Kontrakt opcyjny (krótko: opcja) to umowa na podstawie której
jedna strona umowy (posiadacz opcji) nabywa prawo do zrealizowania opisanej umową transakcji lub do otrzymania określonej wypłaty, zaś
druga strona (wystawca opcji, sprzedawca opcji) zobowiązuje się być stroną tej transakcji lub, odpowiednio, wypłacić posiadaczowi określoną kwotę.
Posiadacz kontraktu (który zajmuje tzw. długą pozycję) będzie realizował kontrakt tylko wtedy, gdy jest to dla niego korzystne lub otrzyma od wystawcy odpowiednią wypłatę jeśli tylko wypłata ta jest dodatnią wartością. Z tego względu strony kontraktu opcyjnego nie są ,,symetryczne”, w tym sensie, że posiadacz opcji w chwili realizacji opcji z pewnością nie poniesie straty, a wystawca opcji z pewnością nie będzie miał zysku. Z tego powodu wystawca opcji otrzymuje od nabywcy opcji tzw. premię, czyli opłatę, która ma zrekompensować wystawcy jego potencjalnie gorszą sytuację.
Dwa podstawowe problemy związane z kontraktami opcyjnymi są następujące:
jaka jest ,,sprawiedliwa” wartość opcji, w szczególności ile powinna wynosić premia opcji,
jak wystawca może zabezpieczać swoją pozycję wynikającą ze sprzedanej opcji.
Umowa opcji określa
termin wygaśnięcia opcji ,
rodzaj transakcji, która będzie wykonywana w przypadku realizacji opcji, lub formułę, według której oblicza się wypłatę opcji; w szczególności wyspecyfikowany jest tzw. instrument podstawowy (ang. underlying) od wartości którego zależy wartość transakcji lub wypłaty opcji,
termin lub terminy w których opcja może być realizowana.
Ze względu na instrument podstawowy opcji wyróżniamy w szczególności
opcje na akcje,
opcje na indeks (giełdowy),
opcje walutowe (FX options, currency options) – instrumentem podstawowym jest kurs walutowy,
opcje na obligacje (bond options),
opcje na kontrakty Futures (Futures options),
opcje na stopy procentowe, a wśród nich
opcje na poziom stopy procentowej – cap (seria caplet-ów, tj. pojedynczych opcji na górny poziom stopy procentowej) oraz floor (seria floorlet-ów, tj. pojedynczych opcji na dolny poziom stopy procentowej),
opcje na kontrakt IRS – swapcje (swaptions).
Ze względu na terminy realizacji opcji wyróżniamy
opcje europejskie – realizacja opcji może nastąpić tylko w terminie wygaśnięcia opcji,
opcje amerykańskie – realizacja opcji może nastąpić w dowolnym momencie przed terminem wygaśnięcia lub w terminie wygaśnięcia opcji,
opcje bermudzkie – realizacja opcji może nastąpić w kilku ustalonych chwilach czasu w trakcie trwania opcji.
Niech
oznacza premię (wartość) opcji europejskiej,
oznacza premię (wartość) opcji amerykańskiej,
oznacza premię (wartość) opcji bermudzkiej.
Wówczas, dla opcji o tym samym terminie wygaśnięcia i o takim samym profilu wypłaty zachodzi
![]() |
Opcja waniliowa (ang. plain vanilla option) jest kontraktem
opcyjnym, w którym przedmiotem umowy opcji jest transakcja
kupna/sprzedaży pewnego aktywa (instrumentu podstawowego) po
ustalonej umową cenie wykonania :
opcja kupna (ang. call) – posiadacz opcji ma prawo do kupna
aktywa po cenie ,
opcja sprzedaży (ang. put) – posiadacz opcji ma prawo
do sprzedaży aktywa po cenie .
Wówczas, wartości tych opcji w chwili ich realizacji , od strony
posiadacza opcji, wynoszą odpowiednio
dla opcji kupna:
dla opcji sprzedaży:
gdzie jest ceną aktywa w chwili realizacji opcji.
