Zagadnienia

3.1 Struktura kontraktu FRA
3.2 Wartość kontraktu FRA
3.3 Stopa kontraktu FRA
3.4 Wyznaczanie wartości kontraktu FRA na podstawie stopy forward
3.5 FRA jako instrument zabezpieczający
3.6 Reprezentacja FRA w postaci strumienia pieniężnego
3.7 Aspekty praktyczne
Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

3. Kontrakt FRA

3.1. Struktura kontraktu FRA

Terminologia:

ang. Forward Rate Agreement – FRA,
kontrakt na przyszłą stopę procentową.

Oznaczenia

$T_{1}$ oznacza początek okresu depozytowego, który jest również datą rozliczenia (ang. settlement date),
$T_{2}$ oznacza koniec okresu depozytowego,
$T_{{\text{fix}}}$ oznacza datę ustalenia stopy referencyjnej (ang. fixing date) – to jest, zwykle dwa dni robocze przed początkiem okresu depozytowego,
$L=L(T_{1},T_{2})$ oznacza wartość stopy referencyjnej zaobserwowaną na rynku w dniu ustalenia stopy - najczęściej są to 1, 3 lub 6 miesięczne stopy lokat/depozytów na rynku międzybankowym – stopy WIBOR lub LIBOR,
$\Delta=T_{2}-T_{1}$ oznacza długość okresu depozytowego kontraktu FRA obliczoną według właściwej dla danej waluty konwencji (ACT/360 dla USD, EUR; ACT/365 dla PLN, GBP),
$R_{{\text{FRA}}}$ oznacza stopę kontraktu FRA, to jest zakontraktowaną wysokość stopy procentowej, tzw. cena kontraktu FRA,
$N$ oznacza nominał kontraktu,
Symbole używane na rynku do oznaczania kontraktu: FRA $T_{1}$ x $T_{2}$ lub FRA $T_{1}$ v $T_{2}$ (na przykład: FRA6x9, gdzie ,,6” odpowiada $T_{1}=6M$ (6 miesięcy od dnia spot), a ,,9” to $T_{2}=9M$ ).

Kwota rozliczenia (wypłata z kontraktu FRA) od strony nabywcy kontraktu, znana od momentu ustalenia stopy referencyjnej, płatna w dacie rozliczenia, wynosi

$\frac{(L-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N}{1+L\cdot\Delta}.$

(3.1)

Warto zauważyć, że kwota rozliczenia (3.1) nie jest liniową funkcją stopy $L$ , choć ta nieliniowość nie jest silna bowiem wartości iloczynu $L\cdot\Delta$ są zwykle małe w stosunku do 1.

W sensie ekonomicznym (w sensie wartości bieżącej na chwilę $T_{1}$ ) wartość kwoty rozliczenia (3.1) kontraktu FRA płatnej w chwili $T_{1}$ jest równoważna wartości rozliczenia wymiany w następującej w chwili $T_{2}$ odsetek liczonych według stopy zmiennej $L=L(T_{1},T_{2})$ na odsetki liczone według stopy kontraktu $R_{{\text{FRA}}}$ , czyli kwoty

$(L-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N.$

(3.2)

Strony kontraktów FRA

Kupno FRA (długi FRA, ang. long FRA) – kupno pieniędzy (pożyczenie pieniędzy) – płacenie odsetek – płacenie stopy kontraktu FRA
Sprzedaż FRA (krótki FRA, ang. short FRA) – sprzedaż pieniędzy (ulokowanie pieniędzy) – otrzymywanie odsetek – otrzymywanie stopy kontraktu FRA

Rola kontraktów FRA

Nabywca kontraktu FRA zapewnia sobie określoną w umowie wysokość referencyjnej stopy procentowej, po której będzie mógł się finansować (pożyczyć pieniądze) przez ustalony w kontrakcie przyszły okres czasu.
Sprzedawca kontraktu FRA zapewnia sobie możliwość ulokowania po stopie kontraktu FRA swoich funduszy na ustalony w kontrakcie okres czasu.

