Zagadnienia

5.1 Struktura kontraktów Forward
5.2 Kontrakty Futures
Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

5. Kontrakty Forward i Futures

5.1. Struktura kontraktów Forward

Kontrakt Forward to umowa kupna / sprzedaży pewnego aktywa (np. akcji, waluty, papieru wartościowego, towaru, etc.)

w ustalonym umową terminie (data zapadalności kontraktu) $T$ ,
po ustalonej umową cenie (cena wykonania) $K$ .

Główny obrót kontraktami Forward odbywa się na rynku nieregulowanym (OTC – ang. Over The Counter) i w związku z tym te kontrakty nie są wystandaryzowane. Warunki kontraktu, w szczególności nominał kontraktu (ilość aktywa będącego przedmiotem umowy), data zapadalności kontraktu, oraz sposób jego rozliczenia, są dopasowywane do potrzeb stron kontraktu (uzgadniane między stronami kontraktu).

Kontrakt Forward jest zawierany z ceną wykonania $K$ , która jest dobrana tak by w chwili zawarcia kontraktu $T_{{\text{trad}}}$ jego wartość wynosiła zero. Tak więc przy założeniu, że pomijamy wszelkie dodatkowe opłaty związane z transakcją (np. prowizje pośredników), strony kontraktu Forward nie ponoszą kosztów w chwili jego zawarcia.

Strona kontraktu Forward, która

,,kupi” aktywo w terminie zapadalności $T$ , zajmuje długą pozycję w tym kontrakcie;
,,sprzeda” aktywo w terminie zapadalności $T$ , zajmuje krótką pozycję w tym kontrakcie.

Realizacja kontraktu Forward w terminie zapadalności $T$ następuje przez:

fizyczną dostawę aktywa – strona krótka dostarcza aktywo stronie długiej i otrzymuje od niej ustaloną umową kwotę pieniędzy

albo przez

rozliczenie gotówkowe – strona która traci na kontrakcie płaci drugiej stronie kwotę rozliczenia (taki kontrakt określa się często symbolem NDF od ang. NonDeliverable Forward).

Wynik z kontraktu Forward w terminie zapadalności $T$ dla strony, która przyjęła długą pozycję wynosi

$V_{T}=S_{T}-K\quad\text{ na jednostkę aktywa,}$

(5.1)

gdzie $S_{T}$ jest ceną aktywa w chwili $T$ . $|S_{T}-K|$ jest kwotą rozliczenia kontraktu w przypadku kontraktu realizowanego przez rozliczenie gotówkowe. W przypadku kontraktu realizowanego przez dostawę, taki sam wynik może zrealizować strona długa kontraktu przez natychmiastową w chwili $T$ sprzedaż po cenie $S_{T}$ dostarczonego aktywa.

Cena wykonania kontraktu Forward

Opiszemy cenę wykonania dla kilku charakterystycznych typów aktywów

dla aktywa które daje posiadaczowi przychód pieniężny w z góry ustalonych wysokościach i chwilach czasu,
dla aktywa które daje posiadaczowi ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły,
w szczególnym przypadku walutowych kontraktów Forward.

Cena wykonania jest wyliczana tak, by wartość kontraktu w chwili jego zawarcia wynosiła zero. Tak wyliczoną cenę wykonania kontraktu Forward nazywamy ceną forward aktywa na dzień $T$ i wtedy oznaczamy ją symbolem $F_{0}$ , a gdy zachodzi potrzeba zaznaczenia zależności od $T$ symbolem $F_{0}(T)$ .

Dla uproszczenia notacji przyjmijmy że $T_{{\text{trad}}}=0$ . W poniższych wzorach ${DF}(0,\cdot)$ oznacza krzywą czynników dyskontowych dla waluty w której denominowane jest aktywo obowiązującą w dniu zawarcia kontraktu $T_{{\text{trad}}}$ dyskontujących do daty dostawy (zwykle do daty spot) dla transakcji kupna/sprzedaży tego aktywa zawieranej chwili $T_{{\text{trad}}}$ .

$\blacktriangleright$ Aktywo daje posiadaczowi przychód pieniężny w z góry ustalonych wysokościach i chwilach czasu.

Niech $C(t_{i})$ oznacza przepływ pieniężny następujący w chwili $t_{i}<T$ , gdzie $i=1,\ldots,n$ , generowany przez dane aktywo. Na przykład, gdy rozpatrywanym aktywem jest

obligacja o stałym oprocentowaniu, $C(t_{i})$ są kuponami które obligacja płaci jej posiadaczowi;
akcja, $C(t_{i})$ są dywidendami płaconymi przez tą akcję.

Wówczas, cena wykonania kontraktu Forward wynosi

$K={DF}(0,T)^{{-1}}\left(S_{0}-\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(0,t_{i})C(t_{i})\right),$

(5.2)

gdzie $S_{0}$ jest ceną aktywa w chwili zawarcia kontraktu.

Uzasadnienie wzoru (5.2). Aby żadna ze stron kontraktu nie mogła przeprowadzić transakcji arbitrażowej używając, między innymi, kontraktu Forward z ceną wykonania $K$ , cena bieżąca aktywa musi być równa sumie wartości bieżących przepływów generowanych przez to aktywo w czasie trwania kontraktu i bieżącej wartości ceny wykonania $K$ . Zatem

$S_{0}=\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(0,t_{i})C(t_{i})+{DF}(0,T)K$

skąd po przekształceniu otrzymujemy wzór (5.2). Przypuśćmy, że równość (5.2) nie zachodzi. Na przykład, rozpatrzmy przypadek gdy $K$ jest większe niż prawa strona (5.2). Pokażemy, że wówczas można przeprowadzić następującą transakcję arbitrażową:

zajmujemy krótką pozycję w kontrakcie Forward z ceną $K$ ,
w chwili zawarcia kontraktu Forward, pożyczamy na okres czasu $[0,T]$ sumę równą aktualnej wartości aktywa $S_{0}$ po stopie $L(0,T)$ ,
za $S_{0}$ kupujemy na rynku natychmiastowym jednostkę aktywa,
zawieramy serię transakcji na przyszłą stopę procentową (FRA) dla okresów $[t_{i},T)$ (ze stopami $F(0,t_{i},T)$ ), które zagwarantują ulokowanie dochodów $C(t_{i})$ na okres $[t_{i},T)$ po tych stopach.