Modyfikacje opcji waniliowych doprowadziły do skonstruowania szeregu kontraktów opcyjnych o specyficznych właściwościach – opcji egzotycznych (ang. exotic options). Najważniejsze z nich to
opcje azjatyckie – opcje w których zamiast ceny
aktywa w chwili realizacji
opcji do wyznaczenia kwoty wypłaty
(rozliczenia) brana jest
– pewna średnia wartość cen
aktywa, na przykład:
dyskretna średnia arytmetyczna:
, gdzie
są ustalonymi chwilami czasu w których
obserwowana jest wartość instrumentu podstawowego (przypadek
najczęściej występujący w praktyce),
ciągła średnia
arytmetyczna:
– graniczny przypadek dyskretnej średniej arytmetycznej,
dyskretna średnia geometryczna:
(ma bardziej
znaczenie teoretyczne niż praktyczne),
ciągła średnia geometryczna:
.
opcje lookback – opcje w których zamiast ceny
aktywa w chwili realizacji
opcji do wyznaczenia kwoty
rozliczenia brana jest wartość
lub
, przy czym podobnie jak dla opcji
azjatyckich możemy mieć warianty ciągłe i dyskretne.
opcje barierowe – opcje waniliowe z dodatkowym
warunkiem uzależniającym wypłatę od tego czy w ustalonym przedziale
czasu (zwykle w trakcie całego czasu trwania opcji) cena instrumentu
podstawowego ,,dotknie” ustalonej w kontrakcie bariery ; opcje
te występują w dwóch (komplementarnych) rodzajach:
opcje deaktywujące (ang. knock-out option) – dotknięcie bariery wygasza opcję waniliową,
opcje aktywujące (ang. knock-in option) – dotknięcie bariery powoduje uaktywnienie opcji waniliowej,
opcje binarne typu Cash-or-Nothing – opcje, których wypłata wynosi
dla opcji kupna: ,
dla opcji sprzedaży: ,
gdzie jest funkcją Heaviside'a.
opcje binarne typu Asset-or-Nothing – opcje, których wypłata wynosi
dla opcji kupna: ,
dla opcji sprzedaży: .
jest jeszcze wiele innych rodzajów opcji egzotycznych – patrz np. podręcznik Hull'a.
Wprowadźmy następującą notację:
– wartość opcji kupna (call) w chwili
,
– wartość opcji sprzedaży (put) w chwili
,
przy czym jest momentem zawarcia opcji.
Typ wykonania opcji będziemy zaznaczać odpowiednim górnym indeksem: e – dla opcji europejskiej, a – dla opcji amerykańskiej, b – dla opcji bermudzkiej.
Zauważmy, że wartości opcji waniliowych spełniają następujące oczywiste ograniczenia:
![]() |
przy czym dla europejskiej opcji sprzedaży mamy lepsze oszacowanie
![]() |
gdzie jest czynnikiem dyskontowym dla waluty w której
wyrażona jest cena aktywa (i cena wykonania
), który odpowiada
wolnej od ryzyka stopy procentowej (tj. odzwierciedlającej czysty
koszt pieniądza w czasie).
Parytet dla opcji europejskich których
instrument podstawowy nie przynosi dochodu
Wartości europejskich opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego, który w trakcie trwania opcji nie przynosi dochodu, spełniają następujący związek, zwany parytetem opcji kupna/sprzedaży,
![]() |
(6.1) |
Rozpatrzmy następującą strategię (portfel):
kupno opcji kupna z ceną wykonania ,
sprzedaż opcji sprzedaży z ceną wykonania ,
lokata kwoty na czas trwania opcji po stopie
wolnej od ryzyka.
Koszt tej strategii w chwili jej zawiązania (w ) wynosi
![]() |
Natomiast w chwili wynik naszej strategii będzie następujący:
(a) w przypadku gdy :
z kupionej opcji kupna:
ze sprzedanej opcji sprzedaży: 0
zwrot z lokaty:
razem otrzymamy ;
b) w przypadku gdy :
z kupionej opcji kupna: 0
ze sprzedanej opcji sprzedaży:
zwrot z lokaty:
razem znów otrzymamy .