Jak to działa? Wyjaśnimy to od strony kupującego kontrakt FRA.

Zawieramy kontrakt FRA w którym będziemy płacić ustaloną kontraktem stopę $R_{{\text{FRA}}}$ (tzn. kupujemy kontrakt FRA ze stopą $R_{{\text{FRA}}}$ ). Zawarcie kontraktu nic nas nie kosztuje.
W chwili $T_{{\text{fix}}}$ zostaje ustalona wartość $L$ stopy rynkowej na okres od $T_{1}$ do $T_{2}$ . Przypuśćmy, że $L>R_{{\text{FRA}}}$ . To oznacza, że od sprzedawcy kontraktu otrzymujemy kwotę $V$ określoną w (3.1). Wówczas
- kwotę $V$ lokujemy po stopie $L$ na okres od $T_{1}$ do $T_{2}$ , oraz
- kwotę $N$ pożyczamy po stopie $L$ na ten sam okres.
W chwili $T_{2}$
- z lokaty dostajemy kwotę $(L-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N$ , oraz
- zwracamy pożyczony kapitał $N$ i płacimy należne odsetki w wysokości $L\cdot\Delta\cdot N$ .
W efekcie, po zbilansowaniu płatności, od pożyczonego kapitału płacimy odsetki po stopie $R_{{\text{FRA}}}$ . Gdy $L<R_{{\text{FRA}}}$ , musimy wypłacić sprzedawcy kwotę $-V$ , którą w tym celu pożyczamy na rynku po stopie $L$ . Wtedy w $T_{2}$ oddajemy kwotę $N+L\cdot\Delta\cdot N$ oraz kwotę $(R_{{\text{FRA}}}-L)\cdot\Delta\cdot N$ , co znów daje nam efekt taki sam, jak w poprzednim przypadku.

Kontrakty FRA mogą być i są używane przez spekulantów. Spekulant, który przypuszcza, że stopy procentowe w przyszłości

wzrosną – kupuje kontrakt FRA,
spadną – sprzedaje kontrakt FRA,

bowiem jeśli spełnią się jego spekulacje, to zgodnie ze wzorem (3.1) zyska.

3.2. Wartość kontraktu FRA

(długiej pozycji FRA, kupiony FRA)

(a) Wartość zapadłego kontraktu FRA – wartość w dacie lub po dacie ustalenia stopy referencyjnej ( $T_{{\text{fix}}}\leq t\leq T_{1}$ )

Wartość kontraktu FRA jest równa wartości zdyskontowanej do momentu wyceny ustalonej kwoty rozliczenia (3.1)

$P_{{\text{FRA}}}={DF}(t,T_{1})\cdot\frac{(L-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N}{1+L\cdot\Delta}$ (3.3)
(b) Wartość kontraktu przed datą ustalenia stopy referencyjnej ( $t<T_{{\text{fix}}}$ )
Pokażemy, że wartość w chwili $t$ niezapadłego kontraktu FRA wynosi

$P_{{\text{FRA}}}=N\cdot\big({DF}(t,T_{1})-(1+R_{{\text{FRA}}}\Delta)\cdot{DF}(t,T_{2})\big)$ (3.4)

W tym celu rozpatrzmy następującą strategię inwestycyjną, która w sposób statyczny replikuje wymianę odsetek

$(L-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N,$

która (hipotetycznie) będzie miała miejsce w chwili $T_{2}$ i która ekonomicznie jest równoważna kwocie rozliczenia kontraktu FRA. Ta strategia polega na
- sprzedaży w chwili $t$ obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili $T_{2}$ o nominale $(1+R_{{\text{FRA}}}\Delta)N$ ,
- kupnie w chwili $t$ obligacji zerokuponowej zapadalnej w chwili $T_{1}$ o nominale $N$ ,
- zainwestowaniu w chwili $T_{1}$ kwoty $N$ (otrzymanej z zapadającej w $T_{1}$ obligacji zerokuponowej) na okres czasu od $T_{1}$ do $T_{2}$ w lokatę oprocentowaną według rynkowej stopy $L=L(T_{1},T_{2})$ .
Jak łatwo sprawdzić, wartość tej strategii w chwili $t$ dana jest wzorem