W chwili wygaśnięcia $T$ kontraktu Forward nasz bilans wygląda następująco:

płacimy sumę $S_{0}(1+L(0,T)\Delta(0,T))={DF}(0,T)^{{-1}}S_{0}$ jako zwrot zaciągniętej pożyczki,
otrzymujemy kwoty $C(t_{i})(1+F(0,t_{i},T)\Delta(t_{i},T))={DF}(0,T)^{{-1}}{DF}(0,t_{i})C(t_{i})$ , jako wypłaty ze zrobionych lokat,
otrzymujemy $K$ za dostarczenie aktywa drugiej stronie kontraktu Forward,

czyli netto otrzymamy

$\begin{split}&K+\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(0,T)^{{-1}}{DF}(0,t_{i})C(t_{i})-{DF}(0,T)^{{-1}}S_{0}\\ =&K-{DF}(0,T)^{{-1}}\left(S_{0}-\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(0,t_{i})C(t_{i})\right)>0\end{split}$

zgodnie z przyjętym założeniem. Mamy więc zysk bez ryzyka. Wówczas, działania arbitrażystów szybko doprowadzają do obniżenia ceny kontraktu Forward do poziomu, który nie daje możliwości bezryzykownego zysku.

W drugim przypadku, to jest, gdy cena kontraktu Forward jest niższa niż prawa strona (5.2), przeprowadzamy transakcję arbitrażową, która jest ,,odwróceniem” strategii wykonanej w poprzednim przypadku:

zajmujemy długą pozycję w kontrakcie Forward z ceną $K$ ,
dokonujemy ,,krótkiej” sprzedaży jednostki aktywa,
po sprzedaży aktywa, sumę $S_{0}$ otrzymaną ze sprzedaży składamy na depozycie na okres czasu $[0,T]$ ze stopą $L(0,T)$ ,
zawieramy serię transakcji na przyszłą stopę procentową (FRA) dla okresów $[t_{i},T)$ (ze stopami $F(0,t_{i},T)$ ), które zagwarantują nam pożyczanie na okres $[t_{i},T)$ po tych stopach kwot $C(t_{i})$ , które musimy wypłacić właścicielowi aktywa.

Łatwo sprawdzić że, przy naszym założeniu, ta strategia przynosi zysk. Znów mamy arbitraż.

$\blacktriangleright$ Aktywo daje posiadaczowi ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły.

Podstawowym przykładem takiego aktywa jest akcja (indeks giełdowy), która płaci ciągłą dywidendę, bądź gotówka w walucie obcej.

Niech $q$ oznacza stopę dochodu (dywidendy) płaconego przez aktywo (akcję). Załóżmy, że otrzymywany dochód jest natychmiast w sposób ciągły reinwestowany w to samo aktywo. Wówczas ilość posiadanego aktywa w chwili $t>0$ wynosi $N_{0}e^{{\, q\cdot\Delta(0,t)}}$ , gdzie $N_{0}$ jest ilością aktywa w $t=0$ , a $\Delta(0,t)$ długością okresu czasu od chwili początkowej do $t$ obliczoną zgodnie z konwencją stopy $q$ . Pokażemy, że cena kontraktu Forward, który zapada w chwili $T$ , na aktywo dające ciągły dochód ze stopą $q$ wynosi

$K={DF}(0,T)^{{-1}}e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}S_{0}.$

(5.3)

Aby uzasadnić (5.3), znów rozpatrujemy dwa przypadki – kiedy $K$ jest większe lub mniejsze niż prawa strona (5.3) – pokazując, że w każdym z nich możemy skonstruować odpowiednie strategie arbitrażowe.

Gdy $K$ jest większe niż prawa strona (5.3), przeprowadzamy w chwili początkowej następujące transakcje:

zajmujemy krótką pozycję w kontrakcie Forward z ceną $K$ ,
w chwili zawarcia kontraktu Forward, pożyczamy na okres czasu $[0,T]$ sumę równą $S_{0}e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}$ po stopie $L(0,T)$ ,
kupujemy na rynku natychmiastowym $N_{0}=e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}$ ,,jednostek” aktywa za kwotę $S_{0}e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}$ ,
dochody generowane przez aktywo w sposób ciągły reinwestujemy w aktywo.

W rezultacie w chwili wygaśnięcia kontraktu Forward bilans naszych transakcji wygląda następująco

płacimy sumę $S_{0}e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}(1+L(0,T)\Delta(0,T))={DF}(0,T)^{{-1}}e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}S_{0}$ jako zwrot zaciągniętej pożyczki,
posiadamy dokładnie jedną jednostkę aktywa (bo $e^{{q\cdot\Delta(0,T)}}N_{0}=1$ ), za którą
otrzymujemy $K$ po dostarczeniu jej drugiej stronie kontraktu Forward.

Tak więc mamy

$K-{DF}(0,T)^{{-1}}e^{{-q\cdot\Delta(0,T)}}S_{0}>0,$

czyli uzyskaliśmy zysk bez ryzyka.