Tak więc, niezależnie od sytuacji na rynku, w chwili nasza
strategia przyniesie dochód równy
. Aby nie było możliwości do
przeprowadzenia arbitrażu początkowy koszt tej strategii musi być
równy cenie aktywa w chwili początkowej, czyli musi zachodzić
![]() |
co kończy uzasadnienie.
∎ Parytet dla opcji europejskich których
instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód.
Parytet opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego,
który w trakcie trwania opcji przynosi dochód płatny w
kilku ustalonych chwilach czasu
,
, ma
następującą postać
![]() |
(6.2) |
gdzie jest wartością bieżącą
strumienia dochodów generowanych przez aktywo w trakcie trwania
opcji.
Patrz Ćwiczenia – Zadanie 6.1.
∎ Parytet dla opcji europejskich których
instrument podstawowy daje ,,ciągły” dochód.
Parytet opcji kupna/sprzedaży, w przypadku instrumentu podstawowego,
który w trakcie trwania opcji przynosi dochód płatny w sposób ciągły
ze stopą , ma następującą postać
![]() |
(6.3) |
W przypadku opcji amerykańskich różnicę wartości opcji kupna i opcji sprzedaży możemy jedynie oszacować w następujący sposób:
![]() |
(6.4) |
gdy instrument podstawowy generuje ,,dyskretne” dochody i wtedy
jest wartością bieżącą tych dochodów (patrz Ćwiczenia –
Zadanie 6.2). Gdy aktywo generuje ,,ciągły” strumień dochodu płatny
ze stopą
, oszacowanie to przyjmuje następującą postać
![]() |
(6.5) |
W poniższym Twierdzeniu zebrane są nierówności na wartość opcji których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód.
Wartości opcji spełniają następujące nierówności:
Dla opcji europejskich
![]() |
(6.6) |
![]() |
(6.7) |
Dla opcji amerykańskich
![]() |
(6.8) |
![]() |
(6.9) |
Nierówności (6.6), (6.7) dla opcji europejskich wynikają z nieujemności wartości opcji i parytetu opcji kupna/sprzedaży (6.2). Ograniczenia dolne w (6.8), (6.9) dla opcji amerykańskich wynikają w części z odpowiednich nierówności dla opcji europejskich i relacji między wartością opcji amerykańskiej a wartością opcji europejskiej, oraz w pozostałej części z charakteru tych opcji (opcje amerykańskie można w każdej chwili wykonać).
∎Jeżeli aktywo, które jest instrumentem podstawowym waniliowej opcji amerykańskiej, nie daje dochodu w trakcie trwania opcji, to wczesne wykonanie opcji kupna nie jest optymalne.
Rozważmy dwie strategie w chwili :
Wczesne wykonanie opcji
Trzymanie opcji do terminu zapadnięcia opcji
Zbadamy jaki jest rezultat obu strategii w (w chwili wygaśnięcia
opcji).
Aby przeprowadzić wczesne wykonanie opcji, pożyczamy kwotę i za
te pieniądze kupujemy aktywo. W chwili
mamy aktywo warte
oraz zobowiązanie (dług) w kwocie
, czyli ta
strategia ma wartość
![]() |
Trzymanie opcji do chwili : wartość opcji w chwili
wynosi
![]() |
Przy założeniu, że stopy procentowe są dodatnie, czyli gdy
, mamy
![]() |
co oznacza iż bardziej opłaca się trzymać taką opcję do terminu wygaśnięcia opcji niż skorzystać możliwości wczesnego wykonania opcji.
∎Jeżeli aktywo nie daje dochodu w trakcie trwania opcji, to amerykańska opcja kupna jest równoważna europejskiej opcji kupna i wartości tych opcji są takie same.
Dla amerykańskiej opcji kupna zachodzi następujące oszacowanie
![]() |
gdzie jest dowolną chwilą czasu w trakcie trwania opcji. Warunek
ten oznacza, że chcąc zrealizować wynik na inwestycji w opcję w
chwili
przed terminem wykupu, bardziej opłaca się sprzedać
posiadaną opcję niż ją wykonać i natychmiast sprzedać aktywo po
cenie
.
