływy pieniężne odpowiadające wzorowi (3.8)) są jedynie przepływami syntetycznymi i w rzeczywistości żadne z tych przepływów nie występują w związku z realizacją kontraktu FRA.
Kontrakty FRA są kwotowane ze spreadem kupna – sprzedaży. Cena kupna kontraktu FRA to stopa
, którą kwotujący jest skłonny
,,płacić” w tym kontrakcie. Analogicznie, cena sprzedaży kontraktu
FRA to stopa
, którą kwotujący jest
gotów ,,otrzymywać” w tym kontrakcie. Jasne, że
.
Spready kupna – sprzedaży kontraktów FRA są relatywnie małe (kilka lub kilkanaście bp), na ogół dużo mniejsze niż wynikałyby ze spreadów lokat/depozytów replikujących kontrakty FRA (patrz Zadanie 3.1). Jest to związane z różnymi poziomami ryzyka kredytowego w kontraktach FRA i w transakcjach depozytowych. Ponadto, kontrakty FRA, jako transakcje pozabilansowe, mają znacznie większą płynność niż transakcje depozytowe, które wymagają zaangażowania gotówki (są transakcjami bilansowymi).
W dniu 18 października 2004 Bank X kwotował: 3M PLN Depo – 6.65 / 6.85 oraz 6M PLN Depo – 6.80 / 6.95, oraz PLN FRA3x6 – 6.84 / 6.90 (kwotowania na bazie ACT/365). Oblicz ceny kupna / sprzedaży kontraktu FRA3x6, które wynikałyby ze stóp depozytowych. W obliczeniach przyjmij, że okres 3M ma 92 dni a 6M ma 183 dni (od dnia spot).
Dane są następujące kwotowania rynkowe: FRA3x6 – 5.00%, bon skarbowy o terminie wykupu za 3 miesiące – 98.00, oraz bon skarbowy o terminie wykupu za 6 miesięcy – 97.50. Czy przy tych danych można przeprowadzić arbitraż? W obliczeniach załóż, że okres 3 miesięczny ma 91 dni, a 6 miesięczny 182 dni.
Dane są dwie obligacje stałokuponowe, które płacą kupon co pół roku:
OS1: kupon – 5%, termin zapadalności – za 4 miesiące, cena czysta – 99,58;
OS2: kupon – 6%, termin zapadalności – za 7 miesięcy, cena czysta – 100,6.
Stopa procentowa 1M lokat/depozytów wynosi 5,50%. Kwotowanie FRA4x7 wynosi 6,00%. Czy w tej sytuacji jest możliwość przeprowadzenia arbitrażu. Jeśli tak, skonstruuj strategię arbitrażową i oblicz wartość zysku uzyskanego tą strategią.
Dane są dwie obligacje stałokuponowe, które płacą kupon co pół roku:
OS1: kupon – 6.00%, termin zapadalności – za 7 miesięcy, cena czysta – 100.50;
OS2: kupon – 6.60%, termin zapadalności – za 10 miesięcy, cena czysta – 100.57.
Stopy procentowe lokat/depozytów wynoszą: 1M – 5.50%, 4M – 5.75%. Kwotowanie kontraktu FRA7x10 wynosi 6.00%. Czy w tej sytuacji jest możliwość przeprowadzenia arbitrażu. Jeśli tak, skonstruuj i opisz strategię arbitrażową. Jaka jest wysokość zysku uzyskanego tym arbitrażem?
Dwa miesiące temu sprzedaliśmy kontrakt FRA3x6 na nominał 10 mln PLN ze stopą 6.10%. W chwili obecnej kontrakt FRA1x4 ma kwotowanie 5.90/6.05, a WIBOR 1M wynosi 5.80%. Oblicz wartość naszego kontraktu.
(a) Oblicz BPV kontaktów FRA 3x6, 3x9.
(b) Zbadaj jak BPV kontraktów FRA zmienia się wraz z upływem czasu pozostałego do wygaśnięcia (rozliczenia) kontraktu.
Pokaż, że dla nowo zawartego kontraktu (przy przesunięciu równoległym
stóp procentowych w dół o 1 bp).
Wycena obligacji o zmiennym kuponie – ang. FRN – Floating Rate Note
Obligacja o zmiennym kuponie płaci kupony, które są obliczane według pewnej referencyjnej rynkowej stopy procentowej (zwykle stopy typu LIBOR).
(a) Obligacja o stałym nominale .
Kupon za okres odsetkowy płatny w chwili
wynosi
![]() |
gdzie jest stopą rynkową, której wartość jest
ustalana na rynku na początku okresu odsetkowego (w rzeczywistości,
zwykle na dwa robocze przez rozpoczęciem tego okresu). Oblicz
(i) wartość tej obligacji w chwili oraz jej
cenę czystą,
(ii) wartość tej obligacji na początku okresu
odsetkowego, tj. w chwili .
(b) Obligacja z amortyzowanym nominałem.
Nominał obligacji zmienia się w trakcie jej trwania według z góry
określonego harmonogramu. Niech oznacza nominał obligacji w
okresie odsetkowym
. Kupon za okres odsetkowy
płatny w chwili
wynosi
![]() |
przy
oznaczeniach takich samych jak w punkcie (a). Prócz tego kuponu, w
chwili , gdzie
, obligacja zwraca część
nominału odpowiadającą amortyzacji
![]() |
przy czym
w terminie wykupu obligacji następuje wypłata pozostałej po
tych amortyzacjach ostatniej części
nominału. Oblicz
(i) wartość tej obligacji w chwili oraz jej
cenę czystą,
(ii) wartość tej obligacji na początku okresu
odsetkowego, tj. w chwili .
Obligacja z kapitalizowanymi odsetkami o zmiennym oprocentowaniu.
Jest to obligacja, która zamiast płacić odsetki kapitalizuje je co
okres odsetkowy, przy czym odsetki są obliczane według rynkowej
stopy procentowej ustalanej przed rozpoczęciem
każdego kolejnego okresu odsetkowego
, gdzie
. W terminie wykupu
obligacja zwraca nominał
wraz ze skapitalizowanymi odsetkami, czyli kwotę
![]() |
Oblicz wartość tej
obligacji w chwili , gdzie
.
Wyceniając tę obligację możesz zastąpić przyszłe w stosunku do
chwili wyceny stopy
stopami forward
obserwowanymi w
. Dlaczego możemy tak
postąpić? Pomyśl o serii odpowiednich kontraktów FRA, które musiał
byś zawrzeć w chwili
by uzasadnić podstawienie w miejsce stóp
przyszłych
bieżących stóp forward
.
Ile wynoszą duracje obligacji opisanych w Ćwiczeniu 3.8 i Ćwiczeniu 3.9?
Rozważmy dwie obligacje.
Obligacja A: płaci stały kupon 8%, płatny co pół roku, termin wykupu przypada za 2 lata i 3 miesiące. Cena czysta tej obligacji wynosi 98, a jej duracja jest równa 1.25.
Obligacja B: płaci kupon liczony według 6M stopy rynkowej, płatny co pół roku, termin wykupu przypada za 7 lat i 3 miesiące. Stopa procentowa dla bieżącego okresu odsetkowego została ustalona w wysokości 6%. Cena czysta tej obligacji wynosi 99.
Oblicz o ile procent (w przybliżeniu) zmieni się (a) cena brudna, (b) cena czysta każdej z tych obligacji, jeżeli stopy procentowe zmienią się o +50 bp (punktów bazowych, 1 bp=0.01%). Załóż że stopy są wyrażone na bazie 30/360.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.