Kontrakt Forward to umowa kupna / sprzedaży pewnego aktywa (np. akcji, waluty, papieru wartościowego, towaru, etc.)
w ustalonym umową terminie (data zapadalności kontraktu) ,
po ustalonej umową cenie (cena wykonania) .
Główny obrót kontraktami Forward odbywa się na rynku nieregulowanym (OTC – ang. Over The Counter) i w związku z tym te kontrakty nie są wystandaryzowane. Warunki kontraktu, w szczególności nominał kontraktu (ilość aktywa będącego przedmiotem umowy), data zapadalności kontraktu, oraz sposób jego rozliczenia, są dopasowywane do potrzeb stron kontraktu (uzgadniane między stronami kontraktu).
Kontrakt Forward jest zawierany z ceną wykonania , która jest
dobrana tak by w chwili zawarcia kontraktu
jego
wartość wynosiła zero. Tak więc przy założeniu, że pomijamy wszelkie
dodatkowe opłaty związane z transakcją (np. prowizje pośredników),
strony kontraktu Forward nie ponoszą kosztów w chwili jego zawarcia.
Strona kontraktu Forward, która
,,kupi” aktywo w terminie zapadalności , zajmuje długą
pozycję w tym kontrakcie;
,,sprzeda” aktywo w terminie zapadalności , zajmuje krótką
pozycję w tym kontrakcie.
Realizacja kontraktu Forward w terminie zapadalności następuje
przez:
fizyczną dostawę aktywa – strona krótka dostarcza aktywo stronie długiej i otrzymuje od niej ustaloną umową kwotę pieniędzy
albo przez
rozliczenie gotówkowe – strona która traci na kontrakcie płaci drugiej stronie kwotę rozliczenia (taki kontrakt określa się często symbolem NDF od ang. NonDeliverable Forward).
Wynik z kontraktu Forward w terminie zapadalności dla
strony, która przyjęła długą pozycję wynosi
![]() |
(5.1) |
gdzie
jest ceną aktywa w chwili
.
jest kwotą
rozliczenia kontraktu w przypadku kontraktu realizowanego przez
rozliczenie gotówkowe. W przypadku kontraktu realizowanego przez
dostawę, taki sam wynik może zrealizować strona długa kontraktu
przez natychmiastową w chwili
sprzedaż po cenie
dostarczonego aktywa.
Cena wykonania kontraktu Forward
Opiszemy cenę wykonania dla kilku charakterystycznych typów aktywów
dla aktywa które daje posiadaczowi przychód pieniężny w z góry ustalonych wysokościach i chwilach czasu,
dla aktywa które daje posiadaczowi ciągły przychód pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły,
w szczególnym przypadku walutowych kontraktów Forward.
Cena wykonania jest wyliczana tak, by wartość kontraktu w chwili
jego zawarcia wynosiła zero. Tak wyliczoną cenę wykonania kontraktu
Forward nazywamy ceną forward aktywa na dzień i wtedy
oznaczamy ją symbolem
, a gdy zachodzi potrzeba zaznaczenia
zależności od
symbolem
.
Dla uproszczenia notacji przyjmijmy że . W
poniższych wzorach
oznacza krzywą czynników
dyskontowych dla waluty w której denominowane jest aktywo
obowiązującą w dniu zawarcia kontraktu
dyskontujących do daty dostawy (zwykle do daty spot) dla transakcji
kupna/sprzedaży tego aktywa zawieranej chwili
.
Aktywo daje posiadaczowi przychód pieniężny w
z góry ustalonych wysokościach i chwilach czasu.
Niech oznacza przepływ pieniężny następujący w chwili
, gdzie
, generowany przez dane aktywo. Na przykład,
gdy rozpatrywanym aktywem jest
obligacja o stałym oprocentowaniu, są kuponami które
obligacja płaci jej posiadaczowi;
akcja, są dywidendami płaconymi przez tą akcję.
Wówczas, cena wykonania kontraktu Forward wynosi
![]() |
(5.2) |
gdzie jest ceną aktywa w chwili zawarcia kontraktu.