Gdy instrument podstawowy generuje dochód w trakcie trwania opcji
amerykańskiej wcześniejsze wykonanie opcji może być korzystne. Na
przykład rozpatrzmy amerykańską opcję kupna na akcję, która płaci
dywidendę. Niech cena wykonania wynosi . Przypuśćmy, że
akcja, która kosztuje
, wypłaci dywidendę w wysokości
w chwili dostatecznie bliskiej terminowi wygaśnięcia opcji. Przed
wypłatą dywidendy opcję możemy zrealizować z zyskiem. Natomiast po
wypłacie dywidendy, kiedy cena akcji spadnie do 95, opcja staje się
bezwartościowa.
W przypadku amerykańskiej opcji sprzedaży wcześniejsze wykonanie
opcji, nawet dla instrumentów, które nie generują dochodu w trakcie
trwania opcji, może być opłacalne. Na przykład, tak będzie gdy
(dlaczego?).
Mamy następujące
Rozpatrzmy opcje europejskie na ten sam instrument podstawowy o
ustalonym czasie trwania . Niech
oznacza cenę opcji kupna (sprzedaży) przy cenie
wykonania
dla ustalonej wartości instrumentu podstawowego.
(a) Funkcja
jest malejąca,
spełnia warunek Lipschitza ze stałą ,
jest wypukła.
(b) Funkcja
jest rosnąca,
spełnia warunek Lipschitza ze stałą ,
jest wypukła.
Niech . Mamy udowodnić, że
wówczas
![]() |
(6.10) | ||
![]() |
Rozpatrzmy przypadek opcji kupna. Przypuśćmy, że nierówność
(6.10a) nie zachodzi, czyli, że . W tej sytuacji przeprowadzamy następujące
transakcje:
sprzedajemy opcję kupna z ceną wykonania ,
kupujemy opcję kupna z ceną wykonania .
Różnicę lokujemy na
rachunku bankowym. Ponadto, w chwili wygaśnięcia opcji mamy
następujące możliwości:
(i) – obie opcje są bezwartościowe,
(ii) – opcja sprzedana jest bezwartościowa, a z kupionej
opcji realizujemy zysk
,
(iii) – na sprzedanej opcji mamy stratę
, na kupionej
zysk
, czyli w sumie mamy zysk
.
Tak więc z dodatnim prawdopodobieństwem ta strategia daje zysk. Zatem jest to strategia arbitrażowa, a to oznacza że musi zachodzić (6.10a).
Analogiczny dowód przeprowadzamy dla opcji sprzedaży.
Korzystając z parytetu opcji kupna/sprzedaży raz dla opcji z ceną
wykonania , a drugi raz dla opcji z ceną wykonania
,
otrzymamy
![]() |
(6.11) |
Z (6.11) oraz z monotoniczności funkcji i
wynika iż funkcje
te spełniają warunek Lipschitza ze stałą równą
.
Wypukłość funkcji oznacza że dla
każdych
oraz każdego
zachodzi
![]() |
(6.12) |
Przypuśćmy, że (6.12) nie zachodzi. Wówczas, dla pewnych
,
, oraz dla
mamy nierówność
![]() |
(6.13) |
Wtedy następująca strategia:
sprzedajemy opcję kupna z ceną wykonania ,
kupujemy opcji kupna z ceną wykonania
,
kupujemy opcji kupna z ceną wykonania
,
jest strategią arbitrażową (Zadanie na Ćwiczenia).
Wypukłość funkcji wynika z wypukłości
funkcji
i parytetu opcji
kupna/sprzedaży.
Monotoniczność funkcji i
można
również uzasadnić racjonalnie w następujący sposób. Na przykład w
przypadku opcji kupna, wraz ze wzrostem ceny wykonania
maleją:
(a) prawdopodobieństwo tego, że w chwili wygaśnięcia opcji
, oraz (b) wartość wypłaty opcji.
Rozpatrzmy opcje europejskie na ten sam instrument podstawowy o
ustalonym czasie trwania i ustalonej cenie wykonania
. Niech
teraz
(
) oznacza cenę opcji kupna
(sprzedaży) przy bieżącej cenie instrumentu podstawowego
.