W drugim przypadku, gdy $K$ jest mniejsze niż prawa strona (5.3), przeprowadzamy transakcje w ,,przeciwną” stronę w stosunku do transakcji przeprowadzonych w poprzedniej sytuacji ( $\longrightarrow$ Zadanie na Ćwiczenia).

$\blacktriangleright$ Cena wykonania walutowych kontraktów Forward (aktywem jest waluta).

Walutowy kontrakt Forward = FX forward = Outright Forward

Walutę, oznaczmy ją przez $\text{CUR}_{1}$ , możemy potraktować jak aktywo, które płaci dochód w postaci odsetek, które narastają na rachunku oprocentowanym stopą dla tej waluty. Jeśli bowiem posiadamy gotówkę w tej walucie, to możemy ją zdeponować na rachunku walutowym i w ten sposób otrzymywać dochód z tytułu posiadania waluty. Oprocentowanie tego rachunku możemy wyrazić przez stopę kapitalizowaną w sposób ciągły i wtedy walutę możemy uznać za aktywo, które płaci dochód w sposób ciągły ze stopą $q$ . Ceną natychmiastową $S_{0}$ waluty $\text{CUR}_{1}$ jest jej kurs wymiany na drugą walutę $\text{CUR}_{2}$ (kwotowany jako ilość $\text{CUR}_{2}$ za jednostkę $\text{CUR}_{1}$ ). Wówczas cenę walutowego kontraktu Forward, w którym wymieniamy walutę $\text{CUR}_{1}$ na drugą walutę $\text{CUR}_{2}$ (na przykład na PLN), otrzymamy ze wzoru (5.3), w którym

$S_{0}$ jest kursem wymiany natychmiastowej (spot) $\text{CUR}_{1}$ na ${\text{CUR}}_{2}$ ,
stopa dochodu $q=R_{1}(0,T)$ jest stopą kapitalizowaną w sposób ciągły waluty $\text{CUR}_{1}$ ,
a czynnik dyskontowy odpowiada krzywej dla waluty $\text{CUR}_{2}$ .

Czynnik dyskontowy ${DF}(0,T)$ dla waluty $\text{CUR}_{2}$ możemy zapisać w postaci

${DF}(0,T)=e^{{-R_{2}(0,T)\cdot\Delta _{2}(0,T)}},$

gdzie $R_{2}(0,T)$ jest stopą kapitalizowaną w sposób ciągły dla okresu $[0,T)$ (dla waluty $\text{CUR}_{2}$ ). Wówczas, wzór na cenę walutowego kontraktu Forward przyjmuje następującą formę

$K=e^{{R_{2}(0,T)\cdot\Delta _{2}(0,T)-R_{1}(0,T)\cdot\Delta _{1}(0,T)}}S_{0}.$

(5.4)

Zwykle, wzór na cenę walutowego kontraktu Forward podaje się w postaci w której występują stopy proste $L_{1}(0,T)$ i $L_{2}(0,T)$ (bo takie stopy są standardem kwotowania na rynku terminowych transakcji walutowych):

$K=S_{0}\frac{1+L_{2}(0,T)\cdot\Delta _{2}(0,T)}{1+L_{1}(0,T)\cdot\Delta _{1}(0,T)}.$

(5.5)

Wzory (5.4) i (5.5) określają tak zwany, kurs terminowy wymiany walut $\text{CUR}_{1}/\text{CUR}_{2}$ , który zwykle oznaczamy symbolem $F_{0}$ . Upraszczając notację wzór na kurs terminowy napiszemy w następujący sposób

$F_{0}=S_{0}\frac{1+L_{2}\cdot\Delta _{2}}{1+L_{1}\cdot\Delta _{1}}.$

(5.6)

Związek (5.6) jest określany również jako tzw. parytet stóp procentowych. Z (5.6) wynika, że

$S_{0}(1+L_{2}\cdot\Delta _{2})=(1+L_{1}\cdot\Delta _{1})F_{0},$

(5.7)

co możemy zinterpretować w następujący sposób: taki sam wynik w $T$ uzyskamy

(a) wymieniając jednostkę waluty $\text{CUR}_{1}$ po kursie natychmiastowym na $S_{0}$ waluty $\text{CUR}_{2}$ i lokując tę kwotę po stopie $L_{2}$ na okres $[0,T)$ (lewa strona (5.7)),

albo

(b) lokując jednostkę waluty $\text{CUR}_{1}$ kwotę po stopie $L_{1}$ na okres $[0,T)$ i w $T$ wymieniając kwotę $1+L_{1}\Delta _{1}$ waluty $\text{CUR}_{1}$ po kursie terminowym $F_{0}$ na walutę $\text{CUR}_{2}$ (prawa strona (5.7)).

Punkty swapowe to różnica między kursem terminowym a kursem spotowym:

$F_{0}-S_{0}=S_{0}\frac{L_{2}\Delta _{2}-L_{1}\Delta _{1}}{1+L_{1}\Delta _{1}}.$

(5.8)

Gdy $\Delta _{1}=\Delta _{2}=\Delta$ , z (5.8) wynika, że

$\frac{F_{0}-S_{0}}{S_{0}}=\frac{(L_{2}-L_{1})\Delta}{1+L_{1}\Delta}\simeq(L_{2}-L_{1})\Delta,$

co po przepisaniu do postaci

$\frac{1}{\Delta}\frac{F_{0}-S_{0}}{S_{0}}\simeq(L_{2}-L_{1})$

oznacza iż zannualizowana stopa zwrotu na transakcji kupna waluty $\text{CUR}_{1}$ w t=0 po $S_{0}$ i jej sprzedaży po $F_{0}$ w $T$ jest równa różnicy w oprocentowaniu walut.