$N\cdot\big({DF}(t,T_{1})-(1+R_{{\text{FRA}}}\Delta)\cdot{DF}(t,T_{2})\big).$

Ponieważ ta strategia replikuje kwotę (hipotetycznego) rozliczenia w $T_{2}$ równoważnego rzeczywistemu rozliczeniu kontraktu FRA w chwili $T_{1}$ , to z prawa jednej ceny wynika, iż musi zachodzić równość (3.4).

3.3. Stopa kontraktu FRA

W dniu zawarcia kontraktu (ang. trade date) wartość kontraktu wynosi zero. Niech $t_{0}$ oznacza chwilę zawarcia kontraktu. Stopa $R_{{\text{FRA}}}$ z jaką kontrakt został zawarty musiała być taka, by

${DF}(t_{0},T_{1})-(1+R_{{\text{FRA}}}\Delta)\cdot{DF}(t_{0},T_{2})=0,$

czyli stopa ta powinna była wynosić

$R_{{\text{FRA}}}=\frac{1}{\Delta}\left(\frac{{DF}(t_{0},T_{1})}{{DF}(t_{0},T_{2})}-1\right)$

(3.5)

Jak widać ze wzoru (3.5), w dniu zawarcia kontraktu (w dniu bieżącym $t_{0}$ ) stopa kontraktu FRA jest równa stopie forward dla okresu depozytowego kontraktu FRA obserwowanej w chwili $t_{0}$

$R_{{\text{FRA}}}=F(t_{0},T_{1},T_{2}),$

(3.6)

gdzie, przypomnijmy, stopa $F(t_{0},T_{1},T_{2})$ spełnia warunek

$\frac{1}{{DF}(t_{0},T_{1})}\left(1+F(t_{0},T_{1},T_{2})\cdot\Delta\right)=\frac{1}{{DF}(t_{0},T_{2})}.$

(3.7)

Inne uzasadnienie równości (3.6). Kupiony kontrakt FRA pozwala na ustalenie stopy procentowej po której będziemy mogli pożyczać pieniądze na okres czasu od $T_{1}$ do $T_{2}$ . Z drugiej strony ten sam efekt możemy uzyskać wykonując w chwili $t_{0}$ dwie transakcje: pożyczenie pieniędzy na okres czasu od $t_{0}$ do $T_{2}$ (sprzedaż obligacji zero-kuponowej o czasie zapadalności $T_{2}$ ) oraz jednoczesne ulokowanie tych pieniędzy na okres czasu od $t_{0}$ do $T_{1}$ (kupno obligacji zero-kuponowej o czasie zapadalności $T_{1}$ ) - patrz uzasadnienie definicji stopy forward (Wykład 2). Efektem tych transakcji na obligacjach zero-kuponowych jest zapewnienie sobie stopy forward $F(t_{0},T_{1},T_{2})$ na okres czasu od $T_{1}$ do $T_{2}$ przy zerowych kosztach początkowych. Ekonomicznie transakcja FRA i te dwie transakcje depozytowe dają ten sam efekt przy tych samych (zerowych) kosztach. Tak więc, musi zachodzić warunek (3.6), gdyż w przeciwnym razie moglibyśmy przeprowadzić transakcję arbitrażową.