(a) Funkcja
jest rosnąca,
spełnia warunek Lipschitza ze stała równą ,
jest wypukła.
(b) Funkcja
jest malejąca,
spełnia warunek Lipschitza ze stała równą ,
jest wypukła,
gdzie dla opcji na instrument podstawowy,
który generuje ciągły dochód ze stopą
, lub
w pozostałych
przypadkach.
Dowód tego twierdzenia przebiega w sposób podobny do dowodu
przeprowadzonego w przypadku poprzedniego twierdzenia. Jednakże, aby
móc przeprowadzić analogiczne rozumowania arbitrażowe musimy
wprowadzić instrumenty podstawowe, które, poza tym że różnią się
bieżącymi cenami, są identyczne z instrumentem podstawowym. Na
przykład, w dowodzie monotoniczności zakładamy, że mamy dwa
instrumenty podstawowe, jeden o cenie bieżącej i drugi
identyczny ale o cenie bieżącej
.
Można pokazać, że własności opcji europejskich opisane w
Twierdzeniach 6.6 i 6.7 zachodzą również w
przypadku opcji amerykańskich, przy czym warunki Lipschitza
sformułowane w tych twierdzeniach zachodzą jedynie ze stałymi .
Jednakże, dowody tych twierdzeń dla opcji amerykańskich są bardziej
skomplikowane.
Wartość wewnętrzna opcji waniliowej w chwili , gdzie
jest terminem wygaśnięcia opcji, to
dla opcji kupna wielkość ,
dla opcji sprzedaży wielkość .
Wartość czasowa opcji waniliowej w chwili , gdzie
jest terminem wygaśnięcia opcji, to różnica między wartością opcji w
chwili
a jej wartością wewnętrzną, czyli
dla opcji kupna: ,
dla opcji sprzedaży: .
Terminologia
Opcja kupna jest w chwili
w cenie (ang. in the money, ITM), jeżeli ,
po cenie (ang. at the money, ATM), jeżeli ,
poza ceną (ang. out of the money, OTM), jeżeli .
Opcja sprzedaży jest w chwili
w cenie (ang. in the money, ITM), jeżeli ,
po cenie (ang. at the money, ATM), jeżeli ,
poza ceną (ang. out of the money, OTM), jeżeli .
Wartość czasowa europejskiej opcji kupna na aktywo nie dające dochodu:
Dla opcji poza ceną, to znaczy gdy , wartość czasowa
jest równa wartości opcji.
Dla opcji w cenie, to znaczy gdy , wartość czasowa
jest większa niż
, bowiem jak wynika z Twierdzenia
6.4,
![]() |
Wartość czasowa europejskiej opcji sprzedaży na aktywo nie dające dochodu:
Dla opcji poza ceną, to znaczy gdy , wartość czasowa
jest równa wartości opcji.
Dla opcji w cenie, to znaczy gdy , wartość czasowa opcji
może być ujemna. Jeśli cena bieżąca
jest dostatecznie mała to,
jak wynika z Twierdzenia 6.4
![]() |
Wartość czasowa opcji w chwili jest największa dla opcji po cenie,
to znaczy gdy .
Rozpatrzmy przypadek opcji kupna. Na przedziale wartość
wewnętrzna opcji kupna jest zerowa i wartość czasowa opcji pokrywa
się z wartością opcji. Ponieważ wartość opcji kupna jest funkcją
rosnącą ceny instrumentu podstawowego to wartość czasowa opcji dla
będzie największa dla
.
Teraz wystarczy udowodnić, że na przedziale wartość
czasowa opcji kupna jest funkcją malejącą ceny instrumentu
podstawowego. Niech
. Wówczas, na mocy
Twierdzenia 6.7
![]() |
Stąd po przekształceniach otrzymujemy
![]() |
co oznacza, że jest malejąca.
W przypadku opcji sprzedaży dowód jest analogiczny.