Uzasadnienie wzoru (5.2). Aby żadna ze stron kontraktu nie
mogła przeprowadzić transakcji arbitrażowej używając, między innymi,
kontraktu Forward z ceną wykonania , cena bieżąca aktywa musi być
równa sumie wartości bieżących przepływów generowanych przez to
aktywo w czasie trwania kontraktu i bieżącej wartości ceny wykonania
. Zatem
![]() |
skąd po
przekształceniu otrzymujemy wzór (5.2). Przypuśćmy, że
równość (5.2) nie zachodzi. Na przykład, rozpatrzmy
przypadek gdy jest większe niż prawa strona (5.2).
Pokażemy, że wówczas można przeprowadzić następującą transakcję
arbitrażową:
zajmujemy krótką pozycję w kontrakcie Forward z ceną ,
w chwili zawarcia kontraktu Forward, pożyczamy na okres czasu
sumę równą aktualnej wartości aktywa
po stopie
,
za kupujemy na rynku natychmiastowym jednostkę aktywa,
zawieramy serię transakcji na przyszłą stopę procentową (FRA)
dla okresów (ze stopami
), które zagwarantują
ulokowanie dochodów
na okres
po tych stopach.
W chwili wygaśnięcia kontraktu Forward nasz bilans wygląda
następująco:
płacimy sumę jako
zwrot zaciągniętej pożyczki,
otrzymujemy kwoty , jako wypłaty ze zrobionych lokat,
otrzymujemy za dostarczenie aktywa drugiej stronie kontraktu
Forward,
czyli netto otrzymamy
![]() |
zgodnie z przyjętym założeniem. Mamy więc zysk bez ryzyka. Wówczas, działania arbitrażystów szybko doprowadzają do obniżenia ceny kontraktu Forward do poziomu, który nie daje możliwości bezryzykownego zysku.
W drugim przypadku, to jest, gdy cena kontraktu Forward jest niższa niż prawa strona (5.2), przeprowadzamy transakcję arbitrażową, która jest ,,odwróceniem” strategii wykonanej w poprzednim przypadku:
zajmujemy długą pozycję w kontrakcie Forward z ceną ,
dokonujemy ,,krótkiej” sprzedaży jednostki aktywa,
po sprzedaży aktywa, sumę otrzymaną ze sprzedaży
składamy na depozycie na okres czasu
ze stopą
,
zawieramy serię transakcji na przyszłą stopę procentową (FRA)
dla okresów (ze stopami
), które zagwarantują
nam pożyczanie na okres
po tych stopach kwot
,
które musimy wypłacić właścicielowi aktywa.
Łatwo sprawdzić że, przy naszym założeniu, ta strategia przynosi zysk. Znów mamy arbitraż.
Aktywo daje posiadaczowi ciągły przychód
pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły.
Podstawowym przykładem takiego aktywa jest akcja (indeks giełdowy), która płaci ciągłą dywidendę, bądź gotówka w walucie obcej.
Niech oznacza stopę dochodu (dywidendy) płaconego przez aktywo
(akcję). Załóżmy, że otrzymywany dochód jest natychmiast w sposób
ciągły reinwestowany w to samo aktywo. Wówczas ilość posiadanego
aktywa w chwili
wynosi
, gdzie
jest ilością aktywa w
, a
długością okresu czasu od
chwili początkowej do
obliczoną zgodnie z konwencją stopy
.
Pokażemy, że cena kontraktu Forward, który zapada w chwili
, na
aktywo dające ciągły dochód ze stopą
wynosi
![]() |
(5.3) |
Aby uzasadnić (5.3), znów rozpatrujemy dwa przypadki –
kiedy jest większe lub mniejsze niż prawa strona (5.3)
– pokazując, że w każdym z nich możemy skonstruować odpowiednie
strategie arbitrażowe.
Gdy jest większe niż prawa strona (5.3), przeprowadzamy
w chwili początkowej następujące transakcje:
zajmujemy krótką pozycję w kontrakcie Forward z ceną ,
w chwili zawarcia kontraktu Forward, pożyczamy na okres czasu
sumę równą
po stopie
,
kupujemy na rynku natychmiastowym
,,jednostek” aktywa za kwotę
,
dochody generowane przez aktywo w sposób ciągły reinwestujemy w aktywo.