Powyższy mechanizm opisany w celu uzasadnienia wzoru (3.6) przedstawia również sposób replikacji kontraktu FRA przy pomocy lokaty i depozytu. Kupiony FRA (płacimy stopę FRA) replikujemy pożyczeniem pieniędzy na okres czasu do chwili $T_{2}$ po stopie $L(t_{0},T_{2})$ i ulokowaniem pożyczonych pieniędzy na depozycie do chwili $T_{1}$ po stopie $L(t_{0},T_{1})$ . W przypadku replikacji sprzedanego kontraktu FRA postępujemy odwrotnie: pieniądze pożyczamy na okres do $T_{1}$ i robimy depozyt na okres do $T_{2}$ . W tym języku wzór na stopę kontraktu FRA możemy zapisać następująco

$\left(1+L(t_{0},T_{1})\cdot\Delta _{1}\right)\left(1+R_{{\text{FRA}}}\cdot\Delta\right)=\left(1+L(t_{0},T_{2})\cdot\Delta _{2}\right),$

gdzie $\Delta _{i}$ jest długością okresu depozytowego, który zaczyna się w dacie spot dla chwili bieżącej $t_{0}$ i kończy w $T_{i}$ ( $i=1,2$ ).

3.4. Wyznaczanie wartości kontraktu FRA na podstawie stopy forward

Wartość kontraktu FRA jest równa wartości zdyskontowanej do momentu wyceny kwoty przyszłego rozliczenia którą, obliczamy wzorem (3.1) wstawiając w nim zamiast stopy $L$ stopę forward $F=F(t,T_{1},T_{2})$ dla okresu od $T_{1}$ do $T_{2}$ implikowaną przez strukturę stóp procentowych z chwili wyceny $t$

$P_{{\text{FRA}}}={DF}(t,T_{1})\cdot\frac{(F-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N}{1+F\cdot\Delta},$

(3.8)

gdzie

$F=F(t,T_{1},T_{2})=\frac{1}{\Delta}\left(\frac{{DF}(t,T_{1})}{{DF}(t,T_{2})}-1\right)$

(3.9)

Dlaczego można tak postąpić? Podamy dwa uzasadnienia.

Otóż w chwili $t$ możemy bez kosztów początkowych zawrzeć kontrakt FRA na okres od $T_{1}$ do $T_{2}$ zamykający nasz oryginalny (wyceniany) kontrakt. Stopa tego zamykającego kontraktu FRA jak wiemy musi wynosić $F(t,T_{1},T_{2})$ . Ekonomiczny rezultat tego zamknięcia to wymiana w chwili $T_{2}$ stopy $F=F(t,T_{1},T_{2})$ na stopę $R_{{\text{FRA}}}$ wycenianego kontraktu FRA. Bieżąca wartość tej wymiany, która jest de facto wartością oryginalnego kontraktu FRA, wynosi zatem

$P_{{\text{FRA}}}={DF}(t,T_{2})\cdot(F-R_{{\text{FRA}}})\cdot\Delta\cdot N.$

(3.10)

Korzystając ze wzoru (3.9) na stopę forward, wyrażenie po prawej stronie równości (3.10) możemy zapisać w postaci (3.8), co uzasadnia tę metodę wyceny kontraktu FRA.

Drugie uzasadnienie polega na sprawdzeniu, że po wstawieniu do (3.8) (lub (3.10)) wyrażenia na stopę $F$ wyliczoną z warunku (3.9) i po przeprowadzeniu uproszczeń, otrzymujemy wzór (3.4) na wycenę kontraktu FRA.

3.5. FRA jako instrument zabezpieczający

Jak widać, kontrakt FRA może służyć do zabezpieczania określonych płatności odsetkowych. Jeśli mamy otrzymać płatność odsetkową za przyszły okres czasu od $T_{1}$ do $T_{2}$ zależną od stopy rynkowej $L(T_{1},T_{2})$ , która będzie ustalona na ten okres przez rynek, możemy sprzedać kontrakt FRA na ten okres czasu ze stopą $R_{{\text{FRA}}}=F(t,T_{1},T_{2})$ . W efekcie, możemy uważać, że bez żadnych kosztów zamieniliśmy nieznaną w chwili $t$ stopę rynkową na stopę $F(t,T_{1},T_{2})$ ustaloną w $t$ .