∎Udowodnij równość (6.2) (parytet kupna/sprzedaży opcji, których instrument podstawowy daje ,,dyskretny” dochód). W tym celu:
(a) Przypuśćmy, że . Pokaż, że
strategia
kupno opcji sprzedaży,
kupno instrumentu podstawowego,
sprzedaż opcji kupna,
pożyczka kwoty na czas trwania opcji po stopie
wolnej od ryzyka,
pożyczka kwoty na okres
kończący się w
opcji po stopie wolnej od ryzyka (dla każdego
),
zawiązana w , jest strategią arbitrażową.
(b) Przypuśćmy, że . Pokaż, że
strategia
sprzedaż opcji sprzedaży,
krótka sprzedaż instrumentu podstawowego,
kupno opcji kupna,
ulokowanie kwoty na czas trwania opcji po stopie wolnej od ryzyka,
ulokowanie kwoty na okres
kończący się w
opcji po stopie wolnej od ryzyka (dla każdego
),
zawiązana w , jest strategią arbitrażową.
Udowodnij nierówności (6.8) w przypadku gdy instrument podstawowy nie przynosi dochodu w trakcie trwania opcji, oraz gdy struktura stóp procentowych wolnych od ryzyka jest płaska i nie zmienia się w czasie trwania opcji:
(a) Przypuśćmy, że . Pokaż, że
strategia
kupno opcji sprzedaży,
kupno instrumentu podstawowego,
sprzedaż opcji kupna,
pożyczka kwoty na czas trwania opcji po stopie
wolnej od ryzyka,
zawiązana w , jest strategią arbitrażową.
(b) Przypuśćmy, że . Pokaż, że
strategia
sprzedaż opcji sprzedaży,
krótka sprzedaż instrumentu podstawowego,
kupno opcji kupna,
ulokowanie kwoty na czas trwania opcji po stopie
wolnej od ryzyka,
zawiązana w , jest strategią arbitrażową.
Dokończyć dowód wypukłości funkcji
(patrz Twierdzenie 6.6).
Przeprowadź dowód Twierdzenia 6.8 w przypadku opcji sprzedaży.
Załóżmy, że funkcje i
są różniczkowalne. Pierwsze pochodne tych funkcji,
tzw. ,,delty” opcji
![]() |
są podstawowymi współczynnikami wrażliwości, które określają ,,ryzyko” opcji (portfeli opcji). Pokaż, że
,
,
.
Załóżmy, że funkcje i
są dwukrotnie różniczkowalne. Drugie pochodne tych
funkcji, tzw. ,,gammy” opcji
![]() |
są
współczynnikami wrażliwości drugiego rzędu, które określają
wrażliwość ,,delt” opcji (delt portfela opcji) na zmianę ceny
instrumentu podstawowego. Pokaż, że
Wartość opcji zależy również od wielkości , która określa
poziom zmienności ceny instrumentu podstawowego. Załóżmy, że funkcje
i
są różniczkowalne. Pochodne tych funkcji, tzw.
,,vegi” opcji
![]() |
są
współczynnikami wrażliwości, które określają wrażliwość wartości
opcji (portfela opcji) na zmianę zmienności ceny instrumentu
podstawowego. Pokaż, że i uzasadnij
dlaczego
.
(a) Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji binarnych typu Cash-or-Nothing.
(b) Call spread. Statyczna replikacja opcji binarnej kupna typu Cash-or-Nothing,
która daje wypłatę jeśli cena instrumentu podstawowego jest
ostro większa niż cena wykonania . Pokaż, że strategia
złożona opcji waniliowych o czasie trwania identycznym jak opcja
binarna typu Cash-or-Nothing, kupionej z ceną wykonania
i
sprzedanej z ceną wykonania
o wartościach nominalnych
(sztuk instrumentu podstawowego) ma wypłatę która w
przybliżeniu pokrywa się z wypłatą opcji binarnej kupna dla
dostatecznie małej wartości
. Wówczas z prawa jednej ceny
wynika, że
![]() |
Uwaga: W praktyce musi być co najmniej tak małe jak
minimalna wielkość zmiany ceny instrumentu podstawowego.
(c) Jak wygląda replikacja opcji binarnej kupna typu Cash-or-Nothing, jeśli wypłata następuje
gdy cena instrumentu podstawowego jest większa lub równa cenie
wykonania ?