Aspekty praktyczne dotyczące transakcji FX forward

Kursy FX forward są kwotowane przez animatorów rynku (ang. market makers) dla standardowych okresów depozytowych, zwykle do 1Y.
Kursy FX forward są kwotowane w postaci punktów swapowych, wyrażonych w tak zwanych pipsach, czyli w $1/10000$ waluty niebazowej. Aby uzyskać faktyczny kurs FX forward dla terminów ,,powyżej” spot należy do bieżącego kursu spot dodać (z właściwym znakiem) odpowiednio przeskalowane punkty swapowe, przy czym należy pamiętać, że punkty swapowe mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Rynek kwotuje również punkty swapowe dla okresów ON i TN. Wówczas obliczając kursy wymiany dla tych terminów należy punkty swapowe odejmować (z właściwym znakiem) od kursu spot.
Punkty swapowe są kwotowane w postaci pary $sp_{{\text{bid}}}/sp_{{\text{ask}}}$ gdzie $sp_{{\text{bid}}}$ ( $sp_{{\text{ask}}}$ ) są punktami swapowymi dla transakcji FX forward w której kupujemy (sprzedajemy) walutę bazową.
Jeżeli punkty swapowe są dodatnie, to $sp_{{\text{bid}}}<sp_{{\text{ask}}}$ . Zdarza się, że ujemne punkty swapowe są kwotowane bez znaku i wtedy w kwotowanej parze $sp_{{\text{bid}}}/sp_{{\text{ask}}}$ będziemy mieli nierówność przeciwną $sp_{{\text{bid}}}>sp_{{\text{ask}}}$ . Wówczas, po tej relacji rozpoznajemy czy punkty swapowe są dodatnie czy ujemne.

Replikacja kontraktu FX forward

Pokażemy jak można zreplikować kontrakt FX forward przy pomocy

pożyczenia jednej waluty,
natychmiastowej wymiany tej waluty na drugą walutę,
lokaty drugiej waluty.

Ta replikacja pokazuje powiązania rynku transakcji wymian walutowych z rynkiem pieniężnym.

Rozpatrzmy kontrakt FX forward, w którym

w terminie zapadalności $T$
kupimy $N_{1}$ waluty $\text{CUR}_{1}$ , oraz
sprzedamy $N_{2}$ waluty $\text{CUR}_{2}$ .

Oznacza to, że dokonamy wymiany waluty $\text{CUR}_{2}$ na walutę $\text{CUR}_{1}$ po kursie terminowym $F_{0}$ takim, że $N_{2}=F_{0}N_{1}$ .

Efekt wymiany walut w $T$ uzyskamy również w następujący sposób:

pożyczamy na rynku pieniężnym kwotę $N_{2}^{{(0)}}$ taką by $N_{2}=N_{2}^{{(0)}}(1+L_{2}\Delta _{2})$ , gdzie $L_{2}$ jest stopą dla udzielonych pożyczek w walucie $\text{CUR}_{2}$ na okres czasu $[0,T)$ , a $\Delta _{2}$ długością tego okresu;
kwotę $N_{2}^{{(0)}}$ w walucie $\text{CUR}_{2}$ wymieniamy na $N_{1}^{{(0)}}$ waluty $\text{CUR}_{1}$ po kursie spot $S_{0}$ , czyli $N_{1}^{{(0)}}=N_{2}^{{(0)}}/S_{0}$ ;
kwotę $N_{1}^{{(0)}}$ w walucie $\text{CUR}_{1}$ lokujemy na rynku pieniężnym ze stopą $L_{1}$ dla przyjętych depozytów w walucie $\text{CUR}_{1}$ na okres czasu $[0,T)$ .

Rezultatem tych transakcji w chwili $T$ jest

zwrot zaciągniętej pożyczki w walucie $\text{CUR}_{2}$ w kwocie $N_{2}$ (płacimy $N_{2}$ w walucie $\text{CUR}_{2}$ ),
otrzymana wypłata ze złożonego depozytu w walucie $\text{CUR}_{1}$ w kwocie $N_{1}^{{(0)}}(1+L_{1}\Delta _{1})$ , gdzie $\Delta _{1}$ jest długością tego okresu $[0,T)$ (otrzymujemy $N_{1}^{{(0)}}(1+L_{1}\Delta _{1})$ w walucie $\text{CUR}_{1}$ ),

czyli dokonujemy wymiany $N_{2}$ w waluty $\text{CUR}_{2}$ na $N_{1}^{{(0)}}(1+L_{1}\Delta _{1})$ w waluty $\text{CUR}_{1}$ . Jeśli zatem ta strategia ma replikować kontrakt FX forward, musi zachodzić równość

$N_{1}=N_{1}^{{(0)}}(1+L_{1}\Delta _{1}).$

Stąd mamy

$F_{0}=\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{N_{2}^{{(0)}}(1+L_{2}\Delta _{2})}{N_{1}^{{(0)}}(1+L_{1}\Delta _{1})}=\frac{N_{2}^{{(0)}}}{N_{1}^{{(0)}}}\cdot\frac{1+L_{2}\Delta _{2}}{1+L_{1}\Delta _{1}}=S_{0}\cdot\frac{1+L_{2}\Delta _{2}}{1+L_{1}\Delta _{1}},$

czyli znów otrzymaliśmy parytet stóp procentowych. Jeśli ten parytet jest spełniony, replikacja transakcji FX forward zestawem złożonym z dwóch transakcji depozytowych i transakcji wymiany natychmiastowej jest możliwa.