Wniosek 3.1

Z powyższej analizy wynika, że wyceniając w chwili $t$ (licząc wartość bieżącą na chwilę $t$ ) przepływ pieniężny postaci

$C(T_{2})=A\cdot L(T_{1},T_{2})$

następujący w chwili $T_{2}$ ( $A$ jest stałą niezależną od $L(T_{1},T_{2})$ ), możemy zastąpić stopę $L(T_{1},T_{2})$ stopą forward $F(t,T_{1},T_{2})$ . Wtedy wartość w chwili $t$ takiego przepływu wynosi

$P={DF}(t,T_{2})\cdot A\cdot F(t,T_{1},T_{2}).$

W szczególności, dla przepływu będącego odsetkami za okres od $T_{1}$ do $T_{2}$

$C(T_{2})=\Delta\cdot L(T_{1},T_{2})$

po skorzystaniu ze wzoru (3.9) na stopę forward, otrzymujemy

$P={DF}(t,T_{1})-{DF}(t,T_{2}).$

3.6. Reprezentacja FRA w postaci strumienia pieniężnego

Jak widać ze wzoru (3.4), wycena kupionego kontraktu FRA jest identyczna jak wycena strumienia pieniężnego

$+N$ w chwili $T_{1}$ ,
$-(1+R_{{\text{FRA}}}\Delta)N$ w chwili $T_{2}$ .

Podobnie, ze wzoru (3.10) wynika, że wycena kupionego kontraktu FRA jest identyczna jak wycena strumienia pieniężnego

$+F(t,T_{1},T_{2})\cdot\Delta\cdot N$ w chwili $T_{2}$ ,
$-R_{{\text{FRA}}}\cdot\Delta\cdot N$ w chwili $T_{2}$ .

Uwaga: Powyższe przepływy pieniężne (oraz przepływy pieniężne odpowiadające wzorowi (3.8)) są jedynie przepływami syntetycznymi i w rzeczywistości żadne z tych przepływów nie występują w związku z realizacją kontraktu FRA.

3.7. Aspekty praktyczne

Kontrakty FRA są kwotowane ze spreadem kupna – sprzedaży. Cena kupna kontraktu FRA to stopa $R_{{\text{FRA}}}^{{\text{bid}}}$ , którą kwotujący jest skłonny ,,płacić” w tym kontrakcie. Analogicznie, cena sprzedaży kontraktu FRA to stopa $R_{{\text{FRA}}}^{{\text{offer}}}$ , którą kwotujący jest gotów ,,otrzymywać” w tym kontrakcie. Jasne, że $R_{{\text{FRA}}}^{{\text{bid}}}<R_{{\text{FRA}}}^{{\text{offer}}}$ .
Spready kupna – sprzedaży kontraktów FRA są relatywnie małe (kilka lub kilkanaście bp), na ogół dużo mniejsze niż wynikałyby ze spreadów lokat/depozytów replikujących kontrakty FRA (patrz Zadanie 3.1). Jest to związane z różnymi poziomami ryzyka kredytowego w kontraktach FRA i w transakcjach depozytowych. Ponadto, kontrakty FRA, jako transakcje pozabilansowe, mają znacznie większą płynność niż transakcje depozytowe, które wymagają zaangażowania gotówki (są transakcjami bilansowymi).

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 3.1

W dniu 18 października 2004 Bank X kwotował: 3M PLN Depo – 6.65 / 6.85 oraz 6M PLN Depo – 6.80 / 6.95, oraz PLN FRA3x6 – 6.84 / 6.90 (kwotowania na bazie ACT/365). Oblicz ceny kupna / sprzedaży kontraktu FRA3x6, które wynikałyby ze stóp depozytowych. W obliczeniach przyjmij, że okres 3M ma 92 dni a 6M ma 183 dni (od dnia spot).