W praktyce rynkowej opcję typu Cash-or-Nothing wycenia się z call spreadu.
(a) Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji binarnych typu Asset-or-Nothing.
(b) Przestaw opcję waniliową jako portfel złożony z opcji binarnej typu Cash-or-Nothing oraz binarnej typu Asset-or-Nothing o odpowiednich nominałach.
(c) Korzystając z (b) sformułuj związek pomiędzy ceną opcji waniliowej a cenami opcji binarnych typu Cash-or-Nothing oraz typu Asset-or-Nothing.
W praktyce rynkowej opcję Asset-or-Nothing wycenia się za pomocą związku opisanego w (c) powyżej, w którym opcja Cash-or-Nothing jest wyceniana z call spreadu (patrz Zadanie 6.8).
Strategia motyla to portfel europejskich opcji waniliowych o następującym składzie:
dwóch kupionych opcji o cenach wykonania oraz
odpowiednio,
dwóch sprzedanych opcji o cenie wykonania .
Wykreśl profil wypłaty tej strategii. W jaki sposób zbudować tę strategię korzystając z opcji sprzedaży?
Uwaga: Niech oraz
gdzie
są ustalonymi cenami wykonania.
Strategia motyla jest szczególnym przypadkiem strategii polegającej
na kupnie
sztuk opcji z ceną wykonania
, kupnie
sztuk opcji z ceną wykonania
, oraz sprzedaży jednej
opcji z ceną wykonania
, wszystkie o tym samym terminie
wykonania. Strategię tego typu można wykorzystać w dowodzie
wypukłości ceny opcji względem ceny wykonania.
Strategia risk reversal to portfel europejskich opcji waniliowych o następującym składzie:
sprzedanej (kupionej) opcji sprzedaży z ceną wykonania ,
kupionej (sprzedanej) opcji kupna z ceną wykonania ,
gdzie . Na rynku OTC opcji walutowych, to jest opcji,
których instrumentem podstawowym jest kurs wymiany walut, kwotuje
się strategie risk reversal, w których obie opcje mają taką
samą deltę (co do wartości bezwzględnej), standardowo 0.25. Taką
strategię nazywa się wtedy 25 delta risk reversal strategy.
Wykreśl profil wypłaty tej strategii.
Wartość europejskiej opcji kupna ,,zapłać później” z ceną wykonania
w chwili wygaśnięcia
wynosi
, jeśli
,
0, jeśli ,
gdzie jest premią opcji płaconą w chwili
, ustalaną zwykle
tak, by w chwili zawarcia opcji jej wartość wynosiła zero.
Analogicznie, wartość europejskiej opcji sprzedaży zapłać później z
ceną wykonania w chwili wygaśnięcia
wynosi
, jeśli
,
0, jeśli .
Wykreśl profil wypłat tych opcji. Przedstaw te opcje jako portfele złożone z opcji waniliowej i opcji binarnej.
Europejska opcja wyboru (chooser option) zapadalna w chwili
to opcja waniliowa, w której dodatkowo posiadacz opcji w chwili
określa, czy posiadana przez niego opcja jest opcją kupna
czy opcją sprzedaży. Tak więc w chwili
ta opcja ma wartość
![]() |
gdzie ,
są
wartościami opcji kupna i sprzedaży, odpowiednio. Załóżmy, że cena
wykonania obu opcji w jest taka sama i wynosi
. Załóżmy, dla
uproszczenia, że instrument podstawowy opcji daje dochód płacony w
sposób ciągły ze stałą stopą
(np. indeks giełdowy).
(a) Pokaż, że można przedstawić jako sumę wartości opcji kupna zapadalnej
w chwili
o cenie wykonania
oraz wypłaty z opcji sprzedaży
zapadalnej w
z odpowiednio dobraną ceną wykonania
. Ile
wynosi
?
(b) Przedstaw opcję wyboru w postaci portfela odpowiednio dobranych waniliowej opcji kupna oraz waniliowej opcji sprzedaży. Korzystając z tego przedstawienia wyprowadź formuły na wycenę opcji wyboru w zależności od wartości odpowiednio dobranych opcji waniliowych.
