Model dwumianowy jest prostym modelem za pomocą którego
opiszemy proces stochastyczny ceny aktywa,
skonstruujemy portfele replikujące instrumenty pochodne,
sformułujemy i uzasadnimy metodę wyceny instrumentów pochodnych.
Model opiszemy w dwóch etapach:
zaczniemy od modelu jednookresowego (Wykład 7),
który następnie rozszerzymy na
model wielookresowy (Wykład 8).
W modelu jednookresowym rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie
dziś – w którym znamy stan rynku,
jutro – w którym stan rynku z dzisiejszej perspektywy
nie jest znany – ceny aktywów w
są zmiennymi losowymi.
Na rynku mamy dwa aktywa
obligację zerokuponową (rachunek bankowy na
którym lokaty/depozyty są oprocentowane według stopy zerokuponowej)
proces (zmienna) deterministyczna,
aktywo obarczone ryzykiem (np. akcja), które
nie przynosi dochodu w okresie
proces stochastyczny.
Proces wartości obligacji zerokuponowej
(rachunku bankowego) –
,
, gdzie
.
Proces ceny aktywa –
dane, znana wartość,
jest zmienną losową o następującym rozkładzie
![]() |
gdzie i
są dane, przy czym
. Później pokażemy jak te
wielkości powiązać z innymi parametrami aktywa, w szczególności ze
zmiennością aktywa. Okaże się również, że wartość prawdopodobieństwa
nie będzie istotna przy wycenie instrumentów pochodnych
wystawionych na
(istotna będzie miara prawdopodobieństwa w tzw.
świecie wolnym od ryzyka).
Zmienną możemy zapisać w postaci
![]() |
gdzie
jest następującą zmienną losową
![]() |
Europejski instrument pochodny
, wystawiony
na ryzykowne aktywo
, to instrument finansowy, którego wartość
wypłaty w chwili zapadalności
jest zmienną losową postaci
![]() |
gdzie jest pewną funkcją.
Na przykład, dla europejskiej opcji kupna akcji z ceną wykonania
, która wygasa w
, mamy
![]() |
przy założeniu, że .
Jedna z metod wyceny instrumentów pochodnych będzie polegała na konstrukcji portfela replikującego dany instrument pochodny, to znaczy portfela którego wartość w terminie zapadalności instrumentu pochodnego będzie taka sama jak wypłata, którą da instrument pochodny. Sformalizujemy pojęcie portfela w następujący sposób.
Portfel na rynku, na którym dostępne
są obligacja (rachunek bankowy) i jedno ryzykowne aktywo, to para
, gdzie
oznacza kwotę pieniędzy zainwestowaną w
obligacje (złożoną na rachunku bankowym), a
oznacza ilość
ryzykownego aktywa w portfelu.
Założenia
krótka sprzedaż jest dozwolona
i
mogą
być ujemne,
jest nieskończona podzielność aktywów
i
nie muszą być całkowite,
nie ma widełek kupna-sprzedaży,
jest pełna płynność obu aktywów.
Wartość portfela
:
w chwili utworzenia portfela wynosi
i jest znaną wartością, jeśli
i
są dane,
w przyszłej chwili jest zmienną losową
.
Sprawiedliwa cena instrumentu pochodnego będzie ceną, przy której arbitraż nie będzie możliwy. Sprecyzujemy pojęcie portfela arbitrażowego.
Portfel arbitrażowy to portfel
,
który spełnia następujące warunki:
nie ponosimy żadnych kosztów
początkowych by utworzyć portfel,
,
.
W jakich warunkach nasz model rynku nie dopuszcza arbitrażu? Odpowiedź na to pytanie zawarta jest w następującym lemacie:
Model jednookresowy rynku z parametrami nie dopuszcza
arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy
![]() |
(7.1) |
gdzie .
() Przypuśćmy, że (7.1) nie zachodzi. Wówczas,
lub
. Rozpatrzmy przypadek
. Wtedy mamy także
. Skąd wynika, że
zawsze (niezależnie od stanu rynku) inwestycja w obligację (lokatę
na rachunku bankowym) nie będzie mniej opłacalna niż inwestycja w
aktywo. Tak więc, tworzymy portfel
, to znaczy krótko
sprzedajemy aktywo i pieniądze uzyskane ze sprzedaży aktywa
inwestujemy w obligację. Jasne, że
oraz że
![]() |
w każdym stanie rynku. Ponadto, w stanie ,,down”
. Tak więc
jest portfelem arbitrażowym. Podobne rozumowanie możemy
przeprowadzić w przypadku gdy
.