Ćwiczenie 3.2

Dane są następujące kwotowania rynkowe: FRA3x6 – 5.00%, bon skarbowy o terminie wykupu za 3 miesiące – 98.00, oraz bon skarbowy o terminie wykupu za 6 miesięcy – 97.50. Czy przy tych danych można przeprowadzić arbitraż? W obliczeniach załóż, że okres 3 miesięczny ma 91 dni, a 6 miesięczny 182 dni.

Ćwiczenie 3.3

Dane są dwie obligacje stałokuponowe, które płacą kupon co pół roku:

OS1: kupon – 5%, termin zapadalności – za 4 miesiące, cena czysta – 99,58;
OS2: kupon – 6%, termin zapadalności – za 7 miesięcy, cena czysta – 100,6.

Stopa procentowa 1M lokat/depozytów wynosi 5,50%. Kwotowanie FRA4x7 wynosi 6,00%. Czy w tej sytuacji jest możliwość przeprowadzenia arbitrażu. Jeśli tak, skonstruuj strategię arbitrażową i oblicz wartość zysku uzyskanego tą strategią.

Ćwiczenie 3.4 (Trochę bardziej skomplikowany wariant poprzedniego zadania.)

Dane są dwie obligacje stałokuponowe, które płacą kupon co pół roku:

OS1: kupon – 6.00%, termin zapadalności – za 7 miesięcy, cena czysta – 100.50;
OS2: kupon – 6.60%, termin zapadalności – za 10 miesięcy, cena czysta – 100.57.

Stopy procentowe lokat/depozytów wynoszą: 1M – 5.50%, 4M – 5.75%. Kwotowanie kontraktu FRA7x10 wynosi 6.00%. Czy w tej sytuacji jest możliwość przeprowadzenia arbitrażu. Jeśli tak, skonstruuj i opisz strategię arbitrażową. Jaka jest wysokość zysku uzyskanego tym arbitrażem?

Ćwiczenie 3.5

Dwa miesiące temu sprzedaliśmy kontrakt FRA3x6 na nominał 10 mln PLN ze stopą 6.10%. W chwili obecnej kontrakt FRA1x4 ma kwotowanie 5.90/6.05, a WIBOR 1M wynosi 5.80%. Oblicz wartość naszego kontraktu.

Ćwiczenie 3.6

(a) Oblicz BPV kontaktów FRA 3x6, 3x9.

(b) Zbadaj jak BPV kontraktów FRA zmienia się wraz z upływem czasu pozostałego do wygaśnięcia (rozliczenia) kontraktu.

Ćwiczenie 3.7

Pokaż, że $\text{BPV}(\text{long FRA}\, T_{1}\times T_{2})\simeq-{DF}(t_{0},T_{1})N(T_{2}-T_{1})\cdot 0.0001$ dla nowo zawartego kontraktu (przy przesunięciu równoległym stóp procentowych w dół o 1 bp).

Ćwiczenie 3.8

Wycena obligacji o zmiennym kuponie – ang. FRN – Floating Rate Note

Obligacja o zmiennym kuponie płaci kupony, które są obliczane według pewnej referencyjnej rynkowej stopy procentowej (zwykle stopy typu LIBOR).

(a) Obligacja o stałym nominale $N$ .

Kupon za okres odsetkowy $[t_{{i-1}},t_{i})$ płatny w chwili $t_{i}$ wynosi

$C(t_{i})=\Delta(t_{{i-1}},t_{i})\cdot L(t_{{i-1}},t_{i})\cdot N,$
gdzie $L(t_{{i-1}},t_{i})$ jest stopą rynkową, której wartość jest ustalana na rynku na początku okresu odsetkowego (w rzeczywistości, zwykle na dwa robocze przez rozpoczęciem tego okresu). Oblicz
- (i) wartość tej obligacji w chwili $t\in(t_{0},t_{1})$ oraz jej cenę czystą,
- (ii) wartość tej obligacji na początku okresu odsetkowego, tj. w chwili $t=t_{0}$ .
(b) Obligacja z amortyzowanym nominałem.
Nominał obligacji zmienia się w trakcie jej trwania według z góry określonego harmonogramu. Niech $N_{i}$ oznacza nominał obligacji w okresie odsetkowym $[t_{{i-1}},t_{i})$ . Kupon za okres odsetkowy $[t_{{i-1}},t_{i})$ płatny w chwili $t_{i}$ wynosi