W rezultacie w chwili wygaśnięcia kontraktu Forward bilans naszych transakcji wygląda następująco
płacimy sumę jako zwrot zaciągniętej
pożyczki,
posiadamy dokładnie jedną jednostkę aktywa
(bo ), za którą
otrzymujemy po dostarczeniu jej drugiej stronie kontraktu
Forward.
Tak więc mamy
![]() |
czyli uzyskaliśmy zysk bez ryzyka.
W drugim przypadku, gdy jest mniejsze niż prawa strona
(5.3), przeprowadzamy transakcje w ,,przeciwną” stronę w
stosunku do transakcji przeprowadzonych w poprzedniej sytuacji
(
Zadanie na Ćwiczenia).
Cena wykonania walutowych kontraktów Forward
(aktywem jest waluta).
Walutowy kontrakt Forward = FX forward = Outright Forward
Walutę, oznaczmy ją przez , możemy potraktować jak
aktywo, które płaci dochód w postaci odsetek, które narastają na
rachunku oprocentowanym stopą dla tej waluty. Jeśli bowiem posiadamy
gotówkę w tej walucie, to możemy ją zdeponować na rachunku walutowym
i w ten sposób otrzymywać dochód z tytułu posiadania waluty.
Oprocentowanie tego rachunku możemy wyrazić przez stopę
kapitalizowaną w sposób ciągły i wtedy walutę możemy uznać za
aktywo, które płaci dochód w sposób ciągły ze stopą
. Ceną
natychmiastową
waluty
jest jej kurs wymiany na
drugą walutę
(kwotowany jako ilość
za
jednostkę
). Wówczas cenę walutowego kontraktu
Forward, w którym wymieniamy walutę
na drugą walutę
(na przykład na PLN), otrzymamy ze wzoru
(5.3), w którym
jest kursem wymiany natychmiastowej (spot)
na
,
stopa dochodu jest stopą
kapitalizowaną w sposób ciągły waluty
,
a czynnik dyskontowy odpowiada krzywej dla waluty .
Czynnik dyskontowy dla waluty
możemy
zapisać w postaci
![]() |
gdzie jest stopą kapitalizowaną w sposób ciągły dla
okresu
(dla waluty
). Wówczas, wzór na cenę
walutowego kontraktu Forward przyjmuje następującą formę
![]() |
(5.4) |
Zwykle, wzór na cenę walutowego kontraktu Forward podaje się w
postaci w której występują stopy proste i
(bo
takie stopy są standardem kwotowania na rynku terminowych transakcji
walutowych):
![]() |
(5.5) |
Wzory (5.4) i (5.5) określają tak zwany,
kurs terminowy wymiany walut ,
który zwykle oznaczamy symbolem
. Upraszczając notację wzór na
kurs terminowy napiszemy w następujący sposób
![]() |
(5.6) |
Związek (5.6) jest określany również jako tzw. parytet stóp procentowych. Z (5.6) wynika, że
![]() |
(5.7) |
co możemy
zinterpretować w następujący sposób: taki sam wynik w uzyskamy
(a) wymieniając jednostkę waluty po kursie natychmiastowym na
waluty
i lokując tę kwotę po stopie
na
okres
(lewa strona (5.7)),
albo
(b) lokując jednostkę waluty kwotę po stopie
na okres
i w
wymieniając kwotę
waluty
po
kursie terminowym
na walutę
(prawa strona
(5.7)).
Punkty swapowe to różnica między kursem terminowym a kursem spotowym:
![]() |
(5.8) |
Gdy , z (5.8) wynika, że
![]() |
co po przepisaniu do postaci
![]() |
oznacza iż
zannualizowana stopa zwrotu na transakcji kupna waluty
w t=0 po
i jej sprzedaży po
w
jest
równa różnicy w oprocentowaniu walut.
Aspekty praktyczne dotyczące transakcji FX forward
Kursy FX forward są kwotowane przez animatorów rynku (ang. market makers) dla standardowych okresów depozytowych, zwykle do 1Y.