() Niech
będzie dowolnym portfelem takim, że
. Wówczas
, a jego wartość w
wynosi
![]() |
Przypuśćmy, że arbitraż jest możliwy. W przypadku
jest
portfelem arbitrażowym wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz
, i przynajmniej jedna z tych nierówności jest ostra.
Wtedy mamy sprzeczność z (7.1). W przypadku
do
sprzeczności dochodzimy w podobny sposób.
Warunek z Lematu 7.1 możemy przeformułować w następujący sposób:
() Oczywiste.
() Definiujemy (rozwiązujemy równanie (7.2)
przy warunku
):
![]() |
(7.3) |
Łatwo sprawdzić, że są to szukane wartości.
∎ zadają nowe prawdopodobieństwo
na przestrzeni stanów
rynku w
. Niech
oznacza wartość oczekiwaną względem miary
prawdopodobieństwa
. Wówczas, jak łatwo można pokazać
![]() |
(7.4) |
czyli w świecie z miarą oczekiwany zwrot z ryzykownego
aktywa jest równy zwrotowi z aktywa wolnego od ryzyka. Z tego powodu
miarę
określa się terminem miara wolna od ryzyka, a
przestrzeń stanów rynku z tą miarą nazywamy światem wolnym od
ryzyka.
Wzór (7.4) możemy przepisać w następującej postaci
![]() |
(7.5) |
i wtedy oznacza on, że bieżąca cena ryzykownego aktywa jest równa
zdyskontowanej po stopie wolnej od ryzyka wartości oczekiwanej
(względem miary ) przyszłej ceny
. Niech
![]() |
będzie procesem zdyskontowanej ceny aktywa. Wówczas (7.5) możemy przeformułować w następujący sposób:
![]() |
co matematycznie możemy wyrazić mówiąc iż zdyskontowany proces cen
jest martyngałem. Dlatego też o mierze mówimy że jest to wolna
od ryzyka miara martyngałowa.
Niech
![]() |
oznacza cenę instrumentu pochodnego w chwili
czasu
. Jasne, że w chwili zapadalności
instrumentu
jego cena pokrywa się z wartością wypłaty, czyli że
.
Jak natomiast wyznaczyć sprawiedliwą cenę w chwili bieżącej
? Zrobimy to tak:
zreplikujemy instrument pochodny portfelem
złożonym
z obligacji zerokuponowej (lokaty/depozytu) i aktywa
,
za cenę instrumentu pochodnego przyjmiemy wartość portfela
replikującego, to znaczy przyjmiemy, że
![]() |
W szczególności, będziemy mieli (zasada wyceny instrumentów pochodnych)
![]() |
(7.6) |
bowiem każda inna cena prowadziłaby do arbitrażu.
Będzie to dobry model wyceny, jeżeli będziemy wiedzieli, że każdy instrument pochodny możemy tak wycenić, czyli gdy każdy instrument pochodny będziemy w stanie zreplikować w naszym modelu rynku. W tym kontekście wprowadzimy następujące definicje:
Instrument pochodny jest osiągalny, jeżeli istnieje
portfel
taki że
![]() |
Portfel nazywamy portfelem
replikującym, a
portfelem
zabezpieczającym.
Jeżeli każdy instrument pochodny jest osiągalny na
danym rynku, to mówimy, że rynek jest zupełny.
W naszym prostym przypadku mamy następujące
Jeżeli model jednookresowy jest wolny od arbitrażu, to ten model rynku jest zupełny, to znaczy, każdy instrument pochodny na tym rynku jest osiągalny.
Niech będzie dowolnym instrumentem pochodnym zapadalnym
w
, którego instrumentem podstawowym jest aktywo
. Pokażemy,
że istnieje portfel
taki, że
![]() |
Niech . Wówczas z powyższego warunku wynika następujący
układ równań na niewiadome
,
:
![]() |
Ponieważ , układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie
![]() |
(7.7) |
A więc istnieje portfel replikujący
.