Transakcja FX forward jako FX spot plus FX swap

W wyniku połączenia przepływów pieniężnych transakcji depozytowych, które zostały użyte do replikacji transakcji FX forward, uzyskujemy transakcję FX swap (dokładniej, szczególny przypadek transakcji FX swap). Ta transakcja FX swap, w notacji poprzedniego ustępu, polega na

wymianie początkowej (w chwili spot): sprzedaży $N_{1}^{{(0)}}$ waluty $\text{CUR}_{1}$ i kupnie $N_{2}^{{(0)}}$ waluty $\text{CUR}_{2}$ , po kursie spot $S_{0}$ , tzn. tak, aby $S_{0}N_{1}^{{(0)}}=N_{2}^{{(0)}}$ ,

oraz

wymianie końcowej (w terminie wygaśnięcia): kupnie $N_{1}$ waluty $\text{CUR}_{1}$ i sprzedaży $N_{2}$ waluty $\text{CUR}_{2}$ , po kursie po kursie forward $F_{0}$ , tzn. tak, aby $F_{0}N_{1}=N_{2}$ ,

przy czym $N_{1}=N_{1}^{{(0)}}(1+L_{1}\Delta _{1})$ oraz $N_{2}=N_{2}^{{(0)}}(1+L_{2}\Delta _{2})$ .

Jak widać, wymiana początkowa w tej transakcji FX swap znosi się z transakcją FX spot wchodzącą w skład strategii replikującej FX forward. Wówczas z FX swap pozostaje pozostaje tylko wymiana końcowa, która jest oryginalną transakcją FX forward.

Uwagi

Reprezentacja FX forward jako suma FX spot i (tego szczególnego) FX swap pozwala na rozdzielenie ryzyk: FX spot ma tylko ryzyko walutowe (ryzyko kursu wymiany walut), a ten FX swap (w chwili początkowej) – tylko ryzyko stopy procentowej.
W praktyce rynkowej zawiera się kontrakty FX swap (tzw. round FX swap) w których kwota $N_{1}$ waluty obcej $\text{CUR}_{1}$ jest taka sama w wymianie początkowej i wymianie końcowej, a kwoty waluty lokalnej $\text{CUR}_{2}$ w chwili początkowej i końcowej różnią się ,,punktami swapowymi” (od nominału $N_{1}$ )

$N_{2}-N_{2}^{{(0)}}=F_{0}N_{1}-S_{0}N_{1}=(F_{0}-S_{0})N_{1}.$

Wycena kontraktu Forward

Rozpatrzmy kontrakt Forward, który został zawarty z ceną wykonania $K$ . W chwili zawarcia kontraktu $K$ było równe cenie forward aktywa na które wystawiony został kontrakt. Niech $F_{0}$ oznacza bieżącą (to jest w chwili wyceny) cenę forward aktywa. Wówczas wycena długiej pozycji w kontrakcie Forward (jego wartość) dana jest wzorem

$V_{0}=(F_{0}-K){DF}(0,T),$

(5.9)

gdzie $T$ jest terminem zapadalności kontraktu.

Uzasadnienie wzoru (5.9). Wartością bieżącą kontraktu Forward jest wartość bieżąca przepływów pieniężnych w $T$ które powstałyby w wyniku zamknięcia pozycji w tym kontrakcie. W przypadku długiej pozycji należałoby zająć pozycję krótką w kontrakcie Forward na to samo aktywo i z tym samym terminem wykonania $T$ co zamykany kontrakt. Cena wykonania tego zamykającego kontraktu Forward wynosi $F_{0}$ i jest określona jednym z wzorów (5.2), (5.3), (5.4)–(5.5) odpowiednio. W rezultacie, w chwili $T$ zapłacilibyśmy $K$ za kupione aktywo i jednocześnie otrzymalibyśmy $F_{0}$ w wyniku sprzedaży tego aktywa. Tak więc, netto nasz wynik w $T$ na tych transakcjach wyniósłby $F_{0}-K$ , a jego wartość bieżąca wynosi $(F_{0}-K){DF}(0,T)$ . Ponieważ wartość kontraktu Forward (w chwili zawarcia) zamykającego wyceniany kontrakt wynosi zero, to wartość wycenianego kontraktu Forward jest równa $(F_{0}-K){DF}(0,T)$ , czyli mamy (5.9).

Po wstawieniu do (5.9) wyrażeń na cenę forward w poszczególnych przypadkach otrzymujemy następujące formuły na wycenę kontraktów:

$\blacktriangleright$ Forward na aktywo dające przychód pieniężny w z góry ustalonych chwilach czasu

$V_{0}=S_{0}-\sum _{{i=1}}^{n}{DF}(0,t_{i})C(t_{i})-{DF}(0,T)K$

(5.10)

$\blacktriangleright$ Forward na aktywo dające ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły

$V_{0}=e^{{-q\cdot\Delta(0,t)}}S_{0}-{DF}(0,T)K$

(5.11)

$\blacktriangleright$ FX Forward

$V_{0}=e^{{-R_{1}(0,T)\cdot\Delta _{1}(0,T)}}S_{0}-e^{{R_{2}(0,T)\cdot\Delta _{2}(0,T)}}K={DF}_{1}(0,T)S_{0}-{DF}_{2}(0,T)K,$

(5.12)

przy czym wzory te podają wartość kontraktów na jednostkę aktywa (na nominał jednostkowy).

Interpretacja wzoru (5.12) dla transakcji FX forward o nominale $N_{1}$ (waluty $\text{CUR}_{1}$ ):

W wyniku realizacji tego kontraktu dojdzie do wymiany kwoty (nominału) $N_{1}$ w walucie $\text{CUR}_{1}$ na $N_{2}=N_{1}K$ waluty $\text{CUR}_{2}$ . Zatem, wycena kontraktu FX forward powinna sprowadzić się do wyceny strumienia przepływów $+N_{1}$ i $-N_{2}$ następujących w chwili $T$ . Tak jest w istocie, bowiem

$V_{0}=N_{1}({DF}_{1}(0,T)S_{0}-{DF}_{2}(0,T)K)=S_{0}{DF}_{1}(0,T)N_{1}-{DF}_{2}(0,T)N_{2}.$

(5.13)

Jak widać, ostatnia część wzoru (5.13) jest różnicą dwóch składowych: pierwsza jest przeliczoną na walutę $\text{CUR}_{2}$ po kursie spotowym $S_{0}$ wartością bieżącą otrzymywanego w $T$ nominału $N_{1}$ , a druga (odejmowana) jest wartością bieżącą nominału $N_{2}$ .