Kursy FX forward są kwotowane w postaci punktów swapowych, wyrażonych
w tak zwanych pipsach, czyli w waluty niebazowej. Aby
uzyskać faktyczny kurs FX forward dla terminów ,,powyżej” spot
należy do bieżącego kursu spot dodać (z właściwym znakiem)
odpowiednio przeskalowane punkty swapowe, przy czym należy pamiętać,
że punkty swapowe mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Rynek kwotuje również punkty swapowe dla okresów ON i TN. Wówczas obliczając kursy wymiany dla tych terminów należy punkty swapowe odejmować (z właściwym znakiem) od kursu spot.
Punkty swapowe są kwotowane w postaci pary
gdzie
(
) są punktami swapowymi
dla transakcji FX forward w której kupujemy (sprzedajemy) walutę
bazową.
Jeżeli punkty swapowe są dodatnie, to .
Zdarza się, że ujemne punkty swapowe są kwotowane bez znaku i wtedy
w kwotowanej parze
będziemy mieli
nierówność przeciwną
. Wówczas,
po tej relacji rozpoznajemy czy punkty swapowe są dodatnie czy
ujemne.
Replikacja kontraktu FX forward
Pokażemy jak można zreplikować kontrakt FX forward przy pomocy
pożyczenia jednej waluty,
natychmiastowej wymiany tej waluty na drugą walutę,
lokaty drugiej waluty.
Ta replikacja pokazuje powiązania rynku transakcji wymian walutowych z rynkiem pieniężnym.
Rozpatrzmy kontrakt FX forward, w którym
w terminie zapadalności
kupimy waluty
, oraz
sprzedamy waluty
.
Oznacza to, że dokonamy wymiany waluty na walutę
po kursie terminowym
takim, że
.
Efekt wymiany walut w uzyskamy również w następujący sposób:
pożyczamy na rynku pieniężnym kwotę
taką by
, gdzie
jest
stopą dla udzielonych pożyczek w walucie
na okres
czasu
, a
długością tego okresu;
kwotę w walucie
wymieniamy na
waluty
po kursie spot
, czyli
;
kwotę w walucie
lokujemy
na rynku pieniężnym ze stopą
dla przyjętych depozytów w
walucie
na okres czasu
.
Rezultatem tych transakcji w chwili jest
zwrot zaciągniętej pożyczki w walucie w
kwocie
(płacimy
w walucie
),
otrzymana wypłata ze złożonego depozytu w walucie w
kwocie
, gdzie
jest długością tego
okresu
(otrzymujemy
w walucie
),
czyli dokonujemy wymiany w waluty
na
w waluty
. Jeśli zatem ta
strategia ma replikować kontrakt FX forward, musi zachodzić równość
![]() |
Stąd mamy
![]() |
czyli znów otrzymaliśmy parytet stóp procentowych. Jeśli ten parytet jest spełniony, replikacja transakcji FX forward zestawem złożonym z dwóch transakcji depozytowych i transakcji wymiany natychmiastowej jest możliwa.
Transakcja FX forward jako FX spot plus FX swap
W wyniku połączenia przepływów pieniężnych transakcji depozytowych, które zostały użyte do replikacji transakcji FX forward, uzyskujemy transakcję FX swap (dokładniej, szczególny przypadek transakcji FX swap). Ta transakcja FX swap, w notacji poprzedniego ustępu, polega na
wymianie początkowej (w chwili spot):
sprzedaży waluty
i kupnie
waluty
, po kursie spot
, tzn. tak, aby
,
oraz
wymianie końcowej (w terminie wygaśnięcia):
kupnie waluty
i sprzedaży
waluty
, po kursie po kursie forward
, tzn. tak, aby
,
przy czym oraz
.
Jak widać, wymiana początkowa w tej transakcji FX swap znosi się z transakcją FX spot wchodzącą w skład strategii replikującej FX forward. Wówczas z FX swap pozostaje pozostaje tylko wymiana końcowa, która jest oryginalną transakcją FX forward.
Uwagi
Reprezentacja FX forward jako suma FX spot i (tego szczególnego) FX swap pozwala na rozdzielenie ryzyk: FX spot ma tylko ryzyko walutowe (ryzyko kursu wymiany walut), a ten FX swap (w chwili początkowej) – tylko ryzyko stopy procentowej.