Niech będzie instrumentem pochodnym, a
jego
portfelem replikującym skład którego dany jest wzorami
(7.7). Wówczas zgodnie z zasadą wyceny instrumentów
pochodnych (7.6), cena
w
dana jest wzorem
![]() |
Dotychczasowe rezultaty zbierzemy w następującym twierdzeniu.
Jeżeli model jednookresowy nie dopuszcza arbitrażu, to sprawiedliwa
cena instrumentu pochodnego dana jest wzorem
![]() |
gdzie jest wolną od
ryzyka miarą martyngałową wyznaczoną przez warunek
![]() |
Instrument pochodny można
zreplikować portfelem
, gdzie
![]() |
Rozpatrzmy instrument pochodny wygasający w chwili
,
którego instrumentem podstawowym jest aktywo
. Tworzymy portfel
który składa się z
jednostek aktywa,
wystawionego (sprzedanego) instrumentu pochodnego .
Wartość tego portfela w chwili wynosi
![]() |
Chcemy by ten portfel był pozbawiony ryzyka, to znaczy, by niezależnie od stanu rynku jego wartość była taka sama, czyli by zachodziła równość
![]() |
Rozwiązując to równanie ze względu na zmienną otrzymujemy
![]() |
(7.8) |
Zauważmy, że , gdzie
określa ilość aktywa w portfelu
replikującym
(patrz (7.7)). Gdy
jest wyznaczone
wzorem (7.8), nasz portfel jest pozbawiony ryzyka. Dochód,
który da ten portfel, musi być taki sam jak dochód z inwestycji w
obligację zerokuponową (lokatę/depozyt) ze stopą
. Ponieważ koszt
utworzenia tego portfela w
wynosi
![]() |
w chwili
musi zachodzić
![]() |
Z tego równania
możemy wyliczyć wartość . Otrzymamy
![]() |
(7.9) |
a po podstawieniu do (7.9) formuły (7.8) na i
wykonaniu odpowiednich przekształceń, wzór (7.9)
przedstawimy znów w postaci
![]() |
Często do wyrażenia stopy dochodu z inwestycji wolnej od
ryzyka, zamiast stopy prostej , używa się stopy kapitalizowanej w
sposób ciągły (stopy logarytmicznego zwrotu)
. Podobnie, zamiast
czynnika dyskontowego postaci
, używa się ceny
obligacji zerokuponowej zapadalnej w
. Wtedy w odpowiednich
wyrażeniach należy zastąpić
przez
lub
.
Niech cena akcji w chwili wynosi
, a stopa wolna od
ryzyka kapitalizowana w sposób ciągły
. Rozpatrzmy
trzymiesięczną opcję kupna z ceną wykonania
. Dla uproszczenia
obliczeń przyjmijmy, że
. Załóżmy, że cena akcji albo
wzrośnie o
albo zmaleje o
, czyli że
oraz
. Tak więc w
, cena akcji wynosi
![]() |
a wartość wypłaty z opcji
![]() |
Wyznaczamy miarę wolną od ryzyka, czyli prawdopodobieństwo
![]() |
Uwaga: wartość możemy również obliczyć z równania
![]() |
Zgodnie z zasadą
wyceny instrumentów pochodnych cena opcji w wynosi
![]() |
Tą samą wartość
otrzymamy obliczając wartość portfela replikującego w .
Mianowicie, skład portfela replikującego jest następujący
![]() |
a jego wartość w wynosi
![]() |
Wróćmy do świata realnego. Przypuśćmy, że oczekiwana logarytmiczna
(kapitalizowana w sposób ciągły) stopa zwrotu z akcji wynosi 16%.
Prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji w świecie realnym
obliczamy z równania
![]() |
skąd . W świecie realnym oczekiwana
wypłata z opcji wynosi
![]() |
Jaką
stopą należy zdyskontować tą oczekiwaną wypłatę opcji, by
otrzymać cenę opcji? Obliczamy ją z warunku
![]() |
skąd , a więc dużo więcej
niż 16%, i słusznie bowiem opcja jest instrumentem bardziej
ryzykownym niż akcja.