5.2. Kontrakty Futures

Kontrakty Futures są kontraktami terminowymi kupna/sprzedaży pewnego aktywa (towaru) przy czym w odróżnieniu od kontraktów Forward

funkcjonują na rynku uregulowanym – obrót tymi kontraktami odbywa się przez giełdy
są produktami wystandaryzowanymi, w tym sensie, że przedmiotem kontraktu są dobrze zdefiniowane aktywa (towary) – ustalone są:
- ilość aktywa przypadająca na jeden kontrakt,
- ,,jakość” aktywa,
- warunki dostawy, termin dostawy,
- termin wygaśnięcia kontraktu,
są rozliczane w trybie dziennym, przez rachunek zabezpieczający,
na ogół nie dochodzi do fizycznej dostawy aktywa w terminie wykonania kontraktu, a kontrakt jest zamykany przez zajęcie pozycji przeciwnej.

Te cechy kontraktów Futures powodują, że w porównaniu do kontraktów Forward, kontrakty Futures

mają relatywnie małe ryzyko kredytowe i rozliczeniowe,
dla niezbyt odległych terminów zapadalności są instrumentami o dużej płynności.

Główne rodzaje kontraktów Futures:

na papiery skarbowe – T-bond Futures,
na depozyty (na stopę procentową) – Eurodollar Futures,
na indeksy giełdowe – Index Futures,
na waluty – Currency Futures,
na towary / surowce – Commodity Futures.

Rozliczanie kontraktu Futures dokonywane jest codziennie przez rachunek zabezpieczający (ang. margin account), na którym strona kontraktu Futures jest zobowiązana utrzymywać określony przez giełdę minimalny poziom zdeponowanej gotówki. Na ten rachunek zabezpieczający wpływają zyski z tytułu dziennego rozliczenia kontraktu Futures, lub z tego rachunku są pobierane kwoty odpowiadające stratom poniesionym w wyniku rozliczenia kontraktu. Kwota dziennego rozliczenia długiej pozycji w kontrakcie Futures, które następuje na zamknięcie $k$ -tego dnia, wynosi (na jednostkę aktywa)

$V_{k}=F_{{k}}-F_{{k-1}},$

(5.14)

gdzie $F_{{j}}$ jest ceną wykonania kontraktu Futures na zamknięciu dnia $t_{j}$ . W dniu zawarcia kontraktu rozliczenie kontraktu jest obliczane na podstawie ceny kontraktu Futures z jaką został on zawarty oraz ceny tego kontraktu na zamknięciu dnia, chyba że kontrakt został zamknięty jeszcze tego samego dnia (wtedy mówimy o tzw. intraday trading) i wtedy rozliczenie obywa się po cenie faktycznego zamknięcia kontraktu. Wzór (5.14) jest również wynikiem realizowanym na zamknięciu w dniu $t_{k}$ kontraktu otwartego w dniu $t_{{k-1}}$ . W rezultacie takiego rozliczania kontraktu Futures można przyjąć że na zamknięcie dnia $t_{k}$ następuje zamknięcie pozycji otwartej na końcu poprzedniego dnia z ceną $F_{{k-1}}$ i jednoczesne otwarcie kontraktu Futures z ceną $F_{{k}}$ . Oczywiście rozliczenie za ostatni dzień trzymania otwartej pozycji w kontrakcie Futures odbywa się po cenie faktycznego zamknięcia kontraktu w tym dniu.

Teoretyczna cena kontraktu Futures jest równa cenie wykonania kontraktu Forward na to samo aktywo z tym samym terminem wykonania. W przypadkach gdy termin dostawy kontraktu Futures i dostarczane aktywo są jednoznacznie określone, można próbować porównywać rynkowe ceny Futures z ich cenami teoretycznymi, czyli z cenami forward aktywa na które te kontrakty opiewają. W przypadku kontraktów Futures, w których strona krótka ma możliwości wyboru terminu dostawy (w pewnym zakresie) oraz wyboru dostarczanego aktywa z grupy aktywów dopuszczonych do dostarczania, takie porównanie jest często utrudnione. Przykładem takiego kontraktu jest kontrakt Futures na papiery skarbowe (T-bond Futures).

Pokażemy, że jeżeli

stopa procentowa według której oprocentowane są fundusze na rachunku zabezpieczającym jest stała w trakcie trwania kontraktu Futures, a wartość tej stopy jest zgodna z oprocentowaniem lokat/depozytów o czasie trwania $T$ ,
termin dostawy (wygaśnięcia kontraktu) jest jednoznacznie określony,
dostarczane aktywo jest jednoznacznie określone w chwili zawarcia kontraktu,

to teoretyczna cena kontraktu Futures jest równa cenie kontraktu Forward.

Niech

$T$ oznacza termin zapadalności kontraktów Futures i Forward,
$r$ oznacza stałą stopę procentową kapitalizowaną w sposób ciągły, która będzie stosowana w trakcie trwania kontraktu do lokowania/finasowania dziennych rozliczeń kontraktu Futures na rachunku zabezpieczającym – zakładamy, że $r=R(0,T)$ , przy czym ${DF}(0,T)=\text{e}^{{-R(0,T)\cdot\Delta(0,T)}}$ ,
$K$ oznacza cenę kontraktu Forward zawartego na zamknięcie dnia $t=0$ ,
$F_{0}$ oznacza cenę kontraktu Futures zawartego na zamknięcie dnia $t=0$ .