W praktyce rynkowej zawiera się kontrakty FX swap (tzw. round FX swap)
w których kwota waluty obcej
jest taka sama w
wymianie początkowej i wymianie końcowej, a kwoty waluty lokalnej
w chwili początkowej i końcowej różnią się ,,punktami
swapowymi” (od nominału
)
![]() |
Wycena kontraktu Forward
Rozpatrzmy kontrakt Forward, który został zawarty z ceną wykonania
. W chwili zawarcia kontraktu
było równe cenie forward aktywa
na które wystawiony został kontrakt. Niech
oznacza bieżącą (to
jest w chwili wyceny) cenę forward aktywa. Wówczas wycena długiej
pozycji w kontrakcie Forward (jego wartość) dana jest wzorem
![]() |
(5.9) |
gdzie jest terminem zapadalności kontraktu.
Uzasadnienie wzoru (5.9). Wartością bieżącą kontraktu
Forward jest wartość bieżąca przepływów pieniężnych w które
powstałyby w wyniku zamknięcia pozycji w tym kontrakcie. W przypadku
długiej pozycji należałoby zająć pozycję krótką w kontrakcie Forward
na to samo aktywo i z tym samym terminem wykonania
co zamykany
kontrakt. Cena wykonania tego zamykającego kontraktu Forward wynosi
i jest określona jednym z wzorów (5.2),
(5.3), (5.4)–(5.5) odpowiednio. W
rezultacie, w chwili
zapłacilibyśmy
za kupione aktywo i
jednocześnie otrzymalibyśmy
w wyniku sprzedaży tego aktywa.
Tak więc, netto nasz wynik w
na tych transakcjach wyniósłby
, a jego wartość bieżąca wynosi
. Ponieważ
wartość kontraktu Forward (w chwili zawarcia) zamykającego wyceniany
kontrakt wynosi zero, to wartość wycenianego kontraktu Forward jest
równa
, czyli mamy (5.9).
Po wstawieniu do (5.9) wyrażeń na cenę forward w poszczególnych przypadkach otrzymujemy następujące formuły na wycenę kontraktów:
Forward na aktywo dające przychód pieniężny w
z góry ustalonych chwilach czasu
![]() |
(5.10) |
Forward na aktywo dające ciągły przychód
pieniężny wyrażony stopą kapitalizowaną w sposób ciągły
![]() |
(5.11) |
FX Forward
![]() |
(5.12) |
przy czym wzory te podają wartość kontraktów na jednostkę aktywa (na nominał jednostkowy).
Interpretacja wzoru (5.12) dla transakcji FX forward o
nominale (waluty
):
W wyniku realizacji tego kontraktu dojdzie do wymiany kwoty
(nominału) w walucie
na
waluty
. Zatem, wycena kontraktu FX forward powinna
sprowadzić się do wyceny strumienia przepływów
i
następujących w chwili
. Tak jest w istocie, bowiem
![]() |
(5.13) |
Jak widać, ostatnia część wzoru (5.13) jest różnicą dwóch
składowych: pierwsza jest przeliczoną na walutę po
kursie spotowym
wartością bieżącą otrzymywanego w
nominału
, a druga (odejmowana) jest wartością bieżącą nominału
.
Kontrakty Futures są kontraktami terminowymi kupna/sprzedaży pewnego aktywa (towaru) przy czym w odróżnieniu od kontraktów Forward
funkcjonują na rynku uregulowanym – obrót tymi kontraktami odbywa się przez giełdy
są produktami wystandaryzowanymi, w tym sensie, że przedmiotem kontraktu są dobrze zdefiniowane aktywa (towary) – ustalone są:
ilość aktywa przypadająca na jeden kontrakt,
,,jakość” aktywa,
warunki dostawy, termin dostawy,
termin wygaśnięcia kontraktu,
są rozliczane w trybie dziennym, przez rachunek zabezpieczający,
na ogół nie dochodzi do fizycznej dostawy aktywa w terminie wykonania kontraktu, a kontrakt jest zamykany przez zajęcie pozycji przeciwnej.
Te cechy kontraktów Futures powodują, że w porównaniu do kontraktów Forward, kontrakty Futures
mają relatywnie małe ryzyko kredytowe i rozliczeniowe,
dla niezbyt odległych terminów zapadalności są instrumentami o dużej płynności.