Chcemy powiązać wartości współczynników i
z podstawowymi
parametrami procesu cen aktywa
. Tymi parametrami będą
– logarytmiczna stopa oczekiwanego zwrotu z aktywa, czyli
liczba taka, że
![]() |
– odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu z aktywa
– tzw. zmienność aktywa – liczba taka, że
![]() |
(7.10) |
przy czym obie wielkości są podane w skali roku (zannualizowane).
Oczywiście, w przypadku tworzenia drzewa dwumianowego w celu wyceny
instrumentu pochodnego przyjmujemy , gdzie
jest stopą
wolną od ryzyka (bowiem wycena odbywa się w świecie wolnym od
ryzyka).
Niech oznacza prawdopodobieństwo wzrostu ceny aktywa w modelu
dwumianowym rynku w którym stopa oczekiwanego zwrotu wynosi
.
Wówczas, parametry modelu muszą być tak dobrane by
![]() |
(7.11) | ||
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
Równania (7.11) tworzą układ dwóch równań na trzy
niewiadome ,
, oraz
. Musimy więc dołożyć dodatkowy
warunek, który umożliwi nam rozwiązanie układu. Przedstawimy dwa
rozwiązania, które uzyskamy przy dwóch różnych warunkach
dodatkowych.
Rozwiązanie I (Model CRR – Cox, Ross,
Rubinstein)
Warunek dodatkowy jest następujący – zakładamy, że
![]() |
(7.12) |
Ten warunek upraszcza tworzenie procesu cen aktywa na wielookresowym drzewie dwumianowym. Wówczas rozwiązanie układu równań (7.11), (7.12) ma następującą postać:
![]() |
(7.13) |
co wynika wprost z (7.11a), oraz
![]() |
(7.14) |
przy czym wielkości i
spełniają równanie (7.11b) z
dokładnością od wyrażeń rzędu
.
Uwagi
Można pokazać, że jeżeli i
są określone równaniami (7.14), a
równaniem (7.13), to spełnianie warunku
(7.11b) nie zależy od wartości stopy
. To oznacza, że
w modelu dwumianowym zmienność aktywa jest taka sama niezależnie od
tego czy model opisuje świat realny czy świat wolny od ryzyka (ma to
związek z Twierdzeniem Girsanowa).
Jeżeli zamiast przybliżonego równania (7.11b), do wyznaczania wartości
współczynników i
użyć dokładnego równania
![]() |
to wartości tych współczynników wyniosą
![]() |
gdzie
![]() |
Można pokazać, że wówczas
![]() |
tak
więc z dokładnością do wyrazów wyższego rzędu , tak jak w oryginalnym rozwiązaniu CRR.
Rozwiązanie II – Model ,,równych
prawdopodobieństw”
Warunek dodatkowy jest następujący – przyjmujemy, że
![]() |
(7.15) |
Ten warunek upraszcza obliczanie wartości oczekiwanej przy obliczaniu ceny instrumentu pochodnego w wielookresowym modelu dwumianowym. Wówczas rozwiązanie układu równań (7.11), (7.15) ma następującą postać:
![]() |
(7.16) |
![]() |
(7.17) |
przy czym wielkości i
spełniają równanie (7.11) z
dokładnością od wyrażeń rzędu
.
W poniższych zadaniach przyjmijmy następujące definicje i określenia
Prosta stopa zwrotu z aktywa
![]() |
gdzie jest ułamkiem
roku dla okresu
.
Stopa logarytmicznego zwrotu z aktywa
![]() |
gdzie jest
ułamkiem roku dla okresu
.
– wartość oczekiwana zmiennej
w modelu dwumianowym, w którym prawdopodobieństwo stanu ,,Up”
wynosi
.
– odchylenie standardowe zmiennej
w modelu dwumianowym, w którym prawdopodobieństwo stanu ,,Up” wynosi
.
Pokaż, że
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) ,
gdzie jest stopą prostą opisującą kumulację kapitału na rachunku
bankowym – tzw. stopa wolna od ryzyka, a
jest
prawdopodobieństwem (martyngałowym) w tym świecie wolnym od ryzyka.
Pokaż, że wartość aktywa w chwili
można wyrazić w
następujący sposób
![]() |
gdzie
![]() |
Pokaż, że
(a)
(b) W modelu CRR:
(c) W modelu równych prawdopodobieństw:
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.