Czas trwania kontraktów dzielimy na ,,jednodniowe” okresy $[t_{{k-1}},t_{k})$ , gdzie $k=1,2,\ldots,n$ , przy czym $t_{n}=T$ a $t_{0}$ jest dniem zawarcia kontraktu.

Rozważmy następującą strategię:

sprzedajemy kontrakt Forward na jednostkę aktywa,
kupujemy kontrakt Futures na $N_{0}={DF}(0,T)$ jednostek aktywa, oraz w każdym dniu $t_{k}$ , gdzie $k=0,1\ldots,n-1$ , dokupujemy na jego zamknięciu taką ilość kontraktów Futures by otwarta pozycja na rozpoczęciu kolejnego dnia $t_{{k+1}}$ w tym kontrakcie Futures wynosiła

$N_{0}\text{e}^{{r\cdot\Delta(0,t_{{k+1}})}},$

a wynik (rozliczenie) otwartej pozycji na koniec dnia $t_{k}$ lokujemy/finansujemy ze stopą $r$ na pozostały do wygaśnięcia kontraktu okres czasu.

Zawiązanie tej strategii w $t=0$ nie wiąże się z żadnymi kosztami początkowymi. Natomiast efekt tej strategii w $T$ jest następujący

kontrakt Futures opiewa na dokładnie jedno aktywo, bowiem

$N_{0}\text{e}^{{r\cdot\Delta(0,T)}}={DF}(0,T)\text{e}^{{R(0,T)\cdot\Delta(0,T)}}=1,$
w wyniku realizacji kontraktu Futures kupujemy jedno aktywo po cenie $F_{T}$ ( $=S_{T}$ ),
na rachunku zgromadziliśmy (łącznie z odsetkami) kwotę

$\begin{split}&\sum _{{k=1}}^{n}N_{0}\text{e}^{{r\cdot\Delta(0,t_{k})}}(F_{k}-F_{{k-1}})\text{e}^{{r\cdot\Delta(t_{k},T)}}\\ =&\sum _{{k=1}}^{n}N_{0}\text{e}^{{r\cdot\Delta(0,T)}}(F_{k}-F_{{k-1}})=\sum _{{k=1}}^{n}(F_{k}-F_{{k-1}})=F_{T}-F_{0},\end{split}$
w wyniku realizacji kontraktu Forward dostarczamy jedno aktywo za które otrzymujemy $K$ .

Zatem nasz bilans w $T$ jest następujący:

$K+(F_{T}-F_{0})-F_{T}=K-F_{0}.$

Ponieważ strategia prowadząca do tego wyniku nie wiązała się żadnymi kosztami, to by nie było arbitrażu, ten wynik musi być zerowy, czyli musi zachodzić

$F_{0}=K.$

W rzeczywistości, inwestorzy mogą lokować/finansować wynik dziennego rozliczenia kontraktu Futures po bieżących stopach rynkowych. To, między innymi, powoduje, że w określonych sytuacjach cena kontraktu Futures może odbiegać od ceny odpowiadającego mu kontraktu Forward. Na przykład, gdy cena aktywa, na które jest wystawiony kontrakt Futures, jest mocno dodatnio skorelowana ze stopami procentowymi, inwestor zajmujący długą pozycję może korzystniej lokować bieżące zyski z kontraktu lub odpowiednio taniej finansować straty poniesione na kontrakcie. Tak jest bowiem wzrostowi ceny aktywa, a więc zyskom inwestora, zwykle towarzyszy wzrost stopy procentowej po której może on ulokować swój dochód. Analogicznie, spadek ceny aktywa – strata inwestora – zwykle odbywa się w warunkach spadku stopy procentowej, co oznacza, że inwestor może taniej finansować swoje straty. Tak więc, w takim przypadku, kontrakt Futures jest korzystniejszy dla inwestora niż kontrakt Forward, i w związku z tym cena kontraktu Futures powinna być wyższa niż cena kontraktu Forward. Przeprowadzając podobne rozumowanie, można przypuszczać, że w przypadku gdy cena aktywa jest mocno ujemnie skorelowana ze stopami procentowymi, cena kontraktu Futures powinna być niższa niż cena kontraktu Forward.

3M Eurodollar Futures

Terminologia: Eurodollar – dolar amerykański deponowany w bankach poza USA. Stopa procentowa depozytów eurodolarowych jest utożsamiana ze stopą LIBOR.

Giełda: CME (Chicago Mercantile Exchange)
Nominał: 1 milion USD
Termin zapadalności: trzecia środa miesiąca dostawy
Miesiące dostawy: miesiące cyklu marzec, czerwiec, wrzesień, grudzień na około 10 lat naprzód
Instrument podstawowy: stopa procentowa 3M USD LIBOR depozytu, który rozpocznie się w dniu zapadalności kontraktu Futures
Kwotowanie: cena kontraktu $Q$ oznacza iż stopa dla odpowiedniego depozytu wynosi $100-Q$ w konwencji ACT/360
Wartość kontraktu: $1\, 0 0 0\, 0 0 0\left(1-\frac{90}{360}\frac{100-Q}{100}\right)$ - mamy tu ,,drobną” niespójność, bowiem, jak widać, przyjęto, że 3M okres ma 90 dni mimo iż stopa LIBOR jest podawana w konwencji ACT/360)
Rozliczanie kontraktu: 25 USD za 1 punkt bazowy (0.01 ceny kontraktu); 25 USD = ( $1\, 0 0 0\, 0 0 0$ USD $\times$ 1 bp $\times$ 90/360)

Są też analogiczne kontrakty Futures na depozyty 3M w innych głównych walutach:

Euribor Futures – na 3M EUR LIBOR – giełdy: LIFFE (London International Financial Futures Exchange), MATIF (Marche a Terme International de France),
Euroswiss Futures – na 3M CHF LIBOR – giełda: LIFFE
Euroyen Futures – na 3M JPY LIBOR – giełdy: CME, SGX (Singapore Exchange Ltd.).