Główne rodzaje kontraktów Futures:
na papiery skarbowe – T-bond Futures,
na depozyty (na stopę procentową) – Eurodollar Futures,
na indeksy giełdowe – Index Futures,
na waluty – Currency Futures,
na towary / surowce – Commodity Futures.
Rozliczanie kontraktu Futures dokonywane jest codziennie
przez rachunek zabezpieczający (ang. margin account), na którym
strona kontraktu Futures jest zobowiązana utrzymywać określony przez
giełdę minimalny poziom zdeponowanej gotówki. Na ten rachunek
zabezpieczający wpływają zyski z tytułu dziennego rozliczenia
kontraktu Futures, lub z tego rachunku są pobierane kwoty
odpowiadające stratom poniesionym w wyniku rozliczenia kontraktu.
Kwota dziennego rozliczenia długiej pozycji w kontrakcie Futures,
które następuje na zamknięcie -tego dnia, wynosi (na jednostkę
aktywa)
![]() |
(5.14) |
gdzie jest ceną wykonania
kontraktu Futures na zamknięciu dnia
. W dniu zawarcia
kontraktu rozliczenie kontraktu jest obliczane na podstawie ceny
kontraktu Futures z jaką został on zawarty oraz ceny tego kontraktu
na zamknięciu dnia, chyba że kontrakt został zamknięty jeszcze tego
samego dnia (wtedy mówimy o tzw. intraday trading) i wtedy
rozliczenie obywa się po cenie faktycznego zamknięcia kontraktu.
Wzór (5.14) jest również wynikiem realizowanym na
zamknięciu w dniu
kontraktu otwartego w dniu
. W
rezultacie takiego rozliczania kontraktu Futures można przyjąć że na
zamknięcie dnia
następuje zamknięcie pozycji otwartej na końcu
poprzedniego dnia z ceną
i jednoczesne otwarcie kontraktu
Futures z ceną
. Oczywiście rozliczenie za ostatni dzień
trzymania otwartej pozycji w kontrakcie Futures odbywa się po cenie
faktycznego zamknięcia kontraktu w tym dniu.
Teoretyczna cena kontraktu Futures jest równa cenie wykonania kontraktu Forward na to samo aktywo z tym samym terminem wykonania. W przypadkach gdy termin dostawy kontraktu Futures i dostarczane aktywo są jednoznacznie określone, można próbować porównywać rynkowe ceny Futures z ich cenami teoretycznymi, czyli z cenami forward aktywa na które te kontrakty opiewają. W przypadku kontraktów Futures, w których strona krótka ma możliwości wyboru terminu dostawy (w pewnym zakresie) oraz wyboru dostarczanego aktywa z grupy aktywów dopuszczonych do dostarczania, takie porównanie jest często utrudnione. Przykładem takiego kontraktu jest kontrakt Futures na papiery skarbowe (T-bond Futures).
Pokażemy, że jeżeli
stopa procentowa według której oprocentowane są fundusze
na rachunku zabezpieczającym jest stała w trakcie trwania kontraktu
Futures, a wartość tej stopy jest zgodna z oprocentowaniem
lokat/depozytów o czasie trwania ,
termin dostawy (wygaśnięcia kontraktu) jest jednoznacznie określony,
dostarczane aktywo jest jednoznacznie określone w chwili zawarcia kontraktu,
to teoretyczna cena kontraktu Futures jest równa cenie kontraktu Forward.
Niech
oznacza termin zapadalności kontraktów Futures i Forward,
oznacza stałą stopę procentową kapitalizowaną w sposób
ciągły, która będzie stosowana w trakcie trwania kontraktu do
lokowania/finasowania dziennych rozliczeń kontraktu Futures na
rachunku zabezpieczającym – zakładamy, że
, przy czym
,
oznacza cenę kontraktu Forward zawartego na zamknięcie dnia
,
oznacza cenę kontraktu Futures zawartego na zamknięcie dnia
.
Czas trwania kontraktów dzielimy na ,,jednodniowe” okresy
, gdzie
, przy czym
a
jest dniem zawarcia kontraktu.