Dane są następujące kwotowania:
cena 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 miliona USD za PLN
(to jest opcji call na kurs wymiany USD/PLN o nominale 1
milion USD) wynosi: PLN,
bieżący kurs USD/PLN wynosi: 4.0000 (PLN za 1 USD),
3M punkty swapowe USD/PLN wynoszą: 0.0503,
3M stopa (kapitalizowana w sposób ciągły) dla PLN wynosi: 7.00%.
Przy założeniu, że na rynku nie ma możliwości do arbitrażu,
(a) oblicz cenę 3M opcji ATM (at-the-money) kupna PLN za USD,
(b) 3M depozytową stopę (wolną od ryzyka) dla USD.
Przypomnienie: Mówimy, że opcja jest ATM (at-the-money) jeśli bieżąca cena instrumentu podstawowego opcji jest równa cenie wykonania opcji.
Wyprowadź parytet opcji kupna/sprzedaży dla europejskich opcji azjatyckich na dyskretną średnią arytmetyczną
![]() |
gdzie
są ustalonymi chwilami czasu, w których
obserwowana jest wartość instrumentu podstawowego, a
jest
terminem zapadalności opcji. Załóż, że struktura stóp procentowych
jest płaska i stała w czasie trwania opcji. Parytet wyznacz dla
chwili czasu
, to znaczy w trakcie trwania opcji,
po ustaleniu
pierwszych wartości instrumentu podstawowego.
Oblicz wartość kontraktu forward na średnią arytmetyczną z
ceną wykonania
, który zapada w
. W tym celu, pokaż, że
wyceniając ten kontrakt, wartość każdego nieustalonego składnika
, gdzie
, sumy określającej średnią
, można
zastąpić ceną forward
wyznaczoną w chwili
kontraktu
zapadalnego w
.
Bank Miejski oferuje klientom lokatę w PLN, która po upływie terminu
lokaty wypłaci kwotę
![]() |
gdzie
jest nominałem lokaty w PLN,
– maksymalną stopą oprocentowania lokaty,
jest stopą zwrotu z indeksu WIG20 w okresie
lokaty,
jest tak zwanym współczynnikiem partycypacji.
Jakie opcje waniliowe na WIG20 są wbudowane w tą lokatę?
Niech dla opcji kupna oraz
dla opcji
sprzedaży, oraz niech
. Wypłata europejskiej
opcji kupna/sprzedaży z barierą europejską
i ceną wykonania
wynosi
![]() |
Wykreśl profil wypłat tych opcji. Przedstaw te opcje jako portfele złożone z opcji waniliowych i opcji binarnej Cash-or-Nothing o odpowiednich nominałach.
Inwestor lokuje w banku kwotę w walucie
na
okres czasu
. Niech
oznacza kurs wymiany
. W chwili
zakończenia lokaty
inwestor otrzymuje
w walucie
, jeśli
,
w walucie
, jeśli
,
gdzie jest ustalonym kursem wymiany (tzw. kurs konwersji), zaś
jest ułamkiem roku odpowiadającym bazie stopy
.
Jaka opcja jest wbudowana w ten instrument? Załóżmy, że jest
stopą procentową dla standardowej lokaty złożonej na okres czasu
. Jaka jest największa wartość stopy
w zależności od cen
instrumentów wbudowanych w tą lokatę dwuwalutową, którą bank może
zaoferować inwestorowi nie tracąc na takim instrumencie?
Uzasadnij dlaczego cena opcji waniliowej jest jednorodną funkcją
ceny bieżącej instrumentu podstawowego i ceny wykonania, to znaczy
![]() |
(6.14) |
Zauważ, że dla zachodzi tożsamość
![]() |
gdzie dla
opcji kupna i
dla opcji sprzedaży.
Korzystając z (6.14) pokaż, że jeśli jest funkcją
różniczkowalną względem
i
, to
![]() |
Uwaga: Pochodna ceny opcji względem ceny wykonania
jest
określana jako tak zwana delta dualna.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.