Zagadnienia i zadania na Ćwiczenia

Ćwiczenie 5.1 (Cena forward obligacji)

(a) Cena forward obligacji o stałym kuponie

Przypuśćmy, że rynkowa cena obligacji o stałym kuponie jest zgodna z wyceną modelową, tzn.

$S_{0}=\sum _{{k=1}}^{M}C(t_{k}){DF}(0,t_{k}),$

gdzie $C(t_{k})$ są wypłatami z tej obligacji (kupony plus ewentualne częściowe zwroty nominału, oraz końcowa wypłata nominału). Pokaż, że wówczas wzór na cenę forward tej obligacji można przedstawić w następującej postaci

$K={DF}(0,T)^{{-1}}\sum _{{k=n+1}}^{M}C(t_{k}){DF}(0,t_{k}),$

gdzie $t_{{n+1}}$ jest pierwszym momentem płatności kuponu następującym po terminie wygaśnięcia $T$ kontraktu Forward.

(b) Cena forward obligacji o zmiennym kuponie

Uzasadnij następujący wzór na cenę forward obligacji o zmiennym kuponie:

$K={DF}(0,T)^{{-1}}(S_{0}-{DF}(0,t_{1})(1+R_{1}\Delta _{1})+{DF}(0,t_{n}))$

gdzie $t_{1}$ jest aktualnie pierwszym momentem płatności kuponu tej obligacji, $\Delta _{1}$ jest długością aktualnie trwającego okresu odsetkowego, a $R_{1}$ stopą ustaloną na początku tego okresu, oraz $t_{n}$ jest ostatnim przed terminem wygaśnięcia $T$ kontraktu Forward momentem płatności kuponu. Oczywiście, $S_{0}$ jest aktualną ceną brudną obligacji. Zakładamy również, że nominał obligacji jest stały.

Ćwiczenie 5.2

Przeprowadź transakcję arbitrażową w przypadku gdy cena kontraktu Forward na aktywo płacące ciągły dochód jest mniejsza niż obserwowana w dniu zawarcia kontraktu cena forward tego aktywa (patrz (5.3)).

Ćwiczenie 5.3

Dane są następujące kwotowania:

kurs wymiany USD/PLN: 4.0000,
punkty swapowe USD/PLN wynoszą dla 3M: 0.0250, oraz dla 6M: 0.0500,
PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%.

(a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu.
(b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku.

Ćwiczenie 5.4 (Kurs bid/ask (kupna/sprzedaży) transakcji FX forward)

Wzory (5.4)–(5.6) na kurs forward zostały wyprowadzone przy założeniu, że stopy procentowe dla przyjętych depozytów i udzielonych pożyczek są takie same. W rzeczywistości stopy te są różne: dla przyjętych depozytów mamy stopy bid, które są niższe niż stopy ask dla udzielonych pożyczek.

Dostosuj wzory (5.4)–(5.6) tak, by wyrażały one wartość kursu bid (ask) transakcji FX forward. Dla przypomnienia terminologii: kurs bid (ask) transakcji wymiany odnosi się do transakcji FX, w której kupujemy (sprzedajemy) walutę bazową (tą, za jednostkę której podajemy ilość waluty niebazowej).

Uwaga: Animator rynku (ang. market maker) kwotuje kurs FX forward w taki sposób, by mógł zapewnić pokrycie swoich zobowiązań z tytułu zawarcia takiej transakcji FX transakcjami na rynku pieniężnym (lokatami i depozytami) oraz transakcją FX spot.

Ćwiczenie 5.5 (Transakcja par FX forward)

W transakcji par FX forward strony kontraktu dokonują w określonych umową chwilach czasu $T_{1}<T_{2}<\ldots<T_{M}$ wymian kwot $N_{1}^{{(1)}}$ , $N_{1}^{{(2)}},\ldots,N_{1}^{{(M)}}$ w walucie $\text{CUR}_{1}$ na kwoty w walucie $\text{CUR}_{2}$ po jednym wspólnym kursie $K$ . Wyprowadź wzór na kurs $K$ przy którym w chwili zawarcia kontraktu jego wartość wynosi zero.

Ćwiczenie 5.6 (Skracanie (rollback) / wydłużanie (rollover) zawartej transakcji FX forward)

Rozpatrzmy ,,żyjącą” transakcję FX forward, która została zawarta z ceną $K$ i która zapadnie w chwili $T$ . W trakcie trwania tego kontraktu w chwili bieżącej klient banku, który jest stroną tej transakcji, prosi o skrócenie (wydłużenie) kontraktu. To skrócenie (wydłużenie) kontraktu polega na

anulowaniu oryginalnej transakcji, która miała zapaść w $T$ ,
zawarciu nowej transakcji FX forward (lub w szczególnym przypadku FX spot) z nowym, wcześniejszym (późniejszym) niż $T$ , terminem zapadalności $T_{R}$ .

Wyznacz sprawiedliwą cenę $K_{R}$ (kurs) dla ,,zrolowanej” transakcji FX, którą bank powinien zaproponować klientowi. Oblicz różnicę $K_{R}-F$ , gdzie $F$ jest bieżącym kursem terminowym na chwilę $T_{R}$ . Jaki sens ekonomiczny ma ta różnica?