Rozważmy następującą strategię:
sprzedajemy kontrakt Forward na jednostkę aktywa,
kupujemy kontrakt Futures na jednostek aktywa, oraz
w każdym dniu
, gdzie
, dokupujemy na jego
zamknięciu taką ilość kontraktów Futures by otwarta pozycja na
rozpoczęciu kolejnego dnia
w tym kontrakcie Futures
wynosiła
![]() |
a wynik (rozliczenie) otwartej pozycji na koniec dnia
lokujemy/finansujemy ze stopą
na pozostały do wygaśnięcia
kontraktu okres czasu.
Zawiązanie tej strategii w nie wiąże się z żadnymi kosztami
początkowymi. Natomiast efekt tej strategii w
jest następujący
kontrakt Futures opiewa na dokładnie jedno aktywo, bowiem
![]() |
w wyniku realizacji kontraktu Futures kupujemy jedno aktywo
po cenie (
),
na rachunku zgromadziliśmy (łącznie z odsetkami) kwotę
![]() |
w wyniku realizacji kontraktu Forward dostarczamy jedno aktywo
za które otrzymujemy .
Zatem nasz bilans w jest następujący:
![]() |
Ponieważ strategia prowadząca do tego wyniku nie wiązała się żadnymi kosztami, to by nie było arbitrażu, ten wynik musi być zerowy, czyli musi zachodzić
![]() |
W rzeczywistości, inwestorzy mogą lokować/finansować wynik dziennego rozliczenia kontraktu Futures po bieżących stopach rynkowych. To, między innymi, powoduje, że w określonych sytuacjach cena kontraktu Futures może odbiegać od ceny odpowiadającego mu kontraktu Forward. Na przykład, gdy cena aktywa, na które jest wystawiony kontrakt Futures, jest mocno dodatnio skorelowana ze stopami procentowymi, inwestor zajmujący długą pozycję może korzystniej lokować bieżące zyski z kontraktu lub odpowiednio taniej finansować straty poniesione na kontrakcie. Tak jest bowiem wzrostowi ceny aktywa, a więc zyskom inwestora, zwykle towarzyszy wzrost stopy procentowej po której może on ulokować swój dochód. Analogicznie, spadek ceny aktywa – strata inwestora – zwykle odbywa się w warunkach spadku stopy procentowej, co oznacza, że inwestor może taniej finansować swoje straty. Tak więc, w takim przypadku, kontrakt Futures jest korzystniejszy dla inwestora niż kontrakt Forward, i w związku z tym cena kontraktu Futures powinna być wyższa niż cena kontraktu Forward. Przeprowadzając podobne rozumowanie, można przypuszczać, że w przypadku gdy cena aktywa jest mocno ujemnie skorelowana ze stopami procentowymi, cena kontraktu Futures powinna być niższa niż cena kontraktu Forward.
3M Eurodollar Futures
Terminologia: Eurodollar – dolar amerykański deponowany w bankach poza USA. Stopa procentowa depozytów eurodolarowych jest utożsamiana ze stopą LIBOR.
Giełda: CME (Chicago Mercantile Exchange)
Nominał: 1 milion USD
Termin zapadalności: trzecia środa miesiąca dostawy
Miesiące dostawy: miesiące cyklu marzec, czerwiec, wrzesień, grudzień na około 10 lat naprzód
Instrument podstawowy: stopa procentowa 3M USD LIBOR depozytu, który rozpocznie się w dniu zapadalności kontraktu Futures
Kwotowanie: cena kontraktu oznacza iż stopa dla odpowiedniego depozytu wynosi
w konwencji ACT/360
Wartość kontraktu: -
mamy tu ,,drobną” niespójność, bowiem, jak widać, przyjęto, że 3M
okres ma 90 dni mimo iż stopa LIBOR jest podawana w konwencji
ACT/360)
Rozliczanie kontraktu: 25 USD za 1 punkt bazowy (0.01 ceny kontraktu); 25 USD =
( USD
1 bp
90/360)
Są też analogiczne kontrakty Futures na depozyty 3M w innych głównych walutach:
Euribor Futures – na 3M EUR LIBOR – giełdy: LIFFE (London International Financial Futures Exchange), MATIF (Marche a Terme International de France),
Euroswiss Futures – na 3M CHF LIBOR – giełda: LIFFE
Euroyen Futures – na 3M JPY LIBOR – giełdy: CME, SGX (Singapore Exchange Ltd.).