$C(t_{i})=\Delta(t_{{i-1}},t_{i})\cdot L(t_{{i-1}},t_{i})\cdot N_{i},$

przy oznaczeniach takich samych jak w punkcie (a). Prócz tego kuponu, w chwili $t_{i}$ , gdzie $i=1,\ldots,M-1$ , obligacja zwraca część nominału odpowiadającą amortyzacji

$A(t_{i})=N_{i}-N_{{i+1}},$

przy czym w terminie wykupu obligacji $t_{M}$ następuje wypłata pozostałej po tych amortyzacjach ostatniej części $N_{M}$ nominału. Oblicz
- (i) wartość tej obligacji w chwili $t\in(t_{0},t_{1})$ oraz jej cenę czystą,
- (ii) wartość tej obligacji na początku okresu odsetkowego, tj. w chwili $t=t_{0}$ .

Ćwiczenie 3.9

Obligacja z kapitalizowanymi odsetkami o zmiennym oprocentowaniu.

Jest to obligacja, która zamiast płacić odsetki kapitalizuje je co okres odsetkowy, przy czym odsetki są obliczane według rynkowej stopy procentowej $L(t_{{i-1}},t_{i})$ ustalanej przed rozpoczęciem każdego kolejnego okresu odsetkowego $[t_{{i-1}},t_{i})$ , gdzie $i=1,\ldots,M$ . W terminie wykupu $t_{M}$ obligacja zwraca nominał wraz ze skapitalizowanymi odsetkami, czyli kwotę

$N\cdot\prod _{{i=1}}^{n}\big(1+\Delta(t_{{i-1}},t_{i})L(t_{{i-1}},t_{i})\big).$

Oblicz wartość tej obligacji w chwili $t\in[t_{{k-1}},t_{k})$ , gdzie $k=1,\ldots,M$ .

Wskazówka:

Wyceniając tę obligację możesz zastąpić przyszłe w stosunku do chwili wyceny $t$ stopy $L(t_{{i-1}},t_{i})$ stopami forward $F(t,t_{{i-1}},t_{i})$ obserwowanymi w $t$ . Dlaczego możemy tak postąpić? Pomyśl o serii odpowiednich kontraktów FRA, które musiał byś zawrzeć w chwili $t$ by uzasadnić podstawienie w miejsce stóp przyszłych $L(t_{{i-1}},t_{i})$ bieżących stóp forward $F(t,t_{{i-1}},t_{i})$ .

Ćwiczenie 3.10

Ile wynoszą duracje obligacji opisanych w Ćwiczeniu 3.8 i Ćwiczeniu 3.9?

Ćwiczenie 3.11

Rozważmy dwie obligacje.

Obligacja A: płaci stały kupon 8%, płatny co pół roku, termin wykupu przypada za 2 lata i 3 miesiące. Cena czysta tej obligacji wynosi 98, a jej duracja jest równa 1.25.
Obligacja B: płaci kupon liczony według 6M stopy rynkowej, płatny co pół roku, termin wykupu przypada za 7 lat i 3 miesiące. Stopa procentowa dla bieżącego okresu odsetkowego została ustalona w wysokości 6%. Cena czysta tej obligacji wynosi 99.

Oblicz o ile procent (w przybliżeniu) zmieni się (a) cena brudna, (b) cena czysta każdej z tych obligacji, jeżeli stopy procentowe zmienią się o +50 bp (punktów bazowych, 1 bp=0.01%). Załóż że stopy są wyrażone na bazie 30/360.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.