(a) Cena forward obligacji o stałym kuponie
Przypuśćmy, że rynkowa cena obligacji o stałym kuponie jest zgodna z wyceną modelową, tzn.
![]() |
gdzie
są wypłatami z tej obligacji (kupony plus ewentualne
częściowe zwroty nominału, oraz końcowa wypłata nominału). Pokaż, że
wówczas wzór na cenę forward tej obligacji można przedstawić w
następującej postaci
![]() |
gdzie jest pierwszym momentem
płatności kuponu następującym po terminie wygaśnięcia
kontraktu
Forward.
(b) Cena forward obligacji o zmiennym kuponie
Uzasadnij następujący wzór na cenę forward obligacji o zmiennym kuponie:
![]() |
gdzie jest aktualnie pierwszym momentem płatności kuponu tej
obligacji,
jest długością aktualnie trwającego okresu
odsetkowego, a
stopą ustaloną na początku tego okresu, oraz
jest ostatnim przed terminem wygaśnięcia
kontraktu Forward
momentem płatności kuponu. Oczywiście,
jest aktualną ceną
brudną obligacji. Zakładamy również, że nominał obligacji jest
stały.
Przeprowadź transakcję arbitrażową w przypadku gdy cena kontraktu Forward na aktywo płacące ciągły dochód jest mniejsza niż obserwowana w dniu zawarcia kontraktu cena forward tego aktywa (patrz (5.3)).
Dane są następujące kwotowania:
kurs wymiany USD/PLN: 4.0000,
punkty swapowe USD/PLN wynoszą dla 3M: 0.0250, oraz dla 6M: 0.0500,
PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%.
(a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu.
(b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku.
Wzory (5.4)–(5.6) na kurs forward zostały wyprowadzone przy założeniu, że stopy procentowe dla przyjętych depozytów i udzielonych pożyczek są takie same. W rzeczywistości stopy te są różne: dla przyjętych depozytów mamy stopy bid, które są niższe niż stopy ask dla udzielonych pożyczek.
Dostosuj wzory (5.4)–(5.6) tak, by wyrażały one wartość kursu bid (ask) transakcji FX forward. Dla przypomnienia terminologii: kurs bid (ask) transakcji wymiany odnosi się do transakcji FX, w której kupujemy (sprzedajemy) walutę bazową (tą, za jednostkę której podajemy ilość waluty niebazowej).
Uwaga: Animator rynku (ang. market maker) kwotuje kurs FX forward w taki sposób, by mógł zapewnić pokrycie swoich zobowiązań z tytułu zawarcia takiej transakcji FX transakcjami na rynku pieniężnym (lokatami i depozytami) oraz transakcją FX spot.
W transakcji par FX forward strony kontraktu dokonują w określonych
umową chwilach czasu wymian kwot
,
w walucie
na kwoty w
walucie
po jednym wspólnym kursie
. Wyprowadź wzór
na kurs
przy którym w chwili zawarcia kontraktu jego wartość
wynosi zero.
Rozpatrzmy ,,żyjącą” transakcję FX forward, która została zawarta z
ceną i która zapadnie w chwili
. W trakcie trwania tego
kontraktu w chwili bieżącej klient banku, który jest stroną tej
transakcji, prosi o skrócenie (wydłużenie) kontraktu. To skrócenie
(wydłużenie) kontraktu polega na
anulowaniu oryginalnej transakcji, która miała zapaść w ,
zawarciu nowej transakcji FX forward (lub w szczególnym przypadku FX spot) z nowym,
wcześniejszym (późniejszym) niż , terminem zapadalności
.
Wyznacz sprawiedliwą cenę (kurs) dla ,,zrolowanej” transakcji
FX, którą bank powinien zaproponować klientowi. Oblicz różnicę
, gdzie
jest bieżącym kursem terminowym na chwilę
.
Jaki sens ekonomiczny ma ta różnica?
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.